欽定四庫全書　　　　　子部六 　　提要 　　益古演段三卷　　　　天文算法類二【算書之屬臣】等謹案益古演段三卷元李冶撰據至元壬午硯堅序稱冶測圓海鏡既巳刻梓其親舊省掾李師徴復命其弟師珪請冶是編刋行是書在測圓海鏡之後矣其曰益古演段者盖當時某氏算書【案冶序但稱近世有某是冶已不知作者名氏】以方圓周徑冪積和較相求定為諸法名益古集冶以為其藴猶匿而未發因為之移補條目釐定圖式演為六十四題以闡明奥義故踵其原名其中有草有條段有圖有義草即古立天元一法條段即方田少廣等法圖則繪其加減開方之理義則隨圖解之盖測圓海鏡以立天元一法為根此書即設為問答為初學明是法之意也所列諸法文皆淺顯盖此法雖為諸法之根然神明變化不可端倪學者驟欲通之茫無門徑之可入惟因方圓冪積以明之其理猶屬易見故冶于方圓相求各題下皆以此法步之為草俾學者得以易入自序稱今之為算者未必有劉李之工而褊心跼見不肯曉然示人惟務隱互錯糅故為溟涬黯黮惟恐學者得窺其彷彿云云可以見其著書之㫖矣至其條段圖義觸類雜陳則又以必習于諸法而後可以通此法故取以互相發也其書世無本顧應祥唐順之等見測圓海鏡而不解立天元一法遂謂祕其機以為竒則明之中葉業已散佚今檢永樂大典尚載有全編特録存之俾復見于世以為筭家之圭臬永樂大典所載不分卷數硯堅序稱三卷今約畧篇頁仍釐為三卷其寫訛謬者各以本法推之咸為校正焉乾隆四十六年七月恭校上 　　總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅 　　總　校　官　【臣】　陸　費　墀 　　益古演段序 　　算數之學其來尚矣率自九章支分派委劉徽李淳風又為之註後之學者咸祖其法敬齋先生天資明敏世間書凡所經見靡不洞究至於薄物細故亦不遺焉近代有移補方圓自成一家號益古集者大小七十問【按書中六十四問】先生一寓目見其用心之勤惜其秘而未盡剖露繙圖式繹條段可移則移之可補則補之祥【按祥字有脱誤應作説之詳】非若溟涬黯黮之不可曉析之明非若淺近觕俗之無足觀釐為三卷目曰益古演段頗曉十百披而覽之辟如登坦途前無滯礙旁蹊曲徑自可縱横而通嘉恵後來為視隠互雜糅惟恐人窺其彷彿者相去大有逕庭矣先生又盡攄已見輯為測圓海鏡一編二百問【按今本一百七十問】同出一原緻宻纎悉備而不䌓叅考互見真學者之指南也海鏡既命工刻梓省掾李師徵其親舊也囑弟師珪請是編刋而行之將與衆共推善及人良可尚也已數學在六藝為未求之人最為切要邇來精其能者殊鮮自非先生學有餘力誠能搜剔軒轅隸首之奥有不暇矣雖然是特大烹之一臠耳若夫先生胷中渾涵停蓄測之愈深挹之不窮時發於翰墨昭不可揜者則大全集在當嗣此出願肅袵以觀至元壬午仲秋二十六日鄖城硯堅序 　　自序 　　術數雖居六藝之末而施之人事則最為切務故古之博雅君子馬鄭之流未有不研精於此者也其撰著成書者無慮百家然皆以九章為祖而劉徽李淳風又加註釋而此道益明今之為算者未必有劉李之工而褊心跼見不肯曉然示人惟務隠互錯糅故為溟涬黯黮惟恐學者得闚其彷彿也不然則又以淺近觕俗無足觀者致使軒轅隸首之術三五錯綜之妙盡墮於市井沾沾之兒及夫荒村下里蚩蚩之民殊可憫悼近世有某者以方圓移補成編號益古集真可與劉李相頡頏予猶恨其閉匿而不盡發遂再為移補條段細繙圖式使粗知十百者便得入室啗其文顧不快哉客有訂愚曰子所述果能盡軒隸之秘乎愚應之曰吾所述雖不敢追配作者誠令後生軰優而柔之則安知軒隸之秘不於是乎始客退因書以為自序時大元己未夏六月二十有四日欒城李冶序 　　欽定四庫全書 　　益古演段卷上　　　　　　元　李冶　撰第一問 　　今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝七分半並不記内圓外方只云從外田楞至内池楞四邊各二十步問内圓外方各多少 　　答曰外田方六十步　内池徑二十步 　　法曰立天元一為内池徑加倍至步得□丨【按太即真數此 　　即四十步併一池徑】為田方靣【按方靣即每邊】以 　　自增乗得□□丨【按此即一千六百步八十 　　池徑一平方併】為方積於頭再立天元 　　一為内池徑以自之又三因四 　　而一得【太○】○□【按此即百分平方之七十五上二○存步與池之位】為池積以減頭位得□□□【按此即一千六百步八十池徑二分半平方】為一段虚積寄左然後列直積以畝法【按畝法二百四十步】通之得三千三百步與左相消【按相消者兩邊同減一千六百歩後凡言相消者皆兩邉加減一數也】得□□□【按此即一千七百歩與八十池徑二分半平方等】開平方得二十步為圓池徑也倍至步加池徑即外方靣也按今借根方法即立天元一法詳見 　　御製數理精蘊兹不盡釋 　　以條段求之真積内減四段至步冪為實四之至步為從二分半常法 　　義曰真積内減四段至步冪者是減去四隅也以二分半為常法者是於一步之内占却七分半外有二 　　分半也 　　第二問 　　今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝七分半並不記徑面只云從外田南楞通内池北楞四十步問内圓外方各多少 　　答曰同前 　　法曰立天元為池徑減倍通步 　　得□丨【按此即八十步少一圓徑】為田方靣 　　以自増乗得□□丨【按此即六千四百步 　　少一百六十徑多一平方】為方田積於頭又 　　以天元池徑自之三因四而一得【太　○○】□【按此即百分平方之七十五】為池積以減頭位得□□□【按此即六千四百步少一百六十徑多二分半平方】為一段虚積寄左然後列真積三千三百步與左相消得□□□【按此即三千一百步與一百六十徑少二分半平方等】開平方得二十歩即内池徑也倍通步内減池徑為方靣也 　　依條段求之倍通步自乗於頭位以田積減頭位餘為實四之通步為從二分半虚常法 　　義曰倍通步者是於方靣之外引出一圓也用二分半虚常法者是一箇虚方内却有減餘圓池補了七分半外欠二分半故以之為虚隅也 　　第三問 　　今有方田一段内有圓池水占之外計地一萬一千三百二十八歩只云從外田角斜至内池楞各五十二步問靣徑外方各多少 　　答曰外田方一百二十步　内池徑六十四步 　　法曰立天元一為内池徑加倍 　　至步得□丨為方斜以自増乗 　　得□□丨為方斜冪於頭【其方斜上 　　本合身外減四今不及減便是寄一步四分為分母也今此方斜冪乃】 　　【是變斜為方靣以自乘之數又别得是展起之數也】又立天元為池徑自之又三因四而一為池積今為方田積既以展起則此池積亦須展起故又用一步九分六釐乗之得一步四分七釐亦為一箇展起底圓池積也【以一步九分六釐乘之者葢為分母十四以自之得一步九分六釐也】以池積減田積餘□□□為一段虚積寄左然後列真積一萬一千三百二十八步亦用分母冪一步九分六釐乗之【或兩度不加四亦同】得二萬二千二百○二步八分八釐與左相消得□□□平方開之得六十四步為内池徑也倍至步加池徑身外除四見方靣也　一法求所展池積以徑自之了更不湏三因四除及以一步九分六釐乗之只於徑冪上以一步四分七釐【按此即三因四除一步九分六釐之數】乗之便為所展之池積也 　　依條段求之展積内減四段至步冪餘為實四之至步為從四分七釐益隅 　　義曰凡言展積者是於正積上以一步九分六釐乗起之數元法本是方靣上寄一步四分分母自乗過於每步上得一步九分六釐故今命之為展起之數 　　也諸變斜為方者皆凖此所展 　　之池積是於一步圓積上展出 　　九分六釐若以池徑上取斜為 　　外圓徑則一步上止生得四分 　　七釐也故以四分七釐為虚常法又取方冪一步九分六釐四分之三亦得圓積一步四分七釐也按法内皆以徑一周三方五斜七為率故各靣積分數與宻率不合葢此書専為明理而作宻率數繁碍於講解故用古率以從簡且其法既明即用宻率亦無不可 　　第四問 　　今有方田一段内有圓池水占之外計地一萬一千三百二十八步只云從外田角斜通池徑得一百一十六步問靣徑外方各多少 　　答曰外田方一百二十步　内池徑六十四步 　　法曰立天元一為圓徑減倍通步得下□丨為方斜 　　以自之得□□丨便為所展方 　　田積於上再立天元一為池徑 　　以自之又以一步四分七釐乗 　　之得【太　○○】□　　　　　　　　　　　　　　　　　　【步】便為所展圓池 　　積也以池積減上田積餘得□□□為一段如積寄左然後列真積如法展之得二萬二千二百○二步八分八釐與左相消得□□□平方開之得六十四步為内池徑也以池徑減倍通步即是方田斜身外除四為方靣也 　　以條段求之四段通步冪内減展積為實四之通步為從四分七釐常法 　　義曰四之通步為從其減 　　積外實欠一箇方今即有展 　　池減時所剰之積補却一 　　箇虛方外猶剰一箇四分 　　七釐為常法也 　　第五問 　　今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝二分只云内圓周不及外方周一百六十八步問方圓各多少 　　答曰外方周二百四十步　内圓周七十二步 　　法曰立天元一為内圓周加一百六十八步得□丨為外方周以自増乗得□□丨為一十六箇方田積又三因之得□□□為四十八段方田積於頭【所以三因 　　為四十八者就為四十八分母也】再立天元圓 　　周以自之【元○】丨為十二段圓池 　　積【圓周冪為九箇圓徑冪每三箇圓徑冪為四箇圓池積今九 　　箇圓徑冪共為十二箇圓池積也】又就分四之 　　得【元○】□為四十八箇圓池積以減頭位得□□丨為四十八段如積寄左然後列真積一十三畝二分以畝法通之得三千一百六十八步又就分母四十八之得一十五萬二千○六十四步與寄左相消得□□丨平方開之得七十二步為内圓周也三而一為池徑 　　依條段求之四十八段田積内減三段不及步冪為實六之不及為從一虚隅 　　義曰每一箇方周方為十六段方田積今三之為四十八段方田積也内除了三箇圓周冪外於見積上虚了一箇圓周冪也今求圓周故以一步為虚隅法舊術曰以十六乗田積為頭位【以合方周之積】以不及步自乗減頭位餘三之為實六之不及步為從法㢘常以一步為減從法 　　第六問 　　今有方田一段内有圓池水占之外計地二千六百七十三步只云内圓周與外方靣數等問各多少答曰外方靣内圓周各五十四步 　　法曰立天元一為方靣【便是圓周】以 　　自之得元丨便為十二段池積 　　也再立天元方靣以自之又十 　　二之得【元○】□為十二段方田積 　　