欽定四庫全書　　　　　子部六 　　測圓海鏡　　　　　　　天文算法類二【算書之屬】提要 　　【臣】等謹案測圓海鏡十二卷元李冶撰冶字鏡齋欒城人金末登進士入元官翰林學士事蹟具元史本傳其書以勾股容圓為題自圓心圓外縱横取之得大小十五形皆無竒零次列識别雜記數百條以窮其理次設問一百七十則以盡其用探賾索隱參伍錯綜雖習其法者不能驟解而其草多言立天元一按立天元一法見扵宋秦九韶九章大衍術中厥後授時草及四元玉鑑等書皆屢見之而此書言之獨詳其法關乎數學者甚大然自元以來疇人皆株守立成習而不察至遂無知其法者故唐順之與頋應祥書稱立天元一漫不省為何語頋應祥演是書為分類釋術其自序亦云立天元一無下手之術則是書雖存而其傳已泯矣明萬厯中利瑪竇與徐光啟李之等譯為同文算指諸書扵古九章皆有辨訂獨於立天元一法闕而不言徐光啟扵勾股義序中引此書又謂欲説其義而未遑是此書已為利瑪竇所見而猶未得其解也迨我 　　國朝醲化翔洽梯航鱗萃歐邏巴人始以借根方法進 　　呈 　　聖祖仁皇帝授 　　蒙養齋諸臣習之梅㲄成乃悟即古立天元一法扵赤水遺珍中詳解之且載西名阿爾熱巴拉【案原本作阿爾熱巴逹謹據西洋借根法改正】即華言東來法知即冶之遺書流入西域又轉而還入中原也今用以勘騐西法一一脗合瑴成所説信而有徴特錄存之以為算法之秘鑰且以見中法西法互發益明無容設畛域之見焉乾隆四十六年二月恭校上 　　總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅 　　總　校　官　【臣】　陸　費　墀 　　原序 　　數本難窮吾欲以力强窮之彼其數不惟不能得其凡而吾之力且憊矣然則數果不可以窮耶既已名之數矣則又何為而不可窮也故謂數為難窮斯可謂數為不可窮斯不可何則彼其冥冥之中固有昭昭者存夫昭昭者其自然之數也非自然之數其自然之理也數一出於自然吾欲以力强窮之使隸首復生亦末如之何也已苟能推自然之理以明自然之數則雖逺而乾端坤倪幽而神情鬼状未有不合者矣予自幼喜算數恒病夫考圓之術例出於牽强殊乖于自然如古率徽率密率之不同截弧截矢截背之互見内外諸角析剖支條莫不各自名家與世作法及反覆研究卒無以當吾心焉老大以來得洞淵九容之說日夕玩繹而向之病我者使爆然落去而無遺餘山中多暇客有從余求其說者於是乎又為衍之遂累一百七十問既成編客復目之測圓海鏡蓋取夫天臨海鏡之義也昔半山老人集唐百家詩選自謂廢日力于此良可惜明道先生以上蔡謝君記誦為玩物喪志夫文史尚矣猶之為不足貴況九九賤技能乎嗜好酸鹹平生每痛自戒勅竟莫能已類有物慿之者吾亦不知其然而然也故嘗私為之解曰由技兼于事者言之夷之禮夔之樂亦不免為一技由技進乎道者言之石之斤扁之輪非聖人之所與乎覽吾之編察吾苦心其憫我者當百數其笑我者當千數乃若吾之所自得則自得焉耳寧復為人憫笑計哉李冶序 　　總率名號 　　天之地為通　　天之乾為通股 　　乾之地為通勾 　　天之川為邊　　天之西為邊股 　　西之川為邊勾 　　日之地為底　　日之北為底股 　　北之地為底勾 　　天之山為黄廣　天之金為股 　　金之山為勾 　　月之地為黄長　月之泉為股 　　泉之地為勾 　　天之日為上髙　天之旦為股 　　旦之日為勾 　　日之山為下髙　日之朱為股 　　朱之山為勾 　　月之川為上平　月之青為股 　　青之川為勾 　　川之地為下平　川之夕為股 　　夕之地為勾 　　天之月為大差　天之坤為股 　　坤之月為勾 　　山之地為小差　山之艮為股 　　艮之地為勾 　　日之川為皇極　日之心為股 　　心之川為勾 　　月之山為太虚　月之水為股 　　水之山為勾 　　日之月為明　　日之南為股 　　南之月為勾 　　山之川為□　　山之東為股 　　東之川為勾 　　今問正數 　　通六百八十　勾三百二十　股六百 　　勾股和九百二十較二百八十 　　勾和一千較三百六十 　　股和一千二百八十較八十 　　較和九百六十較四百 　　和和一千六百較二百四十 　　邊五百四十四　勾二百五十六　股四百八十勾股和七百三十六較二百二十四 　　勾和八百較二百八十八 　　股和一千零二十四較六十四 　　較和七百六十八較三百二十 　　和和一千二百八十較一百九十二 　　底四百二十五　勾二百　股三百七十五勾股和五百七十五較一百七十五 　　勾和六百二十五較二百二十五 　　股和八百較五十 　　較和六百較二百五十 　　和和一千較一百五十 　　黄廣五百一十　勾二百四十【即城徑也】　股四百五十 　　勾股和六百九十較二百一十 　　勾和七百五十較二百七十 　　股和九百六十較六十 　　較和七百二十較三百 　　和和一千二百較一百八十 　　黄長二百七十二　勾一百二十八　股二百四十【即城徑也】 　　勾股和三百六十八較一百一十二 　　勾和四百較一百四十四 　　股和五百一十二較三十二 　　較和三百八十四較一百六十 　　和和六百四十較九十六 　　髙二百五十五【上下同】　勾一百二十【即半徑】　股二百二十五 　　勾股和三百四十五較一百零五 　　勾和三百七十五較一百三十五 　　股和四百八十較三十 　　較和三百六十較一百五十 　　和和六百較九十 　　平一百三十六【上下同】　勾六十四　股一百二十【即半徑也】 　　勾股和一百八十四較五十六 　　勾和二百較七十二 　　股和二百五十六較十六 　　較和一百九十二較八十 　　和和三百二十較四十八 　　大差四百零八　勾一百九十二　股三百六十勾股和五百五十二較一百六十八 　　勾和六百較二百一十六 　　股和七百六十八較四十八 　　較和五百七十六較二百四十 　　和和九百六十較一百四十四 　　小差一百七十　勾八十　股一百五十 　　勾股和二百三十較七十 　　勾和二百五十較九十 　　股和三百二十較二十 　　較和二百四十較一百 　　和和四百較六十 　　皇極二百八十九　勾一百三十六　股二百五十五 　　勾股和三百九十一較一百一十九 　　勾和四百二十五較一百五十三 　　股和五百四十四較三十四 　　較和四百零八較一百七十 　　和和六百八十較一百零二 　　太虚一百零二　勾四十八　股九十 　　勾股和一百三十八較四十二 　　勾和一百五十較五十四 　　股和一百九十二較一十二 　　較和一百四十四較六十 　　和和二百四十較三十六 　　明一百五十三　勾七十二　股一百三十五勾股和二百零七較六十三 　　勾和二百二十五較八十一 　　股和二百八十八較一十八 　　較和二百一十六較九十 　　和和三百六十較五十四 　　□三十四　勾十六　股三十 　　勾股和四十六較一十四 　　勾和五十較一十八 　　股和六十四較四 　　較和四十八較二十 　　和和八十較十二 　　識别雜記 　　天之于日與日之於心同心之于川與川之于地同日之于心與日之于山同故以山之川為小差　川之于心與川之于月同故以月之日為大差 　　明勾□股相得名為内率求虚積　明股□勾相得名為外率求虛積　虛勾虚股相得名為虚率求虚積 　　凡勾股和即黄和　凡大差即股黄較　凡小差即勾黄較 　　髙股平勾差名角差【又】名逺差此數即髙平二差共也又為明和□和較也【又】為通差内去極差【又】為極差虚差共　明□二差共名次差【又】名近差【又】名戾【音列】和此數【又】為明大差□小差較也　勾圓差之股股圓差之勾相併名混同和此數【又】為一徑一虛共也　明□二差較名傍差此數又為髙平二差較【又】為極雙差内減虚和【又】為極和内減城徑也　虚差不及傍差名蓌差此數又為大差差内去角差【又】為極差内去二之平差【又】為次差内去小差差【又】為明股□勾共内去二之明勾也　虚差傍差共為蓌和【蓌音剉】 　　凡大差股小差勾相乘為半段徑冪　大差勾小差股相乘亦同上　虚勾乗大股得半段徑冪　虚股乘大勾亦同上　邊股□股相乘得半徑冪明勾底勾相乘亦同上　黄廣股黄長勾相乗得徑冪　髙股平勾相乗得半徑冪　明明股併與□□勾併相乘得半徑冪　明明勾併與□□股併相乘亦同上　髙平相乘為一段皇極積　明勾□股相乘倍之為一段太虚積明股□勾相乘亦同 　　右諸雜名目 　　通上勾股和即一城徑一通也其較即勾圓差之勾股圓差之股相較也　勾和即二勾一大差其較則大差也　股和即二股一小差其較則小差也　較和為一徑三差共其較則大勾小差共也　三事和即邊三事和上帶大勾也【又】為底三事和上帶大股也其較則城徑也 　　邊上勾股和為通股平共其較則大差股内去平也　勾和即通股底勾共其較則明股明共也　股和即通股通和内少个邊勾也其較則平勾也　較和為大差上股和其較則大勾也　三事和即通上股和【又】為黄廣三事和上帶勾圓差也其較則大差勾也【又】為平上較和【又】為太虛上股和也 　　底上勾股和為通勾髙共其較則髙内去小差勾也　勾和為通上較較與髙股共其較則髙股也　股和為半个通上三事和其較則□上勾和也　較和為大差上勾和也其較則小差上勾和也　三事和即通上勾和【又】為黄長三事和上帶股圓差其較則小差股也【又】為髙上較較【又】為太虚上勾和 　　黄廣上勾股和為大股虚股共【又】為通勾通股共内少个小差上勾股和其較則兩个髙差也　勾和為二髙一圓徑共其較則二明股也　股和為通上較和其較則二□股也　較和即兩个大差股也其較即兩个小差股也　三事和兩大股也其較則兩虚股也 　　黄長上勾股和為大勾虚勾共【又】為通和内少个大差上勾股和也其較則兩个平差也　勾和為通上較較其較則兩个明勾也　股和為二圓徑二□勾其較則二□勾也　較和為兩个大差勾也其較則兩个小差勾也　三事和為兩大勾其較則兩虚勾也 　　髙上勾股和為髙虚股共【又】為一徑及髙勾髙股差也其較則底内減大勾也【又】為邊股内減底股也　勾共則底股其較則明股也　股共即邊股其差則□股也　較共則大差股其較則小差股也　三事和即大股其較則虚股也【又】為小差上勾較【又】為明上較較 　　平上勾股共即平虚勾共也其較則大股内減邊也　勾共即底勾其差則明勾也　股共即邊勾其較則□勾也　較共即大差勾其較則小差勾也　三事和即大勾其較則虚勾也【又】為大差上股較【又】為□上較和 　　大差上勾股和即大股内去虚勾其差則大差内去圓徑也　勾共即大股其差則大差股内去二之明勾也　股和為大股上加个大中差也【按大中差乃明股和與半徑之較】其較則虚勾也　較和為兩个邊上勾較其較即城徑也　三事和即大股與股圓差共【又】為大大較共【又】為二邊股其較則太虚上較和也 　　小差上勾股和即大勾内去虚股也其較則圓徑内去小差也　勾和為大勾上減个小中差也【按小中差乃□勾和與半徑之較】其較則虚股也　股共即大勾其較則小差勾内去兩个□股也　較和為圓徑其較則為兩个底上股較【又】為兩个□上勾和也　三事和即大勾與勾圓差共也又為大大較較【按即通又上較較】為二底勾其較則太虚上較較也 　　皇極勾股和即髙平共其較則明股内去□勾也　勾共即底其較則明也　股共則邊其較則□也　較和為髙明共【又】為大股内減大差勾【又】為大差其較則小差也　三事和即通其較則太虛也【又】為明勾□股共【又】為髙内減明【又】為平内減□【又】為大差勾上減虚股【又】為小差股上減虚勾也 　　太虚勾股和即圓徑内減虚【又】為虚虚黄方共【又】為皇極内去明股□勾共其差則大差勾内減个小差股也　勾共即小差股也其較則虚股内減个小黄方也　股共即大差勾其較則虚勾内減个小黄方也　較和為大差上和較【又】黄長上勾較【又】為兩个明勾其較小差上黄方面也　三事和即大黄方其較則為兩个明上股較【又】為□上兩个勾較【又】為明上小差與□上大差共也 　　明勾股和即大差股内減明其較則明内減虚股也　勾併即髙股其較則髙股内少二之明勾也　股和即邊股内減大差勾【又】為邊勾邊差其較則半个虚黄方也　較和即大差上勾較其較則虚股也　三事和即股圓差其較則太虚上勾較【又】為虚股内減虛黄方也 　　□上勾股和即小差内減□其較則虚勾内減□也　勾和即底勾内減小差股【又】為底股底差其較則半个虚黄方也　股和即平勾其較則平勾内少二个□股也　較和即虛勾其較則小差上股較也　三事和即勾圓差其較則太虚上股較【又】為虚勾内減虚黄方也 　　前黄廣勾股下　其勾股較【又】為大差股上少个小差股【又】為中差【按中差係通勾股較】内少个小差較【又】為黄廣股内少一徑　勾共【又】為兩个底股【又】為大股與小差股共　股和【又】為大中差共【又】為兩个邊股　股差【又】為小差上黄方面 　　前黄長勾股下　其勾股較【又】為大差勾上少个小差勾也【又】為圓徑内少个黄長勾　勾共【又】為兩个底勾【又】為大勾與小差勾共　勾較【又】為大差上黄方靣　股共【又】為兩个邊勾 　　右五和五較 　　大為大勾與股圓差共【又】為大股與勾圓差共邊乃邊股平勾共【又】為大股内減平上勾股較　底乃底勾髙股共【又】為大勾内加一个髙差　黄廣為大股内減虚股【又】為邊股□股共黄長乃大勾内減虚勾【又】為底勾明勾共 　　髙乃大差内減明【又】為明虚共　平乃小差内減□【又】為□虚共　大差乃大股内減大差勾【又】為髙明共【又】大内去黄長　小差為大勾内減小差股【又】為平□共【又】為大内去黄廣　極乃髙股平勾共【又】為平明共【又】為髙□共【又】為大差内減髙平二較【又】為小差内加髙平二較　虚乃皇極黄方靣【又】為明勾□股共【又】為髙内減明【又】為平内減□　明乃髙内減虚　□乃平内減虚 　　黄廣黄長相併為大虚共也以此數減于大和餘即虚和　若以二相減餘即虚平共也【按虚平共此題數偶合當云二極差】　黄廣【又】為大差虚共　黄長【又】為小差虚共　以黄長減于大勾餘即虚勾　以黄廣減于大股餘即虚股 　　邊底相併為大皇極共也于此併數内減大和餘為皇極内減圓徑也　若以二相減餘即皇極差也此數同者最多故【又】為皇極内少个小差【又】為髙平較【又】為明股内少□勾【又】為大差内少皇極【又】為次差虚差共也邊【又】為皇極股共【又】為黄廣□共 　　底【又】為皇極勾共【又】為黄長明共也以邊減大股餘為半徑内減平勾【又】為平内減小差勾也　底内減大勾餘為髙股内減半徑【又】為大差股内減髙也 　　黄廣内減邊股即□股　黄長内減底勾即明勾也 　　髙髙股共即邊股　平平勾共即底勾　髙髙勾共即底股　平平股共即邊勾 　　上髙減于通股餘即邊股内減□股也　下平減于通勾餘即邊勾内減明勾也　髙平相併即大内少个皇極也若以相併數減於大和餘為皇極圓徑共也　髙平相減餘即皇極差也【又】為皇極上減小差也若以相減數却加于相併數即黄廣也 　　髙内減明股得半徑　平内減□勾亦同上皇極勾上加明為皇極　皇極股上加□亦同上 　　皇極　得極勾即底　得極股即邊　内去極勾即明　去極股即□　減于通即極和　得虚亦同上　内去虚即明□共去虚黄即明和□和共也　去城徑即傍差 　　内加極差即大差　去極差即小差　加角差即兩个髙股　減角差即二平勾 　　太虛　加入極為極和　極内去之即明□二共　再去之則明大差□小差併也　加于大差即黄廣　加于小差即黄長　内去明勾則□勾　加明勾為圓徑内少虛黄□股共　加入明股為明和□股共　減于明股即明較内去□股　加入明為極股　減于明為明大差□小差内少个□　加于明和即兩个虚一个髙差共也　減于明和即髙差也　内去□勾即明勾□較共【又】為□股平差共　加于□勾即□和明勾共　加于□股為二虚内少明勾【又】為圓徑内少虚黄明勾共　内減□股即明勾　内加□即極勾　減于□為明勾内少个□小差　加入□和即兩个虚内少个平差也　内減□和即平差也　加入明□二和共即極和内少个虚黄也　若減於明□二和共即明股□勾共也　減于髙即明減于平即□加于角差即二明勾一極差也　減于角差即一極差二□股較也　得傍差即明股□勾共内減傍差即太虚三事和内去了極雙差也【按雙】 　　【差係勾差股差】　内加虚差即二明勾　内減虚差即二□股　内加虚黄方即虚和　内減虚黄方即太虚大小差併也 　　右諸 　　大差小差共即兩个極也以兩个極差為之較　大差差小差差共即兩个極差也以兩个傍差為之較　大差上大差小差上大差共即兩个明也以兩个明差為之較　大差上小差小差上小差共即兩个□也以兩个□差為之較大差黄【按即二明勾】小差黄【按即二□股】數共即兩个極黄【按即二虚】也以兩个虚差為之較　大差勾小差勾共即兩个極勾也以兩个平差為之較　大差股小差股共即兩个極股也以兩个髙差為之較二和共為二極和以二角差為之較 　　大差上較較即圓徑　小差上較和亦同上大差上小差即虚勾　小差上大差即虚股也大差與明勾共即邊股　小差與□股共即底勾也　大差内減中差即黄長勾【按勾應作股】小差内加中差即黄廣股也【按股應作勾】大股内減小差股即黄廣股　大勾内減大差勾即黄長勾也虚得虛股即大差勾　虚得虚勾即小差 　　股也　明段較和即大差上勾較　明段較較即小差上勾較也　□段較和即大差上股較　□段較較即小差上股較也大差勾内減虚餘即虚股　小差股内減虚餘即虚勾也　以大差和減大股即虚勾　以小差和減大勾即虚股也　以大差差減圓徑即明勾此差若多於圓徑則内減圓徑餘即虚勾也【按此條因題數偶合而誤若勾股差甚大甚小者皆不能合】　以小差差減圓徑即小差也　大差上加一徑即大股上加虚勾也　小差上加一徑即大勾上加虚股也大差股内減髙餘即髙股内減半徑　平内減小差勾餘即半徑内減平勾也　大差内減虚差即二明差　小差内減虚差即二□差也 　　大内減大差股小差勾共即圓徑　三事和内減二之大差股小差勾共即三个圓徑也 　　大差勾小差股相併名混同即一圓徑一虚也若以相減即虚差也 　　大差和小差和二數相併即大虚共也　二數相減即中差虚差共也【又】半之併數即為極虚共也【又】為髙平共【又】為皇極勾股共也 　　大差差小差差二數相併即兩个皇極差【又】為大差内減小差也　二數相減而半之即是皇極上減圓徑也【即傍差】 　　右大小差 　　大差差小差差虚差共為一个通差　髙平極三差共亦同上　明□虚三差共為一个極差也　諸黄方面亦倣此 　　邊黄内減底黄即虚差　黄廣黄内減黄長黄即二虚差　髙黄内減平黄即虚差蓋髙黄即虚股平黄即虚勾也　大差黄内減小差黄即二虚差蓋大差黄即二明勾小差黄即二□股也　明黄内減□黄餘即虚差　□上三差合成一个虚黄方 　　髙差内減平差為傍差　邊差内減底差亦同上明差内減□差亦同上　大差差内減小差差為二旁差　黄廣差内減黄長差亦同上 　　極雙差即明□二共　内加虚雙差即明□二和共　内減虚雙差即明雙差□雙差共也　内加旁差即極内少个虚旁差差　内減旁差即虚和也　内加虚差即極内少二□股　内減虚差則極内少二明勾也 　　極差内加旁差為大差差　内減旁差為小差差也内加虚差即角差　内減虚差即次差也　倍 　　極差為大差差小差差共則倍旁差為之較　倍極為大差小差共倍極差為之較　以極差為明差平差共則以蓌差為之較　以極差為髙差□差共則以蓌和為之較　副置蓌和上加蓌差而半之即旁差也　減蓌差而半之則虛差也　極差内減二之平差得蓌差 　　角差内加旁差為二髙差　内減旁差即二平差也内加明□二差併而半之得極差　内減明□ 　　二差而半之則虚差也　内加極差則通差　内減極差則虚差也 　　以虚差減於明和為明□二股共　以虚差加於□和為明□二勾共也　又副置二和共上加次差而半之即明□二股共　減次差而半之即明□二勾共也　明□二股共以髙差為之較　明□二勾共以平差為之較 　　以髙差減明和即虚　以平差加□和亦同上以髙差減髙股即半徑　以平差加平勾亦同上以髙差減大差差即明差　以平差減小差差 　　即□差也　以髙差減大差即髙　以平差加小差即平也　二之平差内去虚差餘即小差差　去二虚差即兩个□差 　　髙股即半徑上股方差　平勾即半徑上勾方差故髙勾平股共為全徑也　黄廣股即全徑上股方差　黄長勾即全徑上勾方差　故黄廣勾黄長股共數為兩个全徑也 　　邊内減底即皇極差　邊股内減底股即髙差【又】為底内減大勾　邊勾内減底勾即平差【又】為大股内減邊也 　　大勾減底餘即半徑為勾之中差也　大股内減邊餘即半徑為股之中差也　邊股底勾相併即大　若以相減即通中差也 　　二髙股一虚差合成一个股圓差　二平勾一虚差合成一个勾圓差【按此二條誤當云二明股一虚股合成一个股圓差　二□勾一虚勾合成一个勾圓差也】 　　明雙差亦為明□二大差其較則明差也　□雙差亦為明□二小差其較則□差也　明雙差内減明差即虚黄　□雙差上加□差亦同上　以明雙差加明和即兩明　以□雙差加□和則兩□也　以明雙差減明和而半之即明黄【又】為虚大差　以□雙差減於□和而半之即□黄【又】為虚小差也　以虚大差減明和即為明　以虚小差減□和即□也　明雙差□雙差相較則次差也　明雙差□雙差相併加於明□二和共則為兩个極雙差　若以減於明□二和共則為兩个虚雙差也　明雙差上加虚雙差即明□二股共　□雙差上加虚雙即明□二勾共也 　　以明□二股共為明□黄共則髙差虚黄共為之較【按明又□黄較】為明大小差虚大小差共則明□二股共内去兩个虚雙差為之較也【按明大小差虚大小差之較】以明□二勾共為□明黄共則以平差虚黄 　　較為之較【又】為□大小差虚大小差共則明□二勾共内減兩个虚大小差為之較也【按虚大小差□大小差之較】 　　明□二和共内減旁差即二虚　虚内加旁差明股□勾共也 　　明和内去平差即明股□勾共　□和上加髙差亦同上也　明和内去髙差即虚　□和上加平差亦同上　明内去髙差即虚勾　□上加平差即虚股也　明股内去□股即髙差　去□勾則極差也　明勾内去□股即虚差　去□勾則平差也 　　明□二股併内減虚即明差　明□二勾併減於虚即□差 　　明□二和共【又】為明□二共與明□二黄共數也其較則明雙差□雙差共數也　其明□二和共數内減旁差即二虚也　若内減虚雙差即明□二共也 　　極得極差為大差大差内減明和則髙内減虚大差也　内減極差則為小差小差内減□和則是平内減虚小差也　又大差内減明和與髙股共餘則為虚勾不及明勾數　小差内減□和與平勾共餘則為□股不及虚股數也 　　右諸差 　　邊勾邊股差【又】為皇極差與髙差共也【又】為邊内去大勾也　邊勾邊共【又】為大勾邊股共　邊勾邊較【又】為大差内減半徑也　邊股邊較【又】為□股和 　　底勾底股差【又】為皇極差平差共【又】為大股内去底【又】為髙股内去底小差　底勾底共為大内少个底股大勾差　底勾底較【又】為明上勾弦和　底股底共與邊勾邊共同　底股底較【又】為底勾内少小差股也 　　邊股内減髙餘則髙股　内減大差餘則明勾内減底即底股内減大勾也【又】為髙内減 　　底勾也 　　底勾内減平餘即平勾　内減小差餘即□股以底勾減於邊餘即大股内減邊勾也【又】為 　　邊股内減平也 　　邊内減底股與底内減邊勾同為皇極内減半徑也 　　皇極勾内減明勾餘即平勾也若減□勾即半徑也倍之則為底勾明勾共　皇極股内減□股餘即髙股也若減明股餘即半徑也倍之則為邊股□股共也 　　明股得虚股即髙股　明勾得虚勾即半徑　□股得虚股即半徑　□勾得虚勾即平勾也　髙内減髙股即□股　平内減平勾即明勾也明内減明差即虚股　□内加□差即虚勾也　髙股即虚明二股共　平勾即虚□二勾共也　明明勾併數與髙股同　□□股併數與平勾同也 　　