欽定四庫全書　　　　　子部六
　　同文算指　　　　　　　天文算法類二【算書之屬】提要
　　【臣】等謹案同文算指前編二卷通編八卷明李之藻演西人利瑪竇所譯之書也前編上下二卷言筆算定位加減乗除之式及約分通分之法通編八卷以西術論九章卷一曰三率凖測即古異乗同除曰變測即古同乗異除曰重測即古同乗同除卷二卷三曰合類差分曰和較三率曰洪衰互徴即古差分又謂之衰分卷四曰疊借互徴即古盈朒卷五曰雜和較乗即古方程巻六曰測量三率即古勾股曰開平方曰竒零開平方即古少廣巻七曰積較和開平方卷八曰縱諸變開平方曰開立方曰廣諸乗方曰竒零諸乗方皆即古少廣按九章乃周禮之遺法其用各殊為後世言數者所不能易西法惟開方【即古少廣】勾股各有専術餘皆以三率御之若方田粟布差分商功均輸五章本可以三率御之至于盈朒以御隠雜互見方程以御錯糅正負則三率不可御矣葢中法西法固各有所長莫能相掩也是書欲以西法易九章故較量長短俱有増補其論三率比例視中土所方田粟布差分諸術實為詳悉至盈朒方程二術則皆仍舊法少廣畧而未備且法與數多出入之處梅文鼎方程餘論曰㡬何原本言勾股三角備矣同文算指于盈朒方程取古人之法以之非利氏之所也又曰諸書之謬誤皆沿之而不能察其必非知之而不用能言之而不悉亦可見矣誠確論也然中土算書自元以來散失尤甚未有能起而蒐輯之者利氏獨不憚其煩積日累月取諸法而合訂是編亦可以為算家考古之資矣乾隆四十六年十月恭校上
　　總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
　　總　校　官　【臣】　陸　費　墀












　　同文算指前編序
　　古者教士三物而藝居一六藝而數居一數於藝猶土於五行無處不寓耳目所接已然之迹非數算紀聞見所不及六合而外千萬世而前而後必然之驗非數莫推巳然必然總歸自然乘除損益神智莫増矞詭莫掩顓莫可誑也惟是巧心濬發則悟出人先功力研熟則習亦生巧其道使人心心歸實虚憍之氣潛消亦使人躍躍含靈通變之才漸啓小則米鹽凌雜大至畫野經天神禹賴矩測平成公旦從周髀窺驗誰謂九九小數致逺恐泥嘗試為之當亦賢於博奕矣乃自古學既邈實用莫窺安定蘇湖猶存告餼其在於今士占一經耻握從衡之算才高七步不嫺律度之宗無論河渠厯象顯忒其方尋思吏治民生隂受其吁可慨已徃遊金臺遇西儒利瑪竇先生精言天道旁及算指其術不假操觚第資毛穎喜其便於日用退食譯之久而成帙加減乘除總亦不殊中土至於竒零分合特自暢多昔賢未發之㫖盈縮句股開方測圜舊法最囏新譯彌捷夫西方逺人安所窺龍馬疇之秘首商高之業而十九符其用書數共其宗精之入委㣲高之出意表良亦心同理同天地自然之數同歟昔婆羅門有九執厯寫字為算開元擯為繁瑣遂致失傳視此異同今亦無從參考若乃聖明在宥遐方文獻何嫌並蓄兼收以昭九譯同文之盛矧其禆實學前民用如斯者用以鼓吹休明光闡地應比夫獻琛輯瑞儻亦前此希有者乎僕性無他嗜自揆寡昧游心此道庶補㓜學灑掃應對之闕爾復感存忘之永隔幸心期之尚存薈輯所聞釐為三種前編舉要則思已過半通編稍演其例以通俚俗間取九章補綴而卒不出原書之範圍别編則測圜諸術存之以俟同志今廟堂議興厯學通算與明經並進傳之其人儻不與九執同湮至於縁數尋理載在幾何本本元元具存實義諸書如第謂藝數云爾則非利公九萬里來苦心也
　　萬厯癸丑日在天駟仁和李之藻振之書於龍精舍















　　欽定四庫全書
　　同文算指前編巻上
　　明　李之藻　撰
　　定位第一
　　古法用竹徑一分長六寸二百七十一而成六觚為一握度長短者不失毫釐量多少者不失圭撮權輕重者不失黍纍紀於一協於十長於百大於千衍於萬算之原也後世乃為珠算而其法較便然率以定位為難差毫釐失千里矣兹以書代珠始於一究於九隨其所得而書識之滿一十則不書十而書一於左進位乃作○於本位【○一】曰一十由十進百由百進千由千進萬皆倣此
　　假如四萬三千二百一十作何排列
　　自左方寫起平行大數列左小數列右若從小數起積者每滿十則進位一十者書一二十者書二餘倣此若大數積多則於左方漸進加字如後圖萬億兆京是也若小數積餘則於右方漸退加字如兩下有錢錢下有分分下有釐又有毫有絲有忽之類是也
　　大衍式
　　几度十丈曰引五丈曰端四丈曰疋十尺曰丈十寸曰尺十分曰寸而計田則横一丈縱六十丈為畝【即濶一步長二百四十步】四分其畝為一角角得方丈者十五十分其畝為一分分得方丈者六得方尺者六百分以下釐毫析之而以百畝為頃五項四十畝為丘凡量六粟為圭十圭為撮十撮為抄十抄為勺滿十而進之為合為升為斗為石亦曰斛凡衡以兩為君兩有十錢錢有十分自分以下十而析之曰釐曰毫曰絲曰忽曰微曰纎曰沙曰塵曰埃曰曰漠至細之倪惟所立名而十六兩為斤二百斤為引今公私通用之則也古法之衡則十黍為纍十纍為銖八銖為錙六銖為分二十四銖為兩兩即四分也兩又四之自乘一十六以象四時是命曰斤計銖三百八十有四當朞之月又以十五斤為稱二稱為鈞四鈞為石度則古尺長短不一丈尺而外别以七尺為施八尺為仞亦為尋倍尋為常量則六十四黍為圭又有四升之豆四豆之區四區之釡十釡之鍾十六斗之庾十六斛之秉今皆不用　凡錢千文為緡五緡為綻凡鈔五貫為錠錠當錢千里法三百六十步步法今用五尺
　　厯法每度百分每分百秒西厯則積六十秒為分積六十分為度秒以下俱以六十析之
　　右式三位而成百五位而成萬九位而成億十七位而成兆二十五位而成京自京至垓自垓至秭以極於正於載皆以萬萬遞加是謂中數昔者黄帝為法數有十等及其用也乃有三焉十等者億兆京垓秭壤溝澗正載三等者謂上中下也其下數者十十變之若言十萬曰億十億曰兆十兆曰京也中數者萬萬變之若言萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京也上數者數窮則變若言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京也從億至載終於大衍下數淺短計事不盡上數宏廓世不可用故其業惟以中數舉一中數而天地鬼神人物之紀思議之所不及者皆盡之矣况更有上數在乎由旬刹那吾無取焉爾
　　加法第二
　　凡數惟加法最易加之不已至於無算故算首論加加也併也積也一也少曰併多曰積皆加也列散數於上各横置以類相比【如十從十百從百及兩從兩斗從斗之類】先從小數併之而以所得數紀本位下遇十則進一位遇百則進二位第一圖　係進一位式
　　【倂四七九得二十下紀○　二進位併五八八又併前二得二十三下紀三二進位併六九七八又倂前二得三十二下紀二三進位併八六又併前三得一十七下紀七一進位併一五又併前一得七下紀七】
　　【只七下紀七】
　　右式散數四項列格上併總得數七十七萬七千二百三十列格下
　　第二圖　係進二位式
　　【初併一百零二下紀二以一百進二位
　　次併五下紀五
　　再併一十六前一得一十七下紀七一進位
　　終併連前共得二十三下紀三二進位】

　　右式散數一十二項併總得數二萬三千七百五十二
　　以上二圖盡加法矣另有試法具後
　　一法先自上數下得若干復自下數上得若干然後紀總一法以減法試加隨意減一行得若干再加所減仍得若干
　　又有將散數總數錯綜覈之者有九減七減二法先減散數餘若干次減總數餘若干以其所餘兩數對列相較同則無差異則有差
　　第一圖用九減
　　此法不論進位只以見數為
　　準纍用九減去○不用先以
　　散數九減之餘置於左次以
　　總數九減之餘置於右俱得
　　八故知不差

　　又用七減
　　此法與九減者稍異乃以實數七七減之從左起連○算者如首行首七竞減淨　次【○一】減七餘三　次即作【六三】減七餘一　次作【五一】減七餘一　次作【四一】七減無餘乃於首行之左格外紀○　又以次行之首【九八】七減餘五　次即作【○五】七減餘一　次作【七一】七減餘三乃於次行之左格外紀三　其第三行依法減之餘得五第四行依法減之亦餘得五各以紀於其左　次將總數七減如前法餘得六　乃合四項散數所七減而餘者據見數更七減之三五五餘得六紀於□左以總數所餘之六紀於右六六相合固知不差
　　第二圖用九減
　　【先減散去九不用六箇八
　　共四十八餘三加次行五
　　得八又加次行得二十四
　　又加末行得四十六九減
　　餘一紀左次閲總數共一
　　十九九減亦餘一紀右】
　　又用七減
　　照前七減法先將散
　　數逐減紀左纍
　　而減之餘一次
　　將總數亦以七
　　減餘一相合無差
　　右九減七減法繁碎難用然出巧思具至理錄之備翫
　　減法第三
　　減與加反用稽所餘其法先較數之多寡多中減寡亦自右方小數減起以漸進位其辨多寡之法於左方首位辨之首位相等乃視次位次復相等逐位退求則多寡分焉
　　【此數首位視之
　　相等然退至三
　　位上係一千下
　　係九百九十九】


　　既審多寡乃以原數列上減數列下依法右起所餘逐紀於下如就多中減少者不須别立借法如後第一圖若少内減多須立借法以通其變如後第二圖云
　　此上下相減俱係以少減多
　　不須更立借法




　　第二圖【亦係以少減多但中有上數小下數反大者須立借法】













　　右借法乃借大數兼小數以便總減者又法直於借數一十用減却加入本數尤為便捷假如二不能減九當借作一十二内減九得三今却不作一十二只就所借一十之内先減九餘一次乃加二仍得三也先減後加比前較易
　　以上二圖減法盡矣其間有差與否何以覈之
　　一法用加法驗之以減數合減餘數得原數【如三加六合原九之類】又法以減餘數減其原數應與所減數合【如原數七減二餘五今却減五合餘二為不差】
　　亦有用九減七減二法者俱以第一行原數為一項第二行減數第三行餘數共為一項而較零之同否同即不差
　　九減　　　　　　　　七減



　　【減數首作六十七餘四次作四十八餘
　　六又作六十二餘六又作六十三無
　　零其餘數首作三十九餘四次作四
　　十三餘一次作一十二餘五次作五
　　十三餘四次作四十一餘六次作六
　　十一餘五紀右五五相合無差】
　　乘法第四
　　既知加減當論因乘單位曰因位多曰乘通謂之乘凡乘之數妙於九九作九九圖
　　九九相乘圖
　　首横一行自上讀下右直
　　一行自右讀左其相值處
　　即是乘得數指掌可盡也






　　附九九相乘歌
　　一一如一　　一二如二　　二二如四　　一三如三二三如六　　三三如九　　一四如四　　二四如八三四一十二　四四一十六　一五如五　　二五得一十三五一十五　四五得二十　五五二十五　一六如六二六一十二　三六一十八　四六二十四　五六得三十六六三十六　一七如七　　二七一十四　三七二十一四七二十八　五七三十五　六七四十二　七七四十九一八如八　　二八一十六　三八二十四　四八三十二五八得四十　六八四十八　七八五十六　八八六十四一九如九　　二九一十八　三九二十七　四九三十六五九四十五　六九五十四　七九六十三　八九七十二九九八十一
　　又法就小乘得大乘不用九而用十假如二數並列因其數大難乘未知乘得若干且連註二數而取十數與較看所不足若干因連註不足數於本數右平衡相對其所不足數必其小於原數者也小者易乘乃以不足數上下相乘註乘得數於下為單數又以不足數與原數上下互減註減餘數於其下為進位數即得所求大乘數


　　右法專為未熟大乘者設也若小數相乘不必用此蓋以小數減十則不足之數反多而乘出亦多但多出十數外者以十外之數寄於進位就於互除還之其數未嘗不合


　　【左七俱得三合　　　　　三三如九所寄進位一共得四是為六七四十二】
　　既知乘數乃列乘位凡乘亦從右小數乘起次第進位徧乘有以一位乘一位者有以一位乘二位【十數】三位【百數】及數十位者有以二位乘一位或二位三位以至數十百位者其變無窮其法一定
　　若以幾位乘幾位者無拘上下隨意互乘
　　上圖位數相近隨意互乘如第一圖者先以八乘上四次九次三次○○六四俱徧各以其乘得數置本位下次乃以七乘四乘九乘三乘○而以乘四所得置於七本位下以乘九所得置於七進一位下以乘三所得置於七進二位下其餘徧乘倣此畢乘諸位仍以加法通併詳具於後








　　二位乘【此以三十八乘三百九十四者是為二位乘】先以八徧乘上三位如前法次亦以三徧乘上三位但以尾位所得置於三本位下而其進位及進乘所得皆以次遞進一位不可紊亂　如三乘四者得【二一】紀二於三下一進位　如三乘九者得【七二】加前一共【八二】紀八於三之次位二又進位　如三乘三者得九加前二得【一一】紀一於又次位一又進位　兩位所乘魚鱗相比畢則總併其數
　　以上二圖乘法之大略也覈其差否須以除法還原列乘出總數為實如以第一行為法除之必得第二行數【如前一萬四千九百七十二為實以三百九十四為法除之必得三十八】如以第二行為法除之必得第一行數【如前實以三十八為法除之各得三百九十四數】合即不差又有九除七除法列原數所餘於左列乘數所餘於右左右相乘列乘出數於上乃以乘積總數依法除之餘數列下上下相比同即不差中間逐位乘出散數俱不用
　　【首行餘七列左次行餘二列右
　　二七乘得一十四以九除餘五
　　列上其積出總數亦餘五列下
　　依法實除原數首三十九
　　餘四次作四十四餘二紀
　　左乘數三十八餘三紀右
　　二三乘得六紀上次除總
　　數一十四除盡次九十七
　　餘六次六十二餘六紀下】
　　六位乗

　　挨身下次以九乘上諸位尾
　　位亦挨本身下餘以漸進位
　　排列　次以三乘上諸位挨
　　身進位如前　次以○徧乘
　　上位無乘各挨身照位作○
　　紀之或空其本位亦可　次
　　以六徧乘上位尾位所得就
　　挨六之本身其餘以漸而進
　　云



　　七位乘
　　此即前數上下易位為乘故散
　　數不同而總數同

　　○無所乘姑空本位

　　試上圖用九除




　　用七除
　　【依法按實七除首行餘四列左次行
　　餘四列右四四一十六仍除餘二列
　　上總數餘二列下】
　　亦有原數乘數並除而一有零一無零照無乘例只作○
　　用九除首行原數無餘列左
　　次行乗數餘五列右以五遇
　　○無乗只作○列上次除總
　　數無餘亦只作○列下比同

　　亦有左右上下俱無零數者
　　用九除原數乗數俱無餘左
　　右上俱○其總數又無餘亦
　　作○比同



　　凡乗法或上行原數首尾俱係實數而次行乘數之尾却係幾○或次行乘數首尾俱實數而首行原數之尾却幾○者不必多作諸○第從簡便將各實數如法相乘訖却照其尾餘幾○逐加於後即見全數蓋凡以○乘數者只是作○緣其無可乘出但存其位而已此原數首尾皆實而乘數尾却多○者○無可乘且置不用只以四乘六挨身下數乘徧而止乃將三○系之於尾但不可遺其○位所差不小




　　若原數及乘數之尾俱各有○若干即須一一相乘以存其位嗣以實數所乘出者挨次進位不得僅如前圖照位加○而已








　　乘得一十
　　六也




　　右圖上下尾位皆○須留其位故數尾四四未敢竟下挨身必○○徧乘【共得七○為尾】上有○○○亦進三位乃下四四一十六若但就身下數乘畢補○如下圖然則尾少三○其失非小
　　若以一數為首而尾帶多○其數雖多總只是一以此相乘無復可乘但照首行原數挨身進位錄之乃視尾有幾○照加於後即成全數












　　除法第五
　　凡數以少剖多曰除亦名歸除歸者各分所入除者分分除減其義一也法列原數於上層列除數於次層【舊以原數為實除數為法】從左大數除起上下挨身列位然必以小數系大數下若上層原數小下層除數大者須退一位系之詳具左
　　列位圖













　　凡除法原數列上除數列下於原數尾右界格如半規然而於格外註所得數其歸除率以下字除上字要見幾除而盡如九除而盡者格外註九字八除而盡者格外註八字餘倣此所除不盡之數就原數變之抹原數而書其上凡欲知除出之數得幾位者視除數之末位去原數之尾位得若干字即是歸除所得位數
　　一位除【假如七萬六千○四十八數以八除之】
　　格右為除得數第一除得九第二除得五未畢

　　先看八除【六七】得幾轉以乘法除之八九七十二是九也註九於格右尚餘四變六作四【冩四於六上】削去首七亦削去次行除數之八
　　挨身另下八以八除【○四】依乘法五八四十格右再紀五其上層【○四】俱削亦削八
　　同前
　　第一除得九第二除得五第三除得○第四除得六是為每得九千五百○六恰盡


　　第一次除得九削去【六七】及八以六變四　第二次除得五削去【○四】及八盡　另挨身下八八雖不除四而當存其位乃於格右紀○而存四削八　另挨身下八以八除【八四】得六八四十八恰盡紀六於格右削去【八四】及下八畢
　　若除數至二位三位者除訖一位挨身布退一位如魚鱗然其格右所註數每次所除不論幾位總之只得一數但其除數首位必須兼顧次位如以首位除之已得某數即取除餘變數為實以所得某數呼次位乗之看是恰盡或有餘否方可紀於格右若有不足則將首位所除量減數以為次位之地【如九乗不足則減而用八如八乗不足則減而用七用六之類】務取通融恰當其三位除四位除者亦如之三位除【此有一百八十三萬二千四百八十七之數而以四百六十九除之先以首四除一十八儘乘得四四一十六用四而餘二然次位是六以六乘二十三不足矣不得不減數從三只用三以除一十八除得三四一十二尚餘六四上八變六進位削一而格右紀三為用數併削首位之四　嗣以三因次位之六三六一十八六上三變五進位四上六變四乃削三削六下又削次位六　嗣以三因九三九二十七九上二變五進位六上五變二乃削二削五亦削九是以三除之餘四十二萬五千四百八十七數故當用三餘再除如後圖】右圖下層次位以三因六三六一十八其六上三變五者三小八大照減法借進位一數於一十之内除八餘得二再加三是變五也
　　若除法未熟不妨小註於下假上層【三六】下層用三因六三六一十八即於三下且註八於六下且註一三除八如前借法六除一乃還借除二為六變四餘倣此


　　【另退一位挨下四六九先以四除四十二看得幾箇四凡數極於九用九乘
　　四九三十六尚餘六四上二變六進位四削盡亦削下首位之四格右紀九
　　嗣以次位六因九六九五十四餘一十一六上五變一進位六變一亦削
　　下位六嗣以次位九因九九九八十一尚餘
　　三十三九上四變三進位一變三係借除進位一削盡亦削九其不盡三
　　千三百八十七數再除如後圖】







　　【復列四六九而四不能除三姑存其位作○於格右其下層四六九
　　皆削去　又列四六九以四除三十三看除得幾轉四八三十二餘
　　一矣然六乘一十八則不足故減而用七除得四七二十八四上三
　　變五進位削三嗣以六因七六七四十二六上八變六進位五變一
　　亦削下位六　嗣以九因七七九六十三九上七變四進位削六緣
　　尚有進位之數仍作○以紀其位而削九存一百○四為不盡之數
　　不復可分以法命之曰四百六十九之一百○四也以四百六十九
　　為母數以一百○四為子數法别詳】
　　右尾第二位變六作○緣進位尚有一數須作○以存其位此法切記
　　若上層除餘之數反多於下層除數者或上數與下數相等者定是除法有差【只就除過本位上下相較】亦不必另創第將差者抹去而另註所除數於上層之上另註除數於下層之下又另註除得之數於格右以從簡便
　　【先以二除一十六當用五却誤用四是宜多反
　　少者且如二因四得八六變八削一與六亦削
　　下首位二嗣以四因八四八三十二八上二變
　　○進位八變五下削八嗣以四因九四九三十
　　六九上三變七進位○變六係借除進位五變
　　四下位削九諦視之則餘數反多於分數其數
　　可知悉抹之而另註原數於上另註除數於下
　　而用五以除之二五除首位一十五八得四十
　　進位六變二五九四十五九上三變八進位二
　　變七又進位二變一再列二八九用六除二六
　　一十二二上七變五進位削一六八四十八八
　　上八變○進位五變一六九五十四九上一變
　　七進位○變四進位削一　再列二八九用一】
　　右誤除乃宜多反少者亦　【除二上四變二八上七變九進位二變一九上】有宜少反多者具後　　　【四變五進位九變八又列二八九用六除二六
　　一十二二上八變六進位削一八上五變七進
　　位六變一六九五十四九上九變五進位七變
　　二外餘一百二十五數以法命之】
　　六有竒

　　【此不當用六却誤以六除二六一十二二上六
　　變四進削一次位六八四十八却不足抹削另
　　起另列二八九於下一六於上而以五分之二
　　五除一十五八得四十進位六變二餘如前式
　　不差　再列不當用七而誤用七二七一十四
　　二上七變三進削一七八五十六即不足削三
　　另列一七於上又列用六二六一十二二上七
　　變五進削一六八四十八八上八變○進位五
　　變一六九五十四九上一變七進位○變四進
　　削一不差次用一次用六俱不差】
　　右式第二次誤用七除者首位二七一十四可除次位七八五十六却只得三十八既已誤矣儻不知還原如何其法只以下位見除二字與所用七字相乘而加上見乘之三即是還原二七一十四加三得一十七也舉此一端以例其餘
　　凡三位四位誤分改正俱用此法該進位者照前法進位乘後加之式具後
　　【先用一除之二上四變二三上○變七進位二變一　次該用七却
　　誤用六二六一十二二上七變五進削一三六一十八三上四變六
　　進位五變三諦視之餘數反多於除數誤也欲還原者先以下層三
　　乗所用六三六一十八加上餘數六得二十四知本位還四而以二
　　寄於進位次以進位下面二乗六二六一十二加上餘數三再加原
　　寄二共得一十七知本位還七進位再還一合正數】
　　既已還其正數另以七
　　除之二七一十四二上七變三
　　進削一三七二十一二上
　　四變三進位三變一
　　另列二三用六除之二六
　　一十二三上三變一進削
　　一三六一十八削盡
　　若原數既已除盡或未盡有零而欲試其誤否亦用九除七除二法
　　用九除者只據見積將下層除數除餘列左以格右用數除餘列右以左右互乘九除餘數列上又以原總數除餘列下如有未盡零數者於左右乘後并入總除列上與原數除餘者相比
　　除畢　六
　　無零　七　　　　　　　　　　　用數一七六餘五列
　　右除數二三共五列
　　左乘得五五二十五
　　九除餘七列上原數
　　四四八以九除亦餘
　　七列下無差