也二數相減餘【元○】□為十二段如積寄左然後列真積就分母十二之得□與左相消得□□平方開之得五十四步為方靣亦為圓周徑也 　　依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法 　　義曰一箇方田積便是一 　　箇圓周積也一箇圓周積 　　便是十二箇圓池積今將 　　一十二箇圓池積減於十 　　二箇方田積通有十一段方田積也 　　舊術曰以十二乗田如十一而一所得開方除之合前問也 　　又法立天元一為等數以自之為外田積又就分母九之得【元○】□為九箇方田積於頭又立天元等數以自之為十二箇圓池積也三之四而一得【元○】□為九箇圓池以減頭位得【元○】□為九段如積寄左然後列真積就分九之得二萬四千○五十七步與左相消得□○□平方開得五十四步為等數也 　　依條段求之九之積為實無從八步二分半為常法義曰每一箇方冪為十二箇圓池今將見有底九箇 　　圓池去了七分半餘二分半併 　　實有八箇方恰是八箇二分半 　　也 　　又法立天元一為徑以三之為 　　外方靣以自之得【元○】□為外方積於上再立天元圓徑以自之三之四而一得【元○】□為圓池積也以此圓積減方積得【元○】□為一段如積寄左然後列真積與左相消得下式□○□平方開得一十八步為圓徑也 　　以條段求之積為實八步二分半為常法 　　義曰中間一方除圓池四分之 　　三外有四分之一即是一步内 　　得二分半也 　　舊術曰列積步以八步二分半 　　為法除之所得再開方見内圓徑 　　第七問 　　今有方田一段内有圓池水占之外計地一千三百五十七步只云外方靣不及内池周一十四步問方圓各多少 　　答曰方靣四十步　圓周五十四步 　　法曰立天元一為外方加不及 　　一十四步得□丨為内周以自 　　増乗得□□丨為十二箇圓池 　　積於頭再立天元方靣以自之 　　又十二之為十二箇方田積内減頭位得□□□為十二段如積寄左然後列見積一千三百五十七步就分母十二通之得一萬六千二百八十四步與左相消得□□□開平方得四十步為外方靣也依條段求之十二之積内加入不及步冪為實二之不及步為虚從十一步常法 　　義曰其十二段積内起十二箇圓池其十二箇圓池補成一箇圓周方其圓周多於方靣十四步故 　　自之為冪加入所 　　欠之一角又二之 　　為虚從恰得十一 　　箇方也 　　第八問 　　今有方田一段内有圓池水占之外有地一十三畝七分半只云内外方圓周共相和得三百步問方圓周各多少 　　答曰外方周二百四十步　内圓周六十步 　　法曰立天元一為圓徑以三之 　　為圓周以減共步得□□為方 　　周以自増乗得□□□為十六 　　段方田積於頭再立天元圓徑 　　以自之又十二之得【太○】○□為十六箇圓池積以減頭位得□□□為十六段如積寄左然後列真積一十三畝七分半以畝法通之得三千三百步又就分母一十六通之得五萬二千八百步與左相消得□□□開平方得二十步為圓池徑又三之為圓周也依條段求之和步冪内減十六之見積為實六之和步為從三步常法 　　義曰十六箇圓池該十二箇方内從步合除去九箇方外猶剰三箇方故以三步為常法也 　　舊術曰列相和步自乗為頭位又以十六之田積減頭位又六而一為實以相和步為從法廉常置五分 　　第九問 　　今有方田一段内有圓池水占之外計地三千一百六十八步只云内外周與實徑共相得三百三十步問三事各多少 　　答曰外方周二百四十步　實徑十八步　圓周七十二步 　　法曰立天元一為池徑以五之 　　減倍之相和步得□□為九箇 　　方靣以自増乗得□□□為八 　　十一段方田積於頭位【二之相和步别】 　　【得是八方面六圓徑二實徑今二實徑與一圓徑就成一方靣共前數計九方靣五圓徑却更無實徑也】再立天元池徑以自之又以六十步七分半乗之得【元○】□為八十一箇圓池【所以用六十步七分半乘之者欲齊其八十一分母也每箇圓池七分半以八十一通之得六十步七分半也】以此減頭位餘□□□為八十一段如積寄左然後列真積三千一百六十八步以八十一通之得二十五萬六千六百○八與 　　左相消得下□□□　　　　　　　　　　　　　【步】開平方得二十四步為池徑也五因池徑減倍相和餘九而一得方田靣以池徑減方餘折半為實徑 　　依條段求之倍共步自乗於頭以八十一之田積減頭位餘為實二十之共步為從三十五步七分半為常法 　　義曰八十一箇方田内起八 　　十一箇圓池每箇圓池七分半 　　此八十一箇計該六十步七分 　　半其從步内合除去二十五箇 　　外猶剰三十五箇七分半故以之為常法也 　　舊術曰倍相和步自乗為頭位又以八十一乗田積減頭位餘退一位為實倍相和步為從法廉常置三步五分七釐半 　　第十問 　　今有方田一段内有圓池水占之外計地三千一百六十八步只云内外方圓周與斜徑共相和得三百四十二步問三事各多少 　　答曰外方周二百四十步　内圓周七十二步 　　斜三十步 　　法曰立天元一為池徑以二十 　　五之減於十之相和三千四百 　　二十步得□□為四十七箇外 　　方靣以自増乗得□□□為二 　　千二百九段方田積於頭位【十之相和步三千四百二十為方靣四十箇内池徑三十箇斜至步一十箇以一十箇斜至步合入五箇池徑共得五斜此五斜却便是七箇方靣計總數該四十七箇方靣二十五箇圓徑外更無斜至步也】再立天元池徑以自之又以一千六百五十六步七分半乗之得【元○】　□為二千二百○九箇圓池積也【所以用一千六百五十六步七分半乗之者欲齊其二千二百○九分母也每一箇圓池積七分半今有二千二百○九箇圓池積以七分半乘之該一千六百五十六步七分半也】以此減頭位得□□□為二千二百九段如積數寄左然後列真積三千一百六十八步以分母二千二百九通之得六百九十九萬八千一百一十二步與左相消得□□□開平方得二十四步即池徑也以二十五之圓徑減十之和步餘四十七而一得為外方靣身加四内減了圓池徑餘折半為斜徑也 　　按法内所用四十七方靣之數亦由立天元一法取出但截去前段恐初學不能無疑兹仍依其法補之 　　法立天元一為池徑五因之以減倍和得□□為八方靣一斜共數以方五因之得□□為實又以方五因八方靣得四十以斜七乗一斜得七併之得四十七為法除實得方靣不除便為四十七箇方靣也 　　依條段求之相和步進一位自乗於頭位以二千二百九之真積減頭位餘為實五百之和步為益從一千三十一步七分五釐為益隅 　　義曰減數係是二千二百九段方靣冪内却漏下二千二百九箇圓池此數該一千六百五十六箇七分 　　圓徑冪却於從步上疊用了六 　　百二十五箇池徑冪外猶剰一 　　千三十一箇七分五釐故以之 　　為隅法其從法元有五十箇圓 　　徑今命為之五百者縁相和步進一位也 　　舊術曰列相和步進一位自相乗為頭位以二千二百九之積減頭位餘以三之為實又以一千五百之相和步為從法廉常置三千九十五步二分半開平方見池徑 　　第十一問 　　今有圓田一段内有方池水占之外計地二十五畝餘二百四步只云從外田楞至四邊各三十二步問外圓内方各多少 　　答曰外圓徑一百步　内方靣三十六步 　　法曰立天元一為内方靣加倍至步為外田徑以自之得下式□□丨又三之得□□□為四段圓田積 　　於頭再立天元方靣以自之又 　　就分母四之得【元○】□為四池積 　　以減頭位得□□丨為四段如 　　積數寄左然後列真積又就分 　　四之得二萬四千八百一十六步與左相消得□□丨開平方得三十六步為方池靣也加倍至步即圓徑也 　　依條段求之四之積步於頭位【作三箇外圓徑冪内出了四箇方池積也】内減十二之至步冪為實十二之至步為從一虚隅 　　義曰四箇外圓田内減了十二段至步冪復以十二之至步為從又合去四箇方池今元積内有三箇虚池外猶欠一箇虚池故以一步為虛隅常減從以為法 　　又有圓田一段中有方池水占之外有田五十步只云方池一尖抵圓邊其一尖至圓邊三步問圓徑方靣各若干 　　答曰徑十歩　靣五步 　　法曰立天元一為方斜加三步 　　為圓徑以自之又以一步九分 　　六釐乗之得□　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【步】□□【按此為一平方 　　九分六釐多十一元七分六釐多十七步六分四釐諸條皆步】 　　【數在上此條獨步數在下】又三之得□　　　　　　　　　　　　　　　【步】□□内減四之天元冪得上層□中下云云【按即多三十五元二分八釐多五十二平方九分二釐】寄左然後置五十步兩度加四得□【步】又四之得□【步】與左相消得下層三百三十九步○八釐【按此下當加與一平方八分八釐多三十五元二分八釐等十八字方明】負開平方得七步即池斜也副置池斜上位加至步即圓徑下位身外減四即方靣也合問 　　依條段求之四段展起見積内減三段展起至步冪為實六之至步展起為從一步八分八釐為常法也此問若求方靣則其法甚易今求方斜故其圖須細分之 　　義曰三箇九分六釐共計二步八分八釐其元初作四段如積時合有四箇所展之池今來只見三箇故於二步八分八釐内去却一步有餘只有一步八分八釐為常法也【此法於别紙上抄得故録於此】 　　第十二問 　　今有圓田一段内有方池水占之外有地二十五畝零二百四步只云從外田楞通内方方靣六十八步問各數若干 　　答曰外圓徑一百步内方靣三十六步 　　法曰立天元一為内方靣減倍通步得□丨為外圓 　　徑以自之得□□丨為圓徑冪 　　以三之得□□□為四段圓田 　　積於頭再立天元内方靣以自 　　之又就分母四之得【元○】□為四 　　段方池積以減頭位得□□丨為四段如積數寄左然後以四之見積二萬四千八百一十六步與左相消得□□丨平方開之得三十六步為内方靣也減倍通步即圓徑 　　依條段求之十二段至步冪内減四之見積為實十二之通步為從一常法 　　義曰所減數内剰 　　下四箇方池疊補 　　了三箇外猶剰一 　　箇故以之為常法 　　第十三問 　　今有圓田一段内有方池水占之外計地五千步只云從外田楞至内池角四邊各一十五步問方圓各多少 　　答曰外圓徑一百步　内方靣五十步 　　法曰立天元一為内方靣身外 　　加四為内方斜又加倍至步得 　　□□為外圓徑也以自増乗得 　　□□□為外徑冪以三之得□ 　　□□為四段外圓積於頭再立天元内方靣以自之又四之得【元○】□為四段方池積也以減頭位餘□□□為四段如積數寄左然後列四之見積二萬步與左相消得□□□開平方得五十步為池方靣也身外加四又加入倍至步即為外田徑也 　　