明股□勾相倂減於極即虚和【又】為極黄虚黄共數也 　　明□二併　内減□雙差即明□二股併　内減明雙差即明□二勾併　内加虚即極　内減虚即明大差□小差併也 　　以明和為明明黄共則明雙差為之較　以□和為□□黄共則□雙差為之較也　明和【又】為髙差虚共【又】為極差與明□二勾共數　□和【又】為平差少於虚數【又】為極差少於明□二股數 　　半之三事和内加半黄方即勾股共　若減之則也　半圓徑内加半虚黄即虚和　減半虚黄即虚也【又】以半虚黄加明和即髙股以半虚黄加□和即平勾也　加明股則明　加□股則□也　減明勾則明黄　減□股則□黄也　以虚黄加明黄則為虚股　以加□黄則虚勾也 　　右諸率見 　　髙□共為極其差即虚極差共也　髙股□股共為髙其差即虚股髙差共也　髙勾□勾共為平其差即半徑内減□勾也　髙和□和共為極和其差即極和内少二□和也　髙差□差共為極差其差即虚差旁差共也　髙黄□黄共為虚其差即□黄不及虚股數也【髙黄即虚股】髙大差□大差共即明其差即半虚黄不及明股數也此髙大差即明股此□大差即半虚黄也髙小差【即□股】□小差共即□其差即□小差 　　不及□股數也　明平二共亦為極其較即虚不及極差數也　明平二股共亦為髙其較即明股内減半徑也　明平二勾共亦為平其較即平差内去虚勾也　明平二和共亦為極和其較即極和内少二之平和也　明平二差共亦為極差其較即虚差不及旁差數也　明平二黄共亦為虚其較則虚勾【按虚勾即平黄】不及明黄數也　明平二大差共亦為明其較即明勾不及明大差數【平大差即明勾】　明平二小差共亦為□其較則□勾不及半虚黄數也此明小差即半虚黄此平小差即□勾 　　右四位相套 　　邊　自減其股為平勾　自減其勾為明股明併　減於通餘平　減於通股餘平差　内減通勾餘邊差　内減底餘極差　内減底股為半徑旁差共【又】為極内少半徑　内減底勾即大股内去邊勾也　内減黄廣餘□　内減黄廣股即小差股内去平差　内減黄廣勾即大差股内去平差　内減黄長【又】得黄長【按此條誤】　内減黄長股與内減黄廣勾同　内減黄長勾即大股内去極勾虚勾共　内減皇極餘髙 　　底　自減其股為□勾□併　自減其勾為髙股　減於通餘髙　減於通股餘底差　内減通勾餘髙差　減於邊餘極差　減於邊股即底差内去半徑　内減邊勾即髙差平勾共減於黄廣餘為明大差□小差併【按此條亦係數偶合】減於黄廣股即底差内去小差股　内減黄廣勾即一个明一个黄長股較　内減去黄長餘明　内減黄長股與内減黄廣勾同　内減黄長勾餘為髙股明勾共　内減極為平減於邊股【又】為底股内去大勾 　　髙差平差共【又】為平勾髙股差　以半徑減髙股即髙差　半徑内減平勾即平差　明勾内減□勾與平差同　明股内減□股與髙差同　股圓差内減極股即髙差也　勾圓差減於極勾即平差正股内去邊即平差也　底内去正勾即 　　髙差也　大差勾内去極勾即平差也　極股内去小差股即髙差也　極差内去□差即髙差也内去明差即平差也 　　旁差即城徑極較也【又】為明差□差較【又】為髙差平差較　極差得之為大差差也去之則為小差差也 　　又髙差平差下　明和内去虚即髙差　虚内去□和即平差 　　大差内加虚差即黄廣股　小差股内減虚差即黄長勾 　　通差内去髙差即底差　内去平差即邊差也虚大差得二虚勾即勾圓差之股　虚小差得二虚股即股圓差之勾也 　　明股較與勾共即虚股也　□勾較與股共即虚勾也 　　半虚黄　□勾得之即□也減於此數即虚黄内去□也　□股得之虚勾也去之即□黄方也□得之即平勾内去□黄也去之則□勾也明勾内得之即虚股也去之則明黄方也　明 　　股得之即明也去之則明内去个虚黄方也明得之即髙股内去明黄也去之則明股也右拾遺 　　按識别雜記約五百條皆隨時録其所得未經審定者故難易淺深不拘先後要皆精思妙義足以開示數理之蘊奥者徐光啟亟新法而於勾股義中獨推是書其必有所見矣 　　測圓海鏡卷一 　　欽定四庫全書 　　測圓海鏡卷二 　　元　李冶　撰 　　正率一十四問 　　假令有圓城一所不知周徑四面開門門外縱横各有十字大道其西北十字道頭定為乾地其東北十字道頭定為艮地其東南十字道頭定為㢲地其西南十字道頭定為坤地所有測望雜法一一設問如後 　　或問甲乙二人俱在乾地乙東行三百二十步而立甲南行六百步望見乙問徑幾里 　　答曰城徑二百四十步 　　法曰此為勾股容圓也以勾股相乗倍之為實併勾股冪以求復加入勾股共以為法 　　草曰置甲南行六百步在地以乙東行三百二十步乘之得一十九萬二千步倍之得三十八萬四千步為實以乙東行步自之得一十萬零二千四百步為勾冪以甲南行步自之得三十六萬步為股冪二冪相併得四十六萬二千四百步為方實以平方開之得六百八十步則也以加勾股共共得一千六百步以為法如法而一得二百四十步則城徑也合問 　　或問甲乙二人俱在西門乙東行二百五十六步甲南行四百八十步望見乙問答同前 　　法曰此為勾上容圓也以勾股相乘倍之為實併勾股冪以求加入股以為法 　　草曰置甲南行四百八十步在地以乙東行二百五十六步乘之得一十二萬二千八百八十步倍之得二十四萬五千七百六十步為實以乙東行步自之得六萬五千五百三十六步為勾冪以甲南行步自之得二十三萬零四百步為股冪勾股冪相併得二十九萬五千九百三十六步為方實以平方開之得五百四十四步為也以加入南行步共得一千零二十四步以為法而一得二百四十步則城徑合問 　　或問甲乙二人俱在北門乙東行二百步而止甲南行三百七十五步望見乙問答同前 　　法曰此為股上容圓也以勾股相乘倍之為實以勾股冪求加入勾以為法 　　草曰置甲南行三百七十五步以乙東行二百步乘之得七萬五千步倍之得一十五萬步為實以乙東行自之得四萬步為勾冪以甲南行自之得一十四萬零六百二十五步為股冪勾股冪相併得一十八萬零六百二十五步為方實如平方而一得四百二十五步則也加入乙東行二百步共得六百二十五步以為法以法除之得二百四十步則城徑也合問 　　或問甲乙二人俱在圓城中心而立乙穿城向東行一百三十六步而止甲穿城南行二百五十五步望見乙問答同前 　　法曰此為勾股上容圓也以勾股相乘倍之為實併勾股冪如法求以為法 　　草曰以二行步相乘得三萬四千六百八十步倍之得六萬九千三百六十步為實置乙東行自之得一萬八千四百九十六步為勾冪又以甲南行自之得六萬五千零二十五步為股冪二冪相併得八萬三千五百二十一步為方實以平方開之得二百八十九步即也便以為法如法除實得二百四十步即圓城之徑也合問 　　或問甲乙二人同立於乾地乙東行一百八十步遇塔而止甲南行三百六十步回望其塔正居城徑之半問答同前 　　法曰此為上容圓也以勾股相乘倍之為實以勾股和為法 　　草曰以二行步相乘得六萬四千八百步倍之得一十二萬九千六百步為實併二行步得五百四十步以為法除實得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲乙二人俱在坤地乙東行一百九十二步而止甲南行三百六十步望乙與城㕘相直問答同前法曰此為勾外容圓也以勾股相乘倍之為實以較和為法 　　草曰以二行步相乘得六萬九千一百二十步倍之得一十三萬八千二百四十步為實置乙東行自之得三萬六千八百六十四步為勾冪又置甲南行自之得一十二萬九千六百步為股冪二冪相併得一十六萬六千四百六十四步為方實以平方開之得四百零八即也又置甲南行步内減乙東行步餘一百六十八步即較也以較加共得五百七十六步以為法實如法而一得二百四十步為城徑也合問 　　按此題用勾股求得即可加減得較較為城徑今必以勾股相乘倍積為實求得加減得較和為法而後始得較較為城徑者蓋欲因此並明勾股相乘之倍積為較較較和相乘之積非故為紆廻也 　　或問甲乙二人同立於艮地甲南行一百五十步而止乙東行八十步望乙與城㕘相直問答同前 　　法曰此為股外容圓也以勾股相乘倍之為實以較較為法 　　草曰二行步相乘得一萬二千倍之得二萬四千步為實以甲南行自之得二萬二千五百步為股冪又以乙東行步自之得六千四百步為勾冪勾股冪相併得二萬八千九百步為方實以平方開之得一百七十步即也以二行步相減餘七十步為勾股較也以此較又減餘一百步即較較也便以為法實如法而一得二百四十步即城徑也合問按此題係較和為城徑其用法實以較取和之意與上題同 　　或問甲乙二人同立於㢲地乙西行四十八步而止甲北行九十步望乙與城㕘相直問答同前 　　法曰此為外容圓也勾股相乘倍之為實以和較為法 　　草曰以二行步相乘得四千三百二十步倍之得八千六百四十步為實以甲北行自之得八千一百步為股冪又以乙西行自之得二千三百零四步為勾冪併二冪得一萬零四百零四步為方實以平方開之得一百零二步為也又併二行步得一百三十八步為和以減和餘三十六步得黄方以為法實如法而一得二百四十步即城徑也合問 　　按此題和和即城徑其以勾股相乘倍積為實黄方為法者亦以明和和黄方相乘之積與勾股相乘之倍積為相等也 　　或問甲乙二人俱在南門乙東行七十二步而止甲南行一百三十五步望乙與城㕘相直問答同前法曰此為勾外容圓半也以勾股相乘倍之為實以大差為法 　　草曰以二行步相乘得九千七百二十步倍之得一萬九千四百四十步為實又以乙東行自之得五千一百八十四步為勾冪又以南行自之得一萬八千二百二十五步為股冪二冪相併得二萬三千四百零九步為方實以平方開之得一百五十三步即也以乙東行七十二步為勾以減餘八十一步即勾差也便以為法實如法而一得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲乙二人俱在東門甲南行三十步而止乙東行一十六步回望甲與城㕘相直問答同前 　　法曰此為股外容圓半也以勾股相乘倍之為實以小差為法 　　草曰以二行步相乘得四百八十步倍之得九百六十步為實又以乙東行自之得二百五十六步為勾冪又以甲南行自之得九百步為股冪二冪相併得一千一百五十六步為方實以平方開之得三十四步即也以甲南行三十步為股以減餘四步以為法以法除實得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲出西門南行四百八十步而止乙出東門南行三十步望見甲問答同前 　　法曰此為半矮梯也以二行步相乘為實如平方而一得半徑 　　草曰以二行步相乘得一萬四千四百步為實以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　又問甲乙二人乙出南門折而東行七十二步而止甲出北門折而東行二百望見乙問答同前 　　法曰以二行步相乘得數四之為實如平方而一得城徑 　　草曰二行步相乘得一萬四千四百步又四之得五萬七千六百步為實以平方開之得二百四十步即城徑也合問 　　又假令乙出南門折東行二十步甲出北門折東行七百二十步如此之類亦同上法【以上三問是以半矮梯求之】按右三題通為一問 　　或問甲乙二人乙在艮地東行八十步而立甲在坤地南行三百六十步望見乙問答同前 　　法曰此為兩差求黄方也以二行步相乘倍之為實以平方開得城徑 　　草曰二行步相乘得二萬八千八百步倍之得五萬七千六百步為實以平方開之得二百四十步即城徑也合問　别得甲南行即股圓差也乙東行即勾圓差也 　　或問甲出東門四十八步而立乙出南門四十八步見之問答同前 　　法曰此當以方五斜七求之每出門二步管徑十步草曰置出門步在地以五之得二百四十步即城徑也據此法合置出門步在地以十之二而一以二數相折故五因便是合問 　　按方五斜七古率非密率也設問以盡此題之變故率之踈密勿論 　　或問出西門南行四百八十步有樹出北門東行二百步見之問答同前 　　法曰以二行步相乗為實二行步相併為從二步常法得半徑 　　草曰立天元一為半徑置南行步在地内減天元半徑得□□為股圓差【按斜畫者少之記也□□是為四百八十步少一元也下倣此】又置乙東行步在地内減天元得下式□□為勾圓差以勾圓差乘股圓差得丨□□【按丨□□為一平方少六百八十元多九萬六千步】為半段黄方冪即城冪之半也【寄左】又置天元冪以倍之得□□亦為半段黄方冪與左相消得丨□□如帶縱法之得半徑合問【按相消者取上兩相等之數同加減相等之數使一為步數一為方元數仍相等也如寄數内減一平方加六百八十元則得九萬六千步又數内亦減一平方加六百八十元則得一平方六百八十元是為一平方六百八十元與九萬六千步等故其式為丨□□舊稿方元數皆作斜畫以别之然遇方元數有多少異號者殊混人目今不用】 　　又法識别得二行併即大也立天元一為半徑置甲南行步加天元一得□□為大股又置乙東行步加天元得□□為大勾也勾股相乘得丨□□為一个大直積以天元除之得下式□□□為三事和【寄左黄方除倍積得三事和今以半黄方除直積亦為三事和也】然後併二行步又併入勾股共得□□為同數與左相消得□□□以帶縱平方開之得一百二十步倍之得全徑也合問按是書皆先法後草草者以立天元一推衍而得其方元積數者也法者又取推衍中之支節條目融㑹而歸於簡約者也草者法之本法者草之用法使人易於推步而草則存其義以俟知者二者相須不可偏廢顧應祥僅演其開方乘除之數而去其細草蓋亦不得其理矣 　　按元時未有筆算故加減乘除之式不能詳載觀者遂以為無下手處今借根方法既明視此則渙如氷釋矣 　　測圓海鏡卷二 　　欽定四庫全書 　　測圓海鏡卷三 　　元　李冶　撰 　　邊股一十七問 　　或問乙出東門南行不知歩數而止甲出西門南行四百八十歩望見乙復就乙行五百一十步與乙相㑹問答同前 　　法曰倍相減步以乘二之甲南行步為平方實得城徑 　　草曰識别得二行相減餘三十步即乙出東門南行步也倍相減步得六十步以乘二之甲南行步九百六十步得五萬七千六百步為平方實如法開之得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲出西門南行四百八十步而止乙從艮隅東行八十步望見甲問答同前 　　法曰倍南行步以東行步乘之為實東行歩為從方一步常法得全徑 　　草曰立天元一為全徑以減於二之甲南行步得□□為兩个大差也以乙東行步乘之得□□為圓徑冪【寄左】然後以天元冪與左相消得丨□□以帶縱平方開之得二百四十步即城徑也合問 　　又法半之乙東行步乘南行步為實半之乙東行步為從一步常法得半徑 　　草曰立天元一為半城徑減甲南行步得□□為大差也以半之東行步乘之得□□即半徑冪【寄左】然後以天元冪為同數與左相消得丨□□開帶縱平方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問甲出西門南行四百八十步而止乙從艮隅亦南行一百五十步望見甲問答同前 　　法曰兩行步相乘為實南行步為從方一為隅得半徑 　　草曰立天元一為半城徑以減乙南行步得□□為半梯頭以甲行步為梯底以乘之得□□為半徑冪【寄左】然後以天元冪與左相消得丨□□開帶縱平方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問甲出西門南行四百八十步乙出東門直行一十六步望見甲問答同前 　　法曰以四之東行步乗南行冪為實從空東行為亷一步為隅法得全徑 　　草曰立天元一為圓徑加乙東行步得□□為中勾其甲南行即中股也置東行步為小勾以中股乘之得□合以中勾除今不受除便以為小股也【内寄中勾分母】乃復以中股乗之得三百六十八萬六千四百又四之得一千四百七十四萬五千六百為一段圓徑冪【寄中勾分母寄左】然後以天元徑自之又以中勾乘之得□□為同數與左相消得丨□□□以縱立方開之得二百四十步為城徑也合問 　　按不受除者無可除之理也凡二數此數於彼數有可除之理則受除無可除之理則不受除也蓋除有法有實實可二法不可二此題以中勾為法而中勾内有一元又有十六步其為數已二矣又何以均分不一之數乎故曰不受也寄分者姑寄其應除之數也俟求得兩相等數而此數内尚少一除不除此而轉乘彼則兩數仍相等猶之受除者也此所謂以乘代除也 　　或問乙出南門東行七十二步而止甲出西門南行四百八十步望乙與城㕘相直問答同前 　　法曰以乙東行冪乗甲南行為實乙東行冪為從方甲南行步内減二之東行步為益亷一步常法得半徑 　　草曰立天元一為半城徑以減南行步得□□為小股又以天元加乙東行步得□□為小勾又以天元加南行步得□□為大股乃置大股在地以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以為大勾【内寄小股分母】又置天元半徑以分母小股乘之得□□以減大勾得□□□為半个梯底於上以乙東行七十二步為半个梯頭以乘上位得□□□為半徑冪【内寄小股分母】寄左然後置天元冪又以分母小股乘之得□□□為同數與左相消得□□□□以立方開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　又法曰以二數相乘為實相減為從一虚法平開得半徑 　　草曰别得二數相併為大股内少一虚勾其二數相減為大差也立天元一為半徑副置之上位減於四百八十得□□為股圓差【即大差股也】下位加七十二得□□與股圓差相乘得下式□□□為一大差積【寄左】再以大差勾減於大差股餘□□為較又加入大差四百單八共得□□為較共也以天元乘之得□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一百二十步即半徑合問　前法太煩故又立此法以就簡也 　　或問乙出南門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望見乙與城㕘相直又就乙行四百零八步與乙相㑹問答同前 　　法曰二行步相減以乘甲南行步為實甲東行步内減相減步為益方一步常法得半徑 　　草曰識别得二行相減餘七十二步即是乙出南門東行數也更不湏用遂立天元一為半城徑加乙東行得□□為小勾也副置南行步上減天乙得□□為小股下加天元得□□為大股乃置大股以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以此為大勾也【内帶小股分母】又倍天元以小股乘之得下式□□以減於大勾得□□□為勾圓差也合以股圓差乘之縁此勾圓差内已帶小股分母【小股即股圓差也】更不湏乘便以此為半段黄方冪【更無分母也】寄左乃以天元自之又倍之得□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問乙出東門直行不知歩數而止甲出西門南行四百八十步望見乙復就乙斜行五百四十四步與乙相會問答同前 　　法曰半南行步減半斜行步以乘南行步為實從方空半斜行半南行相減得數加入南行步為隅法得半徑 　　草曰識别得二行相減餘六十四步即半徑為股之勾也立天元為半徑就以為小股其二行相減餘六十四步即小勾也乃置甲南行步加天元得下式□□為大股以小勾乘之得□□又以小股除之得□□為大勾又倍天元一減之得下式□□□為勾圓差也半之得□□□於上乃以天元減甲南行步得□□為股圓差以乘上位得丨□○□為半徑冪【寄左】然後以天元冪與左相消得下式□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　按此問以小股為除法蓋因小股只一天元其數不二猶有可除之理也然得數降於實數之下者皆不可以命名至開方時仍湏各升一位以計之是兩邊各加一乘猶是寄分之理也 　　又法以二數差乘二數併開方得邊勾復以邊股乘之為實併二數而半之為法實如法得二百四十步即城徑【此蓋用前勾上容圓法也】 　　或問乙從乾地東行不知幾步而止甲出西門南行四百八十步望見乙復就乙斜行六百八十步與乙相㑹問答同前 　　法曰併二行數以二行差乘之内減二行差冪為實併二行步及二行差為從方二步常法得半徑草曰識别得二行相減餘二百步即半圓徑與小差勾之共數也立天元一為半城徑加於二百步得□□為大勾也又以天元加於甲南行步四百八十得□□即大股也乃以大勾自之得丨□□為勾冪【寄左】乃置乙斜行六百八十步為大加入大股共得□□於上再置二行差内減天元得□□為小差勾即股較以乘上位得□□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　又法求小差二行相減以自之又四之為實二行相減八之於上二之南行步内減二之二行相減數又以加上位為益方二步常法 　　草曰立天元一為小差減二行差得□□為半城徑以自之得丨□□又四之得□□□為圓徑冪【寄左】然後以半城徑減於甲南行得□□又倍之得□□為兩个大差也又以天元乘之得□□○為同數與左相消得下式□□□以平方開之得八十步為小差也 　　或問乙出南門南行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城㕘相直復就乙斜行二百五十五步與乙相㑹問答同前 　　法曰甲南行内減二之兩行差餘以乘甲南行又倍之為實二步為隅得半徑 　　草曰别得二行步相減餘二百二十五步乃是半徑為勾之股也立天元一為半城徑就以為小勾率其二行差二百二十五步即為小股率乃置甲南行步加入天元得□□為大股以天元小勾乘之得丨□合以小股除今不受除【按此所謂不受除乃其數竒零不能盡非無可除之理也與前辭同而意異】便以此為大勾【内寄小股分母】乃倍天元以小股乘之得□以減大勾餘丨□為一个小差於上【内寄小股分母】乃以天元減甲南行步得□□為大差也以乘上位得□□□又倍之得□□□為圓徑冪【内寄小股分母】寄左然後倍天元以自之又以小股乘之得□□為同數與左相消得□○□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　按此題止用股求勾法即得城半徑其必展轉數次而後始得者益見其為發明立天元一之術使人易曉也後多有倣此者 　　或問乙出南門直行一百三十五步而止甲出西門南行四百八十步望乙與城㕘相直問答同前 　　法曰二行步相減餘以自乘内減乙行冪為實二之甲南行為益從一步常法得半徑 　　草曰立天元一以為半徑便以為勾率又以天元加乙行步併以減於甲行步得□□為股率乃置乙南行步一百三十五步為小股以勾率乘之得□合以股率除之今不受除乃便以此為小勾【内寄股率分母】又置乙南行步加二天元得□□為大股以勾率乘之得□□合以股率除之今不受除便以此為大勾【内寄股率分母】以小勾大勾相乘得□□□為半徑冪【内帶股率冪為分母】寄左然後置天元以自乘又以股率冪乘之得丨□□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　按此草得數為九百六十立方少一三乘方與十萬零八百平方等皆虚數也各降二位即如各以平方除之乃為九百六十元少一平方與十萬零八百步等兩數等所降之位又等則兩數仍相等而實積步數乃出矣故可以帶縱平方開之也此係降位而得實數者與前升位而得實數者其理互相發明草中不言蓋以為不待於言也 　　或問甲乙二人同出西門向南行至西南十字道口分路乙折東行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望乙與城㕘相直問答同前 　　