　　【用數餘四列右除數餘二列左相乘
　　得八加上零數一三共得一十二以
　　九除之餘三列上總數九除亦餘三
　　列下相比無差】
　　用七除者實積細除同前乘法其除數列左用數列右相乘除餘列上有零者亦併入乘數列上總數餘列下



　　【用數一百七十六以七除餘一列右
　　除數二十三以七除餘二列左左右
　　相乘一二如二列上又將原數四千
　　○四十八以七除餘二列下正同】

　　【用數一百九十三以七除餘四列右除數二百三十六以
　　七除餘五列左相乘得二十以七除餘六若無竒零則紀
　　六於上是己今有零數一百三十再七除餘四併六得一
　　十以七除餘三列三於上又將原數四萬五千六百七十
　　八亦以七除餘三列下正合】





　　又法將除數用數相乘以合原數如竒零不盡者乘後併入假如前式原數四萬五千六百七十八者以除數之二百三十六乘用數之一百十三共四萬五千五百四十八併入零數之一百三十合原數若歸除至半欲訂其誤照前以除數之減餘列左以用數減餘列右相乘又取本位以上除賸位【只至已抹本位而止其未除到者不用】亦減之以併所乘列上以抹過原數減餘列下相比其九法減見數七法減實積數俱同前【此是用二除過一徧者截至左第四位止試之
　　用數二列右除數二八九八無餘左列○以○乘二無乘
　　却有零九一三除九餘四上列四原數除過四位以九除
　　亦餘四相合】
　　【用數二列二於右除數二千
　　八百九十八以七除無餘列○於左以二乘○無乘却有
　　零數九百一十三以七除餘三列上其原數已除四位六
　　千七百○九以七除亦餘三相合】
　　凡除數隨上原數邐迤右退至於除數尾位撞遇原數尾位而止此外雖有未除零數總係餘分但可以法命之為幾分之幾以其除數多零數少故也【多者為母少者為子】
　　若除數尾帶　　　　　　　　　　　此以三千八
　　多○而原數　　　　　　　　　　　百萬而除一
　　首尾係數中　　　　　　　　　　　百三十九億
　　叚係○者但　　　　　　　　　　　四千六百萬
　　看尾隔幾位　　　　　　　　　　　零七千八百
　　用數該幾位　　　　　　　　　　　九十三數其絫
　　只須撞尾而　　　　　　　　　　　甚多而諦視
　　止就截去餘　　　　　　　　　　　尾位相值只
　　○且儘實數　　　　　　　　　　　該以三位除
　　除訖嗣以餘　　　　　　　　　　　盡乃姑截去
　　○加之以法　　　　　　　　　　　餘○只以三
　　命之式具下　　　　　　　　　　　八而除一三九
　　四六每各得
　　三百六十七
　　其數已窮其
　　餘皆竒零不
　　盡之數乃於
　　三八之尾照
　　位填○為母
　　以零數為子
　　命之云
　　若除數首位數中位○次又有數次又有○者不可便以中○為止務須盡其實數而止惟尾後之○如前法

　　用四除之　三四一十二
　　三上三變一　進削一　次
　　○○皆無可除者故置不論
　　徑除第四位之八　四八
　　三十二　八上六變四進位
　　四變一　更列三○○八用
　　六除之　三六一十八　三
　　上九變一進削一置○○不
　　分　六八四十八　八上○
　　變二　進位四變九　又進
　　一變○尚餘一○九二為不
　　盡零數乃以除數餘○綴除
　　數之尾為母以原數○七六
　　九三附零數一○九二之尾
　　為子是為三億八十萬之一
　　億九百二十萬七千六百九
　　十三云
　　凡除數首位只一其餘俱○者不必另尋用數即以原數為用至撞除數尾位而止此外皆係竒零不盡之數



　　以除數尾尋至原數尾該得
　　五位除盡亦只自原數首尾
　　起照取五位為用數其餘皆
　　係小數不能除矣故作零數




　　首列一除四得四　又列一
　　除七得七　一除八得八
　　一除○還○　一除九得九


　　若原數餘○雖多而實數歸除已盡則其數外之○無復可除雖不撞到尾位亦只據未抹○位逐加用數之後如左圖
　　假如有數一億八千六百三十萬而以三百四十五除之每各得五十四萬




　　首用五除　三五一十五　三上八變
　　五　　　三進削一　五四得二十　　進位三○　　　變一　五五二十五　五上三變八○　　　進位六變三　又列用四除　三四一○　　　十二　三上三變一　進削一　四四○　　　一十六　四上八變二　進削一　五
　　四得二十　五上削○　進削二畢既已除完其餘不復可除照○位加於格外用數之右
　　右加減乘除四法共一卷算學綱
　　領習熟自精變化之妙詳載别卷













　　同文算指前編卷上
　　欽定四庫全書
　　同文算指前編卷下
　　明　李之藻　撰
　　竒零約法第六
　　凡數除之不盡者以法命之曰幾分之幾除數為母【法】列上竒數為子【實】列下
　　假如列實四十六以七為法除之尚餘四是謂七之四餘倣此
　　列位式



　　若竒零有二項辨其孰多孰寡以子母二數互參母數相同則但據子數


　　若子數相等母數不等者其母數小子數反大母數大


　　若子母數俱不等别其多寡者並列以彼此母子互乘得數各註其子數下
　　有差逺者　　　　　　　有稍差者


　　有相同者







　　四之三與八之六同則八之六即四之三
　　假如欲知何以皆為四分之三但將子母兩數立通數乘之且如【八四】之【六三】有六數可以通乘六八四十八六六三十六母係六八子係六六便知【八四】之【六三】即是八之六此係有見成乘法可用者
　　其積數已多而既難折半又無通數可乘則須另立紐數歸除其法以小減大減盡而止以最後減盡數為用以除子母二數其所除得數即是約數
　　假如四十八之三十二即三之二
　　於【八四】内減【二三】餘【六一】即以【六一】再減【二三】二次盡乃以一十六為紐數以除【八四】得三是母約數以除【二三】得二是子約數
　　假如六百七十六之四百六十八即一十三之九子減母餘二百八以二百八減子數用二轉餘五十二以五十二減二百八恰盡即以五十二為紐數以除六百七十六得一十三是母約數以除四百六十八得九是子約數【凡以小減大者即係除法數相近名減若大小相逺減幾徧者名除】
　　其以寡減多終不能盡者不復可約只就見數為則以【七四】減【九五】餘【二一】　以【二一】減【七四】餘【一一】　以【一一】減【二一】餘一不盡
　　以【○二】減【三六】餘三　以三減【○二】餘二　以二減三餘一不盡　　　以上不盡無紐
　　竒零併母子法第七
　　凡兩子母數不等須先併母較之以兩母相乘得共母數次以兩母互乘兩子各得子數


　　又有三四母子不同併較多寡者亦以各母次第徧乘歸併作一共母【為實】乃以各母之數【為法】除之即以各子乘之得各子數
　　先併母數二乘三得六又
　　以六乘四得二十四又以
　　二十四乘五得一百二十
　　為共母
　　乃以首母二除得六十以首子
　　一乘仍六十為其子數
　　以次位母三除得四十以子數
　　二乗得八十為其子數
　　以三位母四除得三十以子數
　　三乘得九十為其子數
　　以四位母五除得二十四子一
　　乘仍二十四為其子數
　　若每數相乗遇有紐數可用【一數兩分是為紐數即前法】即用紐數除之以其所得相乘以省約法



　　右用一紐數而前之乘得一百二十者約為六　○十所省多矣次乃如法以各母除以各子乘　　六乃以首母二除得三十子一乘亦三十
　　以次母三除得二十子二乘得四十
　　以第三母四除得一十五子三乘得四十五
　　以第四母五除得一十二子一乘仍一十二
　　凡兩數母子俱殊但有紐數可用皆可以此推之
　　二三為六故註二於六下
　　四三一十二故註四於【二一】下
　　乃即以二十四為共母數而母除子乘如前法以第一母六除此二十四得四以其子數五乘得二十為二十四之二十
　　以第二母一十二除此二十四得二以其子數七乘得一十四為二十四之一十四
　　竒零絫析約法第八
　　竒數有析之又析者如母七子四是為七之四又析其四作五以為母而五中餘三是為五分四之三子中出子相聯而成則名七之四又五分四之三也


　　又有母二子一是二之一又以子一　　　　　　　【此三即進位之三】
　　析為六而六中餘一【母六子一】又以子一析　　　　　　【此四即進位一所化】
　　為四而四中餘三【母四子三】又即以子三為　　　　　　【此六即進位一所化】母而三中餘二連析四次總名二之一
　　又六分一之一又四分一之三三之二
　　右法須取捷歸併以便查算俱以母乘母子乘子依位列之如七之四又五分四之三者乃三十五之一十二
　　母數五七得三十五
　　子數三四得一十二
　　如前二之一又六分一之一又四分一之三三之二者乃是一百四十四之六
　　母數三乘四得一十二又一十二乘六得七十二又七十二乘二得一百四十四為共母數子數二乘三得六又一六只六又一六只六為共子數
　　右一百四十四之六依約法乃即二十四之一
　　以六除一百四十四得二十四恰盡故六為紐數二十四為母約數以六除六得一盡故一為子約數
　　假如連析三次者五之三又三之二又四分二之三併之乃六十之一十八
　　母數四乘三得一十二又一十二乘五得六十為共母數　子數三乘二得六又六乗三得一十八為共子數
　　右六十之一十八約之即一十之三
　　用子數一十八除母數六十餘六
　　即以六除一十八恰盡是六為紐數以六除六十得一十故一十為母約數以
　　六除一十八得三故三為子約數
　　右絫析乃厯家所常用者粟米方田諸家鮮用然亦可以近譬假如右式五之三又三之二又四分二之三者今有金一兩析之為五【每析二錢】五之三乃六錢也又析為三之二則四錢矣又析為四分之三則三錢矣總是一十分之三
　　化法第九
　　凡整數後帶竒零難於歸除須將整數盡依母數化之其法以母數乗整數以乗得數併入子數却以母數除之
　　假如有整六數零五分一之三者列六於左列五之三於右
　　每數皆剖為五分五乗六得三十併
　　入子數三是為五之三十三列下
　　假如有整七數零五分一之四者列七於左列五之四於右
　　每數皆剖為五分五七三十五併
　　入子數四是為五之三十九
　　於是乃化零數為整數其法以母除子
　　此為一剖七之五十六以母數
　　除子數用八除盡知是整八數
　　此為一剖九之四十七以母除子用
　　五餘二知是整五數又零九之二
　　竒零加法第十
　　數有竒零或兩零數或三四零數以至百千零數加併為一法具後














　　若母數異則先併母數但有紐數者依紐數求其共母無紐數者以互乗求其共母而各以其原母除之又以原子乗之得子數乃視其子數多寡總而積之又以共母除積子以歸本數
　　又法求其子數徑用母子互乘亦得【三三是九二四是八】但積數多者未便須用母除子乘之法


<子部,天文算法類,算書之屬,同文算指__前編,卷下>
　　若既有整數又有零數則先加積整數次乃加積零數其零數同母者只併子數其零數異母者依前法且併母數而位少者子母互乗位多者各以原母除原子乗










　　以上係不同母數者
　　若欲試加法之有差則用竒零減法
　　竒零減法第十一
　　凡以竒數減竒數者審其多寡而於多中減寡其母數同者第就子數相減若母數異則先以其母相乗併為一母而依母除子乘求各得子乃以相減







　　以上係不同母者
　　若於整數内減零數者以零母化原整數就以作子相減次合全數總計
　　假如整數一十内減一十一之六者【此一十一之六未滿整一數】就將一數拈出依竒母化為一十一以作子數
　　於内減六【一十一之六】餘一十一　之五總為九零一十一之五




　　以上是只減零數者
　　假如整數一十内減四零五之三者一十減四餘六又動一數以零母化之作子於内減去三【五分之三】尚餘五之二是為五零五之二





　　以上是既減整又減零者
　　又有原數以整帶零減數亦以整帶零者先以整數相減次將各零母依法併合為一次乃子母互乘為子各系本子位下相減












　　於整九内借一數以化母為三百六十三併入一十一則三百六十三之一十一為三百六十三之三百七十四



　　以上是零整雜減者若原數減數不止二位相併有三四零數以上者照前逐併母數互乘減之
　　若欲試減法之當否則用加法








　　補前章以減法試加法



　　假如不同母加積者試之兩母相除得母數將所互乘之數互減之其減餘者除以本母得子數




　　竒零乘法第十二
　　凡兩零相乘者皆以母乘母子乘子


　　凡零數與整數相乘者置整數與零子數並列其上立一數為母與零母並列照前母乘母子乘子




　　凡整數帶零數與整數相乘或與零數相乘者先以整數與所帶零數之母相乘得若干併入零子列子位【化法】乃以整數照前法列於子位其上立一為母而母子相對乘之







　　右係整兼零與零數相乘者
　　若兩數俱以整數兼零數者照前先化整數




　　或問乘法乘少為多今或乘多為少何也曰立法如此乃是借虚馭實與除法相㕘為用非整乘也
　　若欲試乘法之有差則用竒零除法







　　竒零除法第十三
　　凡竒零數又以竒零數歸除者列原數於右列除數於左却將除數倒列子母【原數母上子下除數子上母下】兩平對乘其乘出數即歸得數
　　假如以竒零除竒零者


　　右法假如一年十二箇月今曰二之一則六箇月也六之一則二箇月也以二剖六各得三箇月
　　假如以零數除整數者以整數作子上立一為母


　　假如以整帶零而除整數者原數只借一為母不動若除數則以所帶零母化其整數併子數



　　假如以整數除零數者






　　假如以整帶零而除零數者原零數不動其除數之整








　　假如以整兼零而除整兼零者俱以本零母化其整數



　　若欲試零除之差否則用零乗法以乗出之數為主以對除數相乗仍合原數則不差


　　重零除盡法第十四
　　歸除不盡曰竒零然有原數之内本來先帶竒零者【如原數係二十零四分之一之類】是大竒零數内又有小竒零也若欲除之使盡當先歸之使一列小竒零於右列大竒零於左兩母相乘為總母又以小竒母乗大竒子併入小子為共子數即是除盡之數若數繁者約之
　　假如四人剖一十五零三之二其不盡者整三數零三之二也三之二為小竒列右四之三為大竒列左如法乘之即得四母除盡之數


　　若小竒零之内復有小竒零剖而又剖零而又零至三至四者先以大者二位相併得母數及子數次乃遞互併完假如七除不盡而餘四數是為七之四矣而又以此四中之一剖為五停内得二又以此二中之一剖為四停内得三又剖此三中之一為三停内得二此乃大竒數内又帶三小竒數愈析愈繁最易淆亂者法具後














　　以上用七除盡者每分得八十四之五十五
　　假如以一十二人剖二十整數零四之一者每人得整一尚有整八零四之一不盡以一十二之八列左以四




　　右係捷法若依前章竒零加除二法者從小竒數除起以一十二除之借一為母倒列對乘先得小竒乘數次以大竒數與對乘又依加法互乘求總子數約之得除盡數












　　通問第十五
　　前算法一十四章總歸加減乘除四術臨時制用存乎其人今設一十四問由淺入深由易入難精之躔度厯術麤之米鹽凌雜皆可類見
　　問減二十三餘四十七原是幾數又問減一十一之四餘八零三之二原是幾數答曰此用加法以二十三加四十八原是七十數也以一十一之四加八零三之二原是九零三十三之一也
　　問八十七内減幾何該餘二十六又問一十三之八内減幾何該餘七之二答曰即用減法就八十七内且減二十六餘六十一得餘數就一十三之八内且除七之二餘九十一之三十得餘數
　　問加三十八得八十三原是若干又問加四零九之八得二十零二之一原是若干曰亦用減法於八十三内減三十八尚餘四十五其原數也於二十零二之一内減四零九之八尚餘一十五零一十八之一十一其原數也
　　問一百與三百四十九差幾何又問六零二之一與二十零四之三差幾何曰此即減法於三百四十九内減一百是為二百四十九於二十零四之三内減六零二之一是為一十四零四之一
　　問何數除之以九而各得三十四又問何數除之以四零三之一而各得三之二曰此用乘法九乘三十四得三百零六其實數也三之二乘四零三之一得整二零九之八其實數也
　　問有三十於此其五之三是何數又問有四零七之五於此其二之一是何數曰亦用乘法以五之三乘三十得一十八是其五之三也【依法以子數三乗三十得九十以母數五除之得一十八合問】以二之一乘四零七之五得二零一十四之五是其二之一也【依法化四併五為七之三十三以與二之一對乘得一十四之三十三約之為二零一十四之五合問】
　　問除四十八各得一十其除數若干又問除七之三各得三之二其除數若干曰此於除法求之只以一十除四十八該得四零五之四是其除數【以四零五之四為除數者依法化整及倒位對乘之子數五乘四十八得二百四十母數二十四除之得一十合問】只以三之二而除七之三該得一十四之九是其除數【以一十四之九為除數者以九對七以三對一十四乘得六十三之四十二約之三之二也】
　　問一十七與何數相乘而得一百又問三零二之一與何數相乘而得四之一曰此用除法以一十七而除一百當各得五零一十七之一十五以得數乘除數還原一百矣以整三零二之一而除四之一當各得一十四之一以得數乘除數還原四之一矣【一十四之一乘三零二之一得二十八之七約之四之一也】
　　問兩數相乘得四十八是何數又問兩零數相乘得二之一又或得六零四之三者各是何數曰熟於除法則隨變用之其除四十八者隨意立一數如以六數除則各得其八乗之則六八四十八也如以一十除則各得其四零五之四乘之乃五之二百四十還原四十八也【母五乘整四併子得二十四以一十乘得二百四十數以母五歸整是四十八】其除二之一者亦隨立一數如以三之二為除則各得四之三以四之三乘三之二得一十二之六約之則二之一矣其六零四之三者亦隨立一數如用三零二之一為除則各得一零一十四之一十三乘之則六零二十八之二十一約之六零四之三也如用二零四之三為除則各得四十四之一百零八乘之則一百七十六之一千一百八十八約之亦六零四之三也
　　問兩數除之得二十八又問兩零數除之得六之五其數幾何曰此用乘法亦隨意立一數乗之如二十八數以六數乘之得一百六十八即以六除之仍歸二十八矣如六之五者以二之一乘之得一十二之五即以二之一為除仍歸六之五矣
　　問何數以七為乘而所乘出之數歸之以八而得三又問何數以五之二為乘而所乘出之數除以四之三而得四之一曰此兼乘除二法翻用之先以除數乗除得之數而以所云乘數除之其所除得數即所求數也假如三與八相乘得二十四乃以七除之各得三零七之三其所求矣假如四之三與四之一相乘得一十六之三乃以五之二除之各得三十二之一十五其所求矣
　　問六在五十四之内約是幾分之幾又問五之三在一十之九内約是幾分之幾曰此用約分零除法以小除大其所除得數即是也以六除五十四各得九則六於五十四乃九之一也【假如以五十四除六者依零除法各立一數為母倒位對乘乃五十四分之六即以六數而除五十四於此可明零除倒位之義】以一十之九而除五之三者倒位互乘得四十五之三十約之則五之三於一十之九乃三之二也
　　問六數是何數中九之一又問五之三是何數中三之二曰同前仍用零除之法但以九之一除六數依法倒位乘得五十四是六乃五十四中九分之一也但以五之三除此三之二依法倒位乘得一十之九是五之三乃一十分之九中三之二也
　　問化法假如一化為八今七數共化幾分又問以一化四見有四分之三設以一化一十二此四之三者得一十二中之幾又問以一化七見有七之三設以一化八則此七之三者是八中之幾曰此用乘法以前後數相乘得之問化八者以七乗八得五十六是所求其化數矣問以化四較化一十二者以前子四中之三與後母一十二倒位相乘得數【三十六】以前母除歸本數【四箇九】即後母之子數也【一十二之九】問以化七較化八者亦然以前子七中之三與後母八倒位相乘得數【二十四】以前母除歸本數【三七二十一得整三數餘三不盡是零七之三】即後母之子數也【後母八此前母七中之三即後母八中之三零七之一也】譬如大斛七斗抵小斛八斗今大斛三斗以小斛斗量之得三斗零七分斗之三又如中國計日以百刻西洋以九十六刻今問西洋之三十一刻當中國之三十幾刻即以西洋九十六為母三十一為子却以中國之母倒下作子與之對乘得三千一百是為九十六之三千一百即以九十六而除之得三十二刻零九十六之二十八再尋紐數四約之乃是二十四分刻之七也













　　同文算指前編卷下
<子部,天文算法類,算書之屬,同文算指__前編>
　　欽定四庫全書
　　同文算指通編卷一
　　明　李之藻　撰
　　三率準測法第一
　　數有顯隱必頼顯以徴隱故列前三率求後一率先定三率之位大都取其相準如貨準貨錢準錢之類凡第三率必與第二率相乗而以第一率除之因得第四率為所求舊名異乗同除
　　假如錢四貫得貨十二斤今問錢二十貫當得貨幾斤則以二十為三率以十二為二率與相乗以四貫為一率
　　第一率　四貫　　二率三率乗得二百四十數以一第二率　十二斤　率之四除之每分得六十數為所第三率　二十貫　求蓋第一率與第三率相準也而第四率　六十斤　第二率又與未知之第四率相準
　　相準故以相推妙在相準
　　假如米六十石足支五月今問有米一百三十二石足支幾月此以六十石為一率五月為二率今有一百三十二石為三率以與二率相乗以第一率六十除之第一率　六十石
　　第二率　五月　　　　【以五乗一百三十二得六百六十數乃以六十除之得一】第三率　一百三十二石【十一月】
　　第四率　一十一箇月
　　右試法二率三率相乗如前却以第四率除之仍得第一率則所推不誤
　　又法移第三率為第一率第四率為第二率却以第一為第三如前二三乗之以一除之所得第四率必合第二率
　　第一率　二十貫　　　　　一百三十二石
　　第二率　六十斤【四乗六十得二百四十以】十一月【十一乗六十得六百六十以一】第三率　四貫　【二十除之得十二】六十石【百三十二除得五】
　　第四率　十二斤　　　　　五月
　　又有化多為寡之法先尋紐數凡一數可以除盡兩數者為紐數其兩數亦取相準者為用因以相對乃取紐數所得置本位下乗除如前若無紐數者則否