依條段求之四之積步内減十二段至步冪為實十二之至步身外加四為從一步八分八釐為常法義曰三箇九分六釐計二步八分八釐其四箇圓田内有四箇方水池除從步合占三箇外猶剰一箇水 　　池却於數内取了一步餘一步八分八釐故以之為常法也其從步加四者葢取斜中之方靣也葢不加四不能見方靣而但得方斜也 　　舊術曰四因積步為頭位又倍去角步自乗三之減頭位餘折半為實又倍去角步三因加四為從法廉常置九分四釐 　　第十四問 　　今有圓田一段内有方池水占之外計地三百四十七步只云從田外楞通内池斜三十五步半問外圓内方各多少 　　答曰外圓徑三十六步　内方靣二十五步 　　法曰立天元一為内方靣加四得【元□】為方斜以減倍通步得【太□】□為外圓徑以自増乗得□□□為外田 　　徑冪也以三之得□□□為四 　　段圓田積於頭再立天元内方 　　靣以自之又就分四之得【元○】□ 　　為四段方池以減頭位得□□ 　　□為四段如積寄左然後列四之見積一千三百八十八步與左相消得□□□開平方得二十五步為内方靣也方靣加四減於倍通步得圓徑也 　　依條段求之十二段通步冪内減四之田積為實十二之通步加四為益從一步八分八釐常法 　　義曰此式元係虚從今以虛隅命之四段圓田減積時剰下四段方池於從步内用訖三箇外猶剰一箇却於二步八分八釐虛數内補了一歩外虚一步八分八釐故以之為法【從負隅正或從正隅負其實皆同故因此廉從以别之】舊術曰倍通步自乗三之為頭位四因田積減頭位餘為實又十二通步加四為從法廉常置一步八分八釐減從開方【新舊廉從不同開時則同故兩存之】 　　第十五問 　　今有圓田一段内有方池水占之外計地三十三畝一百七十六步只云内方周不及外圓周一百五十二步問外圓内方各多少 　　答曰外圓周三百六十步　内方周二百八步 　　法曰立天元一為内方靣以四 　　之為内方周加不及一百五十 　　二步得□□為外圓周以自増 　　乗得□□□為十二段圓田積 　　於頭再立天元内方靣以自之又就分十二之得【元○】□為十二段方池積以減頭位餘□□□為十二段如積寄左然後列見積八千○九十六步又就分十二之得九萬七千一百五十二步與左相消得□□□平方開得五十二步為内池方靣也以四之為内方周加不及步為圓周也 　　依條段求之十二段積步内減不及步冪為實八之不及步為從四步為常法也 　　義曰十二段圓積該九段圓徑 　　冪九段圓徑冪便是九箇圓周 　　冪也據十二段圓積内元少十 　　二箇方池今於周冪内除折筭 　　外剰四箇池積故以四步為常法也 　　舊術曰十二之積步為頭位以不及步自乗減頭位餘八而一為實以不及步為從法廉常置半步開平方【新舊二術不同者舊術從簡耳算術本貴簡易而猶立新術者縁舊術難畫條段也餘倣此】第十六問 　　今有圓田一段内有方池水占之外計地三千五百六十四步只云内方周與外圓徑等問等數各若干答曰内方周外圓徑各七十二步 　　法曰立天元一為等數便以為 　　方周以自之為十六箇方池於 　　頭【元○】丨再立天元等數便以為 　　圓徑以自之又十二之得【元○】□ 　　為十六段圓田積内減頭位餘【元○】□為十六段如積寄左然後列真積三千五百六十四步又就分十六之得五萬七千○二十四步與左相消得□○□平方開得七十二步即等數也 　　按法後落條段一條依前例補之 　　依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法 　　義曰十六箇圓積 　　乃十二段圓徑冪 　　也其十六箇圓積 　　内有十六箇方池恰是一箇方也此一箇方便是等數冪也 　　舊術曰列田積從十一段平方開之得内方靣四之即等數也乂法以十六乗田積如十一而一所得開方即等數 　　第十七問 　　今有圓田一段内有方池水占之外有地一千六百一十一步只云外圓徑不及内方周四十二步問方圓各若干 　　答曰外圓徑五十四步　内方周九十六步 　　法曰立天元一為外圓徑加不及四十二步得 　　為内方周以自増乗得下式□ 　　□丨為十六段池積於頭再立 　　天元外圓徑以自之又十二之 　　得【元○】□為十六段田積也内減 　　頭位餘□□□為十六段如積寄左然後列真積一千六百一十一步就分母十六之得二萬五千七百七十六步與左相消得□□□平方開得五十四步為外圓徑也加不及步為内方周也 　　依條段求之置十六之積加不及步冪為實倍不及步為虚從一十一步為常 　　義曰十二箇圓徑 　　冪該十六箇圓田 　　積十六箇圓田積 　　内有十六箇方池其十六箇方池於實積内侵過所加一角并二段虛從之數也 　　第十八問 　　今有圓田一段内有方池水占之外計地三百四十七步只云外圓周内方周共得二百八步問内外周各多少 　　答曰外圓周一百八步　内方周一百步 　　法曰立天元一為内方靣以四 　　之為内方周減於相和二百八 　　步得□□為外圓周以自增乗 　　得□□□為圓周冪便為十二 　　段圓田積於頭再立天元内方靣以自之又就分十二之得【元○】□為十二段方池積也以減頭位餘□□□為十二段如積寄左然後列見積三百四十七步就分母十二之得四千一百六十四步與左相消得□□□開平方得二十五步為内方靣也四之為内方周減於相和步為圓周也 　　依條段求之以十二之積步減和步冪為實八之和步為虚從四常法 　　義曰十二段圓田内有十二箇 　　方池於方周冪内補了十二池 　　外猶欠四箇故以四為隅法此 　　式元係虛從今却為虛隅命之 　　故以四為虛常法 　　舊術曰相和步自乗於頭位以十二之積步減頭位餘八而一為實相和步為從法廉常置半步減從第十九問 　　今有圓田一段内有方池水占之外計地三十三畝一百七十六步只云内外周與實徑共相和得六百二步問三事各多少 　　答曰外圓周三百六十步　内方周二百八步 　　實徑三十四步 　　法曰立天元一為内方靣以減一百七十二得□丨為外田徑也【倍云數得一千二百四步别得是六箇圓徑八箇方靣兩箇實徑今将一箇方靣兩箇實徑合成一箇圓俓併前數而計是七箇方靣七箇圓徑也今置一千二百四步在地以七約之 　　得一百七十二步為徑靣共也便是一箇方靣一箇圓徑更無 　　實徑也】以自增乘得□□丨為圓 　　徑冪也以三之得□□□為四 　　段圓田積於頭再立天元内池 　　靣以自之又就分四之得【元○】□為四池積以減頭位得□□丨為四段如積寄左然後列見積八千九十六步又就分四之得三萬二千三百八十四步與左相消得□□丨開平方得五十二步為内方靣也以七之方靣減於倍和步餘以七而一即圓徑也圓徑内減方靣餘者又半之即實徑也 　　依條段求之徑靣共一百七十二也自之為冪又三之於頭位内減四之見積餘為實六之徑靣共步為從一常法 　　義曰四之真積内有四箇方池於從法内疊周了三箇外剰一箇故以一步為常法 　　舊術曰倍相和步自乗三之為頭位以一百九十六步【按此即四與四十九相乗之數】之田積減頭位餘以十四而一為實又六之相和步為從法廉常置三步半開平方見内方靣 　　第二十問 　　今有圓田一段内有方池水占之外計地二千四百七十五步只云内外周與斜徑相和得二百五十九步半問三事各多少 　　答曰外圓周一百八十步　内方周六十步　斜 　　十九步半 　　法曰立天元一為内方靣以三 　　十三之減於十之云數二千五 　　百九十五步得□□為三十五 　　箇圓田徑【十之云數内有外圓徑三十箇内方靣四】 　　【十箇角斜十箇今將七箇方靣併入十箇角斜為五箇圓徑也總别得十之云數是方靣三十三箇圓徑三十五箇外更無斜徑角也】乃以三十五之圓徑自増乗得下式□□□為一千二百二十五段圓徑冪也以三因之得□□□合以四除之今不除便為四千九百段圓田積於頭再立天元内池靣以自之又就分以四千九百乗之得○□為四千九百段方池積以減頭位得□□□為四千九百段如積數寄左然後列真積二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千二百一十二萬七千五百步與左相消得□□□平方開得一十五步為内方靣方【三十三之方靣以減於十之相和二千五百九十五步餘三十五而一即圓徑以方靣加四減圓徑餘半之即斜徑也】 　　依條段求之十之相和步自之為冪以三之於頭位以四千九百段見積減頭位為實一千九百八十之相和步為從一千六百三十三為常法 　　義曰減數計三千六百七十五箇圓徑冪便是四千九百箇圓田積也内漏下四千九百箇方池却於從 　　内疊用了三千二 　　百六十七箇方池 　　外猶剰一千六百 　　三十三箇方靣冪故以之為常法也其從法元有一百九十八箇方靣合用一百九十八之相和步為從今用一千九百八十箇相和步者縁為相和步先進了一位也 　　第二十一問 　　今有方田三段共計積四千七百七十步只云方方相較等三方靣共併得一百八步問三方多少 　　答曰大方靣五十七步　中方靣三十六步　小 　　方靣一十五步 　　法曰立天元一為方差以減中方靣 　　【置併數三而一即得中方靣】得□丨為小方靣也 　　以自之得□□丨為小方積於頭再 　　立天元方差加入中方靣得□丨為 　　大方靣以自之得□□丨為大方積於次位又列中方靣□自之得下□為中方積於下位三位相併得□○□為一段如積數寄左然後列真積四千七百七十步與左相消得□○□開平方得二十一步即是方差也【置方差數加中方即大方靣減中方即小方靣也】 　　依條段求之列併數以三約之所得即中方靣也以自之為冪又三之以減積為實無從二步常法義曰積步内減三箇中方冪外有兩箇方故得二步 　　常法舊術又折半止得一箇 　　方也 　　第二十二問 　　今有方田一段其西北隅被斜水占之外計地一千二百一十二步七分半只云從田東南隅至水楞四十五步半問田方靣多少 　　答曰田方靣三十五步 　　法曰立天元一為水占斜加入 　　云數四十五步半得□【元丨】為田 　　斜以自増乗得□步□丨為田 　　斜冪於頭再立天元一水占斜 　　以自之為水占得小方積就分以一步九分六釐乗 　　之得【元○】□　　　　　　　　　【步】為所展得水占積也以減頭位得□□ 　　□　　　　　　【步】為如積一段寄左然後列真積一千二百一十二步七分半以一步九分六釐乘之得二千三百七十六步九分九釐與左相消得□□□開平方得三步半為水占斜加至步為田斜身外減四即是方靣也 　　依條段求之展積内減至步冪為實二之至步為從九分六釐虛常法開平方得三步半即水占斜也義曰今將水占斜直命為小方池靣也 　　舊術曰列田積於頭位又列至步除四則直至步以 　　自乗減頭位餘為實二之直至 　　為從以九分六釐為廉從開平 　　方得二步半加直至步三十二 　　