法曰兩行相乘得數又以乙東行乘之為實二行相乘於上位又置乙東行以二行相減數乘之得數加上位為法 　　草曰立天元一為半城徑副置上位加南行步得□□為大股也下位減於甲行步得□□為小股也其乙東行即小勾也置大股以小勾乘之得□□内寄小股□□為母便以為大勾也置天元以母通之得□□減於大勾得丨□□為半个矮梯底於上再置乙東行内減天元得下式□□為半个矮梯頭以乘上位得下式□□□□為半徑冪寄左再置天元以自之為冪又以分母乘之得□□□為如積與左相消得□□上法下實得一百二十步即城之半徑也合問 　　按草中相消法皆得兩邊數此獨得一邊二數蓋此條共數比彼條共數少一數又多一數為相等則多少二數其必為相等無疑矣多少數多者亦倣此此又相消法中之一變也 　　又法二行步相乘為實倍甲南行内減乙東行為法草曰立天元一為半城徑副置上位加甲南行得□□為大股下位減甲行步得□□為小股便是股圓差也其乙東行即小勾也置大股以小勾乘之得□□内寄小股□□為母便以為大勾也再置天元以二之又以分母乘之得□□為全徑以減於大勾餘□□□為勾圓差也合以股圓差乘之縁内已有小股分母不湏乘便以此為兩段之半徑冪也更無分母【寄左】然後置天元冪以二之得□□為如積以左相消得□□上法下實得一百二十步即半城徑也合問 　　或問見邊股四百八十步□三十四步問答同前【此題在甲乙二人同出西門南行至十字道乙折東行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望見乙與城㕘相直之後】 　　法曰□乘邊股半之為實半□半邊股相併為從半步隅法平方得□股 　　草曰立天元一為□股加□得□□為平勾也又以天元減邊股而半之得□□為髙股也平勾髙股相乘得□□□為半徑冪【寄左】然後以天元乘邊股得□為同數與左相消得下式□□□開平方得□股三十步以乘邊股開平方倍之即圓城徑也合問按此問原稿在三卷末 　　或問見邊股四百八十明一百五十三問答同前法曰二云數相減復倍之内減邊股復以邊股乘之於上又以明冪乘上位為實以邊股乘明冪又二之為從二云數相減餘以自之為第一亷二云數相減又倍之為第二益亷一常法開三乘方得明勾草曰立天元一為明勾加明得□□為髙股也以髙股減邊股餘□□為髙以倍之得□□為黄廣也内減邊股得□□為□股復以邊股乘之得□□於上又以明自乘得二萬三千四百零九為分母以乘上位得□□為分半徑冪【寄左】然後置黄廣以天元乘之得□□復合以明除之不除寄為母便以此為全徑又半之得□□為半徑以自之得□□□為同數與左相消得下式丨□□□□開三乘方得七十二步即明勾也餘各依法求之合問 　　又法邊股内減二明以邊股乘之復以明冪乘之為三乘方實亷從並同前 　　草曰識别得二數相減餘為髙股虚共又為髙明勾共此餘數内又去半徑即明和也明和明相併即股圓差相減則明黄方也又倍明加明黄亦得股圓差也邊股内減明勾餘即大差也立天元一為明勾減於云數相減數得□□即髙也以髙減邊股得□□即髙股也以髙股減於云數相減數得□□即虚也以天元又減虚得□□即□股也乃置髙以天元乘之得□□合明除之不受除便以此為髙勾也【即半徑】髙勾自之得丨□□□為半徑冪【内帶明冪分母】寄左然後置邊股以□股乘之得□□為半徑冪又以明冪二萬三千四百零九分母通之得□□為同數與左相消得實從亷隅五層如前式 　　或問邊股四百八十步髙二百五十五步問答同前法曰以邊股減於二之髙復以邊股乘之開平方得半徑 　　草曰立天元一為半徑先倍髙内減邊股餘□復以邊股乘之得□□寄左以天元冪與左相消得丨□□開平方得數倍之即城徑也合問 　　或問邊股四百八十步平一百三十六步答問同前法曰置平以邊股再乘之為實以邊股自之為益從平為益亷一虚隅開立方得半徑 　　草曰别得平即皇極勾也立天元一為半徑副之上位加平得□□即邊勾也下位減於平得□□即□勾也置□勾以邊股乘之得□□合邊勾除今不受除寄為母便以此為□股乃以此邊股乘之得□□為半徑冪【内邊勾分母】寄左然後以天元為冪以分母邊勾乘之得丨□□為同數與左相消得丨□□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問邊股四百八十步明股明和二百八十八步問答同前 　　法曰以云之云數相減餘加邊股復以減餘乘之訖又折半於上又以減餘自之減上位為實併云數半之為法得明勾 　　草曰别得二數相減餘為大差勾立天元一為明勾減於大差勾得□□即半徑也又以天元減半徑得□□為虚勾於上又以半徑加邊股得□□為通股於下上下相乘得□□□折半得丨□□為半徑冪【寄左】然後以半徑冪丨□□為同數與左相消得□□上法下實得七十二步即明勾也合問 　　或問見邊股四百八十步□勾□和五十步問答同前 　　法曰半邊股半和步相併得為泛率以汎半減邊股以自之又二之於上以和步乘泛率減上位為實以汎率減邊股六之於上内又加半个邊股三个和步為益從三步常法得□股 　　草曰别得和步得□股即小差也小差邊股共即二中差【按此句誤】立天元一為□股加和步得□□即小差也以小差加邊股而半之得□□即中差也中小差相併得□□即大差也以小差乘之得□□□為半段徑冪【寄左】然後置邊股内減大差得□□為半徑以自之得□□□又倍之得下式□□□與左相消得下式□□□開平方得三十步即□股也合問按草云以小差邊股共即二中差有誤蓋中差即勾股較小差即股較邊股即勾較與容圓半徑和若設勾二十股二十一二十九則勾較九容圓半徑六併之得十五為邊股股較八為小差小差邊股共得二十三勾股較一為中差倍之僅得二則相差二十一矣是知細草乃因題數之偶合而誤非正法也今依其術另設法草於後以補其闕 　　法曰以□勾和自之邊股再乘為實倍邊股加□勾和再以□勾和乘之為從又倍□勾和減邊股餘為益亷一為隅縱立方開之得□股草曰别得邊股即髙股和□股即髙股差□股和即平勾也立天天一為□股自之得丨□應以□勾和除之不除便以為□勾較【内寄□勾和分母】轉以□勾和自之得□為□勾和加□勾較得丨○□為倍□又以□勾和分母乘倍□股得□為倍□股與倍□相加得丨□□為倍□股和即倍平勾又於邊股内減□股得□□為倍髙股倍髙股倍平勾相乘得□□□□為圓徑冪寄左又以邊股□股相乘得□為半徑冪四因之得□為圓徑冪又以□勾和分母乘之得□為同數與左相消得丨□□□開帶縱立方得□股三十步合問 　　測圓海鏡卷三 <子部,天文算法類,算書之屬,測圓海鏡> 　　欽定四庫全書 　　測圓海鏡卷四 　　元　李冶　撰 　　底勾一十七問 　　或問乙出南門東行不知步數而立甲出北門東行二百步見之就乙斜行二百七十二步與乙相㑹問答同前 　　法曰二行差數乘甲東行又四之為平方實得全徑草曰識别得二行相減餘即乙出南門東行數也以甲東行減於就乙斜行餘七十二步以乘甲東行歩得一萬四千四百步又四之得五萬七千六百步為實以平方開之得二百四十步即城徑也合問 　　或問乙從坤隅南行三百六十步甲出北門東行二百步見之問答同前 　　法曰二行步相乘倍之為實乙南行為從一步常法得城徑 　　草曰立天元一為城徑以減於二之甲東行步得【□】□為兩个小差以乙南行步乘之得□□為城徑冪【寄左】然後以天元冪丨□與左相消得丨□□以平方開之得二百四十步即城徑也合問 　　又法半之乙南行步乘甲東行為實半乙南行為從一步常法得半徑 　　草曰立天元一為半城徑減甲東行得□□為小差半乙南行步得一百八十步以乘小差得□□為半徑冪【寄左】然後以天元冪丨□與左相消得下式丨□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問乙從坤隅東行一百九十二歩而止甲出北門東行二百步見乙問答同前 　　法曰兩行步相乘為實甲東行為從乙為隅得半徑草曰立天元一為半徑減於乙東行得□□以甲行步乘之得□□為半徑冪【寄左】然後以天元冪丨□與左相消得丨□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問乙出南門直行一百三十五步甲出北門東行二百步見乙問答同前 　　法曰以乙南行步乘甲東行冪又四之為實從空乙行為亷一步常法得城徑 　　草曰立天元一為城徑加乙南行得□□為股率其甲東行即勾率也其乙南行□為小股以勾率乘之得□合以股率除今不除受便以此為小勾【寄股率為母】乃以甲東行步乘之得□　又四之得□為一段城徑冪【寄左】然後以天元城徑自之又以股率分母通之得丨□□為同數與左相消得下式丨□□□以立方開之得二百四十步即城徑也合問 　　又法二行相乘又以自乘為實以二行相乘倍之為益方南行冪為亷八步益隅立方開得小勾七十二草曰立天元一為小勾以南行為小股以東行二百步為大勾也置大勾内減天元得□□為中勾也以小股乗之得□□以天元小勾除之得□□為中股即城徑也以自之得□□□為城徑冪也【寄左】又以天元小勾乘通勾二百步得□又四之得□為同數與左相消得□□□□開立方得七十二步即小勾也以乘通勾二百步為實平方開得一百二十步倍之即城徑也合問 　　又法求半徑以南行步乘東行冪為實從空東行步為亷二步常法得半徑 　　草曰立天元一為半徑以二之加南行步得□□為股率以東行□為勾率以南行為小股也置小股以勾率乘之得□以股率除之不受除只寄股率分母便以此為小勾也又以勾率乘之得下式□為半徑冪【寄左】再立天元半徑以自之又以分母股率乘之得□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問乙出東門南行三十步而止甲出北門東行二百步望乙與城㕘相直問答同前 　　法曰以甲東行步乗乙南行冪為實以乙南行冪為從甲東行内減二之乙南行為益亷一步隅得半徑草曰立天元一為半城徑減於甲東行步得□□為小勾以天元加於乙南行步得□□為小股乃以天元加東行步得□□為大勾置大勾以小股乗之得丨□□合以小勾除之今不受除便以此為大股【内帶小勾分母】又置天元半徑以分母小勾乘之得□□減於大股餘□□□以乙南行步乗之得□□□為半徑冪【内有小勾分母】寄左然後以天元為冪又以小勾通之得□□□為同數與左相消得下式□□□□以立方開之得一百二十步倍之即城徑也合問【翻法在記】 　　又法乙南行乘甲東行為平實二數相減為法一隅翻開得半徑 　　草曰别得二數相併為大勾内少一虚股其二數相減為小差也　立天元一為半徑副置之上位減於二百步得□□為勾圓差【即小差勾也】下位加三十步得□□為小差股勾股相乘得□□□為一段小差積【寄左】再以小差勾減小差股餘□□為一較也又以此較減於小差得下式□□為一个較較以天元一乘之得下式□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步即半城徑也合問【翻法在記】再立此法者蓋從簡也 　　按此乃以小差勾為平上較較半徑為平股故以小差上較較與半徑相乘等於平上較較與小差股相乘為一段小差積也 　　或問乙出東門南行不知步數而立甲出北門東行二百步望乙與城㕘相直復就乙斜行一百七十步與乙相㑹問答同前 　　法曰以二行差乘甲東行為實甲就乙斜行為方一步常法得半徑 　　草曰識别得二行相減餘三十步即乙出東門南行步也【更不湏用】立天元一以為半城徑加乙南行得□□為小股副置甲東行步上位減天元得下式□□為小勾下位加天元得□□為大勾也乃置大勾以小股乘之得下式丨□□合以小勾除不受除便以此為大股【内小勾分母】又倍天元以小勾乘之得□□以減於大股得□□□又倍之得下□□□為兩个股圓差合以勾圓差乘之縁為其中已帶小勾分母更不須乘便以此為黄方冪【更無分母】寄左然後倍天元以自之得□□為同數與左相消得□□□上下俱半之【俱半之者蓋從簡也】得□□□以平方開之得一百二十步倍之即半徑也合問 　　或問乙出南門直行不知步數而止甲出北門東行二百步見之復就乙斜行四百二十五步與乙相㑹問答同前 　　法曰倍兩行差以乘二之甲東行為實從空四之甲東行於上倍兩行差加上位為隅得半徑 　　草曰識别得二行差二百二十五步即半徑為勾之股也立天元一以為半徑便是小勾其二行差便是小股乃置甲東行步加天元得□□為大勾以小股乗之得下式□□又以小勾除之得□□為大股又倍天元以減之得□□□為股圓差又倍之得□□□為兩个股圓差於上乃以天元減甲東行得□□為勾圓差以乘上位得下式□□○□為城徑冪【寄左】然後倍天元一以自之得□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問【按此係得數各升一位然後開平方】 　　又法併二數以二數差乗之開方得底股復以甲東行二百步乘之為實併二數而半之以為法如法得二百四十步即城徑也合問【此用股上容圓求之比前法極為簡易】 　　或問乙從乾隅南行不知步數而止甲出北門東行二百步望見之復就乙斜行六百八十步與乙相會問答同前 　　法曰併二行以二行差乘之内減二行差冪為實併二行步及二行相減數【按即倍乙斜行】為從二步常法得半徑 　　草曰識别得斜行六百八十步即大也其二行相減餘四百八十步即乙南行步内減半徑也立天元一為半城徑副置之上位加二行相減數得□□為大股也下位加甲東行步得□□為大勾也乃以大股自增乘得丨□□為大股冪【寄左】乃併大勾大得□□於上又以大勾減大得□□為大差以乘上位得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　又法求大差 　　法曰二行差自乘為實置二之二行差於上乃以甲東行步減二行差又半之以減於上為益方【按三因斜行步二因東行步相減折半亦同】半步常法 　　草曰立天元一為大差減於二行差得□□為半城徑以自之得丨□□為半徑冪【寄左】乃以半城徑減於甲東行得下式丨□為小差又以天元乘之得丨□又以半之得□□為同數與左相消得下式□□□以平方開之得三百六十步即大差也合問 　　或問乙出東門不知步數而立甲出北門東行二百步望乙與城叅相直復就乙斜行一百三十六步與乙相㑹問答同前 　　法曰甲東行步内減二之二行差【按倍斜行步内減東行步亦同】餘以乘甲東行為實一步常法得半徑 　　草曰别得二行相減餘六十四步即半徑為股之勾立天元一為半城徑就以為股率其二行差即勾率也乃置甲東行步加天元得□□為大勾以天元股率乘之得丨□合以勾率除之不受便以此為大股【内勾率分母】乃倍天元以勾率乘之得□以減大股得丨□為一个大差於上【内勾率分母】乃以天元減甲東行得□□為小差以乘上位□□□為半段黄方冪【内寄勾率為母】寄左然後以天元自之又以勾率乘之又倍之得□□為同數與左相消得下式丨□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問乙出東門直行一十六步而止甲出北門東行二百步望見乙與城叅相直問答同前 　　法曰二行步相減餘以自乘内減乙東行冪為實二之甲東行為益從一步隅法得半徑 　　草曰立天元一以為半城徑加乙行步併以減於甲行步得□□為平勾率其天元半徑即平股率也乃置乙東行一十六步為小勾以股率乘之得□合以勾率除之今不受除便以此為小股【内帶勾率分母】又置乙東行加二天元得□□為大勾以股率乘之得□□合以勾率除之今不受除便以此為大股【内寄勾率為母】以此小股大股相乘得□□□為半徑冪【内寄勾率冪為母】寄左然後以勾率冪乘天元冪得丨□□□為相同數相消得□□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問【按此係得數各降二位然後開平方】 　　或問甲乙二人同出北門向東行至東北十字道口分路乙折南行一百五十步而立甲又向東行甲前後通行了二百步廻望乙恰與城相直問答同前法曰以二行步相乘於上又以南行步乗之為實二行步相乘於上又以乙南行減於甲東行得數復以乙南行乘之加上位共為法得半徑 　　草曰立天元一為半城徑副之上位加甲行步得□□為大勾也下位減於甲行步餘□□為小勾也其乙折南行即小股也置大勾以小股乘之得□□内寄小勾□□為母便以為大股也再置天元以母乘之得□□減於大股餘丨□□為半个矮梯底於上【内寄小勾為母】再置乙折行步内減天元得□□為半个矮梯頭以乘上位得□□□□為半徑冪【寄左】乃以小勾分母乘天元冪得下式□□□為同數與左相消得□□上法下實如法而一得一百二十步即城之半徑也合問 　　又法　　法曰二行步相乘為實倍甲東行内減乙南行為法 　　草曰立天元一為半圓徑副之上位加甲東行得□□為大勾下位減甲東行得□□為小勾此小勾便是勾圓差也其乙南行即小股也置大勾以小股乘之得下式□□内寄小勾□□為母便以為大股也再置天元以二之又以分母乘之得□□為全徑以減於大股餘得□□□為股圓差也合以勾圓差乘之縁内已有小勾分母故不湏再乘便以此為兩段之半徑冪也更無分母【寄左】再置天元以自之又二之得□□為同數與左相消得□□上法下實一百二十步即半城徑也合問 　　或問見底勾二百步明一百五十三步問答同前法曰半底勾乘明為平實併二云數而半之為從五分常法得明勾 　　草曰立天元一為明勾加明得□□為髙股也又以天元減底勾而半之得下式□□為平勾也勾股相乘得□□□為半徑冪【寄左】然後以天元乘底勾得下式□為同數與左相消得□□□開平方得七十二步即明也以明乗底勾為平方實如法開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問見底勾二百步□三十四步問答同前 　　法曰底勾□相減餘倍之内減去底勾【按倍□減底勾亦同】復以底勾乗之於上又以□冪乘上位為三乗方實倍底勾以□冪乗之為從二云數相減餘以自之為第一亷二云數相減餘又倍之為第二益亷一步隅法得□股 　　草曰立天元一為□股加□得□□為平勾以平勾減底勾餘□□為平以倍之得□□為黄長也此内却減底勾餘得下式□□為明勾也復以底勾乘之得□□於上又□自乘得一千一百五十六為分母以乗上位得□□為帶分半徑冪【寄左】然後置黄長以天元乗之得□□合以□除之不除寄為母便以此為全徑也以半之得□□為半徑【内帶□分母】以自之得丨□□□為同數與左相消得丨□□□□開三乗方得三十步即□股也餘各依數求之合問 　　又法底勾内減二□復以底勾乘之復以□冪乘之為三乗方實餘亷從並與前同 　　草曰識别得二數相減餘一百六十六為平勾虚共又為平□股共於此餘數内又去半徑即□和也□和□相併即勾圓差也相減則□黄方也又倍□加□黄亦得勾圓差也底勾内減□股餘即小差也　立天元一為□股減於云數相減數得□□為平以平減底勾得□□即平勾以平勾減於云數相減數得□□即虚以天元又減虚得□□即明勾也乃置平以天元乘之得□□合□除不除寄為母便以此為平股也【即半徑】平股自之得丨□□□○為半徑冪【内帶□冪分母】寄左然後置底勾以明勾乗之得□□又以□冪一千一百五十六通之得下式□□為同數與左相消得丨□□□□亷從一一如上 　　或問見底勾二百步平一百三十六步問答同前法曰倍平内減底勾復以底勾乗之開平方得半徑 　　草曰立天元為半徑先倍平内減底勾餘□為明勾復以底勾乗之得□為半徑冪【寄左】然後以天元冪為同數與左相消得丨□□開平方得一百二十步又倍之即城徑也合問 　　或問底勾二百步髙二百五十五步問答同前法曰底勾冪乗髙為立實底勾冪為從髙為亷一為隅得半徑 　　草曰識别得髙即皇極股也立天元一為半徑副之上位加髙得□□即底股也下位減於髙得□□即明股也置明股以底勾乗之得□□合以底股除不除寄為母便以此為明勾又以底勾乗之得□□為半徑冪【内帶底股分母】寄左然後以天元冪乗底股得丨□□與左相消得丨□□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問底勾二百步□勾□和五十步問答同前法曰以二云數相減餘加底勾復以減餘乗之半之於上以減餘自之減上位為實併云數半之為法得□股 　　草曰别得二數相減餘為小差股立天元一為□股減於小差股得□□即半徑也又以天元減半徑得□□為虚股於上又以半徑加底勾得□□為通勾於下上下相乗得□□□折半得丨□□為半徑冪【寄左】然後以半徑自之得下式丨□□為同數與左相消得□□上法下實得三十步即□股也合問 　　或問見底勾二百步明股明和二百八十八步問答同前 　　法曰二數相減又半之得數又減於底勾餘為泛率以泛率自之又倍之於上位又二數相減而半之以乗和步所得減於上倍為實倍泛率於上位又半底勾減和步加上位為法得明勾 　　草曰别得和步得明勾為大差也大差得底勾為二中差　立天元一為明勾加和步得□□為股圓差也【即大差】内又加底勾得□折半得□□即通勾通股差也【此即中差】置大差減中差得下□□即小差也大小差相乘得□□□為半段圓徑冪【寄左】乃置底勾内減小差得□□為半徑以自之得□□□倍之得下式□□□為同數與左相消得□□上法下實得七十二步即明勾也合問 　　按此條法草與三卷末以小差邊股共為二中差者同誤依問另設於後 　　法曰以底勾乘明股和冪為實倍底勾以明股和乗之加入明股和冪為從倍明股和内減底勾為亷一為隅開帶縱立方得明勾 　　草曰别得明得明勾為髙股髙勾即半徑也底勾為平勾和明勾為平勾較平股即半徑也立天元一為明勾自之得丨□應以明股和除之不除便以為明股較【内寄明股和分母】明股和自之得□為股和以加股較得丨□□為倍明以分母乗倍天元得□為倍明勾與倍明相加得丨□□為倍髙股置底勾減天元得□□為倍平勾與倍髙股相乘得□□□□為城徑冪【内寄明股和分母】寄左又倍天元與倍底勾相乘得□以寄分母乘之得□為相同數與左相消得丨□□□開立方得明勾合問 　　測圓海鏡卷四 　　欽定四庫全書 　　測圓海鏡卷五 　　元　李冶　撰 　　大股一十八問 　　或問乙出南門直行一百三十五步而立甲從乾隅南行六百步望乙與城叅相直問答同前 　　法曰倍二行差内減甲南行步復以乗甲南行步為實【倍二行差減甲南行步即是甲南行步内減二之乙南行也】四之甲南行步内減二之乙南行為從方四為益隅開平方得半徑草曰立天元一為半徑以二之加乙南行步得□□為中股以中股又減於甲南行步得□□為股率其天元半徑即勾率也置甲南行為大股以勾率乗之得□合以股率除之不受除便以此為大勾【内股率分母】再置天元以二之以股率乘之得□□減於大勾餘□□為勾圓差於上【内有股率分母】又以二之天元減甲南行得□□為大差以乘上位得□□□為半段黄方冪【内寄股率分母】然後以天元自之又以股率乘之又倍之得□□□為同數與左相消得下式□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問乙出南門東行七十二步而止甲從乾隅南行六百步望乙與城叅相直問答同前 　　法曰云數相乘為平實甲南行為從二益隅得半徑草曰别得虛勾乗通股得半段圓徑冪此與虚股乗通勾同立天元一為半徑内減乙東行得□□為虚勾以乘甲南行得□□為半段徑冪【寄左】再以天元為冪又倍之得□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步即城徑也合問 　　或問乙出東門直行一十六步甲從乾隅南行六百步望見乙問答同前 　　