　　三率　二十　二十【四以三代十二仍依法乗得六】五　【十故以一代四以五代二】
　　四率　六十　六十【十】　　　　　六十【十依法乗之得六十如前】又式


　　三率六十三　六十三【八故以四更之依前乗除仍得】七　【也七九六十三故代之以七也】四率　八十四　八十四【八十四】　　　八十四【仍前乗除亦得八十四】又三率準測之法以一率除二率得數乃以乗第三率所得第四率不異前法
　　一率　六十　　　【先以一率除二率得六以乘第三率推得第四率】二率　三百六十
　　三率　一百三十二
　　四率　七百九十二
　　乂法先以第一率除第三率得數以乗第二率乗出數為第四率亦如前
　　一率　六十　　　【以一率除第三率得二零六十之十二約之乃五分之一為用數以】二率　三百六十　【乗第二率仍得七百九十二如前】以上二法皆用三率　一百三十二　先除後乗但除之不盡必用零乗四率　七百九十二　之法故不若從前先乗後除為捷右準測法之變凡三而喫在於定位孰為第一率孰為第二三率應前者前應後者後又或前者反後後者反前畧具凡例如左
　　問用銀四十四兩買絹五十二疋今買二百六十疋該銀幾何此所問者二百六十疋則以二百六十為第三率以原買絹五十二為第一率相當而以四十四為第二率以當所測之第四率
　　一　五十二疋
　　二　四十四兩
　　三　二百六十疋
　　四　二百二十兩
　　問買絹五十二疋用過價四十四兩今有銀二百二十兩該絹幾疋此所指者銀數則以今有銀為三率原價為一率與相當而以買過絹為二率乗之
　　一　四十四兩
　　二　五十二疋
　　三　二百二十兩
　　四　二百六十疋
　　問用銀四十四兩不知糴米若干曽見有人以銀二百二十兩糴米二百六十石
　　一　二百二十兩
　　二　二百六十石
　　三　四十四兩
　　四　五十二石
　　問有人糶米五十二石不知得銀幾何曾見有人糶米二百六十石得銀二百二十兩
　　一　二百六十石
　　二　二百二十兩
　　三　五十二石
　　四　四十四兩
　　右四問總是一法所問不同以辨三率之位
　　問有人七日行二百一十里今行一千六百里須幾日一　二百一十里
　　二　七日
　　三　一千六百里
　　四　五十三日又二百一十分日之七十
　　【刻法每日一百依法以乗子數七十得七千以母數二百一十除之得三十三刻又三分刻之一】
　　問椒一斤不知其價見人買六十斤用價二十兩一　六十斤
　　二　二十兩【二率乗三率仍得二十却以一率之六十除之係以多除少者説在前編竒零除法】三　一斤　【立一為母倒位互乗以除之】
　　四　　　　【約之乃三分兩之一也求分釐法依前編以兩化之子乗母除得三錢三分三釐三三】問榖每石價銀一兩七錢五分米每石價銀二兩五錢今有榖三百九十六石照價折米該若干
　　一　二兩五錢
　　二　一兩七錢五分
　　三　三百九十六石
　　四　二百七十七石二斗
　　若問米二百七十七石二斗照價該准穀若干者即以一兩七錢五分為第一率二兩五錢為第二率以二百七十七石二斗為第三率
　　問有八成金五十兩價銀二百兩今有九成金四十兩該銀若干此因有成色有兩數有價數法當取成色折足色後用準測推之五八四十為第一率二百兩為第二率四九三十六為第三率
　　一　四十兩
　　二　二百兩
　　三　三十六兩
　　四　一百八十兩
　　問銀一百兩零七錢八分雇工築堤四百丈零四分今欲築堤一千丈零四分三釐該銀幾何此法化兩為分化丈為釐以列三率
　　一　四萬四十釐　　【化四百丈四分】
　　二　一萬七十八分　【化一百兩七錢八分】
　　三　一十萬四十三釐
　　四　二百五十一兩八錢六釐又四千零四分釐之二千一百三十【約之乃二千二之一千六十五以毫歸整乃五毫三絲一忽九微六纎】
　　問住居七箇月零十五日已支銀二百兩七錢八分又七分分之二若住六年該費若干此化年月為日化兩為分以列三率
　　一　二百二十五日
　　二　二萬七十八分又七分分之二
　　三　二千一百九十日
　　四　一十九萬五千四百二十八分又一千五百七十五分分之一千二十【即一千九百五十四兩二錢八分六釐四毫七絲六忽八㣲七纎不盡】
　　問有蠟十斤零五分斤之二又七兩零二分兩之一共價銀二兩六錢今有銀九錢買蠟幾何曰此謂三不同類之率【因蠟有斤有兩又有零分銀亦有兩有錢故云】取一最細數為君以大數化之取原價二兩六錢為二十六錢取原蠟十斤零五分斤之二又七兩零二分兩之一為一百七十三兩零十分兩之九【即一千七百三十九錢也每斤十六兩先以十斤乗得一百六十數次以五之二乗得五之三十二乃共得一百六十六兩零斤之二也次加七兩得一百七十三兩其所零二之一倂前所零五之二用併母法互乗積之為十分兩之九總之如上數】
　　一　二十六錢　　　　　　　　　　【二率乘三率依前編零乗之法歸整得一】二　一百七十三兩一十分兩之九【千五百六十五又一十之一乃以第一率用零】
　　三　九錢　　　　　　　　　　　【除之法則一十乗二十六得二百六十為四率】四　六十兩又二百六十之五十一【約之如上照斤法得三斤十二兩一錢九
　　分又六十五之四在前通問十四】
　　問欲買䳘氄八分丈之七價若干曰曾買三分丈之一原價四分兩之三算之





　　問煉礦求銀初火煉得三之二再火得七之五又入火得五之四凡三火共得足銀一十六兩原礦若干此併子併母求之以三子相乗【二五得一十又四乗得四十】為首率以三母相乗【三七二十一又以五乗得一百零五】為次率一十六為三率




　　問築牆上廣一尺下廣四尺高一丈二尺今上廣如故下廣僅二尺一寸可高若干法以較求之取原上廣較原下廣所差為一率以原高數為二率今築下廣較原下廣差為三率
　　一　三十寸【上廣不及下廣數】
　　二　一百二十寸【高】
　　三　一尺九寸【今下廣減原下廣】
　　四　七十六寸
　　右法若以築高七尺六寸問上廣若干者以築高數乗原上下廣較而以原高數除之
　　問築牆上廣二尺下廣六尺高二丈今已築至上廣三尺六寸量高若干亦以上下廣較為一率原高為二率今所築中廣以較下廣差數為三率
　　一　四十寸【原上下廣較】
　　二　二百寸【原高】
　　三　二十四寸
　　四　一百二十寸
　　右法若問築至高一丈二尺問上廣者以築至數乗原上下廣較而以原高數除之
　　問築牆上廣十尺下廣三十尺高四丈今欲築至上廣九尺該接高幾何以今上廣較原上廣餘一尺為主置第三率置原高四丈為二率以原上廣不及下廣二十尺為首率
　　一　二十尺【原上下廣較】
　　二　四十尺【原高數】　　　　又法以原上下廣較減三　一尺【今上廣較原上廣數】原高為實以今上廣與
　　四　二尺　　　　　　　　原上廣較得數為法除
　　之亦同
　　右法若問再加二尺上廣幾何者以再加數與原上下廣較相乗而以原高數除之
　　問驛使先發三十七里别以一騎追之馳一百四十五里尚不及二十三里須追幾里可及此以先發及追去未及之里推之知馳一百四十五里只追上一十四里以追上數為第一率疾馳數為二率不及數為三率一　一十四里
　　二　一百四十五里
　　三　二十三里
　　四　二百三十八里又十四分里之三
　　問甲乙二人同步甲疾乙遲甲行百步乙纔行六十步假使乙先行百步甲方舉步追之該幾步可及
　　一　甲行疾四十步
　　二　甲日行一百步
　　三　乙先去一百步
　　四　乙㑹甲二百五十步
　　問商人糴米三千五百石每石價銀六錢五分外用脚價銀五分就糴處以米准脚價則原數内該脚夫若干商存若干此以每石糴價為首率總米為次率脚價為三率依法乗除先得脚價米為四率以減總米餘為存商之數
　　一　六錢五分
　　二　三千五百石
　　三　五分【脚價】
　　四　二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五【約之為一十三之九】以減總米餘三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十【約之為一十三之四】為存商之數
　　右係初糴未運送者故以原糴價算若已搬運到倉則倂糴價雇值每石共值七錢矣以七分為首率依衰分法求之只該脚米二百五十石
　　問蠶繭二百五十斤換綿八十八斤若繭百斤十斤一斤一兩各該綿幾何此求斤兩法繭數為首率綿為次率列繭百斤等為三率有零分者以斤法十六化之再除
　　一　二百五十斤
　　二　八十八斤
　　三　一百斤　　　一十斤　　一斤　　一兩四　三十五斤五之一【即三兩二錢】三斤八兩【三錢二分】五兩六錢【三分二釐】三錢五分二釐以上十五問見三率布置之序餘可觸類而通
　　變測法第二
　　前準測法皆以二率乗三率而以一率除之蓋以三率視四率猶以一率視二率多寡相等可例推也又有變測之法假如第一率多於第三率而其第二率反少於第四率或一率少於三率而二率反多於四率者此當審其不相準之數而變法測之則以第一率乗第二率以第三率除之舊名同乗異除
　　問布長九丈闊三尺作衣一襲今有布但闊二尺亦欲作衣一襲増布若干此以三尺為一率以九丈為二率乗之以二尺為三率除之
　　一　三尺
　　二　九丈
　　三　二尺　　　　【若欲復前準測之法則移三率為一率移一率為二率却以二】四　一十三丈五尺【三率而仍以二三相乗以一率除】問原借九成金五十四兩今以八成金抵還照成色該還若干
　　一　九成
　　二　五十四兩
　　三　八成　　　　　【若欲復前準測法則以八成為首率九成為二率而以原借五】四　六十兩七錢五分【十四為三率】
　　問母銀四千兩生息三年今母銀七千四百八十兩數多於前只須幾年即可當前三年之息此以四千為一率三年為二率乗之今母為三率除之
　　一　四千兩
　　二　三年
　　三　七千四百八十兩
　　四　一年二百二十日六時四刻又三百七十四分刻之八十六　　　【若復前準測法則以今母為一率原母為二率三年為三率】
　　問荒年麥半石價錢六百文作麥餅每餅重十兩值十文今麥價四百文或貴至八百文而價仍每餅十文則其餅該増減若干
　　一　錢六百
　　二　餅十兩
　　三　錢四百　　錢八百　　【移三率為一率移一率為二率而以二率為第】四　餅十五兩　餅七兩五錢【三率乗之即前準測法】問二百四十方步為一畝合闊八步長三十步今闊只六步或闊至十二步各該長幾何
　　一　八步
　　二　三十步
　　三　六步　　　十二步
　　四　四十步　　二十步
　　問方倉貯米三百八十四石原高八尺闊一丈二尺深一丈今另建一倉照前米數亦高一丈但減深八尺或増深一丈六尺各該闊幾何
　　一　一丈
　　二　一丈二尺
　　三　八尺　　　一丈六尺
　　四　一丈五尺　七尺五寸
　　問築一臺每日用夫三十工四年而成今每日用夫五十工或減至二十工各該幾時而成或不待四年于二年一百四十六日而成又或遲至四年零二百九十二日而成每日各應用夫若干此四難俱用一法而化年為日以一率乗二率以三率除【每年作三百六十五日】一　三十工　三十工　一千四百六十日　一千四百六十日
　　二　四年　四年　三十工　　　　三十工
　　︵字位過密　無法显示︶
　　四　八百【七十六日】六年　五十工　　　　二十五工問以兵八千五百共守一隘其糧僅支十一月若待餽運至日尚須二十五箇月計當撤兵幾何留兵幾何而後可供二十五月之食
　　一　十一月
　　二　八千五百人
　　三　二十五月
　　四　三千七百四十人當留　四千七百六十人當撤
　　【以除得數為留數餘為撤數】
　　問象牙一枝因無大枰用小秤稱之不及其錘重一斤十兩外加一錘重一斤四兩八錢稱得六十七斤依小秤算該幾斤法併原加錘數為首率以稱得數為次率原錘數為三率
　　一　四十六兩八錢
　　二　六十七斤
　　三　二十六兩
　　四　一百二十斤【又五】之三【用加六求之即九兩六錢】問原秤稱物重八斤二兩失去原錘欲另鑄錘配用不知輕重另借别錘以較原稱之物只六斤則原錘若干此須化斤為兩以加六通後稱數【九十六兩】為首率以所借錘【三十七兩】為次率原稱數【一百三十兩】為三率得所求原錘數以斤法除之【按别錘下脱重三十七兩五字】
　　一　九十六兩
　　二　三十七兩
　　三　一百三十兩
　　四　二十七兩三錢又一十三分錢之三【以斤法除得一斤十一兩三錢二分七毫不盡】問空車日行七十里若重載即日行五十里今載糧到倉五日三返路逺若干法以五日為首率以空車重車日行數相乗為次率併空車重車日行數以三返乗之為三率
　　一　五日
　　二　五百三十里【按數誤應作三千五百里】
　　三　三百六十
　　四　四十八里又三十六之二十二
　　重準測法第三
　　凡數兩相較者皆兩兩相準故以巳然為一二率見在為三率以測四率若巳然者先有雜數見在者又有雜數此當以類次第歸併而疊用三率之法推之準而又準測而又測為重準測法
　　問每人每月織絹六疋若八人四年該幾疋此以一人為第一率以六疋為第二率以八人為第三率八六乗得四十八為第四率又以四十八為所問第二率化四年作四十八箇月為第三率依法乗得第四率
　　一　一人　【先以人數測絹數】　一月　　【即八人之一月次以月數測絹數】
　　二　六疋　　　　　　四十八疋
　　三　八人　　　　　　四十八月【即四年】
　　四　四十八疋　　　　二千三百四疋
　　又倂法以一人乗一月為第一率以六疋為第二率以八人乗四十八箇月為第三率而二三相乗以一除之一　一人一月乗只是一數【凡不同數者用此乗法倂之如人與月不同是也若】
　　二　六疋　　　　　　　【月與年則同數者竟當化一年為十二月不必相乘】
　　三　三百八十四　　　　【矣】
　　四　二千三百四疋
　　問雇役一千里運貨二百斤給值四兩今貨三百斤運四千里該值幾何此以一千里乗二百斤為一率以四兩為二率以三百乗四千為三率
　　一　二十萬
　　併　二　四兩
　　法　三　一百二十萬
　　四　二十四兩
　　用　一　二百斤【先測貨價】　一千里【次測里價】
　　重　二　四兩　　　　　　六兩
　　準　三　三百斤　　　　　四千里
　　法　四　六兩　　　　　　二十四兩
　　問三人用米五石值銀三兩計食五旬每人每日該銀米幾何此以三人乗五十日為第一率以三兩及五石各為第二率以一人乗一日為第三率二三相乗一率除之
　　一　一百五十【三乗五十】
　　併　二　三兩【三百分】五石【五百升】
　　法　三　一　【一乗一】
　　四　二分　　　　三升三合零三之一
　　一　三人【先以人準銀米】五十日【次以日準銀米】
　　重　二　三兩　　五石　　一兩　　一石三一二
　　準　三　一人　　　　　　一日
　　四　一兩　一石三一二　二分　三升又三一一
　　問母銀三百兩四年得子銀一百兩今有母銀一千五百八十兩七年該出子銀幾何此以三百乗四年為一率以一百為二率以一千五百八十乗七為三率
　　一　　一千二百
　　併　二　一百
　　法　三　一萬一千六十
　　四　九百二十一兩又三分兩之二
　　一　三百　　　　　　　　四年【次以四年子母相算】
　　重　二　　一百　　　　　　　五百二十六兩又三之二
　　準　三　一千五百八十　　　　　七年
　　四　五百二十六兩又三之二　九百二十一兩又三之二
　　問母銀十兩三箇月得子銀四兩若母銀一百兩欲得子銀二千兩須幾年此因有月在内湏作重準測法先知百兩三月所得然後再測若只如前併法以四乗十共作一率則所差多矣式具後
　　一　一十兩【此未言三箇月但十兩之得四】　　　四十兩【既得上數乃以銀準月而推】二　四兩　　【兩以三月則百兩之得四十兩】　　　三月
　　三　一百兩【亦是三月要在此便可再測】　　　二千兩
　　四　四十兩　　　　　　　　　一百五十月右法試之以十兩乗三月為第一率以四兩為第二率以一百兩乗一百五十月為三率而以二三相乗以一率除之【此係倒法蓋帶月作一率三率者】
　　一　三十【以一十乗三】
　　二　四
　　三　一萬五千【以一百乗一百五十】
　　四　二千
　　問有夏布四十五疋以換綿布兩價不等夏布每三疋價二錢綿布每七疋價七錢五分該換若干疋法先以三率法求夏布四十五疋共價若干次即以所獲價為第三率以七錢五分配為第一率七疋為第二率推之
　　一　三疋　　　　　　一　七錢五分
　　二　二錢　　　　　　二　七疋
　　三　四十五疋　　　　三　三兩
　　四　三兩　　　　　　四　二十八疋
　　問將銀二十三兩買布七十五疋每疋長四丈闊二尺今另買布闊一尺六寸長與前等該減前價若干此先求每尺之價以四丈乗全布又以闊二尺乗【六千尺】為首率價銀為二率另立一尺為三率求得四率為尺價次求應減之價乃移三四率為一二率以兩闊相減餘四寸乗原長三千尺【一千二百尺】為三率
　　一　六千尺　　　　　　　一尺
　　二　二十三兩　　　　　　三釐八毫三絲又三之一
　　三　一尺　　　　　　　　一千二百尺
　　四　三釐八毫三絲又三之一　四兩六錢
　　問重舟日行八十里輕舟日行一百里今重舟先去一十五日輕舟幾日追及先求重舟一十五日行若干里得數用為重測之三率而以輕舟每日多行二十里為首率推之得四率為追及之日
　　一　一日　　　　　一　二十里
　　二　八十里　　　　二　一日
　　三　一十五日　　　三　一千二百里
　　四　一千二百里　　四　六十日
　　問車輪半徑一尺九寸五分假令一日轉二萬周該幾里此因有里有尺又有寸有分須用再測先倍半徑得三尺九寸為全徑數三因得一百一十七寸為一周數以一周為一率一百一十七寸為二率二萬周為三率推得尺寸共數乃以其數為第三率以里法一千八百尺除之
　　一　一周　　　　　　　一　一千八百尺
　　二　一百一十七寸　　　二　一里
　　三　二萬周　　　　　　三　二十三萬四千尺四　二十三萬四千尺　　四　一百三十里
　　問用磚砌滿九里每磚闊六寸每層該磚若干此以里求寸當化里為寸每里一萬八千寸九里得一十六萬二千寸乃求磚數
　　一　一里　　　　　　　一　六寸
　　二　一萬八千寸　　　　二　一磚
　　三　九里　　　　　　　三　一十六萬二千寸四　一十六萬二千寸　　四　二萬七千○磚問撥夫一百名築城二百丈八箇月工完今仍用夫一百名給銀一百兩欲築城二萬丈幾月完工此以二百為一率以八為二率以二萬為三率不用銀數以與夫數相同不算
　　一　二百丈
　　二　八月
　　三　二萬丈
　　四　八百月
　　問用夫三百名七箇月修過墩臺四十五座今有夫一千七百八十名亦七箇月可修墩臺若干座此與前法相同除月不用
　　一　三百名
　　二　四十五座
　　三　一千七百八十名
　　四　二百六十七座
　　問選鋒兵一名每月給銀四兩今有選鋒兵一萬三千名九箇月該給幾何此以一名乗一月為一率以四兩為二率以九乗一萬三千為第三率
　　一　一
　　二　四
　　三　十一萬七千
　　四　四十六萬八千
　　問馬十匹每一日用料七斗今有馬百匹養二十日用料幾何此以十匹乗一日為一率以七斗為二率以百乗二十為三率
　　一　一十匹
　　二　七斗
　　三　二千匹
　　四　一千四百斗
　　問開河長七百五十五丈上廣五丈四尺下廣四丈深一丈二尺每夫每日開二百尺問幾工可完即以二百尺為首率併上下廣折半得四十七尺以深乗之得五百六十四尺為次率以長為第三率
　　一　二百尺
　　二　五百六十四尺
　　三　七千五百五十尺
　　四　二萬一千二百九十一工
　　問開濠下廣七尺上廣九尺深四尺長一千八百尺每夫每日穿一百四十四尺今用夫二百名幾日畢工此以二百人乗一百四十四尺得二萬八千八百為法置第一率併上下廣折半以深乗得三十二尺為二率以長為第三率
　　一　二萬八千八百
　　二　三十二
　　三　一千八百
　　四　二日
　　問十二人九日共刈麥二十畝今有三十人刈麥四十五畝該幾日此因有人數又有日數又有畝數當用重準法又以一率小於三率而四率反少於二率兼用變準法而重準則仍用準測法
　　一　十二人【先以人較日一率二率相】　　二十畝【次以日較畝二三相乗】
　　變　二　九日　【乗三率除之】重　三日又五分日之三
　　準　三　三十人　　　　　準　四十五畝
　　四　三日又五分日之三　　八日又十分日之一
　　問負米一石一斗二升行三十步日五十次今負米一石二斗行四十步日可幾次此全用變準法以三十步乗一石二斗二升為首率五十次為二率今負米一石二斗以乗四十步為三率
　　一　三百三十六
　　二　五十次
　　三　四百八十
　　四　三十五次
　　問金錢一文值銀一兩一錢五分今有銀一千兩該金錢幾文此用化法二率乗三率以一率除
　　一　一百一十五分
　　二　一文
　　三　十萬分
　　四　八百六十九文又二十三分錢之一十三
　　問金錢每文得銀一兩一錢五分今金錢四千文銀幾何
　　一　一文　　　　　　　　一百分
　　二　一百一十五分　　　　一兩
　　三　四千文　　　　　　　四十六萬分
　　四　四十六萬分　　　　　四千六百兩
　　問烹砂煉金每日所得重三十銖今積得七斤八兩已採幾日法先化斤為銖每斤三百八十四銖先求七斤八兩得銖若干乃以共銖求數【此是斤稱法】
　　一　一斤　　　　　　　　三十銖
　　二　三十銖　　　　　　　一日
　　三　七斤八兩　　　　　　二千八百八十銖四　二千八百八十銖　　　九十六日
　　問煉銅入罏一次每十斤得八斤今入罏三次得七十五斤一十三兩四錢四分原生銅若干此用化法化八斤【一萬二千八百分】為首率化十斤【一萬六千分】為次率化三火銅【一十二萬一千三百四十四分】為三率得四率為二火銅數乃即用四率為三率以求一火銅得數又用為三率以求生銅其一率二次不動依法乗除得數乃以斤法一十六除之一　一萬二千八百分
　　二　一萬六千分
　　三　一十二萬一千三百【四十四分】一十五萬一千六百八十一十八萬九千六百四　一十五萬一千六百【八十分】一十八萬九千六百　二十三萬七千分【即一百四　十八斤二兩】又捷法以八斤自乗【六十四】再乗【五百一十二】為法以除三火銅亦得二三七因有再乗各再進位以七為兩亦同前法
　　問將銀雇匠採石不知銀數石數只云每石六十丈價七兩七錢船價三錢總用鍛鐵炭火銀二百兩是六十分之二則原銀幾兩買石幾丈石價船價總若干各若干法據鍛鐵炭火銀二百兩為六十分之二已知原銀是六千兩内減二百兩只以五千八百兩為實在之銀起算作第三率以六十丈為第二率相乗得數乃以七兩七錢併船價三錢共八兩為第一率除之得四率為買石總數再置石總為第三率以七錢七分為二率乗之六十丈為一率除之得石總價以減總銀餘得船價
　　一　八兩　　　　　六十丈
　　二　六十丈　　　　七錢七分
　　三　五千八百兩　　四萬三千五百丈
　　四　四萬三千五百丈　五千五百八十二兩五錢【此係石價
　　以減總銀餘二百一十七兩五錢為船價加鍛鐵炭火二百兩
　　仍足六千兩】
　　問母銀六十兩置貨賣得六十四兩或只賣得五十七兩今有銀一百兩置貨賣之依前算該得多銀幾何或折銀幾何此以六十為一率以所賣二數較之一増四兩一減三兩各為二率以一百兩為三率
　　一　六十兩　　　　　　　六十兩
　　二　四兩【多數】　　　　　　三兩【折閲數】
　　三　一百兩　　　　　　　一百兩
　　四　六兩又三分兩之二　　　　　五兩
　　問有貨一百斤賣得子銀六十四兩不知母銀幾何兹母銀一百兩欲得子銀六兩零三分兩之二其法以子併母為一率以母為二率以所問六十四為三率【所問六十四兼有子母故相準第一率亦兼子母配之所求第四率係原買母銀故第二率亦以母銀配之】一　一百六兩又三分兩之二【除貨一百斤不用只以銀數相準】二　一百兩
　　三　六十四兩
　　四　六十兩【每六十兩得子四兩則一百兩得子六兩零三分兩之二矣然則以六十四兩賣者必以六十兩買也】問寳石一顆賣銀二百兩以其母銀較之每百兩折銀一十兩原買母銀若干此因百兩之内折一十當以九十兩為一率以一百為二率以二百為三率
　　一　九十兩【欲以二百之子推求二百二十二兩有零之母先以九十兩之子及一百兩之母為】二　一百兩【一率二率】
　　三　二百兩
　　四　二百二十二兩零九分兩之二
　　問玉石一駝賣價三千六百兩今欲每母一百兩得利一十兩必須於買價内原減得三兩方獲此利試問原買價幾何此與前法相同以一百一十為第一率【因所問在三千六百兼子母故第一率亦兼子母言之除所減三兩不用】以一百為第二率【求母數故以母數配之】以三千六百兩為第三率
　　一　一百一十兩
　　二　一百兩
　　三　三千六百兩
　　四　三千二百七十二兩又十一分兩之八【再加三兩即原買數】問紵絲一千疋賣銀三千六百兩若原買價多六兩即每百兩折十兩欲知原價幾何此因百兩内已折一十兩以九十兩為一率以一百兩為二率以三千六百兩為三率
　　一　九十兩
　　二　一百兩
　　三　三千六百兩
　　四　四千兩【再減六兩即原價】
　　問貨每一斤賣銀二錢即母銀百兩已得息三十兩設若每斤賣至二錢四分則百兩獲息幾何其法先求每斤二錢之内母銀子銀各若干然後再據子母推之先列所知子母全數一百三十為第一率以母銀一百兩為第二率知母一百三十之内以三十為子以推二錢之内以若干為子乃以二十分為第三率依法乗除得二錢之母銀亦即二錢四分之母銀也次乃以母銀為一率以二錢四分内之子銀為二率以一百為三率一　一百三十兩　　一十五分又十三之五【二錢内母數】
　　二　一百兩　　　　八又十三之八【二錢四分内除去第一率得此數】
　　三　二十分　　　　一百兩
　　四　十五分又十三之五【此是母數外皆利息】五十六兩
　　問貨一百斤賣銀十兩總計每母百兩内已折十兩若使每百斤只賣銀八兩則百兩之内所折幾何此須先知一百斤之貨原值若干乃可重推先從百兩折十兩得九十為第一率以一　百為第二率以所折十兩為第三率依法乗除得百斤原本之數為第四率即以此為重準之第一率内推只賣八兩所折為第二率以總數一百為第三率
　　一　九十兩　　　　　十一兩九之一
　　二　一百兩　　　　　三兩九之一【第一率内只賣八兩則所折者此數】
　　三　一十兩　　　　　一百兩
　　四　十一兩又九之一【此得百斤正價未折之數】二十八兩
　　問買布五萬疋用銀一萬兩納過課銀五百兩費過車脚三百兩又納課銀二百兩又雇船一百兩又過闗一百兩又食費一千兩其費如此必每疋賣銀幾何然後每疋獲息銀二錢法以五萬為第一率以本價及諸費共一萬二千二百兩化錢數為第二率以一疋為第三率
　　一　五萬疋
　　二　十二萬二千錢
　　三　一疋
　　四　二錢零五十分錢之二十二【此係每疋本銀費過之價此外再加二錢其須四錢零五分之十二方得利二錢】問布每疋長四十尺内該抽税抽一尺有客持布三百疋税司收布一十五疋半外貼錢六百文其布價每疋幾何此已知抽税者為二十取一也先求三百疋應抽之數數外皆應貼錢此所貼者半疋二十尺之價也倍之得每疋價　一　二十疋　　一　二十尺【即半疋】
　　二　一疋　　　二　六百文
　　三　三百疋　　三　四十尺
　　四　一十五疋　四　一千二百文
　　問有客販參不記母銀幾何但云每參六斤價銀七錢七分車脚三分又用過牙銀二百兩是原母三十之一其母銀數及參數價數各若干此以價【七錢七分】併車脚【三分】得八錢為首率參六斤為次率其牙銀【二百】係母銀三十之一以加二倍得母銀六千内減牙銀餘五千八百兩為三率得第四率為參總率另以六斤為首率減車價【三分】以七錢七分為次率參總為三率求得第四率為共價其參總率及參價乃六斤所推各以六除得參斤數及每斤價數
　　一　八錢　　　　六斤【徑以首率除二率得每斤價一錢二分八釐三　　毫三之一以首率除三率得共參七千二百五十斤】
　　二　六斤　　　　七錢七分
　　三　五千八百兩　四萬三千五百
　　四　四萬三千五百　五千五百八十二兩五錢【以減五千八百餘二百一十七兩五錢是車價】問以銀二十二兩八錢買黄白蠟均平其黄蠟每三斤價四錢白蠟每一斤價五錢二色之價各若干此以兩母子互乗【三五一十五一四如四】併得一十九為首率兩母相乗為次率總銀為三率求得二色各斤數
　　一　　一兩九錢
　　二　三斤
　　三　二十二兩八錢
　　四　三十六斤【以價乗白蠟得一十八兩以價乗黄蠟四除之得四兩八錢】問飯僧不知人數初日每五十人米八斗次日每九十人米七斗共用米三十二石一斗米與僧各若干法用重測先置子母互乗【九十乗八得七百二十五十乗七得三百五十】併之【一千七十】為首率兩母相乗【四千五百】為次率共米為三率得僧數乃以僧數為三率各以子乗母餘得二日米數
　　一　一千七十　　　五　　　　　　　九
　　二　四千五百　　　八　　　　　　　七
　　三　三十二石一斗　一千三百五十　一千三百五十四　一千三百五十僧　二十一石六斗　一十石五斗