步半得三十五步即田方靣也 　　此圖即舊術條段也舊術減云 　　步為直至步入法而求得二步 　　半為直至不及方靣步新術展 　　積入法而求得三步半為水占 　　斜 　　益古演段卷上 　　欽定四庫全書 　　益古演段卷中　　　　　　元　李冶　撰第二十三問 　　今有圓方田各為叚共計積一千三百七步半只云方面大如圓徑一十步圓依密率問面徑各多少答曰方面三十一步　圓徑二十一步 　　法曰立天元一為圓徑加一十步得□丨為方面以自之得□【○二】丨為方田積以十四之得下式□□□ 　　為十四叚方田積於頭又立天元 　　圓徑以自乗為冪又以十一之得 　　【太○】□便為十四叚圓田積【依密率合以徑 　　自乗又十一之如十四而一今以十一乗不受除故就為十四分母】 　　【也】以併入頭位得□□□為十四叚如積寄左然後列真積一千三百七步半就分十四之得一萬八千三百五步與左相消得□□□開平方除之得二十一步為密率徑也加不及步為方田也 　　依條叚求之十四之積步於上内減十四叚不及步冪為實二十八之不及步為從二十五步常法 　　義曰将此十四箇方冪之式 　　只作一箇方冪求之自見隅 　　從也 　　第二十四問 　　今有方圓田合一叚共計積一千四百六十七步只云方面與圓徑相穿得五十四步問面徑各多少答曰方面一十二步　圓徑四十二步 　　法曰立天元一為圓徑減穿步五十 　　四步得□丨為方田面以自増乗得 　　下式□□丨為方田積於頭位再立 　　天元圓徑以自之又三之四而一得 　　【元○】□為圓田積也併入頭位得□□□為一叚如積寄左然後列真積一千四百六十七步與左相消得□□□倒積倒從開平方得四十二步為圓田徑也以減穿步即方面 　　按法内所言倒積倒從即飜積法也盖初商積常減原積此獨以原積減初商積倍㢘常減従步此獨以従步減倍㢘乃平方中之一變也古法多用之今依數布算于後以存其式 　　法列積一千四百四十九步為實以一百零八步為 　　長與一濶又七分半之和即從數求 　　濶初商四十步以一濶七分半乗之 　　得七十步以減和數餘三十八步以 　　初商乗之得一千五百二十步為初 　　商積大扵原積反減之餘實七十一 　　步乃二因一濶七分半所乗初商之 　　數得一百四十步大扵和數反減之 　　餘三十二步為次商㢘次商二步以 　　一濶七分半乗之得三步半為次商 　　隅凡和數㢘隅相減此反相加得三 　　十五步半以次商乗之得七十一步為次商積與餘積相減恰盡開得濶四十二步 　　依條叚求之穿步冪内減田積為實倍穿步為従一步七分半虚常法 　　義曰二之従步内元減了七分半 　　又疊了一步計虚却一步七分半 　　也 　　第二十五問 　　今有方圓田各一叚共計積一千三百七步半只云方周大如圓周五十八步問方圓各多少【圓依密率】 　　答曰方周一百二十四步　圓周六十六步 　　法曰立天元一為圓周加周差五十 　　八步得□丨為方田周以自増乗得 　　下式□□丨為方周冪便是十六箇 　　方田積又就密率分母一十一之得 　　□□□為一百七十六叚方田積於頭又立天元圓周以自之為冪又就分一十四之得【元○】□為一百七十六叚圓田積【依密率周上求積合以周自乗又以七乗之如八十八而一為一叚田積也今又周宻上更以十四乗之則合用一百七十六而一故就分便為此數】以添入頭位得□□□共為一百七十六叚如積寄左然後列真積一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三萬一百二十步與左相消得□□□開平方得六十六步為圓田周也加多步見方周 　　依條叚求之一百七十六之積内減一十一叚多步冪為實二十二之多步為從二十五步常法 　　義曰一百七十六之積步内 　　有一十一箇方周方一十四 　　箇圓周方也今畫此式其一 　　十四箇圓周方與一十一箇圓周方大小俱同者止為欲見差步權作此式其實合作一十二叚圓式求之其實自見也【按十一方周冪十四圓周冪共積内減去十一不及冪餘不及步乗圓周長方二十二圓周冪二十五故以二十二不及步為従二十五為隅也】 　　第二十六問 　　今有方圓田各一叚共計一千四百五十六步只云方周大如圓周方圓周共相和得二百步問二周各多少答曰方周一百二十八步　圓周七十二步 　　法曰立天元一為圓周減於相和二 　　百步得□丨為方周以自乗得□□ 　　丨為方周冪【是十六箇方積也】就分三之得 　　□□□為四十八叚方田積扵頭再 　　立天元圓周以自之又就分四之得【元○】□亦為四十八叚圓田積併入頭位得□□□為四十八叚如積數寄左然後列真積一千四百五十六步就分四十八之得六萬九千八百八十八步與左相消得□□□開平方得七十二步為圓田徑也減共步則方周 　　依條叚求之三叚和步冪内減四十八之田積為實六之和步為従七益隅 　　義曰減時減過一箇方六之従步内又欠六箇方共虚了七步故以為益隅 　　第二十七問 　　今有方圓田各一叚共計積二千二百八十六步只云方面不及圓徑一十二步圓依密率問面徑各多少答曰方面三十步　圓徑四十二步 　　法曰立天元一為方面加不及一十 　　二步得□丨為圓徑以自之得□□ 　　丨為圓徑冪以一十一之得下式□ 　　□□便為十四箇圓積於頭再立天 　　元方面以自之又就分一十四之得【元○】□為十四箇方積也併又頭位得□□□為十四叚如積數寄左然後列真積二千二百八十六步就分一十四之得三萬二千四步與左相消得下式□□□平方開之得三十步即方面也加不及一十二步即圓徑也依條叚求之十四之真積内減一十一叚差步冪為實二十二之差步為従差步即不及步二十五歩常法 　　義曰十四之積步内有一十 　　一箇圓徑方與一十四箇方 　　面方此式與第二十五問畧 　　同其一十一箇圓徑冪有十一箇方正當十一叚之其數自見也 　　第二十八問 　　今有方圓田各一叚共計積二千二百八十六步只云方周不及圓周一十二步問周各若干【圓依密率】 　　答曰方周一百二十步　圓周一百三十二步 　　法曰立天元一為方周加不及步一十二得【太□】丨為圓周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□ 　　為一百七十六叚密率積扵頭再立 　　天元方周以自之為方積一十六叚 　　又就分一十一之得【元○】□便為一百 　　七十六叚方田積併入頭位得下式 　　□□□為一百七十六叚如積數寄左然後列真積二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四十萬二千三百三十六步與左相消得□□□開平方得一百二十步為方周加不及步即圓周也依條叚求之一百七十六之真積内減十四叚差步冪為方實二十八之差步為従二十五常法 　　義曰所減數乃十四叚不及 　　步冪也 　　第二十九問 　　今有方圓田各一叚共計積一千四百四十三步只云圓周大如方周方圓周併得一百九十八步問二周各多少 　　答曰方周九十六步　圓周一百二步 　　法曰立天元一為方周減共步一百 　　九十八得□丨為圓周以自増乗得 　　□□丨為十二叚圓田積四之得下 　　□□□為四十八叚圓田積扵頭再 　　立天元方周以自之為十六叚方田積又就分三之得【元○】□便為四十八叚方田積併入頭位得□□□為四十八叚如積寄左然後列真積一千四百四十三步就分母以四十八乗之得六萬九千二百六十四與左相消得□□□開平方得九十六步為方周也減於併數見圓周也依條叚求之四叚共步冪内減四十八之積為實八之共步為従七益隅 　　義曰八之從内合虚八箇方今見有一箇方外只虚了七步方也 　　第三十問 　　今有圓田二叚【一叚依圓三徑一率一叚依密率】共積六百六十一步只云二徑共相和得四十步問二徑各數 　　答曰密徑一十四步　古徑二十六步 　　法曰立天元一為密徑以減相和四十步得□丨為古徑以自之得下□□丨為古徑冪以三因之得□ 　　□□合以四約之又就分母七之得 　　□□□為二十八叚古圓積於頭再 　　立天元密圓徑以自之又二十二之 　　得【元○】□為二十八叚密圓積也併入 　　頭位得□□□為二十八叚如積寄左然後列真積六百六十一步就分二十八乗之得一萬八千五百八步與左相消得□□□平方開之得一十四步為密圓徑以減和步即古徑也 　　依條叚求之二十一叚和步冪内減二十八之田積為實四十二之和步為從四十三步虚常法 　　義曰其二十八之田積内有古 　　積二十一叚密積二十二叚元初 　　減時減過一叚又併從步内合 　　除之數計虚却四十三箇方也 　　第三十一問 　　今有直田一叚中心有圓池水占之外計地三千九百二十四步只云從外田角斜通内池徑七十一步外田闊不及長九十四步問三事各多少 　　答曰圓池徑一十二步　田長一百二十六步 　　闊三十二步 　　法曰立天元一為内圓徑以減倍通 　　步一百四十二步得□丨為直田斜 　　以自乗得□□丨為兩叚直田並一 　　叚較冪扵頭再置闊不及長九十四 　　步自之得八千八百三十六步以減頭位得□□丨為兩叚直積數寄左再立天元圓徑以自之為圓徑冪三之二而一得【元○】□為兩箇池積數加入二之見積七千八百四十八步得□○□亦為二叚真積與寄左相消得□□□平方開之得一十二步為圓徑也 　　依條叚求之倍通步為冪内減二之見積一箇較冪為實四之通步為從半步常法 　　義曰従步内少一箇圓徑冪其 　　漏下底二箇圓池共一步半今 　　将一步補了従步合除之數外 　　猶剰半步故以為常法 　　第三十二問 　　今有圓田一叚中心直池水占之外計地五千三百二十四步只云併内池長闊與外圓徑等内池闊不及長三十六步問三事各多少 　　答曰外田徑一百步　内池長六十八步　濶三 　　十二步 　　法曰立天元一為外圓徑以自乗 　　三因四而一得【元○】□為圓積内減 　　了見積五千三百二十四步餘得 　　□○□為水池直積也以四之得 　　□○□為四叚水池直積寄左再立天元圓徑命為直積和步以自之得【元○】丨為四積一較冪内減了池較冪一千二百九十六步得□○丨亦為四叚池積與左相消得□○□平方開之得一百步為外圓徑也闊不及長減圓徑餘折半見闊却以不及步加之即長也 　　依條叚求之四積内減較冪為實從空二步常法 　　義曰四之 　　圓積内有 　　四箇水池 　　又扵見積内減了一箇池較冪相併恰是一箇和冪也今来池和與圓等共和冪恰是一箇圓徑冪也除外有兩箇方 　　第三十三問 　　今有圓田一叚中心有直池水占之外計地七千三百步只云併内池長濶少田徑五十五步闊不及長三十五步問三事各多少 　　