法曰以乙東行乘甲南行冪為實二之乙東行乘甲行為從方亷空二步隅法得半徑 　　草曰立天元一以為半城徑以二之加於乙東行得□□為勾率又以天元減甲南行得□□為股率乃置乙東行以股率乗之得□□合以勾率除不除便以此為小股此小股即半梯之頭也【内帶勾率分母】又以股率乗之【此股率即半梯之底也】得□□□為半徑冪【内帶勾率分母】寄左然後置天元冪以勾率通之得□□□為同數與左相消得□○□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問乙出東門南行三十步而立甲從乾隅南行六百步望見乙問答同前 　　法曰二行步相乗為寳以南行為從一步常法得半徑 　　草曰立天元一為半徑以減於甲南行得□□為半梯底以乙南行三十步為半梯頭以乗之得□□為半徑冪【寄左】乃以天元冪與左相消得丨□□開平方得一百二十步即半城徑也合問 　　或問乙從艮隅南行一百五十步而立甲從乾隅南行六百步望見乙問答同前 　　法曰二行步相乗為實并二行步為法得半徑草曰立天元一為半徑副置之上以減於乙南行得□□為半梯頭下以減於甲南行得□□為半梯底上下相乗得丨□□為半徑冪【寄左】乃以天元冪與左相消得下式□□上法下實如法而一得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問乙從艮隅東行八十步而立甲從乾隅南行六百步望見乙問答同前 　　法曰二行步相乘又倍之為實二之乙東行為從一步常法得全徑 　　草曰别得乙東行八十步即小差也立天元一為城徑減於甲南行步得□□為大差以乙東行步乘之得□□又倍之得□□為城徑冪【寄左】然後以天元冪與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　或問南門東不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步望樹與城㕘相直復就樹斜行四百八步至樹問答同前 　　法曰南行步冪内減兩段兩行相乘數為實二之南行步為從一步益隅得城徑 　　草曰别得南行步内減城徑即小股也其斜行步即小也又二行相減即大差為股之勾也立天元一為圓徑以減南行步得□□為股圓差也【合為小股】置南行步以斜行步乘之得□合以小股除之不受除便以此為大【内帶小股分母】再置南行步以小股乗之得□□為大股【亦帶小股分母】以大股減大得□□為小差也合以大差乘之縁於内帶大差分母更不湏乘便以為半段黄方冪【更無分母】又二之得□□為一段黄方冪【寄左】然後以天元冪為同數與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　依前問假令乙出南門東行不知步數而立甲從乾南行六百步望乙與城相直復就乙斜行四百八步【按此即前問以明又法】 　　法曰二行差冪乗甲南行為實二之二行差以乗南行步為益方二之二行差為隅得半徑 　　草曰識别得二行相減即半城徑與乙東行共也得此數更不須用斜立天元為半徑減於二行差一百九十二得□□即半梯頭也又以二天元減甲南行步得□□為股率又以一百九十二為勾率乃置甲南行以勾率乘之得□合股率除不除便以此為大勾【内寄股率分母】再置天元以股率乘之得□□以減於大勾得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□□為半城徑冪【内寄股率分母】寄左然後以股率乘天元冪得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問東門南不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步見樹復向樹斜行五百一十步至樹問答同前 　　法曰二行差步乘甲南行步為實二行之差步併甲南行步為從二益隅【若欲從簡上下俱折半】 　　草曰别得二行相減數即虚積之股也立天元一為半徑内減二行之差步得□□為梯頭於上又以天元減於甲之南行步得□□為梯底上下相乗得□□□為圓徑冪【寄左】然後以天元冪與左相消得□□□開平方得一百二十步即城徑也合問 　　或問乙出東門直行不知步數而立甲從乾隅南行六百步望見乙復就乙斜行五百四十四步與乙相㑹問答同前 　　法曰以二行步相減乘甲南行步得數又半之南行步以乘之為實以二行差乘南行步於上又以半之南行步乘南行步加於上為從方二之南行步為益亷一步常法得半徑 　　草曰别得二行相減即半徑上勾股較【此股即半徑也】又别得是大勾圓差不及平數立天元一以為半城徑以減南行步得□□為中股其斜行步即中也乃立半城徑以斜步乘之得□合以中股除今不受除便以此為平【内帶中股分母】又以二行步相減餘五十六步為勾圓差不及平數置此數以中股乗之得□□復以減平餘得□□為小差【内帶中股分母】乃以二天元減甲南行步得□□為大差又半之得□□以乘小差得□□□為半徑冪【寄左】然後以天元自乗又以中股通之得□□□為同數與左相消得丨□□□開立方得一百二十歩倍之即城徑也合問【翻法在記】 　　或問甲乙二人俱在乾隅乙東行不知步數而立甲南行六百步望見乙復就乙斜行六百八十步與乙相會問答同前 　　法曰以二行差乘二行併開平方得數内復減二行差得全徑 　　草曰别得二行相減即勾圓差也先求大勾立天元一為大勾以二行相減餘八十步以乘二行相併數一千二百八十步得□為勾冪開平方得三百二十步即大勾也大勾内減去勾圓差餘二百四十步即城徑也合問 　　或問南門外不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步望樹與城㕘相直復就樹斜行二百五十五步至樹問答同前 　　法曰倍二行相減數内減甲南行得數復以乘甲南行為實倍二行相減數為從二步益隅得半徑草曰識别得斜行步乃是樹至城心之數也立天元一為半徑加斜行步得□□為樹至城北門之步也乃以減於甲南行得□□為小股率其天元半徑即小勾率其斜步即小數也再置甲南行步内減天元得□□為梯底於上又置梯底内減二之小股率得□□即梯頭也復以乘上位得□□□為半徑冪【寄左】然後以天元冪與左相消得下式□□□開平方得一百二十歩倍之即城徑也合問 　　或問東門外不知步數有槐樹一株甲從乾隅南行至柳樹下望見槐樹復斜行至槐樹下甲自云我共行了一千一百四十四步乙從艮隅東行望見槐樹與城相直復斜行至槐樹下乙自云我東行少不及斜行五十六步問答同前 　　法曰甲斜行減於甲南行以乘甲南行得數復以乘二之甲南行為實半之甲南行以乘二之甲南行於上甲斜行減於甲南行餘復以乘甲南行又倍之加上位為從方二之甲南行為益亷五分隅法【按五分隅法即半箇立方】 　　草曰識别得五十六步是小差不及平數【此小差即勾圓差也】又為平上勾股差又為甲斜行不及大股乃副置甲共行在地其上位加五十六步而半之得六百步即大股也其下位減五十六步而半之得五百四十四步即今也立天元一為圓徑以半之減於甲南行步得□□為中股其斜行五百四十四步即中也乃立半天元以斜步乘之得□合以中股除之今不受除便以此為平【内寄中股分母】又置勾圓差不及平數以中股乘之得□□復以減於平□□為小差【内帶小股分母】又以天元減甲南行倍之得□□為兩个大差以乘小差得□□□為圓徑冪【寄左】然後以中股乘天元冪得下式□□□為同數與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問【翻法在記】 　　或問出東門向南行不知步數有柳樹一株甲從乾隅南行六百步望見柳樹而止乙出東門直行不知步數望柳樹與甲相直却斜行三十四步至柳樹下問答同前 　　法曰乙斜行乘甲南行數以乗甲南行冪為實斜行乗甲南行冪又三之為從方甲行冪内減兩段斜行南行相乘數【按甲南行内減二之乙斜行以甲南行乘之】為第一亷二之南行步為第二益亷二步常法得半徑 　　草曰立天元一為半徑以二之減甲南行得□□為大差以自之得□□□為大差冪加於南行冪得□□□又半之得□□□為大也内帶大差□□分母别寄又置乙斜行以大股六百步乘之得□合大除不除便以此為小股也【内帶大分母】乃以天元減甲南行得□□即半梯底也以乗小股半梯頭得□□為半徑冪於上此半徑冪内有大分母縁别寄大分母元帶大差分母故又用大差分母□□乘上半徑冪得□□□為帶分半徑冪也所帶之分謂只帶大分母也【寄左】然後以大乘天元冪得□□□□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得一百二十步即半城徑也合問 　　按此條寄分内又帶寄分則以所帶之分乘本條仍以寄分乘次條者蓋寄分為應除本條之數而寄分内所帶之分又為應除寄分之數今不除寄分而乘本條則猶是寄分乘次條之理也乗除之變至斯而極矣 　　又法置甲南行冪於上又置甲行冪半之以乗上位為實以斜行乗甲行冪倍之於上位又以甲行再自乗加上位為益方置甲行冪於上以斜行乗甲南行倍之以減上位為第一亷甲南行步為第二亷半步常法得股圓差 　　草曰立天元一為股圓差【即大差】以自之為冪以加甲南行冪得丨□□半之又以天元除之得□□□為大其甲南行即大股也别置乙斜行三十四步以大股乗之得□合大除不除便以為小股【内寄大分母】乃以天元加甲南行步得□□為全梯底也以乗小股半梯頭得□□又倍之得□□為城徑冪【内寄大為母】寄左置天元大差減甲南行餘□□為圓徑以自之得丨□□又以大分母乗之得□□□□□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得三百六十步即股圓差也以股圓差減甲南行餘二百四十步即城徑也合問 　　或問甲從乾隅南行六百步而止丙出南門直行乙出南門東行各不知步數而立甲望乙丙悉與城㕘相直既而乙就丙斜行一百五十三步相㑹問答同前法曰以甲南行步再自之於上以斜行步乘甲南行冪又倍之減上位為立方實南行步自之又四之於上以斜步乗甲南行又倍之減上位為益從六之甲行步為從亷四步虚常法得半徑 　　草曰立天元一為半徑以二之減於甲南行得□□為大差也以自之得□□□為大差冪也乃置甲南行冪内加大差冪而半之得□□□為大也【内寄大差分母】又置甲南行冪内減大差冪而半之得□□為大勾也【亦帶大差分母】乃置斜行步在地以大勾乗之得□□合以大除不除便以此為小勾内帶大為母【其大勾内元有大差分母不用】即半梯頭也【寄上位】再寄天元半徑以大差乘之得□□以減於大勾得□為半梯底也以乘上位得□□□為半徑冪也【内帶大差及大為母】寄左然後置天元冪以大差通之又以大通之得□□□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步即半城徑也合問 　　依前問假令南門外有樹乙出南門東行不知步數而立【只云乙東行步少於樹去城步】甲從乾隅向南行六百步望樹與乙悉與城㕘相直乙就樹斜行一百五十三步至問答同前 　　法曰以斜行步乗甲行冪為立方實以甲行冪半之於上以斜行步乘甲行步減上位為益從亷空五分隅得大勾大差 　　草曰别得斜步即小小得小和即勾差也立天元一為股圓差以自之為冪副之上以加甲南行冪而半之得□□□為大也【寄大差分母】下以減於甲南行冪而半之得下式□□□為大勾也【寄大差分母】乃置斜步以大勾乗之得下□□□合以大除不除便以此為小勾【寄大分母】又置斜步以甲南行乗之得□合以大除為小股不除而又以同母分通之得□○為同分小股也【内只寄大分母】注【大股乘時無大差分母故今通之以齊大勾上所有大差分母也】又置斜步以大通之得□□□為通分小也三位相併得□□為股圓差【寄左】然後置天元大差以大分母通之得□○□為同數與左相消得□○□□開立方得三百六十步即股圓差也以股圓差減於甲南行步即城徑也合問 　　或問東門外不知步數有樹甲從乾南行六百步而止乙出北門東行斜望樹及甲與城㕘相直却就樹斜行一百三十六步問答同前 　　法曰二行步相乘於上又半甲南行乘之為實二行相乗於上又半甲南行以乘甲南行加上位為益從甲南行為從亷一步益隅開立方得半徑 　　草曰立天元一為半徑便以為小股其斜行步即小也乃以甲南行為大股以小乘之復以天元除之得□□即大也又倍天元減甲南行餘□□為大差以減大餘□□□為大勾也又倍天元以減勾得□□□為小差也却以半大差□□乘之得□□□為半徑冪【寄左】乃以天元冪相消得下式丨□□□開立方得一百二十步即半徑合問 　　或問南門外不知步數有槐樹一株東門外不知步數有柳樹一株槐柳二樹相去二百八十九步有人從乾南行六百步而止斜望槐柳與城㕘相直問答同前 　　法曰云數相乘得又自增乗為三乗方實斜步冪乘南行步又云之為益從二云數相乘又倍之【按此下脫内減斜步冪五字】為益亷二之斜步為第二從亷二法常法得槐至城心步 　　草曰别得槐樹至城心步即人所止至槐樹步也乃立天元一為槐樹至城心步【即人至槐處】加於斜步得□□為邊也以天元乗之得丨□合斜步除不除便以此為邊股【寄斜步分母】又以斜步乗南行步得□為大股以邊股減之餘□□□為半城徑【寄斜步分母】以自之得丨□□□□為半徑冪【内帶斜步為母】寄左又以天元減斜歩得□□為□以天元乘之得□□○合斜步除不除寄為母便以此為半梯頭以邊股半梯底乗之得□○□□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得二百五十五步即槐樹至城心之步也亦為皇極正股又自之得數以減斜冪餘如平方而一得城心至柳樹步又為皇極正勾也勾股相乘倍之為實如斜步而一即城徑也合問 　　或問甲從乾南行六百步而立乙出南門直行丙出東門直行三人相望俱與城相直而乙丙共行了一百五十一步問答同前 　　法曰甲南行為冪折半又以自之為實倍共步加甲南行以乘半段甲行冪為從方甲行乘共數為從亷一个半甲南行為第二益亷二分五釐為三乘方隅草曰識别得共步加城徑即皇極和也又是半徑為勾之與半徑為股之相和步也二之此數内減去大即皇極勾股内黄方面也亦為太虚乃立天元一為大差以自之副置二位上位減於甲行冪以天元除之又折半得□□□為大勾也下位加甲南行以天元除之又折半得□□□為大也其甲南行即大股也併勾大股得下式□□□即大和也再以天元減甲南行得□□即圓徑也加共步得□□即皇極和又是半徑為勾之及半徑為股之共數也又倍之得□□即全徑為勾之及全徑為股之共數也内減大得□□□即小和内黄方面也乃置大和□□□以小黄方面乘之得□□□□□合以小和除之不除便以此為大黄方也【内寄小和為母】寄左然後以天元減甲南行得□□為大黄方以小和乗之得丨□□為同數與左相消得□□□□□開三乗方得三百六十步即股圓差也以股圓差減於甲南行餘二百四十步即城徑也合問 　　或問丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立甲從乾隅南行六百步斜望乙丙悉與城叅相直乙就丙斜行一百二步相㑹問答同前 　　法曰以斜步乘甲南行冪又倍之為實倍甲行冪於上又以斜步乘二之甲南行加於上為從方四之甲南行為益亷四步常法開立方得半徑 　　草曰别得斜步為小也以斜步減圓徑餘為小和也乃立天元為半徑以二之減於甲南行得□□為大差也以自之得□□□為大差冪也置甲南行冪□内加大差冪而半之得□□□為大也【内帶大差為分母】又置甲南行冪内減大差冪而半之得□□○為大勾也【帶大差分母】又以大差乘股六百步得□□併入大勾得□□□為大和也【帶大差分母】乃先以小乘大和得下式□□□寄左又以倍天元減斜步得□□為小和以乘大得□□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步即半徑也合問 　　依前問假令乙出東門南行丙出南門東行各不知步數而立【只云丙行步多於乙行步】甲從乾隅南行六百步望乙丙與城叅相直乙復斜行就丙行了一百二步與丙相㑹問答同前 　　法曰以斜步乘甲行冪又倍之為立方實甲行冪内加斜行南行相乗數為從方甲南行為益亷半步為隅得全徑 　　草曰别得相就步即小也小得小和為直徑也立天元一為城徑以減於甲南行步得□□為大差以自之得丨□□為太差冪也置甲南行步以自之為冪副之上以加大差冪而半之得□□□為大也【内寄大差分母】下以減大差冪而半之得□□○為大勾也【内寄大差分母】乃置相就步在地以大勾乗之得□□合大除不除寄為母便以此為小勾也寄大母又置斜步【即相就步也】以甲南行乘之得□合以大除之不除寄為母便以此為小股而又以元分母大差乗之得□□為同分小股也只寄大為母【其大勾内元有大差分母其大股内却無分母故今乘過復以大差通之齊分母也】又置斜行步以大通之得□□□為小也上三位相併得□□為城徑也【内寄大分母】寄左然後置天元以大通之得□□□為同數與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問 　　測圓海鏡卷五 　　欽定四庫全書 　　測圓海鏡卷六 　　元　李冶　撰 　　大勾一十八問 　　或問乙從東門直行一十六步甲從乾隅東行三百二十步望乙與城叅相直問答同前 　　法曰甲東行内減二之乙南行復以乘甲東行為實四之東行内減二之乙東行為從四益隅得半徑草曰立天元一為半徑以二之加乙東行得□□為中勾以中勾減於甲東行得□□為勾率也其天元半徑即股率也置甲東行為大勾以股率乗之得□合以勾率除之不受除便以此為大股【内帶勾率分母】再置天元以二之以勾率乗之得□□減於大股餘□□為股圓差於上【内有勾率分母】又以二之天元減甲東行得□□為小差以乗上位得□□□為半段黄方冪【内有勾率分母】寄左然後以天元自之又以勾率乘之又就分倍之得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問乙出東門南行三十步而立甲從乾隅東行三百二十步望乙與城叅相直問答同前 　　法曰甲乙相乘為實甲東行為從二虚法得半徑草曰識别具見大股第二問中立天元為半徑内減乙南行得□□為虚股以乘通勾甲東行得□□為半段城徑冪【寄左】然後以天元自之又就分二之得□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問乙出南門直行一百三十五步而立甲從乾隅東行三百二十步望見乙問答同前 　　法曰以乙南行乘甲東行冪為實二之乙南行乘甲東行為從方亷空二步常法得半徑 　　草曰立天元一為半城徑以二之加於乙南行得□□為股率以天元減甲東行得□□為勾率乃置乙南行以勾率乘之得□□合股率除不除便以此為小勾此即半梯之頭【内帶股率分母】又以勾率乘之得□□□為半徑冪【内股率分母】寄左乃以股率乘天元冪得□□□為同數與左相消得□○□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問乙出南門東行七十二步甲從西北隅取直行三百二十步見乙問答同前 　　法曰二行相乘為實以東行為從一步常法得半徑草曰立天元一為半城徑以減甲東行步得□□為梯底以乙東行七十二步為梯頭以乘之得□□為半徑冪【寄左】然後以天元冪與左相消得丨□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問乙從西南隅直東行一百九十二步甲從西北隅直東行三百二十步望見乙問答同前 　　法曰二行步相乘為實二行相併為法得半徑草曰立天元一為半徑副置之上以減於乙東行得□□為梯頭於上下位減於甲東行得□□為梯底以乘上位得丨□□為半徑冪【寄左】然後以天元冪與左相消得□□上法下實即半徑也合問 　　或問乙從坤隅直南行三百六十步而止甲從乾隅直東行三百二十步望見乙問答同前 　　法曰二行步相乗倍之為實二之甲東行為從一步常法得城徑 　　草曰立天元一以為城徑加一南行得□□為股二行步相併得六百八十步為甲東行為勾勾股相乘得□□又倍之得□□為二直積【寄左】然後以勾股相併得□□為三事和以天元乘之得丨□為同數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　或問東門南不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十步望樹與城叅相直復就樹斜行一百七十步至樹問答同前 　　法曰兩段東行步冪内減兩段東行斜行相乗數為實【按或云倍東行步以二行差東之亦同】二之東行為從一益隅得城徑草曰别得東行步即大勾斜行步即小也乃立天元一為城徑減東行步得□□為勾圓差也【今為小勾】置東行步以斜步乘之得□合以小勾除之今不受除便以此為大【内帶小勾分母】再置東行步以小勾乘之得□□為大勾以減大得□□為大差合以小差乗之【縁内帶小差分母】更不湏乗便以此為半段黄方冪【更無分母】又二之得□□為一段黄方冪【寄左】然後以天元冪與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　依前問假令乙出東門南行不知步數而止甲從乾東行三百二十步望乙與城相直復就乙斜行一百七十步 　　法曰以甲東行乘二行差冪為實以甲東行乘二之二行差為從方二之二行差為隅法得半徑 　　草曰識别得二行相減餘一百五十即半城徑與乙南行共數也得此數更不湏用斜立天元一為半徑減於二行差得□□即半梯頭也又以二天元減甲東行步得□□為勾率又以一百五十為股率乃置甲東行以股率乘之得□合勾率除不除便以此為大股【内寄勾率分母】再置天元以勾率乘之得□□以減於大股得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□□為半徑冪也【内帶勾率分母】寄左然後以勾率乘天元冪得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問南門東不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十步見樹復向樹斜行二百七十二步至樹問答同前法曰二之二行差乘二之甲東行為實併二之二行差及二之甲東行為從二步益隅得城徑 　　草曰别得二行相減餘四十八步即虚積之勾也立天元一為城徑内減二之二行差得□□為梯頭於上置甲東行步以二之内減天元得□□為梯底以乘上位得□□□為城徑冪【寄左】然後以天元冪與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲從乾隅東行三百二十步而止乙出南門直行不知步數望見甲復就甲斜行四百二十五步與甲相㑹問答同前 　　