　　同文算指通編卷一
　　欽定四庫全書
　　同文算指通編卷二
　　明　李之藻　撰
　　合數差分法第四上
　　總數一也而分之糅襍不齊者亦以準測齊之大抵以總數為第一率以總數所得為第二率【如以母得子或以銀得年月之類】分布而各為之宗為第三率若三率不盡者亦用重準之法測之
　　問四商共販得子銀六千兩而各出母銀不同甲母六十乙母一百丙母一百二十丁母二百每人該分子銀若干先以四人共母為第一率以所獲共子為第二率分置四母各一宗為第三率以第二遞乗第三以一率除
　　一　四百八十
　　二　六千
　　三　六十【甲】　　一百【乙】　　一百二十【丙】　二百【丁】四　七百五十　一千二百五十　一千五百　　二千五百問三商置貨同舟甲貨值三百兩乙貨值五百兩丙貨值一百八十兩遭風共棄貨値四百兩各照原值攤認法併三人值為第一率以所棄值為第二率分三人貨值為第三率疊以三率法乗除
　　一　九百八十
　　二　四百
　　三　三百【甲】　　　　五百【乙】　　　　一百八十【丙】四　一百二十二兩又九百　二百四兩又九百　七十三兩又九百八八十分兩之四百四十　八十分兩之八十　十分兩之四百六十
　　問三人共買貨四千斤值銀五百兩甲取一千三百斤乙取一千四百六十斤丙取一千二百四十斤各該認價若干此以總貨為第一率以總價為第二率以各人所取數分三宗為第三率
　　一　四千斤
　　二　五百兩
　　三　一千三百【甲】　　一千四百六十【乙】一千二百四十【丙】四　一百六十二兩又二【分兩之一】　一百八十二兩又二【分兩之一】一百五十五兩問三商共得子銀一千兩所出母銀多寡不一先後亦不一甲母二百兩滿八箇月乙母四百五十兩滿六箇月丙母五百兩滿十箇月此子銀一千者每人應分若干其法以各母乗各月【以八乗二百得一千六百以六乗四百五十得二千七百以一十乗五百得五千共九千三百】總彚之為第一率以所獲總子為第二率以各母及月分所乗出三宗為第三率
　　一　九千三百
　　二　一千
　　三　一千六百【甲】　　二千七百【乙】　　五千【丙】四　一百七十二兩又　　二百九十兩又九　　　五百三十七兩又九九十三分兩之四　　十三分兩之三十　　　十三分兩之五十九
　　問三商共販得子銀一千兩甲母三百兩十箇月乙母七百兩丙母八百兩俱不知月其子銀則甲得分五百兩乙得三百兩丙得二百兩要知丙丁二人出過母銀幾月其法先取甲之知母知子知月者為算以所分五百為第一率以一十月乗三百兩為第二率【共三千】已知甲之五百乃三千中之五百矣次列乙丙所得子各一宗為第三率二三相乗而以一率除之得第四率即乙丙母銀乗月之數次乃各以其母除之仍得月數此于四率外加一率兼重準測法云
　　一　五百【甲之子】
　　二　三千【甲月與母乗】
　　三　三百【乙之子以乗三千得九十萬以五百除】二百【丙之子以乗三千得六十萬以五百除】四　一千八百【此兼乙母　乗乙月之数】一千二百【此兼丙母乗丙月之數】二月又七分月之四【以乙母七百除得乙月】一月又二分月之一【以丙母八百除得丙月】
　　問四商居積二年得利一萬兩甲原母三千兩至滿八月先取出一千兩至滿十九箇月又加一千二百兩乙原母二千四百兩至滿六箇月取出八百兩至滿十五箇月又加一千四百兩丙原母二千兩滿七月悉收囘至滿一十七箇月别出母一千六百兩丁初不出母六箇月後方出一千八百兩又過四箇月取出九百兩至滿十六箇月又増入一千五百兩此四人者於所息一萬兩内計母計月各該分若干其法以四母各乗其月甲作三段乗【三千兩乗八箇月得二萬四千數八月之後取去一千只存二千至十九月滿共十一箇月以十一乗二千得二萬二千數其十九月之後又加一千二百共三千二百自第二十箇月起到底計五月以五乗三千二百得一萬六千共得六萬二千】乙作三段乗【二千四百兩乗六箇月得一萬四千四百兩此後除去八百兩只存一千六百兩至滿十五月實九箇月以九乗一千六百得一萬四千四百兩其十五箇月之後又加入一千四百兩共本銀三千兩到底計九箇月以九乗三千得二萬七千共得五萬五千八百數】丙作二段乘【二千兩乗七箇月得一萬四百兩自滿十七箇月以後出本至二年止共七箇月以七乘一千六百得一萬一千二百共得二萬五千二百數】丁作三段乘【自六箇月以後出本一千八百兩滿四箇月以四乘一千八百得七千二百此後取去九百實在九百至第十六箇月滿計六箇月以六乘九百得五千四百此後又出本一千五百共二千四百到底計八箇月以八乘二千四百得一萬九千二百共得三萬一千八百數】四人共計一十七萬四千八百為第一率以所息為第二率分各母乘月數為四宗作第三率
　　一　一十七萬四千八百