答曰田徑一百步　内池長四十步　闊五步 　　法曰立天元一為外圓徑自之 　　得數又三之四而一得【元○】□為 　　外圓田積也減見積七千三百 　　步得□○□為内池積也以四 　　之得□○□為四叚池積寄左再立天元圓徑内減少徑步五十五得□丨為池和也以自之得□□丨為四池一較冪内減池較冪一千二百二十五步得□□丨亦為四池積也與左相消得□□□平方開之得一百步為圓徑也内減少徑即水池和步内加一差即為二長若減一差即為二闊也 　　依條叚求之四之積步内減池較冪却加入少徑冪為實二之少徑為從二步常法 　　義曰四池并所減 　　底箇較冪恰是一 　　箇和自之 　　舊術下積步四之於頭位又以少徑步自乗加頭位内却減闊不及長冪餘折半為實用少徑為従一步常法 　　第三十四問 　　今有圓田一叚内有直池水占之外計地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其池闊不及長三十五步問三事各若干 　　答曰圓田徑一百步　池長六十步　濶二十五 　　步 　　法曰立天元一為外徑内減倍 　　至步三十五步得□丨為池斜 　　以自之得□□丨為二積一較 　　冪於頭又列闊不及長三十五 　　步以自之得□減頭位得○□□為四池積寄左又立天元圓徑以自之又三之便為四叚圓積内減四之見積二萬四千步得下式□○□亦為四箇池積也與左相消得□□丨平方開得一百步為外田圓徑也圓徑自之又三之四而一内減見積餘為内池積也又用差步為従開方見池闊也 　　依條叚求之四之見積内加八叚至步冪却減兩叚闊不及長冪為實八之至步為従一步常法 　　義曰四箇圓積内 　　有四箇虚直池於 　　積内又減了兩叚 　　闊不及長冪合成兩箇池斜冪也八箇従步内貼入八箇斜至步冪其數與圓徑正相應也外恰有一步方 　　第三十五問 　　今有圓田一叚中心有直池水占之外計地五千七百六十步只云從外田東南楞至内池西北角通斜一百一十三步其内池闊不及長三十四步問三事各多少 　　答曰外圓田徑一百二十步　池長九十步　闊 　　五十六步 　　法曰立天元一為角斜加通步 　　得□丨為圓徑以自之得□□ 　　丨為圓徑冪又三之得□□□ 　　為四叚圓田積也内減了四之 　　見積二萬三千四十步得□□□為四叚内直池寄左再立天元角斜以減通步為池斜以自之得□□丨為池斜冪於頭又列長平【按平即闊】較三十四步以自之得一千一百五十六步以減頭位餘□□丨為二池積也又倍之得□□□亦為四直池與左相消得□□丨開平方得七步為角斜也 　　依條叚求之四之積步内減兩叚闊不及長冪又減一叚通步冪為實十之通步為従一步隅法 　　義曰兩箇較冪併 　　四箇池積該兩箇 　　斜冪也於四箇圓 　　積内減此兩箇斜冪外更減了一箇通步冪恰是十之從外有一步常法也 　　第三十六問 　　今有圓田一叚中心有直池水占之外計地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其内池長闊共相和得八十五步問三事各多少 　　答曰外田徑一百步　池長六十步　闊二十五 　　步 　　法曰立天元一為内池斜加入 　　倍至步三十五得□丨為外圓 　　徑以自之又三之得□□□為 　　四叚圓積也内減四之見積二 　　萬四千步得下□□□為四箇池積寄左乃置内池和八十五步以自之得□為四積一較冪於頭再立天元内池斜以自之得【元○】丨為二池積一較冪以減於頭位得□○丨為二池積也又倍之得□○□亦為四池積與左相消得□□□平方開得六十五步為内池斜加倍至步即圓徑也徑自之又三之四而一内減去田積餘實以和步為從一虚隅開平方見闊也依條叚求之四之積步内加兩叚和步冪却減十二叚至步冪為實十二之至步為從五步常法 　　義曰所加兩箇和 　　冪該八積二較冪 　　數内元有四虚池 　　外有四積二較冪其實只是添了兩箇池斜冪也於四圓積内除従步占外元有三箇方今又加入兩箇池斜冪共得五步故五為常法 　　第三十七問 　　今有圓田一叚中心有直池水占之外計地九千一百二十步只云従外田楞通内池斜一百一十六步半其内池長闊共相和得一百二十七步問三事各多少 　　答曰圓田徑一百二十步池長一百一十二步 　　闊一十五步 　　法曰立天元一為角斜加通步 　　一百一十六步半□步丨為圓 　　徑以自之得□□丨為圓徑冪 　　以三之得□□□為四叚圓田 　　也内減四之見積三萬六千四百八十步得□步□□為四叚内池積寄左再立天元角斜以減通步得□步丨為内池斜以自乗得□步□丨為二積一較冪於頭又列池和步以自乗得□内減頭位餘得□【元】□丨為二池積也倍之得下□步□□亦為四池積與左相消得□步□□平方開之得三步半為角斜也加通步為圓徑 　　依條叚求之四之積步内加兩叚和步冪却減五箇通步冪餘為實二之通步為從五步為常法 　　義曰兩箇和冪内虚了四池只是兩箇池斜冪今将兩箇池斜冪減於兩箇通步冪止有二甲二乙所占之地今又将二甲二乙及三叚通步冪併以減於四之見積外實在兩箇通步從五箇方也 　　第三十八問 　　今有水旱田各一叚共計積二千六百二十五步只云水田長闊共一百步其旱地闊不及長三十五步而不及水地闊十步問水旱地長闊各若干 　　答曰水地長七十五步　闊二十五步　旱地長 　　五十步　闊一十五步 　　法曰立天元一為旱地闊加旱 　　闊不及水闊一十步得□丨為 　　水地闊以減水田長闊共一百 　　步得□丨為水田長也以水田長闊相乗得□□丨為水田積扵頭再置天元旱地闊加不及三十五步得□【兀丨】為旱田長也以天元乗之得【太○】□丨為旱田積也加入頭位得□□為一叚如積寄左然後列真積二千六百二十五步與左相消得□□下法上實如法得一十五步為旱田闊也加闊不及長三十五步為旱田長也又扵旱闊内加不及水地闊一十步為水地闊也以水地闊減於水田長闊一百步餘為水田長也 　　依條叚求之以水田共步乗二闊差於頭位以二闊差冪減頭位得數復以減於田積為實列水田共步加入旱地長闊差内却減兩箇二闊差為法 　　義曰其水田闊二十五步為法内元多一箇水旱二闊差數又積步内減了一叚旱闊為長二闊差為平底直積是又虚了一箇水旱二闊差數故於法内減去兩箇闊差也 　　按此條圗與義不合盖寫之誤也今仍存舊式另擬圖義扵後以明之 　　義曰水田長闊共步乗二闊差 　　内減差冪即附水田周一磬折 　　積也以減共積餘同旱闊之兩 　　長方共積為實其水田長闊比原數各減一闊差扵此長闊和内加旱田長闊較即兩長方之共長故為法即得旱田闊也 　　第三十九問 　　今有直田一叚内有圓池水占之外計地三十九畆一分半只云従田兩頭至池各一百五步兩畔至池各九步問三事各多少 　　答曰田長二百三十四步　闊四十二步　池徑 　　二十四步 　　法曰立天元一為内池徑加二之邊 　　至一十八步得□丨為田闊又置天 　　元池徑加二之頭至二百一十步得 　　□丨為田長長闊相乗得下式□□ 　　丨為直田積於頭再置天元徑以自之又三之四而一得○□為内池積以減頭位得□□□為一叚如積數寄左然後列真積三十九畝一分半以畝法通之得九千三百九十六步與左相消得□□□開平方得二十四步為内池徑也加二之邉至步為田闊若加二之頭至步即田長 　　依條叚求之倍頭至步與倍邊步相乗以減田積為實併一頭一邊步又倍之為從二分半常法 　　義曰此問與第一問條叚頗同但所減者為四箇小池積【按池當作隅】 　　第四十問 　　今有直田一叚中心有圓池水占之外計地四畝五十三步只云外田長平和得七十六步太半步従田四角去池楞各一十八步問外田水池徑各多少答曰田長五十步　闊二十六步太　池徑二十 　　步太 　　法曰立天元一為内池徑加倍角至步三十六得□丨為直田斜以自之得□□丨為田斜冪【便是二積一較冪也】 　　又九之得下式□□□為十八積九 　　較冪也寄左列和步七十六步太【按太 　　即三分步之二】通分内子得□以自之得五 　　萬二千九百步為九叚和冪於頭【為九】 　　【叚和冪者元帶三分母以自之得九也此九叚和冪該三十六直積九箇較冪也】又置天元圓徑以自之又三之四而一得【元○】□為一叚圓積也加入見積一千一十三步得□○□共為直積一叚又十八之得□○□為十八叚直積以減頭位得□○□亦為九叚田斜冪與左相消得□□□合以平方開之今不可開【按不可開者謂㢘隅數多而得數又不能盡也】先以隅法二十二步半乗實二萬三千單二步得五十一萬七千五百四十五步正為實元従六百四十八負依舊為従一益隅平方開之得四百六十五步以元隅二十二步半約之得二十步三分之二為内池徑也加倍至步為田斜以自之為二積一較冪又二之於頭位以和步冪減頭位餘以平方開之即田較也加入和步折半為長若減於和步折半為闊也 　　依條叚求之列相和步自乗為冪内減倍積及四叚至步冪為實四之至步為從二步半常法 　　義曰和步冪内減了二直積只 　　有一叚斜冪也減二直積時漏 　　下兩箇圓池該一步半又正有 　　一步共計二步半常法也　求 　　較者先置池徑二十步太□帶三分母便為三箇徑也加入六之至步一百八步得□便為三箇田斜也以自之得□為九叚斜冪【便是十八箇直積九箇較冪】倍之得□為三十六叚田積一十八叚較冪於頭再置和步七十六步太□亦帶三分母便為三箇和也以自之得□為九叚和冪【便是三十六直積九較冪也】以減頭位餘□為九叚較冪也平方開之得七十步以三約之得二十三步三分步之一為田較也欲見田長闊及斜者准此法求之　又法求圓池徑者立天元一為三箇内池徑以自之得【元○】丨為九叚池徑冪便是十二叚圓積也加十二叚見積得□○丨為十二叚直積又身外加五得□○□為十八叚直田積扵頭又列和步七十六步太通分内子得二百三十自之得□為和冪九叚【便是直積三十六叚較冪九叚也】内減頭位得下式□○□為九叚斜冪數寄左再置天元圓徑加六之角至步一百八步得□丨為三箇田斜以自之得□□丨亦為九叚斜冪也與左相消得□□□開平方得六十二步為三箇圓池徑也以三約之得一箇圓徑二十步三分之二此名之分天元一術前法乃連枝同體術也【按分天元一術即天元一内帶分求之得數而後約之連枝同體術即通分開方得數而後約之皆兼通分之法也】 　　第四十一問 　　今有直田一叚中心有圓池水占之外計地三千九百二十四步只云従外田角斜通池徑七十一步外田長闊相和得一百五十八步問三事各多少 　　答曰圓徑十二步　田長一百二十六步　闊三十二步 　　法曰立天元一為内圓徑以減倍通 　　