法曰二行步相減以乘東行冪得數半之為實以半之東行步乗東行步於上二行步相減餘乗東行步減上位為從二之東行步為益亷一步常法得半徑草曰識别得二行相減是髙積上勾股較【此勾即半徑也】又别得是髙不及股圓差數乃立天元為半城徑以減東行步得□□為中勾其斜行步即中也又置半城徑以斜步乗之得□合以中勾除之不受除便以此為髙【内寄中勾為母】又以二行步相減餘一百五步為髙不及股圓差數置此數以中勾乘之得□□加入髙得□□為大差於上【内帶中勾分母】又倍天元減東行步得□□為小差又半之得□□以乘上位得□□□為半徑冪【内有中勾分母】寄左乃以天元自乗又以中勾乘之得□□□為同數與左相消得□□□□以立方開得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問甲乙二人俱在乾隅乙直南行不知步數而立甲直東行三百二十步望見乙復就乙斜行六百八十步與乙相㑹問答同前 　　法曰以二行差乘甲東行步又二之為實以二之二行差為從一步常法得城徑 　　草曰别得二行步相減餘三百六十步即股圓差也乃立天元一為圓徑以減於甲東行步得□□為小差以東行斜行差三百六十步乘之得□□倍之得□□為一段城徑冪【寄左】乃以天元冪與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　或問東門外不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十步望樹與城叅相直復就樹斜行一百三十六步至樹問答同前 　　法曰倍二行相減數内減甲東行得數復以乘甲東行為實【按或云倍斜步以減甲東行餘以甲東行乗之亦同】倍二行差為從二步虚常法得半徑 　　草曰識别得斜行步乃樹至城心步也立天元一為半徑加斜行步得□□即樹至城西門之步也乃以減於甲東行得下□□為小勾率其天元半徑即小股率其斜步即小數也再置甲東行步内減天元得□□為梯底於上又置梯底内減二之小勾率得□□【按倍小勾得三百六十八步少二元以少二元減梯底之少一元反為多一元以三百六十八步減梯底之三百二十步反為少四十八步也】以乘上位得□□□為半徑冪乃以天元冪與左相消得下式□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問南門外不知步數有槐一株甲從乾隅直東行至柳樹下望見槐樹復斜行至槐樹下甲自云我共行了七百四十五步乙從坤隅南行望見槐柳與城叅相直復斜行至槐樹下乙自云我南行步多於斜行步一百五步 　　按此問下有草無法今依細草補之 　　法曰置甲共步内減乙較步餘數折半自之再倍乙較步乗之為立方實置上減餘折半數又減二之乙較步復以減餘折半數乗之為從甲共步内減乙較步為亷五分為負隅開立方得城徑 　　草曰識别得一百五步是大差多於髙數又為髙上勾股差數又别得是甲斜行多於東行數也乃副置甲共行七百四十五步在地其上位加一百五步而半之得四百二十五步即甲斜行也其下位減一百五步而半之得三百二十步即甲東行也乃立天元一為圓徑以半之減於甲東行步得□□為中勾其甲斜行四百二十五步即中也再置天元以半之為小勾以中乘之得□合以中勾除不除便以為髙於上【内中勾分母】别置乙多步一百五步以中勾乘之得□□為大差多於髙數也以加入上位得下式□□為一个大差也置甲東行以天元減之又倍之得□□為二个小差以乗大差得下□□□為一段黄方冪【内帶中股分母】寄左然後置天元冪丨□以中勾通之得□□□與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問 　　或問出東門直行不知步數有槐樹一株出南門東行不知步數有柳樹一株槐栁斜相距一百五十三步甲從乾東行三百二十步望槐柳與城㕘相直問答同前 　　法曰二行相乘訖又以乗甲東行冪為實斜行乗甲東行冪又三之為從方甲東行冪内減兩段二行相乘數為第一亷二之甲東行為益二亷二步常法開三乗方得半徑 　　草曰立天元一為半徑以二之減於甲東行得□□為小差以自之得□□□加於甲東行冪復半之得□□□為大【内寄小差分母】又置斜相距步以大勾乘之得□合大除不除便以此為小勾【内大分母】乃以天元減甲東行數得□□為半梯底以乘小勾半梯頭得□□為半徑冪於上此半徑冪内有大分母此大分母元小差分母故先用小差分母以乗上半徑冪得□□□為半徑冪也内本大分母【寄左】然後以大乘天元冪得□□□□為同數與左相消得□□□□□開三乗方得一百二十步即半城徑也合問 　　或問甲從乾隅東行三百二十步而止丙出東門南行乙出東門直行各不知步數而立甲廻望乙丙悉與城叅相直既而乙就丙斜行三十四步相㑹問答同前 　　法曰甲東行再自之於上以二之斜行步乘甲東行冪減上位為立方實兩段南行冪内減東行斜行相乘數為益從以甲東行加五【按加五即加半】為從亷五分虚隅得全徑 　　草曰立天元一為城徑以減於甲東行步得□□為小差以自之得丨□□為小差冪也乃置甲東行冪内加小差冪而半之得□□□為大也【内帶小差分母】又置甲東行冪乃減小差冪而半之得□□○為大股也【内帶小差分母】乃置斜行步在地以大股乘之得□□合以大除之不除而又倍之得□□為梯頭也【即兩个小股内寄大為母權寄】乃置天元圓徑以半之以小差分母通之得□□以減於大股餘得□又倍之得□為梯底也【即兩个邊股内亦有小差分母】以乘權寄得□□□為城徑冪也【内寄大及小差分母】寄左然後以天元自之為冪以大通之又以小差通之得□□□□□為同數與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問 　　依前問假令東門外有樹乙出東門南行不知步數而立【只云樹去城步少於乙南行步】甲從乾隅向東行三百二十步望乙與樹悉與城叅相直乙復就樹斜行三十四步到樹問答同前 　　法曰甲東行自之又以斜步乘之為立方實置半段甲東行冪於上以斜步乗甲東行減上位為從亷空半步常法得勾圓差 　　草曰别得乙斜行即□也□得小勾股即大股較也乃立天元一為勾圓差以自之為冪副之上以加於甲東行冪而半之得□□□為大也【寄小差分母】下以減於甲東行冪而半之得□□□為大股也【寄小差分母】乃置斜步以大股乘之得□□□合大除不除便以此為小股【寄大分母】又置斜步以甲東行乗之得□合大除不除便以此為小勾而又以通母分通之得□為同分小勾也【寄大分母】注【大股乘時有小差分母今大勾無母故又以齊同之】又置斜步以大通之得□□□為同分小也三位相併得□□為勾圓差也【寄左】然後置天元以大通之得□○□為同數與左相消得□○□□開立方得八十步即勾圓差也以勾圓差減於甲東行步餘二百四十步即城徑也合問 　　或問南門外不知步數有樹甲從乾東行三百二十步而立乙出西門便南行望樹及甲與城叅相直却就樹斜行二百五十五步至樹問答同前 　　法曰二行相乘於上以半之甲東行乗之為實二行相乘於上又半之甲東行以乘甲東行加上位為益從甲東行為從亷一步虚法開立方得半徑 　　草曰立天元一為半徑便以為小勾其斜行即小也乃以甲東行為大勾以小乘之復以天元除之得□□即大也又倍天元減東行餘□□為小差以減大餘□□□為大股也又倍天元以減股餘□□為大差也却以半小差□□乗之得下式□□□為半徑冪【寄左】乃以天元冪與左相消得丨□□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問南門外不知步數有槐樹一株東門外不知步數有柳樹一株槐柳相距二百八十九步甲從乾東行三百二十步斜望槐柳與城叅相直問答同前法曰二行相乗得數又自增乘為實斜行冪乘甲東行又倍之為益從兩行相乘又倍之為益亷二之斜步為第二亷二步常法開三乘方得栁至城心步草曰别得柳至城心步即甲立處柳樹步也立天元一為柳至城心步加斜步得□□為底以天元乘之得丨□○合斜步除不除便以此為底勾【寄斜步分母】乃再置通勾以斜步乘之得□為帶母通勾内減底勾餘□□□為半徑以自之得丨□□□□為半徑冪内帶斜步冪分母【寄左】乃以天元減斜步得□□為明以天元乘之得□□合斜步除不除便以此為半梯頭【寄斜步為母】復以底勾半梯底乘之得□□□□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得一百三十六步即柳至城心步也合問 　　或問甲從乾隅東行三百二十步而立乙出城東行丙出城南行三人相望俱與城相直乙丙共行了一百五十一步問答同前 　　法曰以甲東行為冪折半又以自之為三乘方實倍共步加甲東行以乗半段甲行冪為從方甲行乗共數為從亷甲東行加五為第二益亷二分五釐常法得小差 　　草曰别得乙丙共行步即明股□勾共也立天元一為小差以自之副置二位上位減於甲東行冪以天元除之又折半得□○□即大股也下位加甲行冪以天元除之又折半得□○□為大也其甲東行即大勾也併大勾大股得□□□即大和也再立天元以減甲東行步得□□即圓徑也以圓徑加共行步得□□即皇極和也【即小和又為髙平共數】又倍之得□□即黄長黄廣共也内減大得下式□□□為皇極内小黄方也【亦為虚】再置大和□□□以小黄方乘之得下式□□□□□合以小和除之不除便以為城徑内寄小和為母【寄左】然後天元減甲東行得□□為大黄方以小和乘之得丨□□為同數與左相消得□□□□□開三乗方得八十步即小差也以小差減甲東行餘二百四十步即城徑也合問 　　或問丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立甲從乾隅東行三百二十步望乙丙悉與城㕘相直乙就丙斜行一百二步相㑹問答同前 　　法曰甲東行自之於上倍斜行步乘之為立方實倍斜行步乘甲東行於上加兩段甲東行冪為從四之甲東行為益亷四為隅法得半城徑 　　草曰别得斜步即虛減於全徑即小和也乃立天元一為半徑以二之減於甲東行得□□為小差也以自之得□□□為小差冪也置甲東行冪内加小差冪而半之得下□□□為大【内帶小差分母】置甲東行冪内減小差冪而半之得□□為大股也内亦帶小差為母又以小差乘大勾得□□併入大股得□□□為大和也【帶小差母】乃先以小乗大和得下□□□寄左次以斜步減於二天元得□□為小和以乗大得下式□□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步即半城徑也合問 　　依前問假令乙出東門南行丙出南門東行各不知步數而立【只云丙行多於乙行步】甲從乾隅東行三百二十步望乙丙與城㕘相直其乙丙共行一百二步問答同前法曰倍共步以乗甲東行冪為立方實共步乗甲東行於上又以甲東行自之加上位為益從甲東行為從亷五分隅常法得城徑 　　草曰别得共步便為小得小勾小股即與圓徑同立天元為城徑以減乙東行得□□為小差以自之得□□□為小差冪也乃置甲東行以自之為冪副之上以加小差冪而半之得□□□為大也【内寄小差分母】下以減小差冪而半之得□□○為大股也【内寄小差分母】乃置共步在地以大股乘之得□□合大除不除便以此為小股也【寄大分母】又置共步以甲東行乘之得□合以大除不除便以此為小勾而又以元分母小差乘之得□□為同分小勾【只寄大分母】注【其大内元帶小差分母其大勾内却無分母故母故今復以小差通之齊同其分母也】又置共步以大通之得□□□同分小也三位相併得□□為城徑也【内有大分母】寄左然後置天元城徑□以大分母通之得□□□○為同數與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問 　　測圓海鏡卷六 <子部,天文算法類,算書之屬,測圓海鏡> 　　欽定四庫全書 　　測圓海鏡卷七 　　元　李冶　撰 　　明□前一十八問 　　或問出南門東行七十二步有樹出東門南行三十步見之問答同前 　　法曰倍南行以乘倍東行為平實併二行又倍之為從一虚隅得城徑 　　草曰識别得此問名為外容圓又為内率求虚積其二行步相併為虚若以相減即虚較也又倍東行為較和倍南行即較較此二數相乘則兩虚積也若直以二行相乘則半个虚積也又倍東行減於城徑餘即二虚勾也倍南行減於城徑則二虚股也虚積上三事和即城徑也乃立天元一為圓徑便以為三事和也倍二行步減之得□□為黄方一天元乘之得□□為二虚積【寄左】然後倍東行以乗倍南行得八千六百四十為同數與左相消得丨□□益積開平方得二百四十步即城徑也合問 　　又法二行步相乘為實二行步相併為從一步虛法得半徑 　　草曰立天元一為半徑副置二位上加東行步得□□為大差勾下加□股得□□為小差股此二數相乘得下式丨□□為半段黄方冪【寄左】然後立天元以自之又二之與左相消得丨□□益積開平方得一百二十步即半城徑也 　　又法二云數相乘倍之於上加云數差冪權寄併二云數又自增乗得數内減上位為平實併云數而倍之為從二步益隅得半徑 　　草曰立天元一為半徑副之上減明勾得下□□為虚勾下減□股得□□為虚股勾股相乘得丨□□又倍之得□□□又加二行差冪□得□□□為冪【寄左】然後併云步以自之得□為同數與左相消得□□□益積開平方得一百二十步即半城徑也 　　又法云數相乘又倍之為平實云數相減為從一常法得虚勾 　　草曰立天元一為虚勾以南行減東行餘四十二步為虚較也以虚較加天元得丨□為虛股以天元乘之得下丨□為直積【寄左】然後倍南行乘東行得□與左相消得丨□□開平方得四十八步即虚勾也以勾除積得九十步即虚股也併勾股得□為虚和也内加入二行併□得□即圓徑也 　　又法併兩行步以自乘於上又倍南行乘倍東行加上位為平實一隅法得小和 　　草曰立天元一為小和併二行步加之得□□為三事和也倍二行步而併之得□以減三事和餘□□為黄方却以三事和乘之得下丨□□為二虚積也【寄左】乃倍南行以乘倍東行得□為同數與左相消得丨□□開平方得一百三十八步即虚和也加入二行步得二百四十步即城徑也合問 　　或問丙出南門直行一百三十五步而立甲出東門直行一十六步見之問答同前 　　法曰以丙行步一百三十五步再自之得二百四十六萬零三百七十五於上又以甲行步一十六乘丙行冪一萬八千二百二十五得二十九萬一千六百以乘上位得七千一百七十四億四千五百三十五萬為三乘方實以二行步相乘又倍之得四千三百二十以乘丙行步再自之數得一百六億二千八百八十二萬為益從第一亷空以甲行乘丙行冪得二十九萬一千六百又倍之得五十八萬三千二百於上四之甲行冪一千零二十四以乘丙行步得一十三萬八千二百四十減上位餘四十四萬四千九百六十為第二亷二行步相乘得二千一百六十為虚常法得丙行步上勾差八十一 　　按法中載數自此始亦擇其數繁者詳之使人易曉也 　　草曰識得二數相併以減於皇極餘即虚勾虛股併也若以二數相減餘為髙内減平又為皇極内少个小差又為大差内減个皇極也立天元一為丙行大差數置丙行步一百三十五自乘得□用天元除之得□□為勾併也上減天元得□□□為二丙勾也復用丙南行乘之得□□□為二積也又以天元除之得□□○□為丙勾外容圓徑【泛寄】别置丙南行用二甲勾乘之得□合用二丙勾除之不受除便以此為甲股【内寄二丙勾為分母】復用二甲勾三十二乘之得□為二个甲直積也又置丙南行内減天元得□□為黄方以自乘得丨□□為丙上勾差乘股差二段以天元除之得□□□為两个丙小差也乃用甲股乗之得下式□□□復用丙南行除之得□□□又折半得□□□為一个甲步股差也内亦帶前二丙勾分母復置二个甲直積内已寄此甲股差分母便為甲步股外容圓徑【寄左】乃再置先求到泛寄【按即前所寄□□○□之數】用甲股差分母乘之得□□○□□為同數與左相消得下式□□○□□開三乗方得八十一步即丙步上勾差也鈐經載此法以勾差率冪減丙行差冪復以丙行乘之為實以差率冪為法如法得徑此法只是以勾外求容圓半合以大差除陪積而今皆以大差冪為分母也依法求之勾差八十一自之得六千五百六十一以減於丙行冪一萬八千二百二十五餘一萬一千六百六十四復以丙行一百三十五乘之得一百五十七萬四千六百四十為實以大差冪六千五百六十一為法如法得二百四十步即城徑也 　　又法二行相乘得數又自之為三乘方實併二行步以乗二行相乘數又倍之為從二行相併數以自乘於上又二行相減數自乗減上位為第一亷第二亷空一益隅益積開之得半徑【其第一亷只是四段二行相乗數】 　　草曰立天元一為半城徑副置之上加南行步得□□為股下位加東行步得□□為勾勾股相乘得丨□□為直積一段以天元除之得丨□□為以自之得丨□□□□為冪【寄左】乃以勾自之得丨□□又以股自之得丨□□二位相併得□□□為同數與左相消得丨○□□□益積開三乘方得一百二十步即半城徑也 　　又法條段同前 　　草曰以前求得勾股率置出南門步為小股以勾率乘之得□□合以股率除不除寄為母便以此為半梯頭於上又置南行步加二天元得□□為大股以勾率乘之得□□□合以股率除不除寄為母便以此為梯底以乘上位得□□□□為半徑自乘數内帶股率冪為母【寄左】然後置天元以自之又以股率冪乘之得下丨□□□為同數與左相消得數一如前答 　　又法以二行差冪數自乗又倍之為實併二行步以乘二行差冪又四之為益從四段南行冪内減二段差冪於上又二段差冪内減四段東行冪餘以減上位【按併二行冪減二行差冪四因之亦同】為第一亷四之二行共為第二亷二步虚法益積開之得皇極二百八十九草曰立天元一為皇極以自之為冪於上以二行步相減餘□以自之得□為較冪以減上得丨□□為二直積復以天元除之得□○□為一个城徑也副置之上位加二之東行步得□□□為二勾也以自增乘得丨□□□□為四段勾冪於上下位加二之南行得□□□為二股也以自增乘得丨□□□□為四段股冪也併入上位得下式□□□□□為四段冪【寄左】然後以天元為冪四之為同數與左相消得下式□□□□□益積開三乘方得二百八十九步即皇極也　欲見城徑者别立天元半徑副之加東行為勾加南行為股勾股各為冪併之與冪相消開方得城徑也 　　又法以二行差一百一十九自乘得一萬四千一百六十一為差冪以東行步乘之得二十二萬六千五百七十六為汎率又自增乗得五百一十三億三千六百六十八萬三千七百七十六為五乘方實倍東行步得三十二以二行差一百一十九乘之得三千八百八為小汎以乘泛率又倍之得一十七億二千五百六十○萬二千八百一十六為從方併兩行而倍之得三百二以乘泛率得六千八百四十二萬五千九百五十二於上位以小泛冪一千四百五十萬○○八百六十四加入上位共得八千二百九十二萬六千八百一十六為第一亷併兩行而倍之得三百二以乗小泛得一百一十五萬○○一十六為寄數倍二行差以乘差冪得三百三十七萬零三百一十八内減寄數餘二百二十二萬零三百零二為第二亷六段二行差冪八萬四千九百六十六内減二行併數冪二萬二千八百一餘六萬二千一百六十五為第三益亷六之二行差七百一十四為第四益亷二步虚法得□三十四步 　　草曰立天元一為皇極上股差【即東行步上斜也亦謂□斜】以元加二行差得□□即明也【此即皇極上勾差也】以天元乗之又倍之得□□□即皇極内黄方冪也【泛寄】置皇極上勾差以東行步乘之得□□以天元除之得□□為明勾也又置天元以南行乘之得□□合用明除不除寄為母便以此為□股於上【寄明母】乃再置明勾以明乘之得□□□亦為帶分明勾加入上位得□□□即是一个虚也以自增乘得下式□□□□□為一段虚冪也内帶明冪分母【寄左】然後置明以自之得丨□□為明冪以乘泛寄得□□□□為同數與左相消得下式□□□□□□□開五乗方得三十四步為東行步上斜步也【即□】其東行十六步即□勾也勾各自為冪以相減餘九百步開方得三十步即□股也既各得此數乃以股外容圓半法求圓徑得二百四十步即城徑也合問 　　按此草又法求□至開帶縱五乘方法愈繁數愈賾而天元一之用愈見其妙苐所得帶縱五乘方亷隅積數雖具而未習其法者不能信其數之必然今姑取已得之□數按亷隅數推其積數以明其數之無可疑焉置五乘方數二以□三十四乘之得六十八與四乘方數七百一十四相加得七百八十二又以□乘之得二萬六千五百八十八與三乘方數六萬二千一百六十五相加得八萬八千七百五十三又以□乘之得三百零一萬七千六百零二與立方數二百二十二萬零三百零二相加得五百二十三萬七千九百零四又以□乘之得一億七千八百零八萬八千七百三十六内減所少平方數八千二百九十二萬六千八百一十六餘九千五百一十六萬一千九百二十又以□乘之得三十二億三千五百五十萬零五千二百八十内減所少元數十七億二千五百六十萬零二千八百一十六餘十五億零九百九十萬零二千四百六十四又以□乗之得五百一十三億三千六百六十八萬三千七百七十六為積數與草中積數合【此即無次商帶縱五乘方法】 　　或問出東門一十六步有樹出南門東行七十二步見之問答同前 　　法曰二行步相減得數以自之於上又以出東門步自之減上位為平方實二之出南門東行步為益從一步常法翻開得半徑 　　草曰别得人到樹即平也半圓徑即平股也其東行七十二步則平勾平差也乃立天元一為半徑加一十六減七十二得□□為勾也以自之得丨□□為勾冪又加入天元股冪得□□□為冪【寄左】再立天元一為半徑加出東門步得□□即也以自之得丨□□為同數與左相消得□□□翻法開之得一百二十步即半城徑也合問 　　或問出南門一百三十五步有樹出東門南行三十步見之問答同前 　　法曰樹去城步内減南行步餘以為冪於上又以樹去城步為冪内減上位為平實倍樹去城步為從一虚隅翻法得半城徑 　　草曰别得人距樹即髙也半圓徑即髙勾也其南行三十步即髙上小差也乃立天元一為半徑加樹去城步為内減小差□得□□即股也以自之得丨□□為股冪内加入天元冪得□□□為冪【寄左】再置□□自之得丨□□為同數與左相消得丨□□翻開得一百二十步即半城徑也合問 　　或問乙出東門不知逺近而立甲出南門東行七十二步望見乙就乙斜行一百三十六步與乙相會問答同前 　　法曰以斜行步自之於上以二行相減餘自為冪減上位為平實從空一步常法得半徑 　　草曰别得七十二步即大差也斜行即半徑即股也立天元一為半徑以自之為股冪又以二行差六十四以自之得□為勾冪併二冪得丨□□為冪【寄左】然後以斜行步自之得□為同數與左相消得丨□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問 　　或問甲出南門不知逺近而立乙出東門南行三十步望見甲却就甲斜行二百五十五步與甲相㑹問答同前 　　法曰二行差自之為冪以減於斜行冪為平實一虚隅得半徑 　　草曰别得南行步即股差也斜步即也半徑即勾也乃立天元一為半城徑以自之為冪以二行相減餘二百二十五以自之得□為股冪二冪相併得丨□□為冪【寄左】然後以斜行自之得□為同數與左相消得下丨□□開平方得一百二十步即半徑也合問 　　或問甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行三十步望見甲斜行一百二步相㑹問答同前 　　法曰二行相乘四之於上又加入斜行冪為平實得虚和一百三十八 　　草曰别得斜步内減南行為甲東行步也此問以外容圓入之以二行相減數乘乙南行三十步得□又四之得□為二直積也又加入斜步冪□共得□即和冪也平方而一得一百三十八步即虚和也又加斜步得二百四十步即城徑也合問 　　或問乙出東門南行不知步數而立甲出南門東行七十二步望見乙斜行一百二步與乙相㑹問答同前法曰倍相減步以乘倍東行得數復以減於斜步冪餘為實平方而一得較也又以二行相減數乘倍東行為平實以較為從方得勾勾較共為長又以斜步併入勾股共即城徑 　　草曰别得二行相減餘□為乙南行步也以此數又減於甲東行餘四十二步即較也乃以二行相減數□乘倍東行得□為平實以較為從平方開得四十八即勾也勾内加較得九十步即股也勾股共得一百三十八又加入斜步共得二百四十步即城徑也合問 　　