　　問三商同夥甲母四百兩乙三百兩八錢六分丙一千兩零七錢九分三商共折銀一百兩各認若干此皆化兩為分【甲四萬乙三萬八十六丙十萬七十九】併三人總分數為第一率以所折為第二率分各母數三宗為第三率
　　一　一十七萬一百六十五
　　二　一萬
　　三　四萬【甲】　　　　　三萬八十六【乙】　　十萬七十九【丙】四　【二千三百五十又　一千七百六十八　五千八百八十一十七萬一百六十　又十七萬一百六　又十七萬一百六】
　　【五之十一萬二千　十五之八千二　　十五之四萬九千二百五十　　　　百八十　　　　　六百三十五】
　　問三商甲出母銀二百兩經十二月乙出母銀二百四十兩不知月丙出金若干不出銀經十箇月共得子銀一百三十八兩甲分六十乙得四十八丙得三十今問乙該幾箇月丙之金值幾何此以甲銀乘甲月【共二千四百】而知子銀六十出自二千四百也以六十為第一率以二千四百為第二率以乙丙各子為第三率二三相乘各以一除之其所得數【乙一千九】兼乙丙之母與月皆在其中矣乃以乙母除乙之四率而知乙之月八以丙月除丙之四率而知丙之母金值銀一百二十兩
　　一　六十
　　二　二千四百【以上俱甲】
　　三　四十八【乙】　　　　　　三十【丙】
　　四　一千九百二十　　　　一千二百
　　八月【以本銀除之得此數】一百二十兩【以月分除得此數】
　　問三賈共販一年甲先出母銀一千兩乙母後二箇月方出丙母後四箇月方出俱不知其數幾何但所得子銀則均分要知乙丙各母之數此以所已知甲母甲月相乗為第一率乙丙準此為算而各以其月除之【乙十月丙八月】即各得其母之數
　　一　一萬二千【甲母乗月】
　　二　一千二百【乙母】　　　　一千五百【丙母】
　　右試法合三總數為三萬六千作第一率隨意立一數為子數作第二率又以總數分為三宗【各萬二千】作第三率而各以第一率除之甲乙丙所得皆同
　　一　三萬六千
　　二　九百　　【随意立此數】
　　三　一萬二千
　　四　三百
　　問三商共得子銀一百九十兩其分息則乙比甲僅三之一丙比甲僅四之一其母銀則甲出八十兩十二箇月乙不知幾何但知八箇月丙亦不知幾何但知四箇月要知三人各息若干丙丁各母若干此須再用重準測法求之先以甲母及月相乘【九百六十】為第一率以其三之一【乙三百二十】四之一【丙二百四十】兼各母與月者為第二率既得母月兼數即以乙丙各月除之知各母數然後可以察其分息之數矣另併三人所乗母數月數為第一率以總子為第二率分甲乙丙母所乗得為第三率二三相乗以一除之各得第四率為所分子銀數
　　一　九百六十【甲母乗甲月】
　　二　三百二十【乙得甲三之一】二百四十【丙得甲四之一】三　四十兩　【乙以八除得此】六十兩　【丙以四除得此】右已知乙丙之母銀再測如左
　　一　一千五百二十【甲九百六十乙三百二十丙二百四十併此數】二　一百九十
　　三　九百六十【甲】　　三百二十【乙】　　二百四十【丙】
　　四　一百二十　　　四十　　　　　三十
　　問三商共母一千五百二十兩得子一百九十兩照母分之甲得一百二十兩乙得四十兩則丙所得若干又甲乙丙各母若干法就總子銀内減去甲乙所得子剩三十為丙之子仍以總子為第一率以共母為第二率以各分子銀三宗為第三率二三相乗以一除之得第四率為各母
　　一　一百九十
　　二　一千五百二十
　　三　一百二十【甲之子】四十【乙之子】　三十【丙之子】四　九百六十【甲之母】三百二十【乙之母】二百四十【丙之母】問三商總母一千五百二十兩總得子一千七百十兩子母共分甲分一千八十兩乙分三百六十兩丙分二百七十兩則每人各母若干其法併三人子數為第一率母為第二率以各人所分得三宗為第三率依準測法得四率為各母數就各以四率之數減其第三率之數餘者為各子數
　　一　一千七百一十
　　二　一千五百二十
　　三　一千八十【甲】　三百六十【乙】　二百七十【丙】四　九百六十　　三百二十　　二百四十
　　問二商共得子銀二百兩甲分五十兩乙分一百五十兩其母則乙多甲一倍又零八兩二人各出母幾何其法置甲五十乙倍之該得一百今分一百五十則知已贏母八兩故於一百數外多獲五十也依法列三率知五十之出于八則知一百五十之出於二十四矣一　五十
　　二　八
　　三　五十【甲】　　　一百五十【乙】
　　四　八　　　　　二十四
　　問二商共貿甲母一百二十兩乙母一百八十兩共一牙儈每子銀一百兩與牙銀十兩後得子銀一千兩各該分幾何其法于一千内除去牙銀一百兩以實在子銀九百兩為算乃併甲乙母為第一率實在子銀為第二率分甲乙母二宗為第三率
　　一　三百
　　二　九百
　　三　一百二十【甲母】　　　一百八十【乙母】
　　四　三百六十　　　　　五百四十
　　問三商共得子銀一千五百二十兩其母銀則甲出一千八十兩乙出三百六十兩丙不知所出幾何只言分得子銀二百四十兩今欲知丙母幾何甲乙所得子幾何其法先就總子數内減去丙子一千二百八十為甲乙共得子數乃倂甲乙母為第一率以甲乙共子為第二率分甲乙二母數為第三率法得第四率為甲乙子數
　　一　一千四百四十【併甲乙母】
　　二　一千二百八十【併甲乙子】
　　三　一千八十　　【甲母】　　三百六十【乙母】
　　四　九百六十　　【甲子】　　三百二十【乙子】
　　已知甲乙子母之數即可因丙子以求丙母乃併甲乙子為一率併甲乙母為二率丙子為三率
　　一　一千二百八十【倂甲乙子】
　　二　一千四百四十【併甲乙母】
　　三　二百四十【丙子】
　　四　二百七十【丙母】
　　問三商母銀各等一年内共得子銀一千兩但甲母閲七月乙母閲六月丙母則滿一年各該分子銀若干其法積甲乙丙總月為第一率以總子為第二率列三人各月數為第三率
　　一　二十五月【併甲乙丙】
　　二　一千兩
　　三　七【甲】　　　　六【乙】　　　　十二【丙】
　　四　二百八十兩　二百四十兩　四百八十兩問織絹每疋用絲一斤工價即與絲四兩今有絲四十三斤一十二兩其織絲工絲各若干法當化斤為兩然後歸兩作斤併工絲絹絲共二十兩置首率總絲為七百兩置次率列工絲絹絲置第三率依法乗除
　　一　二十兩
　　二　七百兩
　　三　四兩【工價】　　　　　　　一十六兩【織絹】四　一百四十兩【歸之乃八斤一十二兩】五百六十兩【歸之為三十五斤】問甲乙丙三人以田多寡均應一年差役甲田三百五十畝乙田二百八十畝丙田一百七十畝各役幾時此併三人田【共八百畝】置首率以一年為三百六十日置次率列三人田數置第三率
　　一　八百畝
　　二　三百六十日
　　三　三百五十畝【甲】　二百八十畝【乙】　一百七十畝【丙】四　一百五十七日半　一百二十六日　七十六日半問派糧八百四十石四縣照田地多寡納之甲田三千六百三十五畝乙田二千四百六十六畝丙田三千五百七十七畝丁田四千三百二十二畝各納若干亦併總畝置首率總糧置次率列四縣各田數置第三率一　一萬四千畝
　　二　八百四十石
　　三　三千六【百三十五畝甲】　二千四【百六十六畝乙】　三千五【百七十七畝丙】　四千三【百二十二畝丁】四　二百一十　一百四十七　二百一十四　二百五十九八石一斗　石九斗六升　石六斗二斗　石三斗二升
　　問五縣輸榖二萬石照依人户多少道里逺近價值上下而均輸之毎車載二十五石行一里僦值一錢甲縣二萬零五百二十户榖石價二兩乙縣一萬二千三百十二户榖石價一兩逺輸二百里丙縣七千一百八十二户榖石價一兩二錢逺輸一百五十里丁縣一萬三千三百三十八户榖石價一兩七錢逺輸二百五十里戊縣五千一百三十户榖石價一兩三錢逺輸一百五十里各該若干先求各衰【惟甲縣自輸本縣無僦里以榖價二兩為法除甲户得一千○二十六衰乙丙丁戊俱有僦價各以僦一錢乗所輸里數而以每車二十五石除之得各運價以乘各户而求各衰乙縣行道二百里乘除之得八錢倂榖價一兩八錢以除乙户得六百八十四衰丙縣行一百五十里乗除得六錢併價共一兩八錢除丙户得三百九十九衰丁縣行二百五十里乗除得一兩併價共二兩七錢除户得四百九十四衰戊縣行一百五十里乘除得六錢併價共一兩九錢除户得二百七十衰】併五衰【共二千八百七十三】為首率以總榖為次率列各衰為三率一　二千八百七十三
　　二　二萬石
　　三　一千二百六【甲】六百八十四【乙】三百九十九【丙】四百九十四【丁】二百七十【戊】四　【七千一百　四千七百　二千七百　三千四百　一千八百四十二石　六十一石　七十七石　三十八石　七十九石三斗五升　五斗七升　五斗八升　九斗一升　五斗六升九合九勺　三合二勺　四合四勺　四合零勺　八合三勺】僦價無　二十兩　一十五兩　二十五兩　一十五兩
　　問有田一萬八千八十八畝三子遞分伯比仲多一倍仲又比季多一倍各該若干此倍増倍減法也以一二四為衰分【季一仲二伯四】合總為第一率田數為第二率分各衰為三率
　　一　七
　　二　一萬八千八十八畝
　　三　四【伯】　　　　二【仲】　　　　一【季】
　　四　一萬三百三十六　五千一百六十八　二千五百八十四問有銀九十二兩四子挨次遞分各幾何併各衰【伯四仲三叔二季一共得一十】為首率銀數為二率各衰為三率
　　一　一十
　　二　九十二
　　三　一【季】　　二【叔】　　　三【仲】　　　四【伯】
　　四　九兩二錢【季】一十八兩四錢【叔】二十七兩六錢【仲】三十六兩八錢【伯】問官銀一千一百零七兩令五等户減半出辦甲户一十六乙户二十五丙户三十一丁户四十八戊户六十二毎等每户各若干亦先以各衰乗各等户數併【甲衰乘得二百五十六乙衰乘得二百丙衰乘得一百四十二丁衰乗得九十六加戊衰併得七百三】為首率總銀為次率列各衰為三率推得各等共數再以各户除之得各户數
　　一　七百三十八
　　二　一千一百零七兩
　　三　二百五十六【十】二百【八】一百四十二【甲】九十六【乙】　六十二【丙】四　三百八十四兩　三百兩一百八十六兩　一百四十四兩　九十三兩二十四兩　一十二兩六兩　　三兩　　一兩五錢
　　問用金八十一兩造杯一套五箇毎杯重若干此挨次衰分併各衰【五四三二一共一十五】為首率總金為次率列各衰為三率
　　一　一十五
　　二　八十一兩
　　三　五　　　四　　　三　　二　　　一
　　四　二十七兩　二十一兩【六錢】一十六兩【二錢】一十兩八錢五兩四錢問派糧一千一百三十四石令五等户挨次上納甲户二十四乙户三十三丙户四十二丁户五十一戊户六十各等各户各若干法亦以各等户數乗各衰併為首率糧數為次率分各衰列三率推得各等人户所納再以户數乗之得各等共數
　　一　五百四十
　　二　一千一百三十四石
　　三　一【戊】　　二【丁】　　三【丙】　　四【乙】　　五【甲】四　二石一斗　四石二斗　六石三斗　八石四斗十一石五斗一百【二十六石】二百【一十四石二斗】二百【六十四石六斗】　二百【七十七石二斗】二百五十二石
　　問糧三百八十五石五斗二升甲乙二等户四六辦納甲二十六户乙四十户各等若干每户若干凡求四六衰者就身六乗四除【首位四以六乗得二十四即以四除得六後多數倣此】此先以六乗甲户四乘乙户【六乗二十六得一百五十六數四乗四十得一百六十數】併為首率總糧為次率列各衰【十六下四】為三率推得每户應納之數再以甲乙各户數乗之得各共數【若先以總衰除總糧得一石二斗二升乃以甲乙衰各乗亦同】
　　一　三百一十六
　　二　三百八十五石五斗二升
　　三　六【上】　　　　　　　　四【下】
　　四　七石三斗二升【甲一户】　四石八斗八升【乙一户】一百九十石三斗二升　一百九十五石二斗
　　問徴銀一千七百一十六兩以四等人作四六派出各該若干法併各衰【丁四丙六乙九甲一十三零二之一】為首率銀數為次率列各衰為三率求得各衰數【此四六衰是一倍有半加之若先以總衰除總銀得五十二兩八錢後以各衰乗之亦同】
　　一　三十二又二之一
　　二　一千七百一十六兩
　　三　四【丁】　　　六【丙】　　　九【乙】　　　一十三又二之一【甲】四　二百一十【一兩二錢】三百一十【六兩八錢】四百七十【五兩二錢】七百一十【二兩八錢】問徴糧一千二百六十六石令五等人作四六納之各該若干法併各衰【戊四丁六丙九　乙一十三又二之一甲二十又四之一共五十二又八之六】為首率【其甲與乙須用竒零併子母法併之増至多等皆然】總糧數為次率列各衰為三率測得各衰數【若先以總衰除總糧得二十四石後以各衰數乗之亦同】一　五十二又八之六
　　二　一千二百六十六石
　　三　四【戊】　　六【丁】　　九【丙】　　一十三【又二之一　乙】二十【又四之一　甲】四　九十六石　一百【四十四石】二百【一十六石】三百【二十四石】四百【八十六石】問派糧二百六十一石令三等户三七出辦甲户二十一乙户三十二丙户四十三各等幾何每户幾何凡求三七衰分者用三除七乘遞求若零分多者就首衰之數以三因之法消息之如二位者只用三七如三位者首位三就以三因得九為首衰四位者首位三以三因得九又三因得二十七為首衰如五位者又以二十七三因得八十一為首衰凡此皆以省零分也此問法以各等乗各衰併之【甲二十一户乗甲衰四十九得一千二十九乙三十二户乘乙衰二十一得六百七十二丙四十三戸乗丙衰九得三百八十七共二千零八十】為首率以總糧為次率列各衰為三衰推得第四率是各户應出之數再以數乘之得各等共數
　　一　二千○八十八
　　二　二百六十一石
　　三　四十九【甲】　　二十一【乙】　　　九【丙】
　　四　六石一斗二升五合二石六斗二升五合　一石一斗二升五合一石二十八石【六斗二升五合】　八十四石　　　四十【八石三斗七升五合】
　　問制錢三萬八千二百八十文四人作三七分之各若干法先併各衰【丁二十七丙六十三乙一百四十七甲三百四十三共五百八十】為首率以總銀為次率列各衰為三率推得四率
　　一　五百八十
　　二　三萬八千二百八十文
　　三　二十七【丁】　六十三【丙】　　一百四十七【乙】　三百四十三【甲】四　一千【七百八十二文】四千【一百五十八文】九千七百二文　二萬【二千六百三十八文】問派銀八百二十八兩二錢令五人三七納之每人應若干先倂各衰【戊八十一丁一百八十九丙四百四十一乙一千零二十九甲二千四百零一共四千一百四十一】為首率以總銀為次率列各衰為三率一　四千一百四十一
　　二　八百二十八兩二錢
　　三　二千四【百○一甲】一千○【二十　九　乙】四百【四十　一　丙】一百【八十　九　丁】八十一【戊】四　四百八【十兩二錢】二百○【五兩八錢】八十【八兩二錢】三十【七兩八錢】一十【六兩二錢】問官銀二千六百三十五兩令四等人二八出之各若干凡求二八衰分者用四乘之遞求次衰比問法先併各衰【丁二丙八乙三十二甲一百二十八共一百七十】為首率總銀為次率列各衰為三率得各銀數【此二八衰分是四倍加之若先以總衰除總銀得一十五兩五錢後以各衰乗之亦同】
　　一　一百七十
　　二　二千六百三十五兩
　　三　二【丁】　　　八【丙】　　　三十二【乙】　一百二十八【甲】四　三十一兩【丁】一百二十四兩【丙】四百九十六兩【乙】一千【九百八十四兩　甲】問糧二千六百五十五石九斗令五等户二八辦納甲户三十乙户四十丙户五十丁户六十戊户七十各等每户該若干法置五等衰以各户數乗之併【甲三十户乗衰五百一十二得一萬五千三百六十乙四十户乗衰一百二十八得五千一百二十丙五十户乗衰三十二得一千六百丁六十户乗衰八得四百八十戊七十户乗衰二得一百四十併共二萬二千七百】為首率總糧為次率列各衰為三率推得四率是各等每户納數再以各等户數乗之得各等共糧數【若先以併衰除總糧得一斗一升七合為最下衰然後以各衰乘之亦同】
　　一　二萬二千七百
　　二　二千五百六十五石
　　三　五百一十二【甲】一百二十八【乙】三十二【丙】八【丁】　　二【戊】四　【五十九石九斗一十四石九　三石七斗　九斗三　二斗三○四合　　　斗七升六合　四升四合　升六合　升四合】
　　以上四六三七二八俱増衰法
　　問官絹四百七十丈零一尺八寸四分令三等人户辦納以一十分之六遞減其上等計二十五户中等三十户下等四十八户每等每户若干法先置各衰以各等户乘併之【上等户數乗一百衰得二千五百中等户數乘六十衰得一千八百下等户數乗三十六衰得一千七百二十八共六千零二十八】為首率以總絹為次率列各衰為三率推得第四率為各等一户所出數再以各户數乗之得各等數
　　一　六千零二十八
　　二　四百七十丈一尺八寸四分
　　三　一百　　　　　　六十　　　　　　　三十六四　七丈八尺【上等户】四丈六尺八寸【中等户】二丈八尺八分【下等户】一百九十五丈　一百四十丈四寸　　【一百三十四丈七尺八寸四分】
　　問官糧一百六十八石四斗八升八合令四等户辦納遞減十分之七甲户二十二乙户三十六丙户四十二丁户四十八每等每户各幾何立各衰以各户數乘併【甲户數乘一千衰得二萬二千乙户數乘七百衰得二萬五千二百丙户數乗四百九十衰得二萬五百八十丁户數乘三百四十三得一萬六千四百六十四通共八萬四千二百四十四】為首率總糧為次率列各衰為三率推得第四率各等一户所出數再以户數乘之得各等數
　　一　八萬四千二百四十四
　　二　一百六十八石四斗八升四合
　　三　一千　　七百　　　四百九十　三百四十三四　二石【甲】　一石四斗【乙】九斗八升【丙】六斗八升六合【丁】四十四石　五十【石零　四十一石　三十二石九四斗　一斗六升　斗二升八合】
　　右併衰係減衰法凡十之五十之九之類倣此
　　問榖二百四十石作五等分之甲乙二人數與丙丁戊三人數等各幾何此遞差偏多偏寡法先併各衰為二宗較之用餘數増入各衰併甲乙二衰【甲五乙四】得九又併丙丁戊三衰【丙三丁二戊一】得六以減九餘三却于五等衰各増三數【甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四共三十】併之為首率總米為次率推得第四率遞差八石其甲乙二人所分得數與丙丁戊三人正相當【此是以八遞加】
　　一　三十
　　二　二百四十石
　　三　四【戊】　　五【丁】　　六【丙】　　七【乙】　　八【甲】四　三十二石　四十石　四十八石　五十六石　六十四石右増衰凡増衰偏多偏寡者倣此如三人分要甲數與乙丙數同者七人分要甲乙丙數與戊己庚辛數同之類
　　問四商共得子銀三百四十兩其母以四遞加【如乙五則丙九丙七則丁十一丁九則甲十三是也係衰分遞加】但知甲原母二百八十六兩餘遞減各該若干須知十三之於九與二百八十六之於某數相同按衰母遞測之由甲母以推丁母由丁推丙由丙推乙法以甲衰十三為第一率甲母二百八十六為第二率以丁衰九為第三率依準測法得丁母數餘倣此
　　以甲知丁　　　　以丁知丙　　　以丙知乙
　　一　十三【甲衰】　　　　十一【丁衰】　　　九【丙衰】二　二百八十六【甲母】一百九十八【丁母】一百二十六【丙母】
　　三　九【丁衰】　　　　七【丙衰】　　　　五【乙衰】四　一百九十八【丁之母】一百二十六【丙之母】七十【乙母】右法已知各母再欲知其應分子銀以四遞加之數則併甲乙丙丁母為第一率總子為第二率分四母為第三率
　　一　六百八十【倂母】
　　二　三百四十【總子】
　　三　二百八十六【甲】七十【乙】　一百二十六【丙】一百九十八【丁】四　一百四十三　　三十五　　六十三　　九十九問三商共銀七百六十兩分之則甲得十分乙得七分丙得二分各若干其法併甲乙丙衰為第一率以銀數為第三率
　　一　一十九【甲一十乙七丙二共此數】
　　二　七百六十
　　三　一十【甲】　　　　　七【乙】　　　　　二【丙】
　　四　四百　　　　　　二百八十　　　八十問應徴糧七十三石二斗派令三等人户照分攤出上等二十五户每户作五分辦中等四十户每户三分辦下等六十户每户一分辦各户若干各等共若干法以各分各户相乗倂之【以五乗二十五得一百二十五以三乗四十得一百二十下等六十無乗共三百零五】為一率以總粮為二率以各衰【五三一】為三率推得三等户所應出分數再以各户數乗之得各等共數
　　一　三百零五
　　二　七十三石二斗
　　三　五　　　　　　　三　　　　　　一
　　四　一石二斗　　　　七斗二升　　　二斗四升三十石【上】　　　二十八石八斗【中】一十四石四斗【下】
　　問硃砂每斤三兩六錢石青每斤二兩四錢今有銀一千二百兩議買硃青二色硃數比青増一倍各斤數與價若干法因硃砂加倍即倍其價【三兩六錢】為七兩二錢倂青價【二兩四錢】共九兩六錢為一率以總銀為二率以各價為三率推得斤數為四率再各以價乘之
　　一　九兩六錢
　　二　一千二百兩
　　三　三兩六錢　　　　　　　二兩四錢
　　四　二百五十斤價九百兩　　一百二十五斤價三百兩問綾毎尺價銀九分二釐羅毎尺八分五釐絹每尺三分六釐今有銀一百二十一兩一錢七分五釐買綾一停羅二停絹三停各實數與價若干法用二乘羅價【一錢七分】三乘絹價【一錢八釐】併綾價共三錢七分為一率總銀為二率各價為三率得四率為各實數各以原價乘之一　三錢七分
　　二　一百二十一兩一錢七分五釐
　　三　九分二釐　　　　八分五釐　　　　三分六釐四　三十二丈七【尺五寸綾】六十五丈五尺【羅】九十八丈二【尺五寸絹】三十兩一錢三分　五十五兩六錢【七分五釐】三十五兩【三錢七分】
　　問芝蔴每三斗換米五斗每米五斗抵豆七斗今有芝蔴四百五十石換米豆共九百一十石各用芝蔴若干所換米豆各若干法用重準先併米五豆七共一十二為首率以芝蔴總數為二率分列米五豆七為三率求得芝蔴合換米　各數以為重準之第三率以米　共數為二率芝蔴總數為首率求得米　各數
　　一　一十二　　　　　　　　　四百五十石
　　二　四百五十石　　　　　　　五　　　　　　七
　　三　五　　　　七　　　一百　【八十七石五斗】二百　【六十二石五斗】四　一百八十七【石五斗以換米】二百六十二【石五斗以換豆】二百九十【七石五斗】六百一十【二石五斗】問銀一千零八兩買絲三停綿二停綫一停共三百六十兩其價綫一兩抵綿一兩六錢抵絲二兩欲知三色併價各若干者併各衰【絲三綿二綫一共六】置第一數以總銀為第二率分各衰列第三率推得第四率是各色數乃照前價取絲【一百八十兩】以二十除之得九十衰取綿【一百二十兩】以一十六除之得七十五衰併綫六十衰共二百二十五為法除總銀得綫價以一十六除綫價得綿價以二十除綫價得絲價
　　一　六
　　二　三百六十兩
　　三　三【絲】　　　　　二【綿】　　　　　一【綫】
　　四　一百八十兩　　一百二十兩　　六十兩二兩二錢四分【絲價】二兩八錢【綿價】　四兩四錢八分【綫價】
　　問氷片毎兩價二兩七錢五分沉香每兩價銀三錢五分竒南每兩價銀八錢有人以沉香一十七斤三兩又有人以竒南一十三斤十二兩各欲換氷片若干法置氷片價為首率化沉香竒南斤數為兩置次率各價為三率
　　一　二兩七錢五分
　　二　二百七十五兩　　　　二百二十兩
　　三　三錢五分　　　　　　八錢
　　四　三十五兩【沉香所換】　　六十四兩【竒南所換】問養軍二萬五千二百名月糧米麥豆兼支米每四名支三石麥每九名支五石豆每七名支八石各幾何即以七九四各列第一率以軍總數為二率以八五三列三率
　　一　七　　　　　　九　　　　　四
　　二　二萬五千二百名
　　三　八【豆】　　　　　五【麥】　　　　三【米】
　　四　二萬八千八百石　一萬四千石　一萬八千八百石問刻漏一壺貯水令漏開三孔其一孔最大漏水二時而盡一孔次之三時而盡一孔最細六時而盡假如三孔俱洩則幾刻水盡其法先以三孔與時刻相較以各時為第一率以一壺為二率以最小時為第三率要見大孔二時漏盡一壺則六時漏盡三壺其餘倣此而推
　　一　二時【大】　　　　三時【次】　　　　六時【小】二　一壺
　　三　六時
　　四　三壺　　　　　二壺　　　　　一壺
　　又法總而計之凡六時漏盡六壺知三孔俱開則其水一時漏盡只以分數算之
　　一　二時　　　　　三時　　　　　六時
　　二　一壺
　　三　一時
　　四　二分水之一　　三之一　　六之一【積之共一壺即是一時盡一壺也】右三數偶滿一時其法易算若併有竒零者另法求之假如纍臺一座甲六年完工乙九年完工丙十八年方完今三人同纍須幾時可完此先知每人每年所為之工得若干而總算之六年者每年得六分之一其九年者每年得九分之一其十八年者毎年得十八分之一依併法毎年共得三分之一約計三年通完三年之内甲成二分之一乙成三分之一丙成六分之一共足十分之數
　　問漏壺一座上有渇烏注水下有天池水今塞其下竅注水于壺四時而水滿開其下竅洩水壺外六時而洩盡若使上注下洩相併則此壺須幾時可滿法以四時為一率以一壺為二率以一時為三率測之而得一時之所注【四分壺之一】又以六時為一率一壺為二率一時為三率亦得一時之注【六分壺之一】乃以四之一減六之一得十二之一於是又以十二之一為第一率以一時為第二率以一壺為第三率得四率【以十二時注滿】凡用準測法者三
　　一　四時　　　　六時　　　　十二分壺之一
　　二　一壺　　　　一壺　　　　一時
　　三　一時　　　　一時　　　　一壺
　　四　四分壺之一　六分壺之一　十二時
　　問塞下竅四時水滿通下竅六時水盡今上注下泄則四箇時滿幾分曰六時盡者四時泄三分之二以除全壺餘三分之一為水滿數又問如此則幾時可滿一壺曰依前法當以十二時滿又問假如塞下竅注上竅三時而滿塞上竅開下竅八時而盡若上注下洩須幾時可滿曰以三時滿者一時之率三之一以八時盡者一時之率八之一就三之一減八之一餘二十四之五為一時之率則全壺得四時零五分時之四也又問一壺既以三時而滿假如四時又五分時之三可滿幾壺曰滿一壺又十五分壺之八又問八時盡一壺若四時又五分時之四該幾何曰此五分壺之三即於前數一時滿一壺者除之便得問八時盡一壺三時得幾何曰三時泄得八分之三以除前壺餘八分之五是三時滿八分之五又問三時滿八分之五則全壺幾時滿曰四時零五分時之四