步一百四十二步得□丨為田斜以 　　自之得□□丨為二積一較冪於頭 　　又立和步一百五十八步以自之得 　　□為四積一較冪以減頭位得□□丨為二直積寄左又立天元池徑以自之又三之二而一得【元○】□為兩箇池積也加入二之見積七千八百四十八步得□○□亦為一叚直積與左相消得□□□平方開之得一十二步為内池徑也 　　依條叚求之二之積步内加四叚通步冪却減一叚和步冪為實四之通步為従二步半虚常法 　　義曰減一和步冪是減四積一 　　較冪也四之通步冪内減了一 　　箇斜冪却又減過二箇直積故 　　二之積步加之従内欠一箇方 　　減二積時漏下二箇圓池又該欠一箇半方共欠二步半虛常法也 　　第四十二問 　　今有直田一叚中心有圓池水占之外計地一萬八百步只云從外田角至水池楞六十五步其外田闊不及長七十步問二事各多少 　　答曰田長一百五十步　闊八十步　圓池徑四 　　十步 　　法曰立天元一為内池徑加倍至一 　　百三十步得□丨為田斜以自之得 　　□□丨為田斜冪於頭又置田較七 　　十步以自之得□為較冪以減頭位 　　得□□丨為二田積寄左再立天元池徑以自之身外加五得【元○】□為兩箇池積也加二之見積二萬一千六百步□○□亦為二直積與左相消得□□□開平方得四十步即池徑也以徑自之三之四而一加入見積為實以闊不及長為従開方得田闊依條叚求之二之田積内加較冪却減四叚至步冪為實四之至步為従半步虚常法 　　義曰二積内加一箇較冪恰補 　　就一箇斜冪也其二積内有兩 　　箇圓池是元虚了一步半方也 　　扵積内却實有一步除外止虚了半步也 　　益古演段卷中 <子部,天文算法類,算書之屬,益古演段> 　　欽定四庫全書 　　益古演叚卷下　　　　　　元　李冶　撰第四十三問 　　今有圓田三叚【一依古法一依宻率一依徽率】共計地二十畆五十二步一百七十五分步之二十三只云宻徑多於古徑九步徽徑多於宻徑九步問三徑各多少 　　答曰古徑三十六歩　宻徑四十五步　徽徑五 　　十四步 　　法曰立天元一為古徑加多九步得 　　□丨為宻徑以自之得下□□丨為 　　宻徑冪又以十一乗之得□□□為 　　十四叚宻圓積於頭又立天元古徑 　　加二之多步一十八步得□丨為徽 　　徑以自之得□□丨為徽徑冪也又 　　以一百五十七乗之得□□□為二 　　百叚徽圓積於中【按徽率周一百五十七徑五十徑乗】 　　【周四歸為圓冪今以徑冪乗周當以徑五十除之再四歸之為圓冪不除便為五十乗之又四乗之之二百圓冪也】又置天元古徑以自之又三之得【元○】□為四叚古圓積於下乃求三積齊同分母而併之先以分母一萬七千五百【按此即十四除二十四萬五十之數】乗十四叚宻圓積得□□□為二十四萬五千叚宻圓積於頭位次以分母一千二百二十五乗二百叚徽積得□□□為二十四萬五千叚徽積於中位次以分母六萬一千二百五十乗四叚古積得○○□為二十四萬五千叚古積於下位三位相併得□□□為二十四萬五千叚如積數寄左然後列見積通分内子得八十四萬九千一百二十三就分以一千四百乗之得一十一億八千八百七十七萬二千二百與左相消得下式□□□平方開之得三十六步為方徑也各加多步見徽宻二徑也　義曰所以齊同於二十四萬五千叚者以元母一百七十五乗一千四百得此數依條叚求之以一千四百乗田積於頭位置徽徑多古徑自之為冪又以一千九十九【按置一千四百分以徽圓冪率一百五十七乗之方冪率二百除之即得】乗之減頭位續置宻徑多古徑自之為冪又以一千一百【按置冪十】一【千四百分以宻率圓乗之方冪十四除之即得】乗之復減頭位餘為實又倍徽徑多古徑以千九十九乗之為徽從又倍宻徑多古徑以一千一百乗之為宻從併二從得五萬九千三百六十四為從法亷常置三千二百四十九 　　義曰以一千四百乗積者取其三率皆可以除之也 　　齊同分母湏至於二十四萬五千 　　叚者葢以分母一百七十五元乗 　　積數一千四百此二數相乗得二 　　十四萬五千也 　　此問求真積實數　古徑三十六得積九百七十二步　宻徑四十五步得積一千五百九十一步一十四分步之一　徽徑五十四步得積二千二百八十九步二百分步之一十二併三積全步四千八百五十二步外【宻零一十四分步之一徽零二百分步之一十二】以上維乗下位【宻子得二百分　徽子得一百六十八分】相併得三百六十八分為子實又上二位相乗得二千八百分為母法子母俱以十六約之為一百七十五分步之二十三　一千四百乗田積來厯盖只就宻率上定之也置一千四百在地以宻率十一之如十四而一為一千一百積　若以古率三之四而一則得一千五十積　若以徽率一百五十七乗之如二百而一得一千九十九積所以用一千四百乗積者縁古法四徽法二百皆可以除之也　求三積齊同分母元分母數一百七十五元乗積數一千四百此二數相乗二十四萬五千即大分母也三積總率皆齊同於此既得此齊同分母乃各以先求到叚數約之徽率得一千二百二十五宻率得一萬七千五百古率得六萬一千二百五十故反以乗叚數皆齊同於二十四萬五千也 　　按條叚分母數簡於前法者用舊術也然各分母之數猶有可省者盖衆數取分母數必得最小者方爲確凖其義見秦九韶數學九章大衍術中今附其法於後以發明前法所未盡者 　　法列四數先以元母一百七十五與 　　宻方率十四相度得度盡二數之數 　　為七次以二數相乗以度盡數除之 　　得三百五十為二數總母又以二數 　　總母與徽方率數相度得度盡二數 　　之數為五十以二數相乗度盡數除 　　之得一千四百為三數總母又以三 　　數總母與古方率數相度則古方率 　　四即為度盡二數之數二數相乗度 　　盡數除之仍得一千四百即為四數 　　總母然後以宻方率十四除之得一 　　百為宻分母以徽方率二百除之得 　　七為徽分母以古方率四除之得三 　　百五十為古分母以元分母一百七 　　十五除之得八為原積分母以此數 　　與各叚冪積相乗除較原數所省多 　　矣 　　第四十四問 　　今有梯田一叚長二百四十步並不知東西兩濶只云從東頭截長五十步計地三畆從西頭截長三十步計地五畆問二濶各多少 　　答曰東頭元濶一十一步二分　西頭元濶四十 　　一步九分二釐 　　法曰此問先湏求見兩頭各截之停廣求東截停廣者置東頭所截三畆之積七百二十步以截長五十步除之得一十四步四分為東截地之停廣也求西截停廣者置西頭所截五畆之積一千二百步以截 　　長三十步除之得四十步為西頭所 　　截停廣也乃立天元一為毎步之差 　　以東頭截長五十步乗之折半得□ 　　以減東停廣一十四步四分得□【分】□為東頭元小濶於上再置天元差 　　步以西頭截長三十步乗之得□折半得□加入西頭停廣四十步得□□為西頭大濶也内減東頭小濶餘□步□為二濶總差也寄左再立天元毎步差以正長二百四十步乗之得□亦為二濶總差與左相消得□步□下法上實如法而一得一分二釐八毫為毎步之差也置毎步之差以西頭截長三十步乗之得三步八分四釐折半得一步九分二釐加入西頭停廣四十步得四十一步九分二釐為西頭元大濶也又置毎步之差以東頭截長五十步乗之得六步四分折半得三步二分以減於東頭停廣一十四步四分餘一十一步二分為東頭元小濶也此問止求毎步之差更不湏以條叚明之 　　舊術依法求得東停廣與西停廣數乃以二停廣相減餘以二百而一【謂東截長五十步其停廣當二十五步餘去了二十五步也西截長三十步其停廣當一十五步餘去了一十五步也兩頭計去了四十步以減於正長二百四十步餘二百步】所得為毎步之差乃副置半步之差左以東截長乗之以減東停廣餘為東元濶也右以西截長乗之以加西停廣併為西元濶也又法置一步之差以正長二百四十乗之所得為都濶差也以都濶差加於小頭濶則為大頭濶也 　　第四十五問 　　今有方田一叚中心有方田池占之外計地一畆只云從外田東南隅至内池西南隅一十三步問内外田方各多少 　　答曰内池方七步　外田方一十七步 　　法曰立天元一為内池方以自乗倍之得【元○】□加入見積得□□寄左又列至步自之得一百六十九步 　　又倍之得三百三十八步與左相消 　　得□○□開平方得七步即内池方 　　也池方自之加入見積再開平方即 　　外田方面也 　　依條叚求之只據前式便是更不湏重畫也只是将見積打作四叚小直田以池面為較以外田方面為和以斜至步為然此問惟是其池正在方田中心可依此法求之若稍有偏側則不能用也　舊術列去角步自乗為二位頭位減半田積開平方見内池面下位加半田積開平方見外田面也 　　第四十六問 　　今有方圓田各一叚共計積一百二十七步只云其方面大如圓徑圓徑穿方斜共得二十步問面徑各多少 　　答曰方面一十步　圓徑六步 　　法曰立天元一為圓徑減穿步得□丨為方斜以自 　　之得□□丨為方斜冪於頭再 　　置天元圓徑以自之又以一步 　　四分七釐乗之得□□步為展 　　起圓田也併入頭位得□□□ 　　步為展數如積一叚寄左然後 　　列見積一百二十七步兩度下加四【兩度下加四止是以一步九分六釐乗之也以一步九分六釐乗之者變方田為斜田也】得二百四十八步九分二釐與左相消得下式□□□開平方得六步即圓徑也以徑減穿步即方斜也 　　依條叚求之穿步冪内減去展起見積為實二之穿步為從二步四分七釐虛隅 　　義曰下式乃展起之圓 　　積也亦俱是減數也此 　　數該一步四分七釐之 　　方又從步内疊出一步 　　虚隅計得二步四分七釐常法也 　　舊術曰以一步九分六釐乗田積為頭位又列穿步自乗内減去頭位餘為實倍穿歩為從亷常置二歩四分七釐減從開方 　　第四十七問 　　今有直田一叚中心有小方池結角占之外計地二千七十九步只云從田二頭至池角二十一步半兩邉至池角七步半問三事各多少 　　答曰長六十四步　濶三十六步　池方一十五步 　　法曰立天元一為内方面身外加四 　　又加二之頭至步四十三得□□為 　　田長也又置池方面身外加四又加 　　入二之邉至步一十五得□□為田 　　濶也長濶相乗得下式□□□為直田積於頭又置天元池方面以自之得【元○】丨為内方池以減頭位得□□□為如積一叚寄左然後列見積二千七十九步與左相消得□□□開平方得一十五步即内池方面也方面外加四副二位若加兩頭至池步見長若加兩邉至池步即見濶也 　　依條叚求之積步内減四叚邉至與頭至步相乗數為實併至頭至步倍之又身外加四為從九分六釐常法 　　義曰水池外有九分六釐常法從 　　步皆加四者盖於斜上求方面也 　　第四十八問 　　今有方田一叚内有直池水占之外有地三百四十步只云其池廣不及長四步又云從田楞通池長一十五步問三事各多少 　　答曰田方二十步　