或問乙出南門東行甲出東門南行兩相望見既而乙云我東行不及城徑一百六十八步甲云我南行不及城徑二百一十問答同前 　　法曰半甲不及步以自之為冪半甲不及步内減云數差以自之為冪二冪相併内却減差冪為平實二之乙不及為益從三步半虚法得甲南行 　　草曰别得乙不及為虚勾半徑共又為徑内減明勾也甲不及為虛股半徑共又為徑内減□股也又二云數相併為虚和圓徑共也云數相減即虚較也乃立天元一為甲南行以減於甲不及步又半之得□□為虚股也虚股内減虚較得□□為虚勾勾自之得□□□為勾冪也又股自之得下式□□□為股冪也二冪相併得□□□為冪【寄左】然後以天元加虚較得□□為乙東行又加入天元甲南行得□□為虚以自之得□□□為同數與左相消得□□□開平方得三十步即甲南行也内加少步即城徑也合問 　　或問丙出南門直行甲出東門直行兩相望見既而丙云我行少於城徑一百五步甲云我行少於城徑二百二十四步問答同前 　　法曰二少歩相乘訖又自乗為實六之共步乘云數相乘數為益從十八之云數相乘數於上又三之共步自乘加上位内復減丙少步冪甲少步冪為從亷四十八之共步為益二亷六十三步常法翻法開三乗方得一百二十步即半徑 　　草曰别得云數共減於倍城徑為甲丙共數又云數相減即皇極差亦為甲行不及丙行數立天元一為半城徑以三之副置二位上位減丙少步得□□為皇極股也下位減甲少步得□□為皇極勾也勾股相乘得□□□以天元除之得□□□為也自之得□□□□□為冪【寄左】然後以股自之得下□□□為股冪於上又以勾自之得□□□為勾冪併以加入上位得□□□為同數與左相消得□□□□□翻法開三乘方得一百二十步即半城徑也合問 　　或問甲出東門直行丙出南門直行各不知步數而立乙望見甲就甲斜行了二百八十九步與甲相㑹其二直行共一百五十一步問答同前 　　法曰斜冪内減共步冪為平實倍共步内減斜步為從一常法得徑 　　草曰别得共數城徑併即皇極和也立天元一為圓徑加共步得□□為皇極和以自之得丨□□於上以斜行冪□減上位餘丨□□為二直積【寄左】然後以天元乘斜步得□□與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲出東門直行乙出東門南行丙出南門直行丁出南門東行各不知步數而立四人遥相望悉與城叅相直只云甲丙共行了一百五十一步乙丁立處相距一百二步又云丙直行步多於甲直行步問答同前 　　法曰共步距步相減得數自之於上以共步為冪内減上為平實二之距步内減共步距步差為從一步虚法得城徑 　　草曰别得共步得城徑即皇極和也相距步即虚也皇極和内減虚即皇極也又共步距步差□即皇極内減城徑也【此名旁差】乃立天元一為城徑加共步得□□為皇極和也以自之得丨□□於上以共步距步差□加天元得□□為皇極也以自之得下式丨□□減上位餘得□□為二直積【寄左】然後以天元徑乘皇極得丨□為同數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行望見甲復就甲斜行與甲相㑹乙通計行了一百三十二步其乙南行步不及斜行七十二步其甲東行多於乙南行問答同前 　　法曰倍不及步在地以不及步減通步以乗之為實以四之不及步為法得乙南行三十步 　　草曰别得乙南行即□股也以減通步即虚也以減不及步即虚較也其不及步即甲東行也立天元一為乙南行置不及步以天元乘之又四之得□為二直積【寄左】然後倍不及步以為較和於上□以不及步減通步得□為較較以乗上位得□為同數與左相消得□□上法下實得三十步為乙南行也餘各以數求之 　　又法别得通行步為兩个乙南行一个甲東行共也其不及步即東行步也云步相併即兩个虚相減即兩个乙南行也 　　或問甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行望見甲復斜行與甲相㑹二人共行了二百四步又云甲行不及乙一百三十二【按甲不及乙六十步非一百三十二步當云甲行不及共步方合】問答同前 　　法曰别得二行共即兩个虛也其不及步即乙南行與一虚共也置不及步内減一餘三十步即乙南行也以乙南行反以減虚餘七十二步即甲東行也以乙南行減甲東行餘即虚較也　此問無草 　　按右二問語若淺近然以發明加減乘除相通之 　　義最為深切集中倣此者可類推之 　　或問乙出東門南行甲出西門南行甲望見乙斜行五百一十步相㑹乙云我南行少於城徑二百一十步問答同前 　　法曰少步冪為平實四斜步内減二少步為益從五步常法得乙南行 　　草曰别得少步為徑内減叀股立天元一為乙南行以二之減於倍斜行步得□□為梯底也以二之天元乘之得□□為徑冪【寄左】再置天元加少步得下式□□為城徑以自之得丨□□與左相消得□□□開平方得三十步即乙南行也加少步即城徑也合問 　　或問乙出南門東行甲出北門東行甲望見乙斜行二百七十二步與乙相㑹乙云我東行不及城徑一百六十八步問答同前 　　法曰以不及步冪之為實四斜内減二之不及步為虚從五常法平實開得乙東行七十二 　　草曰别得不及步為城徑減明勾也立天元一為乙東行以倍之減於二之斜行步得下□□為梯底也倍天元乘之得□□為徑冪【寄左】再置天元加不及步得□□為城徑以自之得丨□□為同數與左相消得□□□開平方得七十二步即乙東行也加入少步即城徑也合問 　　或問乙出南門東行丁出東門南行却有甲丙二人共在西北隅甲向東行丙向南行四人遥相望見俱與城叅相直既而相㑹甲云我多乙二百四十八步丙云我多於丁五百七十步問答同前 　　法曰二多步相乗為平實併二多步而半之為從七分半常法得城徑 　　草曰别得甲多步為大勾内減明勾也丙多步為大股内少叀股也又乙東行得一虚勾為半徑丁南行得一虚股為半徑又二多數相併得□為大和内少虚也又二多數相減餘□為兩个角差又甲多步内減半徑即勾方差也丙多步内減半徑即股方差也立天元一為城徑以半之減於甲多步得□□為勾方差又以半徑減於丙多步得□□為股方差二差相乘得□□□為徑冪【寄左】然後以天元冪與左相消得下式□□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲丙二人俱在西北隅甲向東行丙向南行又乙出南門東行丁出東門南行各不知步數而立四人遥相望見悉與城叅相直既而相㑹甲云我與乙共行了三百九十二步丙云我與丁共行六百三十步問答同前 　　法曰甲乙共自之為冪丙丁共自之為冪二冪又相乘為三乘方實甲乙共自之為冪以丙丁共乘之於上又以丙丁共自之為冪以甲乙共乘之加上位為益從甲乙共自之為冪丙丁共自之為冪併以七分半乘之於上又以甲乙共乘丙丁共得數減上位為第一益亷併二共數以七分半乘之為第二亷以七分半自之得五分六釐二毫五絲於上位以一步内減上位餘四分三釐七毫五絲為虚隅得城徑草曰别得甲為大勾乙為明勾丙為大股丁為叀股也甲乙共内減半徑即是黄長也丙丁共内減半徑即黄廣也黄長黄廣二數相減餘為兩个皇極差也乃立天元為城徑半之副置二位上以減於甲乙共數得□□即黄長也以自之得□□□為黄長冪也内減天元一冪餘得下式□□□為勾方差冪也下位以減於丙丁共得下式□□即黄廣也以自之得□□□為黄廣冪也内減天元一冪餘得□□□為殷方差冪也再以勾方差冪股方差冪相乘得□□□□□為徑冪【寄左】然後以天元為冪又以冪自之與左相消得下式□□□□□開三乘方得二百四十步即城徑也合問 　　測圓海鏡卷七 　　欽定四庫全書 　　測圓海鏡卷八 　　元　李冶　撰 　　明叀後一十六問 　　或問出南門向東有槐樹一株出東門向南有柳樹一株丙丁俱出南門丙直行丁往至槐樹下甲乙俱出東門甲直行乙往至柳樹下四人遥相望見各不知所行步數只云丙丁共行了二百七步甲乙共行四十六步又云甲丙立處相距二百八十九步問答同前 　　法曰以二共相減數又以減距數為實二為法得平勾 　　草曰識别得丙丁共即明和也甲乙共即叀和也相距步即極也二共相併即極内少个虚黄也又為極和内少个虚和也二共相減餘為平勾髙股差也又為虚差極差共也又為通差内減極差也立天元為平勾加入二共相減數得□□為髙又加天元得□□為極【寄左】以相距步二百八十九與左相消得□□上法下實如法得六十四即平勾也以二共相減數加平匀得二百二十五為髙股復以平勾乘之得一萬四千四百步開平方得一百二十步即城半徑也合問 　　又法二共數併以減相距數餘者半為泛率以泛率加丙丁共為長以泛率加甲乙共為闊長闊相乘為平方實得半徑 　　草曰置極内減二共併數餘三十六步即虚黄也半之副置二位上以加明和得二百二十五步為髙股也下以加叀和得六十四步為平勾也二位相乘得一萬四千四百步開平方得一百二十步即半徑也合問 　　或問依前見丙丁共二百七步甲乙共四十六步又云二樹相去一百二步問答同前 　　法曰以甲乙共乘樹相去步得數又以自之為平實從空併二共數為冪於上内減甲乙共自之數丙丁共自之數【按或云二共數相乘倍之亦同】為益隅得叀 　　草曰識别得兩樹相去步即虚也餘數具前立天元一為叀置明和以天元乘之合叀和除不除便以□為明也【内帶□和分母】乃置虚以分母叀和乘之得□加入明得□□為極股也内帶叀和分母以自之得下式□□□為極股冪【内寄叀和羃為分母】又以天元加虚得□□為極勾以自之得丨□□又以叀和冪□乘之得□□□為勾冪也勾股相併得□□□為兩積一較冪也内有叀和冪分母【寄左】然後置明□於上以叀和乘天元得□加上位得□為二併又置虚以叀和乘之得□併入上位得下式□□為極以自之得□□□為同數與左相消得□□□開平方得三十四步即叀也 　　又法以樹相去步自之又以甲乙共乘之為平實從空倍丙丁共為虚隅得叀 　　草曰立天元一為叀依前術求得明□便以為皇極勾差也【内帶叀和分母】以天元□便為皇極股差以乘之又倍之得□□為虚冪【内有叀和分母寄左】然後以虚自之又以分母□乘之得四十七萬八千五百八十四為同數與左相消得□○□開平方得三十四步即叀也合問 　　或問皇極大小差共一百八十七步明黄叀黄共六十六步問答同前 　　法曰後數自乘為實前後數相減餘為法得虚黄方草曰别得一百八十七即明叀二共也其六十六即太虚大小差共也又二數相併得□即明叀二和共若以相減餘□即明叀四差共也立天元一為太虚黄方面加二黄共得□□即虚也倍虚又加天元得□□即城徑也又以虚加皇極大小差得□□即極也以極乘城徑得□□□為兩段皇極勾股積【寄左】再以極虚相併得□□即皇極勾股共也自之得□□□内減皇極冪丨□□得□□□為同數與寄左相消得□□上法下實如法得三十六步即太虚黄方靣也合問 　　或問東門南有柳一株南門東有槐一株甲出東門直行丙出東門直行甲丙槐柳悉與城㕘相直既而甲就柳樹斜行三十四步至柳樹下丙就槐樹斜行一百五十三步至槐樹下問答同前 　　法曰云數相乘倍之便為平方實開方得虚一百二步以此加甲行步即極勾以此加丙行步即極股餘各依法求之　識别甲斜行即叀也丙斜行即明也　無草 　　或問東門南有柳一株南門東有槐一株甲出東門直行丙出南門直行二人遙相望槐栁與城邊悉相直既而甲復斜行至柳樹下丙復斜行至槐樹下各不知步數只云丙共行了二百八十八步甲斜行與柳至東門步共得六十四步問答同前 　　法曰二云數相乘於上以六十四步自之又二之減上位為平實十四之六十四於上倍丙行減上位為從【按倍丙行乃數偶合當云九个半六十四内減丙行為從】二十常法得甲直行步 　　草曰别得丙共步即明股明和也六十四即平勾也内甲斜行即叀也柳至東門步即叀股也又云二數相併即明差與極共也二云數相減即明差與平勾髙股差共也又平勾内減叀勾即虚勾也立天元一為叀勾置丙共步以天元乘之復以六十四除之得□□呔為明勾也又以天元減於六十四得□□為虚勾也併虚明二勾□□為半徑也以自之得□□□□倍之得□□□□為半段圓城徑冪【寄左】乃以天元加六十四得□□為勾圓差於上又以明勾加丙共步得□□□為股圓差於下上下相乘得□□□□為同數與左相消得□□□開平方得一十六步即叀勾也此叀勾乃甲出東門直行步也餘皆依數求　合問 　　或問東門南有柳樹一株南門東有槐樹一株甲出東門直行丙出南門直行二人遥相望槐柳與城邊悉相直既而甲復斜行至柳樹下丙復斜行至槐樹下各不知步數只云甲共行五十步丙斜行與槐至南門步共得二百二十五步問答同前 　　法曰以二百二十五步自之為冪又以此冪自為冪於上置甲共行以二百二十五步三度乘之得數復折半減上位為平實置二百二十五步自之數以二云數相減數乘之又倍之於上倍五十步在地以二百二十五步自之數乘之復折半加上位為益從云數相減自乘於上以云數相乘復折半減上位為常法得明股 　　草曰識别得甲共步即叀勾叀共也二百二十五即髙股也内丙斜行即明槐至南門步即明勾也又二云數相併即極内減一个叀差也云數相減即叀差與髙股平勾差共也又髙股内減明股即虚股也立天元一為明股即丙出南門直行步也置五十步以天元乘之得□合髙股除不除便以此□為叀股也内帶髙股□分母再置髙股内減天元得□□為虚股以分母髙股乘之得下式□□加入叀股得□□即半徑也以自增乘得下□□□為半徑冪也内帶髙股冪為母【寄左】然後置甲共步以分母髙股乘之得□加入叀股得□□為勾圓差於上【内帶髙股分母】又以天元加髙股得□□為股圓差於下上下相乘得□□□又以分母髙股乘之得□□□復折半得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百三十五步即明股也合問 　　或問通勾通共一千步叀勾叀共五十步問答同前 　　法曰置一千減二之五十步為汎率以自乘復半之於上又置泛率復以五十乘之加上位為平實二十二之泛率於上【按二十二乃此題叀和除通和所得通倍叀數加二數之數易題則數不同矣當直云通倍叀數加二數乘泛率】以四十二【按四十二乃此題倍通倍叀數加二數之數當直云倍通倍叀數加二數】乘五十得數内減泛率加上位為益從二百【按二百乃此題通倍叀數加二數自乘折半於上又倍通倍叀數併二數以減上位之數當同上不必載數】為常法得叀股 　　草曰立天元一為叀股置一千以天元乘之以五十除之得□為通股也又以天元加五十步得□□即小差也通股加小差得□□即通也以通減一千得□□即通勾也以小差減通勾得□□即圓徑也以圓徑減通股得□□即大差也置大差以小差乘之得□□□【寄左】然後置圓徑以自之得□□□折半得□□□與左相消得□□□開平方得三十步即叀股也合問 　　按此題通勾和為叀勾和度盡之數則不用寄分而用除法以從省便作者蓋舉一以例其餘也 　　或問通勾通共一千步明勾明共二百二十五步問答同前 　　法曰以後數再自乘又以前數乘之為平實以後數為冪又以前數乘之為從以前數冪為常法得明股草曰别得二百二十五步即髙股也立天元一為明股置一千以天元乘之合以髙股除不除便以此□為通股【内帶髙股為母】以天元加髙股□□即大差也置大差以髙股分母乘之得□□即帶分大差也以此減於通股餘□□即圓徑也以自增乘得□□□寄左【内髙股冪分母】然後置一千以髙股分母通之得□内減帶分大差得□□為兩个通勾也内減兩个圓徑得□□為兩个小差也以帶分大差乘之得下式□□□為同數與左相消得□□開平方得一百三十五步即明股也合問 　　或問通股通共一千二百八十步叀股叀共六十四步問答同前 　　法曰云數相乘為平實前數為益從置前數以後數除之得二十為泛率泛率減一以自乘於上又倍泛率減一加上位為常法倒積開得叀勾 　　草曰别得六十四步即平勾也立天元一為叀勾置前數以天元乘之以後數除之得□即通勾也又置天元加後數得□□即小差也以小差減通勾餘□□即圓徑也以自之得□□□【寄左】然後以小差減於前數得□□為二通股内減兩个圓徑得□□為二大差也以小差乘之得下□□□與左相消得□□□開平方得一十六步即叀勾也合問 　　或問通股通共一千二百八十步明股明共二百八十八步問答同前 　　法曰二數相減以後數乘之内減後數冪又半之為泛率以自乘為平實【按或云前數内減二後數餘以後數乘之折半自之亦同】置前數加二之後數而半之為次率以乘泛率於上以後數乘泛率減上位【按或云二數相加以乘前折半數亦同】為益從次率自乘之於上以前數加次率復以後數乘之減上位【按或云前數折半内減後數又以半前數乘之亦同】為隅法得明勾 　　草曰别得二數相減餘□為通勾通股及明勾共也立天元一為明勾置前數以天元乘之合以後數除之不除便以此□為通勾也【内寄後數分母】又以二數相減得數内又減天元得□□為通和也乃以分母二百八十八乘之得下式□□内減通勾餘□□為通股也又以天元加後數又以分母【即後數也】通之得□□為大差也以此大差減於通股得下式□□為一个圓徑也半之得□□以自得之□□□為半徑冪【寄左】然後以半圓徑減通勾得□□為底勾又以天元乘之又以分母二百八十八乘之得□□呔為同數與左相消得□□□開平方得七十二步即明勾也合問 　　或問明股明併二百八十八步叀勾叀併五十步又云明股叀勾併多於虚四十九步問答同前法曰前二數相併内減二之多步即圓徑又只以前二數相乘便是半徑冪 　　草曰識别得前二數相減而半之即極差也其多步名傍差又圓徑不及極數 　　或問平差髙差共一百六十一步明股叀勾併多於虚四十九步問答同前 　　法曰二數相減又半之以自乘為實後數為法得平勾 　　草曰立天元一為平勾以加前數得□□為髙股也又以天元加髙股得□□為極内減後數得□□又半之得□□為半徑以自之得丨□□【寄左】然後以天元乘髙股得丨□為同數與左相消得□□上法下實得六十四步即平勾也合問 　　或問平勾髙股差一百六十一步明差叀差併七十七步又云極多於城徑四十九步問答同前 　　法曰併上二位而半之為平率其四十九即旁率也副置平率上加旁率下減旁率以相乘為實倍旁差為法得勾圓差【按求實數有誤當云併上二位而半之内減後數於上又置上前數内減後數以乘上位為實方合】 　　草曰識别得平勾髙股差名為角差副置角差上加七十七而半之得□即極差也下減七十七而半之得□即虚差也角差加極差得□即通差也又極多於城徑步名為旁差副置角差上加旁差得□為兩个髙段上勾股較下減傍差得□為兩个平段上勾股較也又副置極差上加傍差得□為股圓差上勾股較下減旁差□為勾圓差上勾股較也立天元一為勾圓差依法求得通差加入天元得□□即大差也以天元乘之得丨□為半段圓徑冪【寄左】乃置大差□□内減股圓差上勾股較□餘有□□為股圓差之勾於上再置天元内加勾圓差上勾股較□得□□為勾圓差之股以乘上位得丨□□為同數與左相消得□□上法下實得八十歩即勾圓差也 　　又依前問見角差一百六十一步見明差叀差併七十七步又見太虚較較六十步問答同前 　　法曰前二數相減而半之得數加入半之太虚較較為泛率以自乘為平實置一百六十一内減二之泛率為從一常法得平勾 　　草曰别得□即二叀股也立天元一為平勾先以前二數相減而半之得□為虛差以虚差加叀股得□即明勾也以明勾加天元得丨□為平以自之得丨□□内減天元冪得□□為半徑冪【寄左】然後以天元加一百六十一為髙股以天元乘之得丨□為同數與左相消得丨□□開平方得六十四步即平勾也 　　又法曰前數内加半之太虚較較以自乘【按此語内有誤當云倍角差加半太虚較以半太虚較乘之】為實前數内減太虚較較為從一常法開平方得平勾此更不用明差叀差併也草曰依前求平勾前髙股内加叀股得□□為髙也以自之得丨□□於上位内減髙股冪丨□□餘得□□為半徑冪【寄左】然後以天元乘髙股得丨□為同數與左相消得下丨□□開平方得六十四步即平勾也合問 　　或問髙差平差併一百六十一步明差叀差併七十七步問答同前 　　法曰以前數自乘於上二數相併而半之以自乘減上位得數復自增乘為平實前數自之於上又以四之前數乘之寄位以前數自之於上併二數而半之以自乘減上位得數又以四之前數乘之【按此下落又倍之三字】減於寄位為從前數自之又四之於上又以四之前數為冪加上位權寄以前數為冪於上併二數而半之以自乘減上位得數復八之加上位又以四之前數為冪加入上位併以減於權寄為常法【按或云二和併而自之又半之以減髙平共差冪又四之為常法亦同】得平勾 　　草曰識别得二位相併而半之得□即極差也立天元一為平勾加一百六十一得□□為髙股髙股内又加天元得□□為極以自之得□□□於上内減極差冪一萬四千一百六十一餘□□□為兩段極積合以極除不除寄為母便以此為城徑以自增乘得□□□□□為圓徑冪【内有極冪分母寄左】然後以天元乘髙股又四之得□□又以分母極冪□□□通之得□□□□呔為同數與左相消得□□□開平方得六十四步即平勾也合問 　　或問見明和二百七步叀和四十六步問答同前法曰二和上下相減數同則止名為泛率又以二和直相減餘為泛實【此則角差也】乃以泛率除汎實所得為差率也以差率加減泛率若半訖與勾股相應者其泛率便為和率其泛實便為較率乘和率也若不相應則直取差率以消息之定為相管和率【其勾股數少得見黄而相為率者勾三股四則其和七而其較一也勾五股十二則其和一十七而其較七也勾八股十五則其和二十三而其較亦得七七勾七股二十四則其和三十一而其較一十七也勾九股二十則其和二十九而其較一十一也此消息之大畧也餘皆倣此】乃以和率約二和其明和所得為明壘率其叀和所得為叀壘率也又副置和率上加差率而半之則為股率也下位減差率而半之則為勾率也既見勾股及差三率各以壘率乘之即各得勾股及差之真數也 　　按此用約分以勾股率數求之甚為省便然必兩數度盡而得數最小者方可用若兩數不能度盡或雖度盡而得數尚大者轉屬繁難故又設後法 　　又法二云數相併以自乘於上二之云數相乘又四之以相併以四分半乘之又四之以併入上位為從方以七十步零四分三釐七毫五絲為常法得叀小差四步 　　按此法未求實數其求從隅皆用本題數不可通用今依細草意另演一法於後亦惟二和數可以度盡者用之若不能度盡者仍用寄分為便 　　法曰二和數相減自之為平方實叀和除明和得數自而倍之内減四之除得數再加二單數以乘二和相併之數為從除得數自而四之於上又以除得數自乘内減四之除得數外加一單數自之以減上位為常法得叀小差 　　草曰以二和相約命得叀率一明率四步半其兩數大小差率並同又别得明小差叀大差俱為半虚黄也立天元為叀小差以四歩半乘之得□元為□大差也又為明小差又為半虚黄置此□大差又以四步半乘之得□為明大差也其四差相併得□減於二和併得□□即兩段太虚大小差併也内加三段虚黄方□得□□合成一个太虚三事和即圓城徑也以自增乘得□□□為徑冪【寄左】乃置叀和加半虚黄得□□為平勾又置明和内加半虚黄得□□為髙股勾相乘得下式□□□又四之得□□□為同數與左相消得下式□□□開平方得四步即叀小差也合問 　　或問明叀二勾共八十八步明叀二股共一百六十五步問答同前 　　法曰先識别得二大差共二小差共及四差共乃以二大差二小差相乘為實以四差共為法如法得半之虚黄方 　　草曰先置前後云數以約法約之得一十一即壘率也復各置前後數如壘率而一前得八即勾率也後得一十五即股率也再以勾股率求得較率七和率二十三率一十七黄方率六大差率九小差率二即見諸率各以壘率乘之其二和共得□二較共得□二共得□二黄共得□二大差共□二小差共□四差共□已上皆為明叀所得之共數也乃立天元一為半虚黄便為明小差又為叀大差也以減於大差共得□□即明大差也又以減於小差共得□□即叀小差也以二數相增乘得丨□□【寄左】以天元冪與寄左相消得□□上法下實得一十八步即半之虚黄方也以倍之得□又加於二黄共六十六共得一百二即明勾叀股共也又為極黄方又為虚也又以三十六減於一百八十七餘一百五十一即明股叀勾共也此數内減虚餘□為明叀二差較也此名傍差以旁差減二共一百八十七餘得□即太虚和也却加入虚一百二併得□為太虚三事和即圓城徑也合問 　　