　　同文算指通編卷二
<子部,天文算法類,算書之屬,同文算指__通編>
　　欽定四庫全書
　　同文算指通編卷三
　　明　李之藻　撰
　　合數差分法第四下
　　問四人共分金七百八十五兩多寡不同乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九各實數㡬何其法先併各衰雜數【甲一十則乙七乙十四則丙三丙十二則丁九】併各子以乘各母從小數併起除丁九無併其丙衰係十二又係三則以十二併三依約法三四一十二且作四以乘乙之十四得五十六為乙衰乙係五十六又係七則以五十六併七依約法七八五十六且作八以乘甲衰之十得八十為甲衰已得各衰併數【丁九丙十二乙五十六甲八十共一百五十七數】為第一率以銀總數為第二率以各衰為第三率一　一百五十七數【併衰】
　　二　七百八十五兩【總銀】
　　三　九【丁衰】　　十二【丙衰】　五十六【乙衰】八十【甲衰】四　四十五兩　六十兩　　二百八十兩　四百兩問發兵百人外有領隊四人旗牌六人共破一寨得器械七萬二千四百件即以充犒旗牌比領隊得八分之五兵比旗牌得五分之三各該得若干其法衰作八五三【兵三旗牌五又合三五成八得領隊之衰】各以本數乗本衰【領隊四乘八得三十二旗牌六乘五得三十兵百乘三得三百】合總數為第一率所獲數為第二率各衰所乘三宗為第三率
　　一　三百六十二【併各衰乘數】
　　二　七萬二千四百
　　三　三十二【領隊】　　三十【旗牌】　　　三百【兵】
　　四　六千四百　　　六千　　　　　六萬
　　問三人共拾得遺錢三千四十二文甲欲得二之一乙得三之一丙得四之一各該若干【此問併其分數反浮總數盖曰甲視乙則二一之視三一乙視丙則三一之視四一也】其法當先併母尋其通四分三分二分之一者為主依法二三乘得六又乘四併得二十四約之得十二以甲乙丙分之其數皆通【甲二之一則用六乙三之一則用四丙四之一則用三】乃併甲乙丙衰【甲六乙四丙三】共十三為第一率以錢數為第二率分甲乙丙衰作三宗為第三率乗除得數乙得甲三之二丙得甲二之一
　　一　十三
　　二　三千四十二文
　　三　六【甲衰】　　　　四【乙衰】　　　　三【丙衰】四　一千四百四　　九百三十六　　七百二問三縣共糧一千四百七石小縣二分之一次縣五分之三大縣十一分之八各該納若干【衰法同前】其法亦以各母相乗以求通數以二乘五又乘十一得一百一十【二五乘得十又十乘十一得一百一十也于是小縣分得五十五次分得六十六大分得八十】則三縣之母數皆通而併之為第一率以糧數為第二率分三縣各衰為第三率
　　一　二百一【併各衰】
　　二　一千四百七石
　　三　五十五【甲衰】　　六十六【乙衰】　　八十【丙衰】四　三百八十五石　四百六十二石　五百六十石問四人共分銀三百九十六兩甲得二分之一外加十兩乙得五分之三内欠二十兩丙得三分之一外加八兩丁得四分之一内欠六兩每人實數㡬何此將總數内除去加數【實在三百七十八兩】加上欠數【共得四百零四兩】乃依前法併其母數【二乘五得一十以乘三得三十又以乘四得一百二十】約之得六十為通數而各以其所得子數通之【甲二之一為三十乙五之三為三十六丙二之一為二十丁四之一為一十五】併為第一率以加除所得銀數為第二率以甲乙丙丁各衰四宗為第三率依準測法得第四率再照數或加或減其所分即總合前數矣
　　一　一百一兩【併各衰】
　　二　四百四兩
　　三　三十【甲】　　三十六【乙】　二十【丙】　　一十五【丁】四　一百二十　一百四十四　八十　　　六十問兄弟三人不知嵗數但云季得伯四之三仲得伯六之五仲多季只八嵗各㡬何此帶母子差分也已知兩母為伯衰用併法先併其母四六相乘得二十四為伯衰之實乃用母子互乘以求仲季之衰以四乘五得二十為仲衰以六乘三得一十八為季衰列三率而仲季相去較八嵗為二率以仲季二衰之較【一十八減二十餘二】為首率【此以所已知之衰較及嵗較求各衰之嵗實故用較為首率後皆倣此】
　　一　　二
　　二　八嵗
　　三　二十四　　　二十　　　　一十八
　　四　九十六嵗【伯】　　八十嵗【仲】　　　七十二嵗【季】問四人分錢不知數但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丁與丙差四文每人㡬何此同上法已知三母即甲衰用併母法四乘六得二十四又自乘得五百七十六為甲衰之實乃以乙丙丁之原母除原子乘以求其子而得四百八十為乙衰四百三十二為丙衰四百零八為丁衰列三率以丙丁較四為二率以丙丁二衰之較二十四為首率【不用約法覽之易曉】一　二十四
　　二　四
　　三　五百七十六【甲】四百八十【乙】四百三十二【丙】四百零八【丁】四　九十六　　　八十　　七十二　　　六十八右二法以借衰互徵求之亦同
　　問大小船數相等共載鹽四千三百五十引大船毎三隻載鹽五百小船毎四隻載鹽三百該船㡬隻每船載㡬引此用重準測法以四之三百及三之五百子母互乘【一得九百一得二千】併得二千九百為首率兩母相乘得十二為次率總鹽為三率求得四率是大小船數即以為第三率分置所載率【五百三百】為次率與相乘又分置兩母【三四】為首率除之得各鹽數
　　一　二千九百　　　　三　　　　　　四
　　二　一十二　　　　　五百　　　　　三百三　四千三百五十　　一十八
　　四　一十八【大小各船數】二千　　　　　一千三百五十問鼇燈一座大小燈毬二等大燈三琖油四兩小燈四盞油三兩其小燈多大燈二之一共用油十八斤七兩大小燈各若干此用重準測法因有二之一立大母二小母三通斤為兩【共二百九十五兩】又通兩為銖【每兩二十四銖共七千八十銖】以先求大小每琖油數取每三每四為首率二十四銖為次率分四兩三兩為三率得第四率為大小每琖油數
　　一　三　　　　　　　四
　　二　二十四銖
　　三　四【大】　　　　　　三【小】
　　四　三十二銖　　　　一十八銖
　　乃以母二乘三十二得六十四銖為大總以母三乘一十八得五十四為小總併得一百一十八為首率以總油【七千八十】為次率分母二母三為三率得第四率是大小琖各數而各以油銖數乘之又以每斤三百八十四銖除之
　　一　　一百一十八
　　二　　七千八十銖
　　三　　二【大】　　　　　　　　　　三【小】
　　四　一百二十琖【三十二銖乘得三千八百四十銖是十斤】一百八十琖【一十八乘得三千二百四十銖是八斤七兩】問大船三桅六槳小船一桅八槳今望見桅五十七槳二百零四其大小船各㡬艘法併大小船每艘桅槳凡九共一十八為第一率以大小共二艘為第二率併桅槳全數得二百六十一為第三率推得大小船共二十九艘減小船之一補大船合問
　　一　一十八
　　二　二艘
　　三　二百六十一
　　四　二十九艘【内大船一十五小船一十四】
　　問有銀一萬七千六百九十兩買騾三百匹馬七百匹其每匹價馬多于騾七兩七錢各價㡬何此匿價差分法當先除所差而後凖測之以所多七兩七錢乗七百匹得五千三百九十兩以減原銀餘一萬二千三百兩乃併騾三百馬七百共一千匹置首率以減餘銀數置次率一匹為三率推得四率為騾價加七兩七錢即馬價再以各匹數乘之合總
　　一　一千匹
　　二　一萬二千三百兩
　　三　一匹
　　四　十二兩三錢【騾價】　　　二十兩【馬價】
　　又法以所差七兩七錢乘三百匹得二千三百一十兩加入總銀共得二萬兩為次率如法凖測得二十兩為馬每匹之價減較七兩七錢亦得騾價
　　一　一千匹
　　二　二萬兩
　　三　一匹
　　四　二十兩【馬價】　　　　　十二兩三錢【騾價】問以銀二萬九千二百八十兩買上田三百畝中田一百五十畝下田四百五十畝其上價比中價每畝多四兩七錢中價比下價每畝多一十三兩五錢各㡬何此亦匿價差分法當除兩差之積而後算之以一十三兩五錢乘三百得四千○五十兩以一十八兩二錢乘一百五十得二千七百三十兩併得六千七百八十兩以減原銀餘二萬二千五百兩即以置次率却併三等田數得九百畝置首率一畝為第三率推得每畝二十五兩為第四率是下田價加一十三兩五錢為中田價再加四兩七錢為上田價再以各數乘之合總
　　一　九百
　　二　二萬二千五百兩
　　三　一畝
　　四　二十五兩【下】
　　又法增差積算之以四兩七錢乘三百得一千四百一十兩又以兩差一十八兩二錢乘四百五十得八千一百九十兩併得九千六百兩加入原總銀得三萬八千八百八十兩為次率與三率一畝相乘首率九百除之得上田每畝價四十三兩二錢減十三兩五錢即中田價再減四兩七錢即下田價
　　問官銀一萬七百七十八兩六錢五釐糴米麥豆三色均平其每一石價米二兩三錢五分麥一兩九錢五分豆一兩四錢五分各價㡬何各石㡬何併三價共五兩七錢五分為法置第一率總銀為第二率列三色每石價為第三率推得第四率是各價數其各石數以法徑除總銀即得
　　一　五兩七錢五分
　　二　一萬○七百七十八兩六錢○五釐
　　三　二兩三錢五分　一兩九錢五分　一兩四錢五分四　四千四百○五兩　三千六百五十五兩　二千七百一十八兩　一錢六分九釐【米】　三錢五分三釐【麥】　兩○八分三釐【豆】三色共一千八百七十四石五斗四升
　　和較三率法第五
　　凡數分合不離三率而互和難測則立較以測之立中率以較之凡兩數三數多數悉與中率相較而互置較位為第三率以較積為第一率諸如前
　　問上酒每斗價二錢中酒每斗價一錢二分今雜併二酒每斗立價一錢五分則此斗酒内有上酒若干中酒若干其法先定三等之程列所立價【一錢五分】次連列上中二價與較而列上差數于中左列中差數于上左互對次併兩差列左下而以併差為第一率以一斗為第二率以各差為第三率
　　【一十五】上中二價上【二十】中【十二】
　　相較差　中【三】　上【五】　　差積【八】
　　一　八
　　二　一斗
　　三　三【上】　　　　　　　　五【中】
　　四　八分斗之三　　　　　八分斗之五
　　問甲金一兩准銀一十五兩乙金一兩准銀一十二兩今欲鎔為一處使母金一兩准銀一十四兩則甲乙金各該㡬兩亦列法如左較之併差為首率一兩為次率各差為三率
　　【一十四】價甲【十五】　乙【十二】
　　較　　【二　　　　一】　差積【三】
　　一　三
　　二　一兩
　　三　二【甲】　　　　　　　一【乙】
　　四　三分兩之二　　　　三分兩之一
　　問玉率方寸重七兩石率方寸重六兩今有璞方三寸重一百七十六兩内玉石各若干法以見方三寸自乘再乘得立方二十七寸以通玉石【玉該一百八十九兩石該一百六十二兩】各列右立總重數互較得數列左併差為首率開方寸為二率分差為三率
　　【一百七十六】玉【一百八十九】石【一百六十二】
　　【一十四　一十三】　差積【二十七】
　　一　二十七【差】
　　二　二十七【寸】
　　三　一十四【玉】　　　　　一十三【石】
　　四　一十四【乘重九十八兩】一十三【乗重七十八兩】問銀裹金方四寸共重九百零四兩每銀方寸重十二兩金方寸重十六兩各若干以四寸自乘再乘得開方六十四寸以通金銀【銀一千二十四兩金七百六十八兩】以總重互較三率如前
　　【九百四】銀【一千二十四】金【七百六十八】
　　【一百三　一百二十六　　十】　差積【二百五十六】
　　一　二百五十六
　　二　六十四【寸】
　　三　一百三十六【銀】　　　　一百二十【金】
　　四　三十四【乘得五百四十四兩】三十【乘得三百六十兩】問椒一斤價四錢丁香一斤價三錢桂皮一斤價六錢阿魏一斤價一兩縮砂一斤價八錢今以銀七錢買上五色共一斤則每色該得若干列法如左立七錢為主餘物以次列之較其所差而依次互列須易其位大抵有對者對互【椒砂互丁魏互】無對者另求一對【桂無對借砂作對而互又列桂較之一于砂較三之旁】而增系之凡相對互位者務取一大于立價一小于立價如砂數大對椒數之小亦以差倂為第一率一斤為第二率併各物較為三率
　　【七錢】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】
　　【一　三　一　四　三乙】　差積【十三】
　　一　一十三
　　二　一斤
　　三　一【椒】　　三【丁香】　一【桂皮】　四【阿魏】　四【砂】四　十三【分斤之一】十三之三　十三之一　十三之四　十三之四又列法但取一大一小雜互更位【椒砂互椒魏又互丁砂互桂砂又互丁魏互桂魏又互】凡六互得差積二十八【椒丁桂俱四魏砂俱八】若俱大數俱小數者則不可互耳【椒丁桂俱小魏砂俱大】其與立數等者亦可互但作○以倒其所互乃以二十八為第一率分各差積為第
　　三率　　　　　　　　　　【七錢】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】
　　【一　一　三　三　三三　三　一　四　四】　差積【二十八】
　　一　二十八　　　　　　　　　【一　一】
　　二　一斤
　　三　四【椒】　　四【丁】　　四【桂】　　八【魏】　　八【砂】四　二十八【分斤之四】二十八【之四】二十八【之四】二十八【之八】二十八【之八】又法隨意易位亦以大數互小數比前稍異亦得差積十三
　　【七錢】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】
　　【三　一　一　三　四一】　差積【十三】
　　一　十三
　　二　一斤
　　三　三【椒】　　一【丁】　　　一【桂】　　三【魏】　　五【砂】四　十三【分斤之三】十三之一　十三之一　十三之三十三之五問鵝氄段大綠者每丈四兩天青每丈六兩大紅每丈十兩今以銀四百八十兩買氄八十丈則各色各該㡬丈其法先以總價和總丈之數而匀之【每丈得六兩】立六為中數依前互法列之
　　【四　六　一十四十互六十又互六兩四　四　　二】差積
　　一　一十
　　二　八十丈
　　三　四【綠】　　　　　四【青】　　　　二【紅】
　　四　三十二丈　　　三十二丈　　一十六丈問有酒四等甲酒毎瓶二錢一分乙酒每瓶二錢七分丙酒三錢丁酒四錢今有酒共三百瓶每瓶立價三錢三分則每酒若干瓶依法列之但此以三十三為主數【即三錢三分】而其餘惟四十【即四錢】為大其二十一【即二錢一分】二十七【即二錢七分】三十【即三錢】皆小數則此三小數皆與四十之大數相互云共積四十二為第一率
　　【二錢　二錢　三錢　四三錢三分　一分　七分】
　　【七　　七　　七　十二六】差積【四十二】
　　一　四十二　　　　　　　　　　　【三】
　　二　三百瓶
　　三　七　　　　七　　　　七　　　　二十一四　五十瓶　　五十　　　五十　　　一百五十問銀四百兩買藥四百斤内丁香每斤該六錢胡椒每斤該七錢桂九錢蘇合一兩一錢辰砂一兩二錢阿魏一兩六錢每色各該㡬斤方合總數其法亦先折中價如四百斤需四百兩則每一兩得一斤其中價乃依互法參之
　　【一十】丁【六】椒【七】桂【九】合【十一】砂【十二】魏【十六此以丁魏互又丁合互椒砂互又椒魏互】
　　【六　二　二　四　　三　　四　桂砂互一　六　　　　　　一　　三　差積三十二】
　　一　三十二
　　二　四百斤
　　三　七【丁】　八【椒】　二【桂】　四【合】　四【砂】　七【魏】四　【八十七斤又二之一】一百　　二十五　五十　五十　八十【七斤又二之一】又法
　　【一十】丁【六】椒【七】桂【九】合【十一】砂【十二】魏【十六此以丁互合又互砂又互魏以】
　　【一　一　一　四　　四　　四　椒互合亦互砂二　二　二　三　　三　　三　互魏以桂互合六　六　六　一　　一　　一　亦互砂互魏以上三位徧互下】
　　一　五十一　　　　　　　　　　　　　　【三位差積五十一】二　四百斤
　　三　九　　九　　九　　八　　八　　八
　　四　【七十斤又五十一分斤之三十】同上　同上　【六十二斤又五十一之三十八】同上　同上【右五十一分斤之三十以求兩者化一斤為一千六百分以子數三十乘之以母數五十一除之得九兩四錢一分又五十一之九也】






　　問金鑄編鐘一口計重三百兩俱九六成色今見有九九成色及九三成色二等金約該每用若干此以九六為中價依法互之
　　【九六】甲金【九九】　乙金　【九一】
　　【五　　　　　三】差積【八】
　　一　八
　　二　三百兩
　　三　五【甲】　　　　　　　　三【乙】
　　四　一百七十七兩五錢　　一百一十二兩五錢問米麥五百石共價四百零五兩七錢米每石價八錢六分麥每石價七錢二分五其各石數價數若干先以米麥每石之價乘五百石【米得四百三十兩麥得三百六十二兩五錢】即以總價立為中率先得石數次得價數
　　【四百三四百五　十兩】麥【三百六十二兩五錢】
　　【兩七錢　四十三　二十四兩兩二錢　三錢】差積【六十七兩五錢】
　　一　六十七兩五錢
　　二　五百石
　　三　四十三兩二錢【米】　　　二十四兩三錢【麥】四　三百二十石【乘石價得二百七十五兩二錢】一百八十石【乗石價得一百三十兩五錢】問銀二十八兩二錢買銅錫鐵共重三百斤其價銅一斤銀一錢五分錫一斤銀九分鐵一斤銀四分此三物各該若干此貴賤衰分三色者以總物歸總銀立九分四為中價







　　總疋除總銀立五錢八分一二毫五絲為中價


　　一　一十六萬
　　二　一百六十疋
　　三　三千六百二十五【綾羅同】　四千三百七十五【紗絹同】四　三十六疋又四之一　　四十三疋又四之三【以各疋價乘之合總】又法【先以四約總疋得羅紗各四十疋以減總疋餘八十疋為綾絹共數又于總價内減羅價二十八兩紗價二十兩餘四十五兩為綾絹共價乃以疊借互徵之法推之前銅錫鐵三色亦然】
　　借衰互徵法第六
　　數有隠伏非衰分可得者則别借虚數以類徵之或合率增減或母子射覆如藏鬮然借彼徵此借虚徵實大抵即三率之法而觸類長之
　　問三人共買宅一區用價二千七百兩其捐價則乙視甲加倍丙視甲乙又加倍各若干此倍增法也隨意立一數為甲衰但用小數而以乙丙衰遞加之【如甲衰一則乙衰二丙衰六也如甲衰六則乙衰十二丙衰三十六也餘倣此】并各衰為第一率【甲衰一者一二六共九也甲衰六者六及十二及三十六共五十四也餘倣此】隨取一衰為第二率【且用甲】以總價為第三率依互測法得甲數倍之得乙數二倍之得丙數
　　一　五十四
　　二　六【此只借甲衰用乙用丙皆同】
　　三　二千七百
　　四　三百【甲】　　六百【乙】　　　一千八百【丙　乙丙皆從甲倍出】問貯絹不知㡬何但云其三之一其四之一其五之一併得四千七百疋其實數㡬何曰此尋一通數可以兼三之一及四之一及五之一者而測之如用六十以通各分【三之一是二十也四之一是十五也五之一是十二也】併之【共四十七】為第一率即以六十為第二率【四十七出于六十】絹總數為第三率一　四十七
　　二　六十
　　三　四千七百
　　四　六千疋
　　問廐馬不知㡬匹但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百十二匹今算實㡬匹可用前法否曰此有最後所加一數即不同前法當先減一數只以一百十一算之次立通數可兼各衰者如用十二為通數加一倍【二十四】又加二之一【六】及三之一【四】四之一【三】共得三十七為第一率即以十二為第二率就前一百十二數内減一為第三率【一百十一】凖而測之知三十七出于十二則知一百十一出于何數矣再加一合問
　　一　三十七
　　二　一十二
　　三　一百一十一
　　四　三十六　再加一乃三十七匹
　　問牧羊不知數但云加一倍又加二之一又加四之一外加一得一百其原數若干此亦除去加一數只用九十九為第三率而另借一數為通數如用一十二為次率以加一倍【二十四】加二之一【六】四之一【三】併得三十三為首率依法推之知一十二出于十三則知九十九所出也再加一合問
　　一　三十三
　　二　一十二
　　三　九十九
　　四　三十六【倍之為七十二加二之一得九十加四之一得九十九外加一得一百】問價銀五千兩買駿馬一匹園宅一區園價比馬多三倍宅比園多四倍各價幾何此與首問法同隨意立一數通各衰假如立馬衰三十園宅以次增衰【園多三倍得一百二十宅又多園四倍該六百】併為第一率【七百五十】於各衰隨取一數為第二率【且用馬衰】總銀為第三率【五千兩】如凖測法得第四率【如用馬則得馬價餘依倍推之】
　　一　七百五十兩
　　二　三十【馬】　　　一百二十【園】　　六百【宅】
　　三　五千兩
　　四　二百【馬】　　　八百【園】　　　四千【宅】
　　問入園摘摘過三分之二又五分之一尚剰三十六此園原有㡬法先求一通數内除三之二及五之一而剰三十六數者假如借立三百内減三之二除二百亦于三百内減五之一除六十通減二數只餘四十為第一率以三百為第二率知四十出于三百則知三十六出于何數矣
　　一　四十　【右所云三之二又五之一者倂之未滿原數故可以右法推之若云三之一又五之三則】二　三百　【浮于原數知為虚設不必算矣】
　　三　三十六
　　四　二百七十【原數】
　　問二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共併得五百二十二數其原數㡬何先立一通數可剖為二分之一以至四五六分皆可者如借六十為主依法分之【其二之一為三十其三之一為二十其四之一為十五其五之一為十二其六之一為一十】併各率【共八十七】為第一率以六十為第二率知八十七出于六十則五百二十二出于何數可推也以五百二十二為第三率
　　一　八十七
　　二　六十
　　三　五百二十二【其二之一乃一百八十其三之一乃一百二十其四之一乃九十其五之】四　三百六十　【一乃七十二其六之一乃六十其五百二十二數】問倉中有粟㡬石不言其數但言外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石此其原粟㡬何其法先減一百石在外只就二百起算乃隨借一數可以通二之一及三之一及四之一者如借二十四為通數外加二之一【一十二】又加三之一【八】四之一【六】併之【五十】為第一率所借二十四為第二率知五十出于二十四則二百出于何數可推也以二百為第三率而得第四率外加所減【一百】合問
　　一　五十
　　二　二十四
　　三　二百
　　四　九十六石【外加二之一為四十八加三之一為三十二加四之一為二十四又加一百共三百】問水碓五副大小不等共舂麥五十石甲碓每一時舂七斗乙碓每一時舂五斗丙四斗丁三斗戊一斗五碓齊舂須㡬時可完完時每碓各舂得㡬何其法隨意立一時數假如借四箇時畢之以計各碓所舂【甲二十八乙二十丙一十六丁十二戊四共得八十】併為第一率四時為第二率知八石畢于四時則五十石可推也以五十石為第三率
　　一　八石
　　二　四時
　　三　五十石
　　四　二十五時【以各碓乗甲以七乗得一十七石五斗乙五乗得一十二石五斗丙四乗得一十石丁三乗得七石五斗戊一乗得二石五斗共五十石】
　　問貸貲商販三次俱獲倍息每次歸還三百兩三次母子適盡原貸若干先借一為母貲以加三次倍息【初一次二其三得四】併得八為首率減母貲之一只併三次倍息【一二四】併得七為次率知七出於八則知三百原母所出矣以三百為第三率
　　一　八
　　二　七
　　三　三百兩
　　四　二百六十二兩五錢
　　問商販四次俱獲倍息每次費銀九十六兩四次子母俱盡原母若干亦借一為母加四次倍息【一二四八】併得一十六為首率減母貲之一只併四次倍息【一二四八】併得一十五為次率知十五原於十六則知九十六原於何數也以九十六為三率
　　一　一十六
　　二　一十五
　　三　九十六兩
　　四　九十兩
　　問有商挾貲赴集初次所獲比母銀多三之二以併入母銀再往獲五之四三次往又獲四之三實計所獲併母銀共四百兩所原挾貲若干其法先借一數以遞乗各母而例推之假如借一十為通數以乘各母【乗三得三十以三十乘五得一百五十以一百五十乘四得六百】併之為第一率以所借一十為第二率知六百出于一十而四百之所從出可知也以四百為第三率【按此條法誤置子數不用只以母數逓乗與題問不合】
　　一　六百
　　二　一十兩
　　三　四百
　　四　六兩又三分兩之二【此係初販原貲三乗得二十兩又五乗得一百兩又四乗得四百兩】問攜酒郊遊三入肆中俱飲酒一斗九升每飲添酒輒倍餘酒至三次酒盡原攜若于法借一為原酒加三次倍率【一二四】併得八為首率減原酒之一只三次倍率七為次率以所飲一斗九升為三率知七出于八則知一斗九升所自出矣
　　一　八
　　二　七
　　三　一斗九升
　　四　一斗六升八之五【即六合二勺五抄】
　　又法併三次倍率七以乗所飲【一斗九升】得一石三斗三升減半三次得原攜數同前
　　問載米賑濟不言其數每次散米一千五百石亦每次糴增俱倍餘米之數五賑恰盡無餘原米若干法立一為原數加五次倍率【一二四八十六】併得三十二為首率減原數一只併五倍率三十一為次率知三十一之原于三十二即知一千五百之原
　　一　三十二
　　二　三十一　【二三相乘得四萬六千五百石以減半五次亦同四率】三　一千五百石
　　四　一千四百五十三石三十二之四【即一斗二升五合】問立一虚數以乘四得數又以乘三得數又以乘六得數外加一十共八百前所立虚數㡬何其法先除所加一十只以七百九十起算亦借一通數假如借一十為主以遞乘得數【乗四得四十又乗三得一百二十又乗六得七百二十】併之為第一率【七百二十】以所借為第二率【一十】知七百二十之出于一十而七百九十之所從出可知也以七百九十為第三率而得第四率乃以一十加之【按此條内併之二字衍末六字應刪】一　七百二十
　　二　一十
　　三　七百九十
　　四　一十又三十六之三十五【以乘四得四十三又九之八再以乗三得一百三十
　　一又三之二又乗六得七百九十加一十合問】
　　問老人不知其年但云加二之一又減四之一得九十九嵗實年㡬何其法借一虚數外加二之一又減四之一而例之假如借八十為算依法加減【加二之一得一百二十又減四之一得九十】得數為第一率八十為第二率知九十之出於八十而九十九之所從出可凖也以九十九為第三率一　九十
　　二　八十
　　三　九十九
　　四　八十八
　　問逺望一塔上露出二丈四尺其下有樹遮之云尚有三分之一又五分之二共該髙㡬何亦借立一數以其三之一及五之二類凖之如借立三十為主酌減餘分【三之一乃一十五之二乃一十二】以其所剩數【該剩八即所露】為第一率以三十為第二率知八之出于三十而二十四尺可測也以二十四為第三率
　　一　八尺
　　二　三十尺
　　三　二十四尺
　　四　九十尺　【此塔髙之數内減三之一乃三丈減五之二乃三丈六尺此外露二丈四尺】問旗竿一根其三之一是白色五之一是黒色九之二是青色外尚餘十二尺紅色竿長㡬何亦借一數以通各數而觀其所剰以類徵之假如借四十五數以減各分【減三之一得十五減五之一得九減九之二得一十】其餘【四十五内減前各數剩十一】為第一率以所借為第二率【四十五】知十一之出於四十五而十二之所從出可推也
　　一　一十一
　　二　四十五
　　三　一十二尺
　　四　四十九尺又十一分尺之一【其白色三之一乃十六尺又十一之四黒色五之一乃九
　　尺又十一之九青色九之二乃十尺又十一之十也】
　　問白布三十疋青布四十疋共價六百六十兩青布毎疋比白布價多一倍各價㡬何法借一虚數為白價倍之為青價而以前疋數乘之假如借立四兩倍得八各乘青白【四乘白得一百二十八乗青得三百二十】併之【四百四十】為第一率以所借四為第二率知四百四十之出于四而六百六十之所出可知也以六百六十為第三率
　　一　四百四十
　　二　四兩
　　三　六百六十
　　四　六兩　　　【此係白價倍之得青價十二兩各乗疋數白得一百八十兩青得四百八十兩】