内池長一十步　廣六步 　　法曰立天元一為池長減於倍通步□丨為田方面以自之得□□丨為田方積於頭再置天元池長内減較四步□丨為池濶以天元乗之得□丨為直池 　　積以減頭位得□□○為如積一叚 　　寄左然後列直積三百四十步與左 　　相消得□□下法上實如法而一得 　　一十步即池長也以長減於倍通步 　　即方田面也 　　依條叚求之四叚通步冪内減田積為實四之通步内減池較為法如法得池長 　　義曰四之通步為法内欠一箇池長冪却用所漏之 　　池補之猶差一池較 　　為法合除之數也既 　　於實積内虚了此數 　　故作法時於四之通步内減去一數也 　　第四十九問 　　今有方田一叚内有小方池結角占之外計地一萬八百步只云從外田楞至内池角各一十八步問内外方各多少 　　答曰外田方一百二十步　内池方六十步 　　法曰立天元一為内方面身外加 　　四又加倍至步三十六得□□為 　　田方面以自乗得□□□為外方 　　積於頭再置天元内方面以自之 　　得【元○】丨為内池積也以減頭位得□□□為如積一叚寄左然後列真積一萬八百步與左相消得□□□開平方得六十步為内池方面也内方面身外加四又加倍至步即方面也 　　依條叚求之見積内減四叚至步冪為實四之至步身外加四為從九分六釐常法 　　義曰從步内加四者是於一箇方 　　面上求 　　第五十問 　　今有方田一叚自有小方池結角占之外計地九千三百七十五步只云從外方角至内池面各五十七步半問内外方各多少 　　答曰外田方一百步　内池方二十五步 　　法曰立天元一為内方面 　　加倍至步一百一十五步 　　得□丨為外田斜以自之 　　得□□丨為所展方積於 　　頭再置天元内池面以自 　　之得【元○】丨為内池積又就分以一步九分六釐乗之得下【元○】□亦為所展之池積也以減頭位得□□□為一叚所展如積寄左然後列真積九千三百七十五步以一步九分六釐乗之得一萬八千三百七十五與左相消得□□□開平方得二十五步即内方面也 　　依條叚求之展積内減四叚至步冪為實四之至步為從九分六釐虚常法 　　義曰展積時其池亦展得虚了九 　　分六釐也 　　第五十一問 　　今有方田一叚内有小方池結角占之外計地四十五畆只云從外田南邉斜通池北角一百二步問内外方各多少 　　答曰外田方一百二十步　内池方六十步 　　法曰立天元一為内方面身 　　外加四為池斜以減於倍通 　　步二百四步得□□為外方 　　面以自之得□□□為方田 　　積於頭又置天元内池面以自之得下【元○】丨為内方池也以内方池減頭位得□□□為如積一叚寄左然後列真積一萬八百步與左相消得□□□平方開之得六十步為池方面也 　　依條叚求之四叚通步冪内減見積為實四之通步加四為從九分六釐虚隅法 　　義曰從步身外加四者蓋是於池 　　斜上求池面也 　　舊術曰倍通步自乗以田積減之餘折半為實倍通步加四為從亷常置四分八釐減從開方見内方面 　　第五十二問 　　今有方田一叚内有方池結角占之外計地三十九畆零一十五步只云從田東南角至内池西北面八十二步半問内外方面各多少 　　答曰外田方面一百步　内池方面二十五步 　　法曰立天元一為内方面減於倍通步一百六十五 　　步得□丨為外田斜也以自之得 　　□□丨為所展外田積於頭再置 　　天元池方面以自之為方池積又 　　就分以一步九分六釐乗之得【元○】 　　□為所展方池積也以減頭位得□□□為展起底如積一叚寄左然後列真積三十九畆一十五步通納得九千三百七十五步又就所展分母一步九分六釐乗之得一萬八千三百七十五步與左相消得□□□平方開之得二十五步即内池面也以池面減於倍通步又身外去四即外方面也 　　依條叚求之四叚通步冪内減展積為實四之通步為從九分六釐常法 　　義曰元以展積減四叚通步 　　冪時漏下一步九分六釐池 　　積今来於從步内疊用了一 　　個方外剰九分六釐 　　第五十三問 　　今有方田一叚内有直池結角占之外計地八百五十步只云從田角通水長三十七步通水濶三十二步問三事各數 　　答曰池長二十五步　濶一十五步　外田方三十 　　五步 　　法曰立天元一為内池長減於倍通步七十四步得□丨為外田斜也以自之得□□丨為所展外田積 　　於頭再置倍通長七十四步内 　　減倍通濶六十四步餘一十步 　　乃池長濶差也【或直以通長通濶相減於者倍 　　之亦為長濶差也】再置天元池長内減 　　長濶差得□丨為濶也以天元長乗之得□丨為直池積也又就分以一步九分六釐乗之得□□為展起底直池積也以減頭位得下式□□□為所展如積一叚寄左然後列真積八百五十步就分以一步九分六釐乗之得一千六百六十六步與左相消得□□□開平方得二十五步為内池長也【以減倍通長步又身外去四即外田方面也】 　　依條叚求之四叚通長冪内減展積為實四之通長於頭以一步九分六釐乗長濶差以減頭位為從九分六釐常法 　　義曰據從步合用之積於疊起處少了一方今将減積時漏下所展水池補了一甲之地若更得一乙之 　　地則共補成一步九 　　分六釐之地方也【按原 　　圖仍用正方今易為直方庶為簡明】今 　　不可補故於從步内 　　減去所展差步便是 　　於從法合用之積内借了一乙之地恰補就一步九分六釐之方也除補了疊起的一步方外猶剰九分六釐故以之爲常法也 　　第五十四問 　　今有方田一叚内有直池結角占之外計地一千一百五十步只云從田角至水兩頭各一十四步至水兩邉各一十九步問三事各多少 　　答曰方四十五步　池長三十五步　濶二十五 　　步 　　法曰立天元一爲池濶加二之邉至步三十八得□丨為外田斜以自之得□□丨為所展外田積於頭 　　二之邉至步内減二之頭至步 　　餘一十步為池長濶差也再置 　　天元池濶加差一十步得□丨 　　為池長也用天元池濶乗之得 　　□丨為直池積也又就分以一步九分六釐乗之得□□步為所展之池積也以減頭位得□□□為所展如積一叚寄左然後列真積一千一百五十步以一步九分六釐乗之得二千二百五十五十四步與左相消得□□□開平方得二十五步為池濶也【又加二之邉至步又身外去四即外方面也】 　　依條叚求之展積内減四叚邉至步冪為實四之邉至步於頭以一步九分六釐乗長濶差減頭位餘為從九分六釐虚常法 　　義曰所展池積内将四叚紅【按原 　　圖應減者以紅色别之】積恰補作九分六 　　釐虚常法其兩箇所占半差於 　　減從時又以一步九分六釐乗 　　之者葢欲合身外加四所乗積也 　　按展積義多未備此條尤略今具圖説以詳之 　　義曰外四隅方所減之四至冪 　　也中十字積為實則池濶為隅 　　四之至步為從也附直池外斜 　　方展池積也平分上下二尖形 　　附於左右二尖形外成一原池濶乗展池正長之直方展池正長為原池長之一步九分六釐十字積與展池積之較為實是前從隅内應少原池長之一步九分六釐又為少原池長濶較之一步九分六釐併原池濶之一步九分六釐故展較減前從以為從展隅反減前隅為虚隅也 　　第五十五問 　　今有圓田一叚内有圓池水占之外計地二十三畆一分只云内外周徑共相和得四百二十四步問内外周徑各多少【圖依宻率】 　　答曰外周二百八十六步徑九十一步　内周一百一十步徑三十五步　實徑二十八步 　　法曰立天元為實徑以減相和 　　步四百二十四得□丨為内外 　　周共步用天元實徑乗之得□ 　　丨為如積兩叚寄左然後列二 　　之真積一萬一千八十八步與左相消得□□丨開平方得二十八步為實徑也以徑步除田積於頭位又二十二乗徑步如七而一得數若加頭位即外周若減頭位即内周也 　　義曰以徑步除田積所得乃半内周半外周共步也又據古率三箇實徑即是半箇外内周差步也縁此問係是宻率故以二十二乗徑以七約之也即得半差以加共步即是外周以減共步即是内周也又據古率三之實徑以加減共步者縁共步便三空徑三實徑共數也於此共數内加三實徑則恰是三箇大圓徑故為一箇外周也若共數内減去三實徑則正有三箇小圓徑故為一箇内周也今是宻率故先以二十二之七而一所以附就此數以求内外周也依條叚求之倍積步為實和步為從一益隅 　　義曰以和步為從 　　是於内外周數外 　　又引出一步虚常法也 　　第五十六問 　　今有圓田一叚内有圓池水占之外計地二十三畆一分只云從外田通内池徑六十三步問同前 　　答同前 　　法曰立天元為實徑加通步六 　　十三得□丨為外田徑以自之 　　得下□□丨為外圓徑冪又十 　　一之得下式□□□為十四叚 　　外圓積於頭再置天元實徑以減通步得□丨為内圓徑以自之得□□丨為内圓徑冪又十一之得□□□為十四叚内圓積也以減頭位得下式□步為十四叚如積寄左然後列真積二十三畆一分法通得五千五百四十四又就分一十四之得七萬七千六百一十六與左相消得□□下法上實如法而一得二十八步為實徑也以實徑加通步即外徑若減通步即内池徑也 　　依條叚求之十四之積為實四十四之通步為法求得實徑 　　此問難以為式强立此式以推之毎積之長乃三箇通步今十四之積合以四十二箇通步除之今用四十四之通步為法者縁宻率之周稍多於古率之周也假令古率七箇積即合用二十一箇通步為法若依宻率七箇積即合用二十二箇通步為法此問乃併十四之積為實是合用四十四箇通步為法也舊術曰二十二之通步如七而一為法除田積見徑又法倍通步自之又十一之於上以十四之積減上餘為實四十四之通步為法見池徑 　　按條叚皆於立天元一内取出而於方圓變積之義或未暇深思故謂難以為式若以方環圓環解之固易易耳今増一圖義於後而舊術又法先求池徑更可互相發明因並附焉 　　義曰圓冪率十一方冪率十四以十四 　　乗圓環積便為十一方環積毎環為實 　　徑乗通步之直方四故以十一方環積為 　　實四十四通步為法即得實徑也 　　義曰倍通步即大小徑併其冪内有 　　大小徑冪各一大小徑相乗直方二 　　内減圓環積所變之方環積餘小徑 　　冪二大小徑相乗之直方二又為小 　　徑乗大小徑併之直方二又為小徑乗通步之直方四故以十一倍之積較為實四十四之通步為法即得小徑也 　　第五十七問 　　今有圓田一叚内有直池水占之外計地八千七百四十四步只云兩頭至田楞各二十一步兩畔至田楞各四十五步問三事各數 　　答曰田徑一百二十四步　池長八十二步　濶 　　三十四歩 　　法曰立天元一為池濶加二之畔至 　　步得□丨為外田徑以自之得□□ 　　丨為田徑冪以三之得□□□爲四 　　叚圓田積於頭二至歩相減餘二十 　　