又或以虚黄方加於上和共二百五十三得□為極也以旁差減極餘二百四十步亦同 　　又或前後副置勾股較和黄六率在地前以小差率二因之則勾得□股得□較得□和得□得□黄得□即叀段各數也後以大差率九因之則勾得□股得□較得□和得□得□黄得□即明段各數也既得明叀各數餘可知【按此因明即皇極形勾差叀即皇極形股差故以小差率乘各率即得叀段各數以大差率乘各率即得明段各數也】 　　按右二卷明叀前十八問後十六問在集中尤為神妙惜其中有偶爾思省未至者亦未暇修飾故耳 　　測圓海鏡卷八 <子部,天文算法類,算書之屬,測圓海鏡> 　　欽定四庫全書 　　測圓海鏡卷九 　　元　李冶　撰 　　大斜四問 　　或問甲丙俱在中心丙望南門直行不知步數而止甲出東門直行不知步數望見丙斜行與丙相㑹二人共行了六百八十步仍云甲直行少於丙直行一百一十九步問答同前 　　法曰二數相減餘以為冪内却減差冪為平實二數相減又四之於上又加入二之差步為益從二步常法得皇極勾 　　草曰别得共步即皇極三事和少步即勾股差也立天元一為皇極勾加少步得□□為股也又以天元加股得□□為和也以和減共步得□□為也自之得□□□為一段冪【寄左】然後置股以天元乘之又倍之得□□為二直積加入少步冪□共得□□□為同數與左相消得□□□平方而一得一百三十六即勾也勾加差為股勾股相乘倍之為實勾股和減共步為法得城徑 　　又法云數併與云數差相乘【按此句有誤當云和數與倍差相加相減二得數相乘】為平實云數併與二數差相併得數以減於八之共步為益從【按此只云六因和步為益從亦同】一步常法得皇極黄方 　　草曰立天元一為黄方【即虚也】副置之上位加共步得□□為二和也下位減共步得□□為二也先以二和自乘得丨□□為四段和冪又以二自乘得丨□□為四段冪二數相減餘得□又倍之得下式□為十六段直積於天元位【寄左】然後副置二和上位加二之少步得□□為四股下位減二之少步得□□為四勾勾股相乘得丨□□為同數與左相消得□□□平方而一得一百二步即皇極黄方也餘各依法求之合問 　　或問甲丙俱在西北隅起丙向南行不知步數而立甲向東行望見丙就丙斜行六百八十步與丙相㑹丙云我南行步多於甲東行二百八十步問答同前法曰以云數差乘云數併為實倍多步為從二為平隅得大勾 　　草曰立天元為大平【按大平即大勾】加差得□□為股倍天元乘之得□□為二積【寄左】然後以斜步多步併□與斜步多步較□相乘得□為同數與左相消得□□□開平方得三百二十步即大勾也合問 　　或問甲乙二人共立於艮隅乙南行過城外而立甲東行望乙與城叅相直而止丙丁二人共立於坤隅丁向東行過城門而立丙向南行望丁及甲乙悉與城俱相直丙復就甲斜行六百八十步與甲相㑹乙丁又云吾二人直行共得三百四十二問答同前法曰二云數相乘倍之為實倍斜行於上以二云數相減加上位為從一步常法開平方得城徑 　　草曰别得斜步即大也其共步則一徑一虚共也其二數相併為一大和一虚共數也立天元為徑減於共步得□□為虚也以虚復減於天元得□□為虚和以斜步乘之得□□【寄左】乃以天元加斜步得□□為大和以虚乘之得□□□為同數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲從北門向東直行庚從西門穿城東行丙從西門向南直行壬從北門穿城南行四人遥相望悉與城叅相直只云丙相望處六百八十步庚壬穿城共行了六百三十一步問答同前 　　法曰共步自之得數以共步減斜餘自乘以減上為實二之斜步加入共步減斜餘數為從一步常法得城徑 　　草曰共行步為一徑與皇和共也又為大和皇差也甲丙相望即大也以共步減大餘□為皇極上減一徑也立天元一為圓徑減於共步得□□為皇極和也以自之得丨□□於上内減共步餘□又以天元加之得□□為皇極以自之得丨□□減上位餘得□□為兩个皇直積【寄左】乃以天元乘皇得下式丨□為同數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　大和八問 　　或問庚從西門穿城東行二百五十六步而立壬從北門穿城南行三百七十五步而立又有甲丙二人俱在乾隅甲向東行丙向南行各不知步數而立四人遙相望只云甲丙共行了九百二十步問答同前法曰庚東行冪壬南行冪相併於上併庚壬步而倍之内減大和餘復減於庚壬共得數【按或云併庚壬步以減大和亦同】以自乘減上位為平實併庚壬步為益從半步為隅法得城徑 　　草曰立天元一為圓徑以半之副置二位上以減於庚東行得□□為平也下以減於壬南行得□□為髙也二相併得□□為皇虚共也倍此數得□□為大虚共也以大虚共減於大和餘□□為虚勾虚股共也天元内減虚勾虚股共餘□□即虚也復置皇虚共内減虚餘□□即皇極也以自之得□□【寄左】然後以平自之得下式□□□為勾冪也又以髙自之得□□□為股冪也二冪相併得□□□為同數與左相消得□□□平方而一得二百四十步即城徑也合問 　　或問丙甲俱在西北隅甲向東行不知步數而立丙向南行望見甲就甲斜行與甲相㑹甲直行丙直行共九百二十步【甲步少於丙步】又出東門南行有柳樹一株出南門東行有槐樹一株戊己二人同在巽隅戊就柳樹已從槐樹亦與甲乙遥相望只云已行少於戊行數與兩樹相距數相併得一百四十四步其二數相減餘六十步問答同前 　　法曰二云數相併而半之為虚以乘大和九百二十步於上以一百四十四減大和以虚較乘之減上位為平實以一百四十四減大和又二之於上以二之虚較減上位【按或云倍甲丙直行共加己戊較與兩樹距之較減三之己戊較與兩樹距之和亦同】為從四虚隅得太虚勾 　　草曰别得甲丙直行共即大和也戊就柳樹步即虚股也已就槐樹步即虚勾也其一百四十四步即二明勾其六十步即二叀股也立天元一為虚勾加明勾得□□為半徑也倍之得□□即城徑也【又為虚上三事和】二云數相併而半之得□即小也相減而半之得□即小較也以天元加較得□□即小股也小勾股共得□□即小和也以小三事減大和得□□即大也乃先置小和以大乘之得下式□□□【寄左】次以小乘大和得□□與左相消得下式□□□開平方得四十八步即虚勾也加明勾又倍之得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲從乾隅東行乙從艮隅南行丙從乾隅南行丁從坤隅東行四人遥相望見既而甲還至艮隅就乙丙還至坤隅就丁甲丙直行共九百二十步甲還就乙共二百三十步丙還就丁共五百五十二步問答同前 　　法曰併就數以減直行共復以所併就數乘之為實併就數減直行共得數復加入直行共為法得虚草曰别得甲丙直行共為大和也甲還就乙步為小差勾股共也丙還就丁步為大差勾股共也以大差勾股共減於大股餘即虚勾也以小差勾股共減於大勾餘即虚股也二數相併得□為大虚共也二數相減餘□為通差及大虚勾股差共也又併二數而半之得□為太極虚共又為太極勾股共也立天元一為虚先以二共數減於大和餘□為虚勾虚股和於上次以虚減於二共數餘□□為大以乘上位得下□□【寄左】然後以天元乘大和得□為同數與左相消得□□上法下實得一百二步即虚也加入虚和得二百四十步即城徑也合問 　　又法併云數減大和復以二數相減乘之為實併云數減大和得數復加入大和為法得虚差 　　草曰立天元一為虚較先以併云數減大和餘□為虚和於上次以天元減於二就步較□得□□為通差以乘之得□□【寄左】然後以天元乘大和得□為同數與左相消得□□上法下實得四十二步即虚差也副置虚和為二位上加虚差而半之得九十即虚股也下減虚差而半之得四十八即虚勾也勾冪股冪相併得□開平方得一百二步即虚也加入虚和得二百四十步即城徑也合問 　　或問依前見大和只云股圓差上勾差二百一十六勾圓差上股差二十步問答同前 　　法曰以云數二十步減通和復以二十步乘之於上以云數二百一十六減九百步【按即併二差以減大和】而半之乘上位為立實三因二十步以減通和得八百六十以二百一十六減通和而半之得二百四十二二數相乗訖内減二十之九百步又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八又以之以減之為從方【按取從方内語有誤當云三因小差減大和併二差減大和半之相乘於上三因大和加大差減三之小差半之以小差乘之得數減上位為從方】以二百一十六減通和又以三之二十步減通和相併於上以二之五百五十八内却減二十步餘以減上位為益亷【按取益亷内語亦有誤當云三因大和減六之小差為益亷】四步常法得小差股 　　草曰别得小差上股差□加二股為大勾也大差上勾差□加二勾為大股也立天元一為小差股加□得□□為小差也小差上又加天元得□□為通勾以減於和步得□□為通股也通股内減大差上勾差□得□□半之得下式□□即大差之勾也大差勾上又加勾差□得□□為大差也再置通股以小差乘之得□□□以天元除之得□□□為一个大也【泛寄】再置通勾以大差乘之得□□□合以大差勾除不除寄母便以為大【寄左】乃以大差勾乘泛寄得□□□□為同數與左相消得□□□□益積開立方得一百五十步為小差股也合問 　　或問依見前大和只云髙平共得三百九十一步髙平相較得一百一十九步問答同前 　　法曰以較數冪減於共數冪又半之為實以共數減大和為益從一步常法開平方得圓徑 　　草曰别得髙數減於通股為邊股内減明股也平減於通勾為邊勾内減明勾也其共數即大内減皇極又為皇極勾股共也其相較步即皇極差也二云數相併即黄廣也二云數相減餘即黄長也以共數減於大和餘□為皇極與圓徑共立天元一為圓徑以減皇極與圓徑共得□□為皇極也以共數自之得□於上以相較數自之得□減上位餘□又半之得□為兩段皇極積【寄左】乃以天元乘皇極得卜□為同數與左相消得下□□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　或問依前見大和只云大差四百八步小差一百七十步問答同前 　　法曰以併云數減大和復以乘大和又倍之為平實三之通和於上又以併云數減大和加上位為從二步虚法得圓徑 　　草曰大差減和步餘□為大勾大差勾共也以小差減大和餘□為大股小差股共也云數相併□即大内減虚也云數相減得□為虚平共也【按此二語因數偶合而誤見前】以相併數減於大和餘□為大差勾小差股共又為圓徑虚共也立天元一為圓徑減於□得□□為虚也返以減於圓徑得□□為小和也以天元減大和得□□為大以乘小和得□□□【寄左】乃再置虚以通和乘之得□□與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　或問依前見大和只云黄廣五百一十步黄長二百七十二步問答同前 　　法曰云數相併減大和復以相併數乘之為實云數相併減大和得數復以加大和為法得虚 　　草曰别得黄廣又為大差虚共又為邊股叀股共也黄長又為小差虚共又為底勾明勾共也以黄廣減於大股餘即虚股以黄長減於大勾餘即虚勾故併數以減於大和餘□為虚和也以虚和減徑□□即虚也二云數相併得□為大虚共也云數相減餘□為虚平共【按此句誤同上】立天元一為虚以減於七百八十二得□□為大也以小和乘之得□□【寄左】乃以天元虚乘大和得□呔為同數與左相消得□□上法下實得一百二步即虚也合問 　　或問依前見大和只云邊五百四十四步底四百二十五問答同前 　　法曰云數相減自之為實以大和減併數為法得皇極 　　草曰别得以邊減大股餘為半徑内減平勾又為平内減勾圓差也以底減於大勾餘為髙股内少半徑又為股圓差内少髙股也二云數相併得九百六十九為大皇極共也二云數相減□為皇極勾股差也併數内減通和餘□為皇極内減圓徑也立天元一為皇極以自之於上以一百一十九自之減上位得丨□□為二皇積【寄左】復置天元内減四十九得下式□□為黄方復以天元乘之得丨□與左相消得□□上法下實得二百八十九步即皇極也内減四十九餘即城徑也合問 　　按右大和八問每問於大和外復設二數然多有大和外設一數即可求者細考其法草所載皆三數並用婉轉求之蓋意在發明三數取用之理非不知其可省也 　　測圓海鏡卷九 　　欽定四庫全書 　　測圓海鏡卷十 　　元　李冶　撰 　　三事和八問 　　或問甲乙同立於乾隅乙向東行不知步數而立甲向南直行多於乙步望見乙復就東北斜行與乙相㑹二人共行了一千六百步又云甲南行不及斜行八十步問答同前 　　法曰共步内減四之小差復以自之於上以十八个小差冪減於上為實四之共步内減十六个小差於上却以十八小差加上為益從四步常法開平方得中差 　　草曰别得共步為三事和也不及步即小差也立天元一為中差加二之小差得□□為大小差併以加入三事和得□□為三也倍三事得三千二百内去大小差併得□□為三和也内減三餘□□為三个黄方以自之得□□□為九段黄方冪【寄左】再置天元中差加小差得□□為大差以小差□乘之得□□為半个黄方冪就一十八之得□□為同數與左相消得□□□開平方得二百八十步即中差也其餘各依法求之合問 　　或問以前三事和又云大差三百六十步問答同前法曰倍云數以云數乘之又九之於上倍云數加三事和為前數倍云數減二之三事和為後數二數又相減餘一百六十為泛率以自乘減上位為平實十八之云數内又加四之泛率為從四常法得中差草曰立天元一為中差置云步倍之内減天元得□□為大小差共數加於三事和得□□為三也倍三事内減大小差共數得下式□□為三和也内減三得□□為三个黄方靣也以自之得□【□□】□為九段黄方冪【寄左】再以天元減大差得下式□□為小差又倍之得□□以云數乘之得下式□□又就分九之得下式□□與左相消得下式□□□開平方得二百八十步即中差也合問 　　或問依前見三事和又云中差二百八十步問答同前法曰和步加差步以自乘於上又和步内減差步以自乘加上位為平實四之和步為從二步益隅得大 　　草曰立天元一為大減共步得□□為和副置之上位減差步得□□為二勾以自之得丨□□為四段勾冪也下位加差步得□□為二股以自之得丨□□為四段股冪也二位相併得□□□為四段冪【寄左】然後以天元自之又四之得□□為同數與左相消得□□□開平方得六百八十步即大也倍之以減於三事和餘即城徑也合問 　　或問依前見三事和又云小差大差併四百四十步問答同前 　　法曰併前後二數三而一為反以減共步得數又以減得城徑 　　草曰二數相併得□三而一得□即也以減三事和得□即和也和又相減餘二百四十步即城徑也合問 　　或問依前見三事和又云小差中差大差共七百二十問答同前 　　法曰半云數自之又三之於上以三事減上位為平實【按以三事減上位有誤此係偶合三事之數耳當云加半段三事冪又倍三事和加大差復以大差乘之減上位為平實】倍三事於上半云數而五之加上位為益從二常法得小差 　　草曰别得三差共為二大差也立天元一為小差併大差加入三事和得□□為三也以自之得丨□□為十八積九較冪【寄起】又以共三事步自之得□方於上又以天元小差乘大差倍之得□加於上得□□為十二積四較冪又加五【按即三因二歸】得□□為十八个直積六个較冪以減寄起餘得丨□□為三个較冪【寄左】然後以天元小差減大差得□□為中差以自之得丨□□又三之得下式川□□為同數與寄左相消得□□□平方而一得八十步即小差也餘各依數求之合問 　　或問依前見三事和又云明黄方叀黄方共六十六問答同前 　　法曰二事内加二之共步復以二之共步乘之於上位三事内減二之共步復以二之共步乘之得數減上位為平實三事内加二之共步又倍之於上又三【按三當作六】之共步加上位為泛寄三事内減二之共步又四之於上又三【按三亦當作六】之共步減上位得數以減泛寄為從作十八段虚平方開之得虚黄方 　　草曰别得共步即虚大小差也立天元一為虚黄方以三之加入倍之共步得□□為圓徑也以圓徑加三事得□□為二通和以圓徑減三事得□□為二通又副置圓徑上加天元得□□為二虚和下減天元得□□為二虚乃置二大和以二小乘之得下□□□【寄左】然後置二大以二小和乘之得下式□□□與左相消得□□□平方開之得三十六步即虚黄方也其餘各依法求之合問 　　或問依前見三事和又云皇極二百八十九步問答同前 　　法曰二數相乘為實從空一益隅得大 　　草曰立天元一為通内減皇餘□□為皇極勾股和以自之得丨□□於上以皇極冪減上位得丨□為二直積合於皇極除之不除寄為母便以此為城徑【寄左】乃以二之天元減共步得□□為黄方面以皇通之得□□與左相消得丨□□開平方得六百八十步即大也合問 　　或問依前見三事和又云見太虚一百二步問答同前 　　法曰半虚乘三事為實三事為從四虚隅翻開之得半大 　　草曰識别得以虚減大半之為皇極以虚加大半之為皇極勾股共也立天元一為半大以二之内減虚得□□折半得□□為皇極也又以虚加大而半之得□□為皇極和也和自之得丨□□於上又以自之得丨□□減上位餘得下□為二直積合以皇極除之不除寄為分母便以此為城徑【寄左】然後以四之天元減三事共餘□□又以皇極分母通之得□□□為同數與左相消得□□□倒積開得三百四十步倍之即大也合問 　　測圓海鏡卷十 　　欽定四庫全書 　　測圓海鏡卷十一 　　元　李冶　撰 　　雜糅一十八問 　　或問城南有槐樹一株城東有柳樹一株甲出北門東行丙出西門南行甲丙槐柳悉與城叅相直既而丙就柳行五百四十四步至柳樹下甲就槐行四百二十五步至槐樹下問答同前 　　法曰甲就步自之於上以二行相減數自之減上位為實二之二行相減數併入二之甲就步為從一步常法得平 　　草曰别得丙就步為邊也甲就步為底也邊即皇髙共也底即皇平共也二行相併即大皇共也二行相減即皇極勾股較也倍皇以減於大餘即虚也倍皇内減邊餘即叀也倍皇内減底餘即明也皇極加一差【按一差即皇極勾股較】則大差也内減一差則小差也立天元一為平加一皇極勾股差得□□即髙也髙自之得丨□□内加天元冪得□□□為皇冪【寄左】然後以天元減底得下式□□自之得丨□□為同數與左相消得丨□□開平方得一百三十六步即平也餘各依法求之合問 　　或問出南門東行有槐樹一株甲出北門東行斜望槐樹與城相直就槐樹行二百七十二步出東門南行有柳樹一株丙出西門南行斜望柳樹與城相直就柳樹行五百一十步問答同前 　　法曰云數相併而半之以自乘於上半丙斜行以為冪半甲斜行以為冪併二冪減上位為實併云數為益從一步平隅得虚 　　草曰别得丙斜行為黄廣也亦為兩个髙也此勾則城徑也甲斜行即黄長也亦為兩个平也此股則城徑也二數相併得□即大虚共也二數相減餘□即兩个皇極差也二數相併而半之得□即皇極和也立天元一為虚以減于皇極和得□□即皇極也以自之得丨□□為皇冪【寄左】然後以髙自之得□以平自之得□二自乘數相併得□與左相消得□□□開平方得一百二即虚也合問 　　或問甲從坤隅南行不知步數而立乙從艮隅南行一百五十步望見甲復斜行五百一十步與甲相㑹問答同前 　　法曰斜行自之於上倍南行減斜餘自之以減上為實倍南行減斜又四之為從八步常法平方得半徑草曰别得南行即小差股斜行即黄廣也小差股内減半徑餘即半个黄廣積上股差也全徑即其勾也立天元一為半城徑減于乙南行倍之得□□即一个黄廣即上股差也以減于斜行步餘□□即股也自之得□□□為股冪也又倍天元以自之得□□為大勾冪加入大股冪得□□□【寄左】然後以斜行冪□與寄左相消得下式□□□開平方得一百二十步即半徑也合問 　　或問乙從艮隅東行不知逺近而止甲從坤隅東行一百九十二步望見乙復斜行二百七十二步與乙相㑹問答同前 　　法曰倍東行減斜行得數自為冪以減于斜行冪為平實倍東行減斜行又四之為從八益隅翻法開平方得半徑 　　草曰别得甲東行即大差勾也斜行則黄長也大差勾内減半徑餘即半个黄長積上勾差也全徑即其股也立天元一為半徑減於東行倍之得□□即一个黄長積上勾差也以減于斜行步得□□即黄長勾也以自之得□□□為勾冪于上倍天元以自之得□□加上位得下式□□□為冪【寄左】然後以斜行冪□為同數與左相消得□□□平開得一百二十步即半城徑也合問 　　或問甲從坤東行一百九十二步丙從艮南行一百五十步望見之問答同前 　　法曰二行相乘倍之為平實如法得圓徑 　　草曰别得甲行即大差勾丙行即小差股此二數相乘恰與大小差相乘正同如法相乘訖倍之得□為圓徑冪【寄左】然然立天元為圓徑以自之與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　又法以二行相減數減于二行相併數餘者半之于上復以二行相減數加于上即城徑 　　草曰别得甲東行減于徑為虚勾也丙南行減于徑為虚股也二行共為一徑一虚共也二行相減即虚和也以相併數相減數又相減即兩个虚也如法求得虚和□虚□相併得□即城徑也合問按又法未合蓋以二行相減為虚較而草中誤以為虚和也其義甚淺非難知者是殆偶爾之遺忘然亦可以決其為當日未定之稿矣 　　或問出西門南行二百二十五步有塔出北門東行六十四步望塔正當城徑之半問答同前 　　法曰二行相乘為平實一步常法得半徑 　　草曰别得二百二十五步為髙股此乃半徑為勾之股也其六十四步為平勾此乃半徑為股之勾也二數相併即太極也二數相減即中差内去皇極差也又别得二行相乘恰是半徑冪一段此與半梯頭相乘其意正同今且以上容圓取之立天元一為半徑副之上加南行得□□為股也下加東行步得□□為勾也勾股相乘得丨□□為大直積以天元半徑除之得□□□為勾股和【寄左】然後併勾股得□□與左相消得丨○□開平方得一百二十步即半徑也合問 　　或問丙從乾隅南行丁從艮隅亦南行甲從乾隅東行乙從坤隅亦東行各不知步數四人悉與城相直只云丙行内減丁行餘四百五十步甲行内減乙行餘一百二十八步問答同前 　　法曰二行相乘為實一步常法得城徑 　　草曰别得丙行即大股丁行即小差之股也甲行即大勾乙行即大差之勾也其□即黄廣股其□即黄長之勾也立天元一為城徑先置黄廣股□為股方差以□為勾方差以乘之得□為城徑冪【寄左】然後以天元冪與左相消得下式丨□□開平方得二百四步合問 　　或問出南門東行有槐樹一株出東門南行有柳樹一株丙丁二人同立于坤隅甲乙二人同立于艮隅丁直東行至槐而止乙直南行至柳而止丙直南行甲直東行四人遥相望見只云丙行多于丁行一百六十八步乙行多于甲行七十步問答同前 　　法曰云數相乘為實二數相減又半之為法得城徑草曰别得□即大差勾股較也其□即小差上勾股較也二數相併為大差内減小差也二數相較又半之皇極與城徑差也二數相併而半之即皇極差也立天元一為圓徑二云相減數又半之加天元得□□為極也併二數而半之得□為極差也副置極上位加極差得□□為較和也下位内減極差得□□為較較也上下相乘得丨□□為二直積【寄左】然後以天元一乘極得下式丨□為同數與左相消得□□上法下實而一得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲從坤東行丙從艮南行適相見斜行一百二步甲丙相㑹丙云我南行不及汝四十二步問答同前法曰二數相併以斜行乘於上二數相併而半之以乘相併數減上位為平實不及步為從一步常法得虚勾 　　