　　同文算指通編卷三
　　欽定四庫全書
　　同文算指通編卷四
　　明　李之藻　撰
　　疊借互徵第七【附盈朒】
　　借虚徵實其術精矣又有子母雜互隠奥難知者則兩借虚數以徵之徵之于實尚逺也或兩浮而盈或兩縮而不足或一盈一不足俱以借數列上以較原數以多寡之差列下而左右互乘焉其法有二凡俱盈俱不足者以差數相減餘為法以乗數相減餘為實若一盈一不足者以差數相併為實而以法除實則二法相同舊有盈朒一章大都類此而此則於未有盈朒之先借數推出盈朒以求隠數故曰借徵其顯有盈不足實數者但依舊法求之諸盈不足者兩盈者兩不足者盈適足者不足適足者及疊互母子者各具數條見例
　　問設一虚數以其半為用内除三之一又除四之一尚餘三百其原總數幾何其法先另借一通數以分其半而通各分先借二十四為數列左上【其半為十二其三之一為四其四之一為三尚餘五】以比三百則不足二百九十五列左下另借九十六為數列右上【其半為四十八其三之一為十六其四之一為十二尚餘二十】以比三百不足二百八十列右下次以左上乘右下又以右上乘左下各得數附註其下以少減多其餘為實而以左下右下相減其餘為法除之




　　除得一千四百四十合原總以減半為七百二十其三之一乃二百四十其四之一乃一百八十加三百合一半七百二十之數
　　假如借四千八百為通數列左上【其半為二千四百其三之一為八百其四之一為六百餘一千】以比三百則盈七百列左下又借二千四百為通數列右上【其半為一千二百其三之一為四百其四之一為三百餘五百】以比三百盈二百列右下亦以二數相減餘為法而以左上乘右下以右上乘左下相減餘為實而以法除之




　　以法除實亦得一千四百四十合原總數
　　又假如借二千四百為通數列左上【即前第二式右上者尚餘五百】盈二百列左下再借九十六列右上【即前第一右上者餘二十】不足二百八十列右下此係一盈一不足者相併為法次以左上乘右下以右上乘左下亦相併為實以法除實仍得一千四百四十



　　問三人共銀四十四兩乙多甲一倍外又多四兩丙兼甲乙之數外又多六兩每人實數㡬何【此大約當以四分分之而算】先借一十為通數列左上【甲一十乙倍得二十又加四共二十四丙兼二數又加六得四十】共七十四以比四十四盈三十列左下又借六列右上【甲六乙倍之加四得十六丙兼二數加六得二十八】共五十以比四十四盈六列右下以相減餘為法乃以左上乘右下以右上乘左下亦以相減餘為實以法除之得五為所求之甲數倍之又加四得一十四為乙數兼之又加六得二十五





　　右圖以甲之左數一十乘六及以右數六乘三十者固除得甲五若以乙之二十四乘六及一十六乘三十亦得乙數以丙之四十乘六及二十八乘
　　三十者亦得丙數以
　　共數七十四乘六及
　　五十乘三十者亦得
　　共數
　　問甲乙各不知數取乙九與甲則甲倍于乙取甲九與乙則甲乙正等原數各若干借一百為等數乙既得甲九則甲原一百九列左上而乙九十一列其次甲若取乙九則甲一百十八而乙八十二以視甲之半盈二十三【因甲取乙九當倍乙數故】列左下另借五十為等數乙既得甲九則甲原五十九列右上而乙四十一列其次甲又取乙九則甲得六十八而乙三十三以視甲之半不足二列右下盈不足相併二十五為法左上乘右下右上乘左下相併為實以法除實係甲乘者除得六十三為甲數係乙乘者除得四十五為乙數



　　問攜酒遊山到處沽増一倍俱飲六升至第四處飲訖無餘原攜若干借五升四合列左上倍之【一斗八合】減六【四升八合】又倍之【九升六合】減六【三升六合】三次倍之【七升二合】減六【一升二合】四次倍之【二升四合】以減六不足三升六合列左次另借六升二合列右上倍之【一斗二升四合】減六【六升四合】又倍減至四次【倍得一斗二升八合減存六升八合復倍得一斗三升六合減存七升六合又倍得一斗五升二合減存九升二合】盈九升二合列右次盈不足相併為法以左上乘右下右上乘左下併為實以法除實得五升六合二勺五抄



　　問貸榖不知數每年加息一倍一年還榖五斗至五年本利俱完其原貸若干先借四十三石列左上倍之【八十六】減所還【餘三十六】又倍之【七十二】又減【餘二十二】仍倍之【四十四】不足六石列左下又借四十四石列右上倍之【八十八】减所還【餘三十八】又倍之【七十六】又減【餘二十六】仍倍之【五十二】盈二石列右下併盈不足為法左上乘石下右上乘左下得數併為實以法除實得原榖四十三石七斗五升
　　或依三率置五十為實置
　　三年之倍【一二四】併得七乘
　　之加母【一】為法除之亦同
　　問逐兔百隻每三人得四隻該㡬人先借七十二人列左上以四乘三除【九十六】盈四隻列下另借九十人列右上以四乘三除【一百二十】不足二十列下盈不足併為法左上乘右下右上乘左下得數併為實以法除實得七十五人
　　此問依三率三
　　乘四除即得
　　借此見例云
　　問甲乙丙共數六十乙多甲一倍外加四丙兼甲乙數外加六各該㡬何先借六為甲通乙丙數列左上【甲六乙十六丙二十八】共得五十比正數不足一十列左下又借八為甲通乙丙數列右上【甲八乙二十丙三十四】共六十二比正數盈二列右下相併為法次以左上乘右下以右上乘左下亦相併為實依法除得七零三之二為甲數倍之加四得十九零三之一為乙數兼甲乙加六得三十三為丙數總合六十數



　　問試以三十數隨手剖為二以其一加六十以其一加二十而加六十者為加二十者之三之二其剖分之數各㡬何此取三十而隨意剖之且借二十為甲數列左上列乙一十于次而各如問加焉察其數【甲二十加六十得八十乙一十加二十得三十】甲視乙固不足三之二【乙三十則甲之三分二者該九十今却八十】以不足一十列左下又借二十四為甲數列右上亦列乙六于其次各加如問而察其數【甲二十四加六十得八十四乙六外加二十得二十六】甲又盈乙三之二【乙二十六則甲之三分二者該七十八今却八十四】以盈六列右下盈不足積併為法次以左上乘右下以右上乘左下併為實以法除實得二十二又二之一為甲數然後求三之一則七零二之一為乙數也



　　問甲乙丙三數甲加七十三得為乙丙數者二乙加七十三得為甲丙數者三丙加七十三得為甲乙數者四其實數各㡬何此因有三之二及四之三當借竒數為通數以求甲數而又因乙丙之加牽連難析則疊用前法以徵之且如借一乃奇數也以當甲列左上【左圖】加七十三【共七十四】當兼乙丙而倍之【既以七十四為兼乙丙且倍之則乙丙當僅得其半共得三十七】因以折半三十七為乙丙數而乙與丙又衰分焉【乙加七十三又得甲丙三之二因尋乙所衰于丙者】依前法隨意衰之為兩如借二為乙衰另列于左上【右圖】則丙係三十五矣列左次乃以二加七十三【得七十五】以較甲丙合數未足三之二【甲一丙三十五共三十六則其三之二乃該一百零八今乙衰二加七十三只有七十五】尚縮三十三列左下又借五當乙【三十七中之五】列右上則丙係三十二矣列右次乃以五加七十三【得七十八】以較甲丙有三之二否不足二十一【甲一丙三十二共三十三則其三之二該九十九今乙衰五加七十三只七十八】列右下兩不足相減餘為法而以左上乘右下以右上乘左下相減餘為實法除實得一十零四之一為乙實乃列乙實于左圖初借立一之次既已得乙實即得丙實【乙丙共三十七也乙得一十零四之一則丙得二十六零四之三】列于又次




　　又另借三為甲衰列右上加七十三【共七十六】以其半為乙丙衰【得三十八】而隨意分之為兩另作一法如前焉如以二為乙衰列左上其餘三十六乃丙衰列左次即以乙衰之二加其七十三【得七十五】與甲丙相較是三之二否不足四
　　十二【甲三丙三十六共三】
　　【十九其三分之二乃一百十七】
　　【也今乙衰加之只七十五】即
　　以不足列左下
　　另借二十三為乙衰列右上其半十五為丙衰列右次以乙衰二十三加七十三【得九十六】與甲丙相較是三之二否又盈四十二【甲三丙十五共十八其三分之二當是五十四今乙衰之數與加數却有九十六】以盈列右下盈與不足相併為法仍以左上乘右下以右上乘左下而相併為實以法除實得一十二零二分之一為乙實乃列乙實于前所借甲三之次因得丙實【乙丙共三十八乙既得一十二又二分之一則丙得二十五零二分之一】亦列于又次俱照前式




　　乃依所問察之甲加七十三要兼乙丙數又多一倍乙加七十三要得甲丙數者三丙加七十三要得甲乙數者四





　　如右圖左上甲衰及所加【共七十四】已兼乙丙之數與其倍數【乙丙共三十七兼而倍之則七十四也】左次乙衰所加【共八十三又四之一】亦兼甲丙數之三【甲丙共二十七又四之三以加二倍合乙衰】俱合原問惟左又次丙衰及所加【共九十九零四之三】以合甲乙【共十一零四之一】如原問但欲得甲乙數者四只須四十五今却九十九零四之三乃盈五十四零四之三到此不合矣仍依互乘之法求之右上甲衰及所加【共七十六】亦合乙丙兼數與倍數【乙丙共三十八兼倍之則七十六也】右次乙衰及所加【共八十五半】合甲丙亦具三因【甲丙共二十八半三因之得八十五半】惟右又次之丙衰及所加【共九十八零半】以合甲乙【共十五又二之一】以四因之當得六十二今却九十八零二之一乃盈三十二零二之一也不合原問仍依互乘之法求之　于是以左上甲衰乘右下以右上甲衰乘左下相減餘為實以左下右下相減餘為法除之得七為甲衰如欲得乙衰則以乙之左右上下互乘相減以法除之得一十七為乙衰如欲得丙衰亦以丙之左右上下互乘減除得二十三為丙衰
　　問設有一數以與三相乘外加一十又以此乘四外加二十又乘五外加三十又乘六外加四十即共得六千七百此其原設數㡬何其法先借二為主列左上以乘三【得六】外加十【共十六】又與四相乘【六十四】加二十【共八十四】又與五相乘【四百二十】加三十【共四百五十】又與六相乘【二千七百】加四十【共二千七百四十】以此所問數【六千七百】不足三千九百六十列左下次借三列右上以乘三【九】外加十【共十九】又乘四【七十六】外加二十【共九十六】又乘五【四百八十】外加三十【五百一十】又乘六【三千六十】外加四十【共三千一百】以比所問數【六千七百】不足三千六百列右下兩不足相減餘為法除之得一十三係原設





　　右法已除得十三者與三相乘【三十九】加一十【四十九】又與四相乘【一百九十六】加二十【共二百一十六】以乘五【一千八十】加三十【共一千一百一十】以乘六【六千六百六十】加四十實得六千七百合問問二人共分銀一百兩不得其均若均分則每人當五十兩然須甲還所得銀三之一乙又還所得銀五之一方得每人五十兩其不均之分各得若干先借三十兩為甲衰列左上亦列乙衰七十于次乃減甲三之一【減一十存二十】亦減乙五之一【一十四】而以乙減歸甲【甲二十加乙十四共三十四】以比五十不足一十六列左下另借六十為甲衰列右上亦列乙衰四十于其次乃減甲三之一【減二十存四十】亦減乙五之一【八】而以乙減歸甲【甲四十加乙八共四十八】不足二列右下兩不足相減餘為法以左上乘右下以右上乘左下相減餘為實以法除實得六十四兩零七分兩之二為甲衰就一百兩内減甲衰餘三十五兩又七分兩之五為乙衰合原分不均
　　之數

　　問二人共分銀一百兩未得其均須甲損所得三之一乙亦捐所得四之一和合平分乃各得五十兩其未均之數各若干先借六十為甲衰列左上亦列乙四十于左次乃減甲三之一【減二十存四十】減乙四之一【減一十存三十】和所減【甲二十乙一十共三十】而均分之【各得十五】以甲所得十五合減存四十之數【甲原存四十加十五得五十五】以比五十盈五數列左下另借二十四為甲衰列右上亦列乙衰七十六于右次乃減甲三之一【減八存一十六】減乙四之一【減一十九】和所減【甲八乙一十九共二十七】而均分之【各得十三零二之一】以甲所得一十三半之數合減存一十六數【共二十九半】以比五十不足二十半列右下盈不足相併為法右上乘左下左上乘右下相併為實以法除實得五十二兩零十七分兩之一十六為甲衰其餘四十七
　　兩又十七分
　　兩之一為乙衰
　　問以一千剖為二甲多于乙四十九作何剖之其法借六百為甲衰列左上亦列乙四百于次相較差二百以比四十九則盈一百五十一列左下另借五百五十為甲衰列右上亦列乙四百五十于次相較差一百以比四十九則盈五十一列右下兩盈相減餘為法以左上乘右下右上乘左下相減餘為實以法除實得五百二十四零二分兩之一為
　　甲衰餘
　　為乙衰

　　問香罏二座其葢重一百五十斤以葢加甲罏則多于乙二倍以葢加乙罏則與甲罏正等此二罏各重若干其法借三十為甲衰列左上葢一百五十列左次共一百八十又列其次以三之一為乙衰得六十以乙加葢【得二百一十】比甲衰三十盈一百八十列左下另借九十為甲衰列右上葢一百五十列左次共二百四十又列其次取其三之一為乙衰得八十以乙加葢【二百三十】比甲衰九十盈一百四十列右下兩盈相減餘為法左右上下互乘仍相減餘為實以法除實得三百斤為甲罏以加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤為乙罏




　　問香罏二座有一葢其葢重百兩加甲罏則其重比乙多二倍加乙罏則其重比甲多一倍此二罏各重若干其法借五十為甲衰列左上葢數一百列左次共一百五十又列其次而以其三之一五十為一衰【因甲加葢多乙二倍故】加葢【得一百五十】比甲衰【五十】盈五十列左下【既倍甲五十只該一百今却一百五十故盈五十】另借一百一十為甲衰列右上葢數一百列右次共二百一十又列其次而以其三之一為乙衰【七十】加葢【一百七十】比甲衰【一百一十】不足五十列右下【倍甲一百一十即該二百二十今却一百七十故不足五十】盈不足相積為法左右互乘積為實以法除實得八十兩為甲罏其加葢三分之一得六




　　問有人買鵪鶉不知其數但云以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百此是㡬何其法借一通數可以二三四分之者為主先借十二列左上而以二之一【六】三之一【四】四之一【三】併之得十三再加二十二共得三十五以比一百不足六十五列所不足于左下另借六十列右上而以二一【三十】三一【二十】四一【十五】併之得六十五加二十二共得八十七以比一百不足一十三列所不足于右下兩不足相減為法左右互乘相減為實以法除實得七十二為所問之數以其二之一【三十六】三之一【二十四】
　　四之一【一十八】再加
　　二十二共一百隻
　　問二商各擕毋銀未知其數但云取乙十二兩與甲則乙有甲六之一取甲十五兩與乙則甲有乙十之一其實數若干法從乙起算先借二十兩為乙衰列左上内減十二【餘八】以當甲六之一用六因求甲【六八四十八】内還乙所加【十二】存數三十六又捐十五與乙【甲剩二十一其乙原餘八又取甲十二共二十今又加得三十五】以甲剩數較乙加數甲是乙十之一否【甲二十一則乙當二百一十今乙只三十五】不足一百七十五列左下另借一百為乙衰列右上内減十二【得八十八】以六因求甲衰【五百二十八】亦還所加【十二】存數五百一十六内除十五與乙【甲剩五百一乙原餘八十八又取甲十二　共一百今加十五該一百一十五】以乙較甲甲是乙十之一否【甲五百一則乙當五千一十今乙只一百一十五】不足四千八百九十五列右下兩不足相減為法左右上下互乘相減餘為實以法除實得十七兩零五十九之二為乙毋内捐十二兩與甲則實得五兩又五十九之二以六因求甲得三十兩零五十九之十二内亦減十二實得十八兩零五十九之十二再捐十五兩與乙加乙原數十七兩又五十九之二共得三十二兩零五十九之二以十之一約




　　問二人所各攜銀不知其數但云減乙六兩與甲則甲多乙一倍減甲三兩與乙則與乙正等各實數幾何從乙多數起算先借一十五兩為乙衰列左上内減六存九以當甲之半則甲該一十八内又除所加六得十二為甲衰正數内減三與乙則甲剩者九以甲所剩九較乙衰十五及所加之三乃盈九【甲九乙十八也】列所盈于左下另借二十為乙衰列右上内減六存十四倍之為甲衰當是二十八亦減所加六實得二十二為甲衰正數若取三與乙則甲剩十九以甲之十九較乙之二十及所加之三又盈四【甲十九乙二十三】列盈數于右下兩盈相減為法左右上下互乘相減餘為實以法除實得二十四為乙衰内減六與甲餘倍之得三十六甲先借六與乙則甲之本數只三十矣就三十之内減其三兩併入乙二十四兩為二十七甲三十減三亦二十七故其數正等



　　問漏壺一座注水其中下有三孔其甲孔流水二時而盡乙孔流水三時而盡丙孔流水六時方盡若三孔俱開則㡬時水盡且借四時為用列左上而各據其孔之大小流水之遲速測之【甲二時一壺則四時當盡二壺乙三時盡乙壺則四時當盡一壺零三之一丙六時盡一壺則四時當盡三分壺之二】得數併計之共以四時盡四壺而所問者一壺也為盈三列左下另借十時為用列右上亦以時推其多寡【甲二時一壺則十時該五壺乙三時一壺則十時該三壺零三之一丙六時一壺則十時該一壺零三之二】得數併計共以十時盡十壺比原問一壺又盈九列右下兩盈相減剩六為法上下左右互乘相減亦得六為實以法除實得一是二孔俱開則壺
　　水一時
　　洩盡也
　　問漏壺一具上有渇烏注水凡十二時而滿下有竅通天池洩水凡十八時而水盡若上注水下洩水當幾時水可滿且借二十為滿候列上以推注洩之時已知下洩十八時盡一壺則二十時當盡一壺零九分壺之一而其上注二十時必能滿至二壺九之一方與此合乃且注且洩只有一壺三之二不足九分壺之四列左下另借三十時為滿候列右上而各推其時已知下洩十八時盡一壺則三十時當盡一壺零三之二而其上注三十時必須滿至二壺三之二方與此合而又不然只滿二壺半亦不足六分壺之一列右下兩不足相減餘為法乃以右上乗左下以左上乗右下減餘為實以法除之



　　問甲匠做工三十日完加乙匠則十八日完若獨用乙匠須幾日完先要知甲匠十八日所做之工乃三十日内五分之三則知乙匠十八日之工乃其五分之二也試借四十日為乙衰列左上以十八日完五之二推之則四十日完九分工之八不足九之一列左下别借六十日為乙衰列右上亦以十八日五之二推之則六十日完全工外又溢九之三列右下兩盈不足相併得九之四為法次以左上乗右下右上乘左下相併得九之一百八十為實以法除實得四十五日完工