四步又倍之得四十八步為池長濶差也再立天元池濶加差得□丨爲池長以天元濶乗之得□丨為池積又就分四之得□□為四叚直池積以減頭位得□□丨為如積四叚寄左然後列真積八千七百四十四步就分四之得三萬四千九百七十六步減頭位得□□丨平方開之得三十四步為池濶也依條叚求之四之見積内減十二叚畔至步冪為實十二之畔至步内減四箇長濶差餘為從一步虚常法 　　義曰八處以紅誌之者共是從内所減之數也舊術曰四之積步於上又倍一畔步自乗三之減上餘為實又併一頭一畔步六之内減了長濶之差餘為從亷常置一步減從開方見池濶也 　　第五十八問 　　今有圓田一叚内有直池占之外計地一千五百八十七步只云從田楞通地長四十二步通地濶三十七步問三事各數 　　答曰田徑五十四步　池長三十步　濶二十步 　　法曰立天元一為内池長以減 　　倍通長八十四步得□丨為田 　　徑以自之得□□丨為田徑冪 　　以三之得□□□為四叚圓田於頭再立天元一為池長内減長濶差得□丨為池濶以天元一乗之得□丨又就分四之得□□為四叚池積【求長濶差者倍通長内減倍通濶即是也】以減頭位得下式□□丨為四叚如積寄左然後列四之真積六千三百四十八步與左相消得□□丨開平方得三十步為内池長也以長減倍通長即田徑也依條叚求之十二之通步冪内減四之見積為實十二之通步内減四差為從一步常法 　　義曰十二之從步内減去了三箇差又以三箇漏下池積補了疊起底三步虚方外猶剰一池更用一差減從併上所剰之一池恰補成一步常法也 　　第五十九問 　　今有二方夾一圓失却圓水占外有田積一十一畆五分五釐其方圓相去重重徑等問方圓各多少答曰内方面一十二步　圓徑三十六步　外方 　　面六十步 　　法曰立天元一為等數五之得 　　□為外方面自之得【元○】□為外 　　方積於頭一次立天元一為等 　　數以三之得□為中圓徑以自 　　之得【元○】□為圓徑冪又三之四而一得【元○】□為池積以減頭位得【元○】□為外田積内減了中圓積之數於次位一再立天元等數便為内方面以自之得【元○】丨為内方積却加入次位得下□為如積一叚寄左然後列真積一十一畆五分五釐以畆法通得二千七百七十二步與左相消得□□步下法上實如法而一得一百四十四步再開平方得一十二步為等數也便是内方面也三之為中圓徑五之為外方面　此問更無條叚舊法以十九步二分半除積步得内方冪只是以一步推之也假令内方一步則圓徑三步外方面五步也於外方積二十五步之内減了中圓積六步七分半却加入内方積一步計得十九步二分半也第六十問 　　今有二圓夾一方失却中方水占外有田積一十四畆一分七釐半其方圓相去重重徑等問方圓各幾何答曰内圓徑一十八步　方面五十四步　外圓徑九十步 　　法曰立天元一為等數以五之為外 　　圓徑以自之得【元○】□為外徑冪又三 　　之四而一得□為外田積於頭再立 　　天元等數以三之為中方面又自之得【元○】□為中方冪以減頭位得【元○】□為外圓積内減了中方冪之數於次位又置天元等數便為内圓徑以自之得【元○】丨為内徑冪又三之四而一得【元○】□為内圓積也却加入頭位得【元○】□為如積一叚寄左然後列真積一十四畆一分七釐半以畆法通得三千四百二步與左相消得□□下法上實如法而一得三百二十四步再開平方得一十八步為等數便是内圓徑也副置之三因為中方面五因為外圓徑也　此問與前問意同更無條叚舊法以十步半除積步得内徑冪亦只是以一步推之假令内圓徑一步則是中方面三步外圓徑五步先置外圓積一十八步七分半内減了中方積九步却加内圓積七分半共得一十步半也 　　第六十一問 　　今有方田一叚靠西北隅有圓池水占之外計地九百二十五步只云從外田東南隅至池楞二十五步問面徑各多少 　　答曰外田方面三十五步　内池徑二十步 　　法曰立天元一為内池徑身外加 　　二得□為池東南楞至田西北角 　　也又加斜至步二十五步得□□ 　　為外田斜以自之得□□□為田 　　斜冪於頭再立天元圓徑以自之為冪又以一步四分七釐乗之得【元○】□為所展圓池積以減頭位得□□□為所展如積一叚寄左【初立天元身外加二者以方求斜合加四今求一半故加二也　按加二係以方求半方半斜和之數也】然後列真積九百二十五步就分以一步九分六釐乗之得一千八百一十三步與左相消得□□□平方開得二十步為池徑也池徑外加二又添入斜至步却身外除四即外方面也 　　依條叚求之展積内減斜至冪為實倍至步身外加二為從三釐虚常法減從開平方 　　義曰於一方外虚了四分七釐 　　從上帶了四分外虚七釐又於 　　從上乗起四釐外猶虚三釐故 　　以三釐為常法此圖内二分合 　　畫作極細形状與四分七釐外圓邉正自相應今不應者但二分差濶耳所以畫作差濶之状者正欲易辯二分之數也 　　按原圖式有附斜至冪外磬折形無附池徑冪外磬折形且二形相離皆本之誤也故義中所論亦不知其何指今訂補此圖二分不必加濶未嘗不易辨也 　　第六十二問 　　今有方田二叚靠西北隅有方池結角占外計地四畆一十五步只云從田東南隅斜至水方面一十九步問内外面各多少 　　答曰外方面四十步　内方面二十五步 　　法曰立天元一為池方面身外加 　　四八又加入斜至步一十九步得 　　□□為外田斜也【先将池斜變為方故加四後又】 　　【将池方變為斜復合加四兩度加四於一步上合得一步九分六釐今求一半故身外止加四八也　按方一步求斜身外加四又以斜為方求斜再身外加四是原方求再斜為身外加九六今求半方半再斜之和數故加四八也】以自之得□□□為外田斜冪於上再立天元一為池方面以自之又以四十九乗之如二十五而一得【元○】□為展起方池積以減上得□□□為所展如積一叚寄左然後列真積四畆一十五步以畆法通内得九百七十五步又隨分以一步九分六釐乗之得一千九百一十一步與左相消得□□□平方開得二十五步為内池方面也於此方面上兩次求斜合得一步九分六釐以除元方一步外有九分六釐半之則得四分八釐故此方面上加四八更加入斜至步為大方斜也 　　以條叚求之展積内減至步冪為實二之至步以一步四分八釐乗之為從二分三釐四絲為常法 　　義曰此一問其展起積時 　　於一池之外虚了九分六 　　釐却於一箇從步内加四 　　分八釐二箇從步計加了 　　九分六釐恰就了所展虗 　　數除外有一叚四分自乗數該一分六釐於上又有兩叚四分乗八釐數【按附自乗方外】該六釐四毫於次又有一叚八釐自乗數【按小方隅】該六毫四絲於下三位併得二分三釐四絲此數係是於展積内實有之數故以常法也 　　舊術以四十九乗田積如二十五而一于頭位以至水步自乗減頭位為實餘與條叚同 　　按原圖式四分八釐方内按分釐數細分之因其數甚微又以分數釐數作等數分之終不免混淆今以亷隅線易之 　　第六十三問 　　今有大圓田一叚大小方田二叚其小方田内有圓池水占之外共計積六萬一千三百步只云小方田面至池楞三十步大方田面多於小方田面五十步其圓田徑又多於大方田面五十步問四事各多少答曰小方田面一百步　池徑四十步　大方田 　　面一百五十步　圓田徑二百步 　　法曰立天元一為内池徑加二之至 　　水六十步為小方面於小方面上又 　　加入大小方面差五十步即大方面 　　也於大方面上又加入大圓徑大方 　　面差五十步即大圓徑也具圖於左 　　一内圓徑【太○】丨　一小方面□丨 　　一大方面□丨　一大圓徑□丨 　　乃先置天元内圓徑以自之义三之 　　得【元○】□為四叚圓池積於上又置小方面□丨以自之得□□丨為小方積以四之得下式□□□為四叚小方積於次又置大方面以自之得□□丨為大方積四之得□□□為四叚大方積於下又置大圓徑下式□丨以自之得□□丨為大圓徑冪以三之得下式□□□為四叚大圓積於下位之次併下三位得下式□□□於右以四池積【元○】□減於右得□□□為如積四叚寄左然後列真積六萬一千三百步就分四之得二十四萬五千二百步與左相消得□□□平方開之得四十步為内池徑也各加差步即各得方面與圓徑也 　　依條叚求之四之田積於頭位内減三叚【按落大圓徑三字】多池徑冪又減四叚大方面多池徑冪又減十六叚至水步冪為實六之圓田多池徑步又八之大方田面多池徑步又十六之至水步三位併之得二千三百二十步為從法亷常置八步開平方 　　義曰三叚圓徑冪乃四箇圓田積此數内有三箇方也其四叚大方田積内有四箇方也其四叚小方積毎箇圓池外餘二分半四池計餘一步方也三位上併帶八步方 　　第六十四問 　　今有方田一叚中心有環池水占之外計地四十七畆二百一十七步只云共環水内周不及外周七十二步又從田四角至水各五十步半問内外周及田方方各多少 　　答曰外周一百八十步　内周一百八步　田方 　　一百一十五步 　　法曰立天元一為池内徑 　　先以六除内外周差七十 　　二步得一十二步為水徑 　　倍之得二十四步加入天 　　元池内徑得□丨為池外徑又加倍至步一百一步得下式□丨為外田斜以自之得□□丨為田斜冪於頭位再立天元池内徑加入二之水徑得□丨為池外徑以自之得□□丨為外徑冪又以一步四分七釐乗之得下式□□□步為展起底外圓積於次上再立天元一池内徑以自之【元○】丨亦以一步四分七 　　釐乗之得【元○】□　　　　　　　　　　　【步】為展起底内圓積以減次上得□步□○為所展底池積也以此池積減頭位得下式□步□丨為展起如積一叚寄左然後列真積四十七畆二百一十七步以畆法通納之得一萬一千四百九十七步又就分以一步九分六釐乗之得二萬二千五百三十四步一分二釐與左相消得下式□步□丨開平方得三十六步即池内徑也三之為内周又加差為外周置内徑加二之水徑又加倍至步為外方斜也置外方斜身外去四即外田方面也依條叚求之以一步九分六釐乗田積於頭位以水徑加至步以自之為冪又四之以減頭位又倍水徑自乗又以一步四分七釐乗之却加入頭位為實又水徑加至步四之於頭位又三之水徑以一步九分六釐乗之減頭位為從一步常法此問圖式有三第一式即所畵原様是也以一步九分六釐乗之變為斜冪其式如後 　　右第二式也黒者為元問 　　㸃者盡是展數恐糢糊難 　　辯再具加減圖式於下更 　　不見舊式也 　　右第三式也其圓環以條 　　叚命之只是一箇方環内 　　取四分之三也却加入三 　　叚展起底水徑冪外只有 　　三叚展起底水徑乗内圓徑直田積也此係展環之虚數也今以至步並水徑共為從故於内却除去水徑之虚步也必湏以一步九分六釐乗水徑而去從者縁二停虚環並是展起之積故減從時将水徑亦展起而減之也【按展水徑展内圓徑皆於原數身外加四今以内圓徑為不動則水徑必兩度加四故以一步九分六釐乗之也】 　　益古演段卷下