草曰别得一百二步即虚四十二步即虚較也又斜行得虚股為乙東行此便為大差勾也斜行步得虚勾為丙東行此便是小差股也立天元一為虚勾加斜行步得□□為小差股也以不及步加于小差股得下式□□為大差勾也勾股相乘得丨□□為半段黄方冪【寄左】然後再置虚勾加不及步得□□為虚股又加入天元得□□為虚和又加入虚得□□為圓徑以自之得□□□又半之得□□□與寄左相消得丨□□平方開得四十八步即虚勾也合問 　　或問甲從城心東行丙從城心南行庚從巽隅西行壬從巽隅北行四人遥相望見各不知步數只云甲丙共行了三百九十一庚壬共行了一百三十八問答同前 　　法曰云數相乘為實相併為法得虚 　　草曰别得甲丙共為皇極和也又為極極黄共庚壬共為太虚和也又為虚虚黄共立天元一為皇極黄方靣【亦為虚也】減于甲丙共得□□即極也又以天元減于庚壬共得□□即太虚黄方靣也以太虚黄方靣乘極得丨□□【寄左】然後以天元冪與左相消得□□上法下實如法得一百二步即皇極黄方靣也合問【按此亦係相消後得一邊之二數者】 　　或問甲從乾隅東行不知步數而止丙向南行亦不知步數望見甲就甲斜行七百八十步與甲相㑹甲云我行地雖少于汝以我東行步為法除汝南行步則汝止得二步四分問答同前 　　法曰斜步自之為平實除步自之又加一步為隅得甲東行 　　草曰此問所求城徑與諸問並同其勾股則與前後諸率不同今特為此草者欲使後學有以考較諸率當否也立天元一為甲東行【即大勾】以乗二步四分得□為長以自之得□□為股冪又併入天元冪得□□為冪【寄左】乃以斜行自之得□為同數與左相消得□□□開平方得三百即甲東行也以二步四分乘之得七百二十步即丙南行也倍丙東行以甲東行乘之得四十三萬二千為實以三事和一千八百為法除之得二百四十步即城徑也合問 　　或問小差黄方靣少于大差黄方靣八十四步太虚黄方靣少于皇極黄方靣六十六步問答同前 　　法半八十四為中差以中差減六十六為二小差半之為小差又中小差相併為大差乃以小差乘大差為平實半步常法得虚黄 　　草曰别得八十四為兩个虚積中差其六十六為虚積大小差併半八十四得□為虚中差也以中差減六十六餘二十四半之得□即虚小差也以小差反減六十六餘□即虚大差也又别得小差黄方為兩叀股大差黄方為兩明勾也立天元一為虚黄方置三位上加小差得□□為虚勾也中加大差得下□□為虚股也下加大小差併得□□為虚也三位併之得□□即城徑也倍虚勾減城徑得□□為大差黄方靣也又倍虚股減城徑得□□為小差黄方靣也半小差黄方靣得□□以乘大差黄方得□□□為一个虚直積【寄左】乃以虚勾虚股相乘得丨□□為同數與左相消得□□□平方開得三十六步即虚黄方靣也其餘依法求之合問據此問既别得大小差正數自可以求得黄方靣也諸如此數實不湏草今特為細草者庶使後學知其來歴 　　或問大差較較減皇極餘四十九步小差較和減太虚餘一百三十八步又皇極差一百一十九步問答同前 　　法曰併前二數為冪内減極差冪為平實從空二益隅得虚 　　草曰别得大差較較與小差較和皆同為圓徑也又二數相併得□為明叀共又為極和内少兩个虚也其一百三十八即虚和也□則旁差也立天元一為虚加入一百三十八得□□為圓徑也又加入□得□□為極以自之得丨□□又倍之得□□□内却減極差冪□得下式□□□為和冪【寄左】乃倍天元加併數得□□為極和以自增乘得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二步即虚也加入一百三十八得二百四十步為圓徑合問【前二數相併加虚便是極】 　　或問小差不及平五十六步髙不及大差一百五步問答同前 　　法曰以前數自之為實二數相減為法得平勾草曰别得云數相併得□為平勾不及髙股也此數得極差則通差也此數内減虚差則極差也云數相減餘□即城徑不及極也以前數減于半徑餘即平勾以後數加于半徑即髙股也倍前數加小差則為股圓差之勾也此與前數加平同倍後數減于大差則為勾圓差之股也此與後數減于髙同立天元一為平勾加相併數得□□即髙股也又加天元得□□即極也内減二云數差得□□為城徑也半之得□□以自之得丨□□為半徑冪【寄左】然後以天元乘髙股得丨□為同數與左相消得□□上法下實得六十四步即平勾也合問 　　又法云數相得為實相減為法得半徑 　　草曰立天元為半徑副之上内減五十六得□□為平勾下加一百五得□□為髙股上下相乘得丨□□為半徑冪【寄左】以天元冪與左相消得下式□□上法下實得一百二十步即半徑也合問 　　或問通勾通共一千步大差小差共得四百四十步問答同前 　　法曰以二差共減于一千又半之以自乘為平實以二差共減于一千又半之加入二之前數為縱【前數謂一千也　按此語有誤應加入二之後數後數謂大小差共也】二步二分五釐益隅得勾圓差 　　草曰立天元一為小差數加入後數得□□却以減于前數得□□折半得□□為一个圓徑也以自之得下式□□□【寄左】然後以天元減後數得□□為大差以天元乘之又倍之得□□與左相消得□□□開平方得八十步即勾圓差也 　　或問皇極三事和六百八十步太虚和較三十六問答同前 　　法曰二數相得為實半之後數為益從五分常法平開得城徑 　　草曰别得皇極三事和即大也立天元一為城徑減三个後數□而半之得□□為太虚大小差併也却加入兩个後數□得下□□為虚和也又以虚和減天元得下□□為虚也置通【即皇極三事和也】内加天元得下式□□即通和也乃置通和以虚乘之得下式□□□【寄左】再置虚和以通乘之得下□□為同數與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　或問出南門行一百三十五步有樹出北門行一十五步折而東行二百八步望見問答同前 　　法曰以東行步乘南行步得數又自乘為實以東行步自乘乘南行步又倍之為從東行步自乘于上併南北二行步以減于東行步餘數自之為冪以減上再寄位又併南北二行步以東行步乘而倍之内減再寄為第一益亷四之東行步于上又併南北二行步減于東行步又四之減上位為第二益亷四步虚隅開三乘方得半徑 　　草曰立天元一為半徑【即髙勾也】置南行步加天元得□□為髙也置大勾□以髙乘之得□□復以髙勾除之得下式□□為大也令之自乘得□□□【寄左】又置二之天元加南北行併得□□為大股復用大勾二百八減之得□□為較也以自乘得□□□為較冪以減寄左得□□□□□為二直積【寄左】再置大股□□以大勾□乘之得□□為直積又倍之得□□為同數與左相消得□□□□□翻法開三乘方得一百二十步即城徑之半也合問 　　或問出北門一十五步折而東行二百八步有樹出西門八步折而南行四百九十五步見之問答同前法曰先置南行步内減一東二西併步餘二百七十一為前泛率次併一南二北内減東行步餘三百一十七為中泛率次併東西步以南行步乘之于上位又以西行乘南北併得數減上位餘一十萬二千八百四十為後泛率乃以後泛率自乘得一百五億七千六百六萬五千六百為三乘方實以前中二泛相減餘四十六以乘後法數為從前中二泛相乘得八萬五千九百七加入二之後泛數共得二十九萬一千五百八十七于上位又併東西行以乘南北併得二十二萬三百二十加上位通得五十一萬一千九百七為第一亷二之前泛數加入四之東西併得一千四百五十二于上位又以前中二泛相減于四十六減上位餘一千四百六為第二亷一步常法得半徑【按此法乃取於又法草中其求第二亷云二之前泛數句誤當云二之四數併若二之前泛數加入四之東西併便得第二亷一千四百零六更不待再減然原文之意不如是也】 　　草曰立天元一為半城徑加入東行西行併得□□為大勾也又置天元加入南行北行併得□□為大股也置西行八步以大股乘之得下式□□合以大勾除之不除寄為母便以此為股尖也置南行四百九十五步減天元得□□用分母大勾乘之乘訖得下式□□□内減了股尖餘□□□為小股也【内帶大勾分母】置小股合以大勾乘了復以大股除之為小勾今為小股内已有大勾為母更不湏乘只以小股□□□便為小勾也【内帶大股為母】小勾小股相乘得數為一个小勾股相乘直積内帶大勾股相乘直積為分母也乃以半城徑【即天元也】除之為一个較和也丨□□□□此法本取勾外容圓合以較和除二積為勾外所容之圓今用天元半徑除一个積則却得一个較和也内依舊帶大積分母也【寄左】然後再置小股□□□合用大積乘之縁内已帶大勾分母今只用大股□□乘之得□□□□為大積所乘小股于上再置小勾合用大積乘之縁内已帶大股分母合只用大勾□□乘之得□□□□為大積所乘之小勾也以此小勾減上小股得□□□即帶分小較也又二因小較得下式□□□為帶分二較也又以大勾股直積丨□□乘二之天元半徑得□□□為一个帶分較較也【較較乘較和為二直積既以圓徑除二百積為較和則是圓徑為較較也今又為半天元圓徑除一積為較和故倍天元半徑作一个較較也】遂将此較較加入前二較得□□□□亦為一个較和也與寄左相消得下式丨□□□□開三乘方得一百二十步即城半徑也合問 　　又法此問係是洞淵測圓門第一十三前答亦依洞淵細草用勾外容圓術以入于較和然其數煩碎宛轉費力今别草一法其亷從與前不殊而中間段絡逕捷明白方之前術極為省易學者當自知也　立天元一為半徑副之上併加東西行得□□為通勾率下併加南北行得□□為通股率乃置西行八步以通股乘之得下□□合通勾除不除寄為母便以此為南小股也又置南行四百九十五步内減天元得□□用通勾乘之得□□□内減了南小股下式卜□□為股圓差也内帶通勾分母又置北行一十五步以通勾乘之得□□合通股除不除寄為母便以此為北小勾也又置東行二百八步内減天元得□□用通股乘之得□□□内減了北小勾餘□□□為勾圓差也【内帶通股分母】乃以二差相乘得下式丨□【□□】□【□□】為半段圓徑冪也内帶通積為母【寄左】然後以通勾通股相乘得丨□□以天元冪乘之得丨□□□又倍之得下式□□□□為同數與左相消得亷從一與前同合問 　　按洞淵疑為古之精於算者序中謂老大以來得洞淵九容之說而於此問又明其為洞淵測圓門第十三題前答亦依其細草大抵是書之作皆師其意而演之者也今洞淵之為人與書雖不可考而即此一草觀之其取徑遙深而惟變所適亦可見文豹之一班矣至謂其數煩碎宛轉費力特為初學難易而言讀者宜善㑹也 　　測圓海鏡卷十一 　　欽定四庫全書 　　測圓海鏡卷十二 　　元　李冶　撰 　　之分一十四問 　　或問甲乙二人俱在西北隅乙向直東行不知步數而止甲向直南行望見乙復向乙斜行甲告乙云我直行斜行共一千二百八十步汝東行步居我南行步十五分之八 　　法曰十六之共步冪為實二百五十七之共步為益從一十六步常法得勾圓差 　　草曰别得共步即股共也立天元一為小差以乘共步得□為勾冪就分以二百二十五通之得□為二百二十五段勾冪【寄左】然後再置共步内減小差得□□為二股就分四之得□□為一十五勾以自之得□□□為同數與左相消得□□□平方開之得八十步即小差也既得小差加共步而半之得六百八十步即也若以減共步而半之得六百步即股也以股冪減冪餘一十萬二千四百步開平方得三百二十步即勾也勾股相乘倍之得三十八萬四千步為實以和和一千六百步為法實如法而一得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲乙二人俱在西北隅乙直南行不知步數而立甲直東行望見乙復向乙斜行與乙相㑹甲云我共行了一千步又云我東行步居汝南行步十五分之八 　　法曰二百二十五段共步冪為實七百六之共步為益從二百二十五步常法得股圓差 　　草曰别得共步即勾共也立天元一為大差以乘共步得□又就分以二百五十六通之得□為二百五十六个股冪【寄左】然後再置共步内減天元大差得□□為二勾就分以一十五之得□□為十六个股也以自之得□□【□□】為同數與左相消得□□□開平方得三百六十即大差也副置共步上位減大差而半之得三百二十步即勾也下位加大差而半之得六百八十步即也餘數各依法求之合問 　　或問甲乙俱在城西北隅甲南行不知步數而立乙東行亦不知步數望見甲就甲斜行與之相㑹乙云我東步少于城周九分之五甲云我南行却多于汝東行二百八十步問答同前 　　法曰别得周居九分徑居三分乙東行居四分【按此法未詳當加倍較步為實徑分數自之内減二分數為法得數三之即城徑二十四字】 　　草曰立天元一為一分之數以三之得□為徑以四之得□為勾以徑減勾餘□為小差【只天元便是小差】再置小差加入甲多步得□□為大差倍大差以天元乘之得□□為一段圓徑冪【寄左】再置城徑以自之得下式□□為同數與左相消得□□上法下實得八十步即一分之數也以三之得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行望見甲既而乙云我所行居城徑六分之五甲云然則我所行却多于汝二百八十步問答同前 　　法曰四之却多步為實分自之于上半分母減子得數倍之又以減數乘之減上位為法得一分之數草曰别得却多步即勾股差也乃立天元一為一分數以六之為城徑以五之為乙行置乙行内減半城徑得□為小差也又加入却多步得□□又二之得□□為二大差又以小差乘之得□□為徑冪【寄左】然後以徑冪□□與左相消得下□□上法下實得四十步即一分之數也六之則為城徑五之則為乙行又以却多步加乙行即甲行步也合問 　　或問甲丙二人俱在西北隅甲向東行不知步數而立丙向南行望見甲與之相㑹丙語甲云我行既多于汝又城徑少于我四十分之十六【按四十為股分十六為徑當云徑少於我為四十分之十六原文脫為字似十六為股圓差分矣】甲云然則吾二人共行了九百二十步問答同前 　　法曰倍子以減倍母又乘共行步為實倍子減倍母以乘子母併數于上又以子冪加上位為法如法得一十五步即一分之數也 　　草曰别得共行步即通和也又别得四十分之十六或作二十分之八或作十分之四亦得但所得分數不同耳乃立天元一為一分之數以十六之為城徑以四十之為丙行丙行減和步得□□為通勾勾内減徑餘得□□為小差于上以分母分子相減餘□又倍之得□為兩个大差以乘上位得□□為圓徑冪【寄左】然後以分子十六分自之得下□□與左相消得□□上法下實得一十五步即一分之數也以十六之得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲乙俱立于城中心乙出東門直行不知步數而立甲出南門直行亦不知步數望見乙向乙斜行與之相㑹乙云我居汝南行十五分之八又云斜行步内若減甲直行餘三十四步若減乙直行餘一百五十三步問答同前 　　法曰以云數二減步為小差大差以相乘倍之開平方加入大小差併以自之於上又以大小差相較數以自之減上位為實甲行分乙行分相乘又倍之為隅法得一分之數 　　草曰别得云步相併得一百八十七是于皇極内少一个皇極黄方靣也又别得三十四步是个小勾圓差其一百五十三步是一个小股圓差此二差又相減餘一百一十九即中差也乃立天元一為一分之數以八之得□為乙東行數以十五之得□為甲南行數以二數相乘又倍之得□□為二直積于上【寄左】然後以云步三十四乘一百五十三得五千二百二又倍之得一萬四百四為平方實開之得一百二步即小黄方也加入相併數一百八十七得二百八十九為小也以自之得八萬三千五百二十一為冪于上以中差冪一萬四千一百六十一減上位餘□與左相消得□□□平方開之得一十七步即一分之數也副置一分之數上位以八之得一百三十六即乙東行也下位以十五之得二百五十五即甲東行也二位相乘得三萬四千六百八十又倍之得六萬九千三百六十為實以二百八十九為法如法得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲出西門南行乙出北門東行各不知逺近兩相望見復相斜行各行了三百四十步相㑹甲云城徑居我南行二分之一乙云我東行居城徑六分之五問答同前 　　法曰以二之斜行步自之為實以各行分數自之為冪【按此語未詳當云以城徑六分乘甲南行二分得十二分加半城徑三分得十五分為大股分乙東行五分加半城徑三分得八分為大勾分各自之為冪】又相併為隅法開平方得一分之數 　　草曰别得倍斜行為大又别得乙行五分城徑六分甲行十二分乃立天元一為一分之數以六之得□為城徑以五之得□為乙行分以十二之得□為甲行分乃副置半城徑上位加甲行步得□以自之得□□為甲行冪下位加乙行步得□以自之得□□為乙行冪二冪又相併得□□為大冪【寄左】然後置大六百八十步以自之得□與左相消得□□□平方開之得四十步即一分之數也以六之得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行見之乙斜行與甲相㑹甲乙二人共行了一千三百六十步其甲南行居斜十七分之十二其乙東行居斜十七分之五問答同前 　　法曰别得共步即二也半共步得六百八十步副置上位以五之得三千四百以十七而一得二百步即乙東行也下位以十二之得八萬一千六百以十七而一得四百八十即甲南行也二行相減餘二百八十即勾股差也其餘各依法求之合問 　　或問甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行望見之既而乙謂甲云我取汝六分之五得六百步甲謂乙云我取汝五分之三亦得六百步問答同前法曰求得各行步【按見後草】相併以自之于上併甲南行冪乙東行冪以減上為實併各行為從半步常法得全徑 　　草曰置【乙取甲六分之五六百步甲取乙五分之三六百步】以上六分五分各自直乗步數訖得人【六分　之五　三千六百步五分　之三　三千步】别得左行三千六百步為六乙行五甲行也右行三千步為五甲行三乙行也以方程法入之乃再置【五甲行　六乙行　三千六百步五甲行　三乙行　三　千　步】先以左行直減右行右上空中餘三乙行下餘六百步上法下實得二百步即乙行也却以今右行減于元左行上餘五甲行空中下餘二千四百步上法下實得四百八十步即甲行也既得此數乃立天元一為城徑以半之副置二位上以加甲行得□□為通股以自之得□□□為大股冪下位加乙行得□□為通勾以自之得□□□為大勾冪二冪相併得□□□為大冪【寄左】乃併甲行乙行以自乗得下式□亦為大冪與左相消得下□□□開平方得二百四十步即城徑也合問 　　或問甲從坤隅南行不知步數而立乙從艮隅東行望見之既而乙謂甲云我所行取汝所行三分之一得二百步甲謂乙云我所行内減汝所行四分之三得三百步問答同前 　　法曰如法求得各行【按見後草】以相乗又二之開平方得全徑 　　草曰置【乙取甲三分　之一　二百步甲減乙四分　之三　三百步】以上三分四分置乗步數訖得【三分之一　六百步　　四分之三　一千二百步】别得右行六百步為三乙行一甲行也左行一千二百步為四甲行内少三之乙行步也以方程法入之乃再置【一甲行　三乙行　　六　百　步四甲行　三乙行負　一千二百步】先以左行直加右行右上得五甲行中空下一千八百步上法下實得三百六十步即甲行也次以一甲行減元右行六百步餘二百四十步以中三除之得八十步即乙行步也甲行乙行二數相乘得數又倍之開平方即城徑也合問 　　或問股圓差如股五分之三勾圓差如勾四分之一又云其大小差相減餘二百八十步問答同前 　　法曰二之中差為實置股子以勾母乗之内減股母為法得小差 　　草曰别得勾圓差即小差股圓差即大差云步即中差乃立天元一為小差以四之得□為勾勾上加中差得□□為股又三之得□□為五个大差也内減五个天元得□□為五个中差也【寄左】乃以五之相減步□與左相消得□□上法下實得八十步即小差也合問 　　或問股圓差如股五分之三勾圓差如勾四分之一又云勾母每分少于股母每分四十步問答同前法曰二之少步實以股子母相減數減勾子母相減數為法如法得小差 　　草曰立天元一為勾圓差便為勾母每分數以天元加四十步得□□為股母每分數于上乃以股子減股母餘二分以乘上位得□□為城徑【寄左】再置天元在地以勾子減勾母餘三分以乗之得□□為同數與左相消得下丨□上法下實得八十步即勾圓差也合問 　　或問甲出南門直行乙出東門直行望見甲斜行與甲相㑹甲云我行不及股圓差二十四分之十五乙云我行不及勾圓差五分之四又云甲行多于乙行一百一十九股圓差多于勾圓差二百八十問答同前法曰以大差母分二十四以乘甲多一百一十九得數倍小差母五得一十以乘之于上以小差母五乗二之二差相較數又九之減上位為實倍小差母得一十却以小差乗之又九之于上倍甲分母以小差母乗之得數減上位以為法得小差一分之數草曰立天元一為小差一分之數【此一分之數便是乙直行之數也】以五之得□為小差加二百八十得下□□為大差又倍之得□□以小差乗之得下式□□為一个圓徑冪又九之得□□【寄左】乃又置乙行步加一百一十九□□即甲行步也以二十四之得□□為九个大差也倍小差母得□以乘之得□□為同數與左相消得□□上法下實得一十六步即小差一分之數也既得此數餘各如法求之合問 　　或問大勾大股大三事和一千六百步以明勾除大股得八步三分之一以□股除大勾得一十步三分之二以虚勾明勾相減餘二十四步以虚股□股相減餘六十步問答同前 　　法曰六十步加入大三事和又三之二而一為實併二云數分母分子内減六步為法如法得□股草曰别得六十步與二十四步二數相併而半之得□即明勾□股差也又為虚勾虚股差也若以二數直相減即虚黄方也其二十四步得二虚勾即半徑也其六十步得二□股亦為半徑也立天元一為□股加差步得□□為明勾也以乗八步三分之一得□□為大股也以天元乗一十步三分之二得□為大勾也勾股相併得下□□為大和也【寄左】然後四之天元加入二之六十步得□□為小三事和以小三事和加入大三事和得□□為二个大和也合折半為大和了又就三分之為前數今不折半三因但身外加五得□□為同數與左相消得□□上法下實得三十步即□股也四之□股加入二之六十步得二百四十步即城徑也合問 　　按之分即通分也張邱建謂學者不患乘除之為難而患通分之為難又謂夏侯陽之方倉孫子之蕩杯皆未盡其妙於是作為算經三卷以發其義是書末設十四問皆以立天元一之法御之尤為簡妙殆所以明立天元一之法其用無不周也又按問中兩言以方程入之張邱建算經内數問亦然蓋有通分而乗除不窮有方程而通分益便此又因通分及之非立天元一本法也秦九韶謂時人誤以大衍法為方程者蓋此類也 　　按右書十二卷皆為立天元一法而作也其法神明變化不可端倪今略舉數端言之如諸法中有求之不可得者此法求之可得若此法求之不可得者則必不可求矣又諸法中有難求者雖强探力索毫釐未至則不可得此法但知大意不待深思加以步算即可得矣又諸法中有所求或先得彼而後得此者不能移易此法任其所求或先得此或先得彼無不如志又諸法有數始可求一數不具則不可求此法數不具亦可求且有無數即可求者又諸法遇甚繁甚密者湏次第步算或累日累月其功不能再省此法有經年步算可約之頃刻而得者凡此皆尋常智慮所不能及要皆自然之理數易知易從然自不習者觀之蓋有茫然莫解其故者矣是書之作殆深憂習者難其人而其法遂泯於後世也其謄寫魯魚算式舛訛今悉正之 　　測圓海鏡卷十二 　　後序 　　敬齋先生病且革語其子克修曰吾平生著述死後可盡燔去獨測圓海鏡一書雖九九小數吾嘗精思致力焉後世必有知者庶可布廣垂永乎先生于六藝百家靡不貫串文集近數百卷常謙謙不自伐惟于此書不忘稱異于易簀之間想有妙内得于心者予以先生與先人同牓之故素常兄事克修克修兄命予重為序之予不敢詭論艷藻刻畫無鹽唐突西子直以所聞語意載之于後至元二十四年春三月朔翰林修撰承直郎廣平王德淵後序