　　右乙匠十八日完五分工之二所少五之三者算該二十七日完以二十七加一十八是四十五也
　　問甲乙丙三人共博甲贏乙金二之一乙贏丙金三之一丙又贏甲金四之一事畢各剰金七百兩三人原攜母金若干法已知三人原共金二千一百兩【三箇七百】三分之當于甲衰七百内與丙四之一又得乙二之一于乙衰當加入丙三之一又與甲二之一于丙衰當得甲四之一又與乙三之一乃先借一百兩為甲衰列左上内除四之一【二十五】該存七十五而總有七百兩是所贏于乙者為六百二十五兩而乙衰當為一千二百五十兩矣列左次内輸去二之一則所剰當亦為六百二十五兩又贏丙三之一而為七百兩則亦得丙七十五兩而丙所攜母為二百二十五兩矣又列其次内輸與乙三之一尚存一百五十加入得甲四之一【二十五】共得一百七十五兩以較原問不足五百二十五列左下别借二百為甲衰列右上内除四之一【五十】剰一百五十而總有七百以乙二之一足之則知乙衰二之一該五百五十兩而乙總數為一千一百兩矣列右次内輸與甲二之一當剰五百五十兩又以丙三之一足之而為七百兩則亦得丙一百五十兩而丙所攜母為四百五十兩矣又列其次内輸與乙三之一尚存三百兩加所得甲四之一【五十】僅得三百五十兩比原問不足三百五十列右下兩不足相減剰為法左右上下互乘相減剩為實以法除實得四百為甲母推知乙母八百【以甲四百減四之一存三百加入乙二之一該増四百是知乙母八百】丙母九百【以乙八百減二之一存四百加入丙三之一該増三百是知丙母九百也甲母四百贏四百輸一百乙母八百輸四百贏三百丙母九百輸三百贏一百俱剰七百而三人所攜與所贏所輸皆得矣】





　　問甲乙丙三商共販得子銀四百兩依母銀分之乙比甲多分十二兩丙比乙多分十六兩要知各分若干先借一兩為甲衰列左上推得乙該十三兩丙該二十九兩共四十三兩以視四百不足三百五十七兩以次列左下别借二兩為甲衰列右上推得乙該十四兩丙該三十兩共四十六兩以視四百不足三百五十四兩以次列右下兩不足相減剰為法左右上下互乘得數減剰為實以法除實得
　　一百二十為甲衰以
　　推乙衰一百三十二丙
　　衰一百四十八合問
　　問調兵征倭内有南北西三處兵馬南兵四萬北兵為南兵及西兵二分之一西兵為南兵北兵三分之一要知北兵與西兵各若干併南兵共若干先借三萬為北衰列左上推得南西二兵共該六萬而西兵僅該二萬列左次若為南北三之一則南北共只六萬而實七萬是盈一萬也列左下又借二萬四千為北衰列右上推得南西二兵共該四萬八千而西兵僅該八千列右次若為南北三之一則南北共只二萬四千而實六萬四千又盈四萬也列右下以盈相減剰數為法上下左右互乘得數亦相減剰為實以法除實得三萬二千為北衰推知西兵二萬四千總共九萬六
　　千而北得
　　南西二之
　　一西得南
　　北三之一

　　問黄金百斤製罏一座既成慮匠人盜金和銀銷毁驗之恐傷工本欲知和銀若干法以器貯水令滿已知水㡬斤乃以金罏百斤入器内溢水六十五斤加水令滿别以純金百斤入之溢水六十斤另貯滿水以銀百斤入之溢水九十斤今借銀四十斤為匠所換數列左上存金六十斤列左次其罏溢水六十五斤若以純金只溢六十斤推之實在罏内之金六十斤只該出水三十六斤又以純銀溢水九十斤推之所和之銀四十斤亦該出水三十六斤共該溢七十二斤今視原數【六十五斤】盈七斤列左下又借銀三十斤為匠所換數列右上存金七十斤列右次以純金溢水六十斤推之則罏金七十斤該出水四十二斤又以純銀溢水九十斤推之則和銀三十斤該出水二十七斤共該溢六十九斤今視原數【六十五斤】又盈四斤列右下兩盈相減剰為法左右上下互乘得數減剰為實以法除實得一十六斤零三分斤之二為匠人盜和銀數其實在純金乃八十三斤三分斤之一也葢比例推之金百斤溢水六十斤則八十三斤及三分斤之一該出水五十斤銀百斤溢水九十斤則一十六斤及三分斤之二該出水一十五斤合之得六十五斤合問



　　問綾七尺羅九尺兩價適等其每尺之價羅少于綾者其較三十六文此綾羅各價若干是為匿價衰分法先借七十二文為綾價列左上則羅價當三十六文列左次各以尺數乘之【綾七尺得五百○四文羅九尺得三百二十四文】羅視綾不足一百八十文不相等也又列其下别借一百文為綾價列右上則羅價當六十四文列右次各以尺數乘之【綾七尺得七百文羅九尺得五百七十六文】羅視綾不足一百二十四文亦不相等也又列其下以兩不足相減餘為法乃以左上乘右下右上乘左下得數亦相減餘為綾實以法除之得綾每尺價一百六十二文再以左次乘右下右次乘左下各得數相減餘為羅實以法除得羅每尺價一百二十六文又各以尺數乘之綾七尺共一千一百三十四文羅九尺亦一千一百
　　三十四
　　文正等


　　問金九錠銀十一錠其重適等互換一錠則金輕十三兩金銀每錠重若干此因互換一錠而金輕十三兩因知金銀之輕為六兩五錢也乃先借一十三兩為金衰列右上則銀該六兩五錢列右次各以錠乘【金九錠得一百一十七兩銀一十一錠得七十一兩五錢】金視銀盈四十五兩五錢列下另借二十四兩為金衰列左上則銀該一十七兩五錢列左次各以錠乘【金九錠得二百一十六兩銀十一錠得一百九十二兩五錢】金視銀盈二十三兩五錢又列其下兩盈相減餘為法





　　而以左上乘右下右上乘左下得數相減餘為金實左次乘右下右次乘左下得數相減餘為銀實俱以法除得金一錠重三十五兩七錢五分銀一錠重二十九兩二錢五分而各以錠乘金九錠共三百二十一兩七錢五分銀十一錠亦三百二十一兩七錢五分正等問牛羊共一百牽總價一百六十八兩每牛三頭銀十二兩羊四羫一兩五錢欲知牛羊各數各價若干此于大總内又立小總法先以三歸十二得牛一頭價四兩以四歸一兩五錢得羊一羫價三錢七分五釐而化兩及錢分皆為釐算之先借六十為牛衰列左上則羊該四十列左次而以各價乘之【牛六十頭乘四千釐得二十四萬羊四羫乗三百七十五釐得一萬五千併共得二百五十五兩】以視共價盈八十七兩列左下又借三十為牛衰列右上則羊該七十列右次而以各價乘之【牛得一十二萬釐羊得二萬六千二百五十釐併共得一百四十六兩二錢五分】以視共價不足二十一兩七錢五分列右下併盈不足為
　　法依
　　式互
　　乘

　　乃以左右上數互乘下併為牛實左右次數互乘下併為羊實以法除得牛三十六羊六十四以各價乘得總
　　問雞兎同籠不言其數但云九十六頭三百零八足其雞兎各㡬何法以九十六頭為主先借到雞四十八隻列右上兎亦四十八隻列右次而以各足乘之【雞二足乘四十八得九十六足兎四足乘四十八得一百九十二足】併二百八十八足以較三百○八足不足二十列右下又借作雞六十隻列左上則兎該三十六隻列左次而以各足乘之【雞二足乘六十得一百二十兎四足乘三十六得一百四十四】併二百六十四足以較三百○八足不足四十四列左下兩不足相
　　減餘二十四為法又以左上乘右下右上乘左下各得數相減餘為雞實以法除之得雞三十八隻
　　其左次右次亦如法乘減餘為兎實以法除得兎五十八隻各以兩足四足乘之合三百○八足之數





　　又法置九十六頭倍之得一百九十二以減總足餘一百一十六足以二歸之得五十八為兎數却以四足乘之得二百三十二又以減總足餘七十六以二歸之得三十八為雞數葢以兩物皆借作兩足起算者以上原二十二條補七條與舊法盈朒畧似然本無盈朒而借立一數以求盈朒乃以盈朒推之者與前借衰互徵之法俱極超妙雖至隠至奥之數用此推求未有不渙然氷釋者學人熟此二法於算義思過半矣其舊法盈朒章人所恒習亦附數條于後相比擬
　　舊法未知借推之妙只立盈與不足或兩盈兩不足為母兩母相減為法以母子互乘之數求其物實以兩子或併或減之數求其人實大抵一盈一不足者相併為實兩盈兩不足者減餘為實俱如前法耳又有疊數盈朒【如㡬人分㡬許盈幾數㡬人分㡬許不足幾數之類】列作上中下三位所求人實亦取下層盈不足併減同前而取兩上相乘以為通法更乘人實然後乃以上中互乘減餘為法除之又以上中乘出之數互乘下層仍前併減以為物實以法除之與人實同
　　問醵金買物每人出五兩盈六兩每人出三兩不足四兩人數物價各若干左列五之六右列三之四互乘併之為物實另併兩子【六四】為人實兩母相減餘二為法除人實得人數五除物實得物價一十九兩或先得人數以乘出率五内減盈六及以乘三外加不足四皆同



　　右法若依借衰者且借立一數與五相乘内減六得若干又與三相乘外加四得若干如相同即所求之數若不同者則依盈朒推之假如借四人列左上以乘五減盈六得一十四亦以乘三加不足之四得一十六兩數相較不足二列左下又借七人列右上以乘五減盈六得二十九亦以乘三加不足之四得二十相較盈四列右下以併左下共六為法左右上下互乘併得三十為實以法除實得五人以乘出率五内減盈六得一十九兩若以乘三加不足亦同
　　【此併子數為法併乘數為實以求人數與
　　前兩母減餘為法而除人實物實及以乘
　　出為物實而以母較除之者法稍異耳】
　　問衆人分榖每人五石盈三十石每人六石不足四十石其人榖各若干以五之三十列左六之四十列右互乘併之為榖實併兩子【三十四十】為人實兩母【五六】相減餘一為法除人實得人數七十除榖實得三百八十石或先得人數即以乘分率五外加盈三十及以人數乘分率六内減不足四十亦同【前條係出率故減盈增不足此條係入率故增盈減不足】



　　右法若用借衰者試借三十人列左上以乘五【一百五十】加三十【共一百八十石】亦以三十乘六【一百八十】減四十【一百四十】以前數較盈四十列左下另借一百人列右上以乘五【五百】加三十【五百三十】即以一百乘六【六百】減四十【五百六十】亦以前數較不足三十列右下盈不足相併為法左右上下互乘併之為實以法除實得七十為人數乃以人數乘五【得三百五十】外加盈三十為三百八十石又以人數乘六【四百二十】内減不足四十
　　亦三百八
　　十石
　　問以絹一匹作帳先摺成六幅比舊帳長六寸後摺成七幅比舊帳短四寸新絹舊帳幅各長若干此先以幅數乘盈不足數求之置六幅列左上以乘盈六寸得三尺六寸列左下置七幅列右上以乘不足四寸得二尺八寸列右下左右上下互乘併之為絹實另併盈不足【三尺六寸二尺八寸】為舊帳幅實而以七幅六幅相減餘一為法除之得絹長四
　　丈二尺舊帳幅
　　長六尺四寸
　　問直田一段欲截一半另佃第云截長六步不足七步截長八步盈九步所截步及原濶步各若干列六之七及八之九互乘併之為截積之實併子數為原濶之實而以兩母相較餘二為法除之得原濶之步八得截積之步五十五



　　問每人出銀三兩五錢盈六兩每人出銀三兩三錢盈二兩八錢人數物價各若干此以兩出率左右列及以兩盈各置出率之下互乘得數相減餘為物實以兩盈相減餘為人實又以出率相減餘二為法除物實得價五十兩除
　　人實得一
　　十六人
　　問每人出銀五兩不足四兩每人出五兩四錢不足二兩人數物價各若干列兩出率及兩不足互乘得數亦相減餘為物實以兩不足相減餘為人實又以兩出率相減餘四為法除人實得五人除物實得價二十九兩



　　問井不知深將繩摺作三股入井汲水餘繩四尺次將繩摺作四股入井繩餘一尺井深繩長各若干置三股四股為母各以所盈數乘之【以三乗四尺得一十二尺以四乘一尺得四尺】左右列位互乘得數相減餘為繩實以前所乗出兩盈數相減餘為井深之實乃以二母相減餘一為法除繩實得繩長三丈六尺除井實得井深八尺



　　問每人出銀二兩五錢盈六兩每人出二兩三錢適足人數物價各若干置出率各以盈適足系之除適足無乘只以左盈乘右出率為物實以盈數為人實仍以兩出率相減餘二為法除物實得物價六十九兩除人實得三十人或不乘盈數徑求人數而以所得之人數乘適足之出率者亦得物價同前



　　問每人出銀七兩不足一十四兩每人出九兩適足人數物價各若干仍前列位以右九乘左不足為物實以不足為人實兩出率減餘二為法除人實得七人除物實得價六十三兩或不以乘法求物實徑求人數而以人數乘適足之出率亦得物價同前



　　問以米換布換九匹適足換七匹多米四斗其米數布價各若干置出率及盈適足以盈數為實以兩出率減餘為法除之得每匹值米二斗乃以適足之九匹乘之得總米一十八石



　　問每八人共出銀七兩盈四兩五錢每九人共出六兩不足三兩人數物價各若干此疊數盈朒也布位三層先立通數以乘人率法取左上右上相乘為之【七十二】乃以上中二位左右互乘得數【左六十三右四十八】相減以其餘數【一十五】為後除人實物實之法而各以乘得之數與下位左右互乘【左二百一十六右一百八十九】併之【四百零五】為物實以法除得價二十七兩仍併盈不足數為人實之率【七十五】而以前求通法【七十二】乘之得數【五百四十】為人實亦以法除得三十六人此法與前數條大畧相同但物實則以上中乘出之數乘其下位盈朒之數而人實則増二上相乘通數以與再乘其所除人實物實之法則前條直以出率減餘為之此以上中互乘得數相減餘數為之此其小異耳
　　上　　中　　　　下



　　問每六人共出銀九兩盈三兩每四人共出銀七兩盈六兩人數物價各若干法以左上右上乘得數為通法【二十四】次以上中互乗【左得三十六右得四十二】相減餘【六】為除人實物實之法【六】又以互乘所得之數與下兩盈數互乘【左得二百一十六右得一百二十六】相減餘為物實【九十兩】以法除得價一十五兩以兩盈相減餘【三】為人實之率而以通法【二十四】乘之得人實【七十二】以法除得一十二人　　　其疊數兩不足倣此
　　上　　中　　　　下



　　問每三人共出銀五兩多一十兩每五人共出銀九兩適足人數物價各若干法以左上右上相乘得數為通法【一十五】次以左上乘右中【二十七】右上乘左中【二十五】相減餘【二】為除人實物實之法次以右中得數乘左下盈【得二百七十兩】為物實以法除得價一百三十五兩就以左下盈【一十】為人實率而以通法【一十五】乘之為人實【一百五十】以法除得七十五人
　　上　　中　　　　下　　其疊數不足適足倣此



　　問銀未知數以買物用三分之二盈三兩用五分之三不足一兩銀數物價各若干法取子母互乘以通盈朒之數如子數二互乘母五得一十以通朒一兩得一十兩列左子數三互乘母三得九以通盈三兩得二十七兩列右乃以左中乘右下【二百七十】右下乘左下【九十】併之【三百六十】而以兩子相乘【六】為法除之【得六十】為銀實而以左上右上減餘【一】為法除之仍得總銀六十兩次併盈朒二數【三十七】為物實而以法除得價三十七兩
　　上　　　　　中　　下



　　問銀未知數取六分之四買物盈二兩取四分之三買物盈三兩五錢銀數物價各若干以子數四互乘母四得一十六以通盈三兩五錢得五十六兩列左以子數三互乘母六得一十八以通盈二得三十六列右乃以左中乘右下【五百七十六】以右中乘左下【一千零八】減餘【四百三十二】亦以兩子相乘【一十二】為法除之【得三十六】為銀實以左中右中減餘【二】為法除之得總銀一十八兩别以兩盈相減餘【二十】為物價之實仍以法除得物價一十兩
　　上　　　中　下



　　問納官銀不言其數但知有甲乙二等户乙户所辦當甲户十之八先令甲等八户乙等五户納之不足五兩後令甲等六户乙等八户納之不足三兩其銀數及各户則例若干法以甲乙二衰乘户數各併之列位【甲衰一十以乗八得八十乙衰八以乘五得四十併得一百二十户列左又以甲衰十乗六得六十以乙衰八乗八得六十四併得一百二十四户列右】以兩不足數系之互乘相減餘為銀實【二百六十兩】乃以上相減餘為法【四】得官銀六十五兩别以兩不足數相減餘【二兩】為則例之實以法除之得五錢而以各衰乘之甲衰一十乘得五兩為甲等一户辦數乙衰八乘得四兩為乙等一户辦數




　　問錢未知數以買物取二分之一盈四文取七分之三適足錢數物價各若干先取母子互乘一乘七得七列右三乘二得六列左而以六互乘盈四得二十四列右下即以為物價之實兩母減餘為法【一】除得物價二十四文又以適足之母【七】乘盈數【二十四】得數為錢實【一百六十八】而以原子一三相乘得數為法【三】除之得錢五十六文



　　問糶麥不知數但云取三分之一糶銀八兩適足若取八分之三糶銀十兩不足二石總麥石數若干每銀一兩糶麥若干法取兩子母互乘得數各通糶銀【以母三互子三得九通八兩得七十二以母八互子一得八通十一兩得八十】另以所通得數七十二列左八十列右乃以適足銀【八】乘不足之麥【二】得數【一十六石】列右下如不足適足例而取適足所通出之銀率【七十二】以乘不足所乘出之麥率【一十六】得數【一千一百五十二】又以兩子相乘【三】為法除之以為麥實左中右中相減餘八為法除得總麥四十八石另以不足乘出【一十六】為銀實亦以法除【八】得麥二石價銀實一兩







　　同文算指通編卷四
<子部,天文算法類,算書之屬,同文算指__通編>
　　欽定四庫全書
　　同文算指通編卷五
　　明　李之藻　撰
　　雜和較乗法第八
　　諸物互和未易縷析必取互乗之數較餘為用以少除多得一數以推其他而纎悉見矣若條縷多者别立正負為算别同異以分加減總歸于去煩就簡故率除首列同乗減盡一數而其餘則名類相同者減之相異者加之其最繁者亦視首列所主為用如首以同名減則其下同減而異併首以異名減則其下異減而同併大要與盈朒相近而又濟盈朒之窮【舊名方程用前疊借互徵亦同頭緒多者用此為便】問鼎三彞二共重一百五十五兩又鼎四彞五共重二百六十五兩鼎彞各重若干將二項左右對列各作三段遞互徧乗之又相對較之視其餘數以少除多而互得其重如以彞乗則反得鼎重以鼎乘則反得彞重且如以右鼎徧乗左行【鼎四得一十二彞五得一十五重二百六十五得七百九十五】以左鼎徧乗右行【鼎三得一十二彞二得八重一百五十五得六百二十】各得數相減兩鼎數相等減盡不用兩彞數減餘七又兩重減餘一百七十五以少除多七為法一百七十五為實除得彞重二十五兩以右中彞二乗之得五十兩以減右總餘一百零五兩亦以右鼎三除得每鼎重三十五兩鼎三【以乗左行得一十二】彞二【得八】重一百五十五兩【得六百二十】鼎四【以乗右行得一十二】彞五【得一十五】重二百六十五兩【得七百九十五】右法若以彞徧乗其以七為法亦同所得減餘之實凡二百四十五以法除之先得每鼎三十五兩以右鼎三乗之得共鼎一百五兩以減右行重數餘一百兩為二彞重數若以左彞四乗之得共鼎一百四十兩以減左行重數餘一百二十五兩為五彞重數
　　問紗三匹絹四疋共價四兩八錢又紗七疋絹二疋共價六兩八錢紗絹各價若干亦將二項左右列之各三段徧乗如以右紗徧乗左行【紗七得二十一絹二得六價六兩八錢得二十兩四錢】左紗徧乗右行【紗三同上絹四得二十八價四兩八錢得三十三兩六錢】各得數對減其兩紗減盡不用兩絹減餘二十二為法兩總減餘一十三兩二錢為實以法除實得絹每疋價六錢就以右絹四乘得共價二兩四錢以減右總價尚餘二兩四錢為右紗三疋之價得每疋價八錢
　　紗三【與左乗得二十一】絹四【得二十八】共四兩八錢【得三十三兩六錢】紗七【與右乘得二十一】絹二【得六】共六兩八錢【得二十兩四錢】右式若以絹徧乘其法同前但減餘之實一百七十六以法除之亦得八錢為疋紗之價以右紗三乘得二兩四錢以減右總價餘二兩四錢為四絹之價若以左紗七乘得五兩六錢就減左總價餘一兩二錢為二絹之價
　　問筆三管換硯七箇貼硯價四百八十文别以硯三箇換筆九管貼筆價一百八十文筆硯各價㡬文依前左右三行列之而以硯為正筆為負互乘得數却于正負同名者對減異名者對加求之
　　硯正七【正二十一】筆負三【負九】價正四百八十文【正一千四百四十】硯正三【正二十一】筆負九【負六十三】價負一百八十文【負一千二百六十】
　　右硯正七乘左【硯正二十一筆負六十三價負一千二百六十】左硯正三亦乘右【硯正同上筆負得九價正一千四百四十】得數兩硯正同名減盡兩筆負同名減餘五十四為法兩價正負異名加併得二千七百為實以法除實得五十文為一筆之價取右行筆負之三乘之得一百五十加入價正四百八十共六百三十即右硯七箇總價以七除得九十文為一硯之價若取一筆之價以左行筆負之九乘之得四百五十則當就内減總一百八十餘二百七十即左行三硯之價若移置筆負為法徧乘者得異併之實四千八百六十文以法除之【五十四】得九十文為硯價
　　問七釧九釵共重九兩四錢釧重釵輕于中互換其一輕重適等不知各重若干此依互換者列位一係六釧一釵一係一釧八釵而中分其總重之數
　　釧六　　釵一　　　　四兩七錢
　　釧一　　釵八【四千八】　四兩七錢【二十八兩二錢】
　　先以右釧六徧乘左行【釵八得四十八價四兩七錢得二十八兩二錢】次以左釧一徧乘右行【釧一價四兩七錢】對減餘四十七者為法餘二十三兩五錢者為實以法除實得五錢為一釵數以減右行總重【四兩七錢】餘四兩二錢即六釧共數六除之得每釧重七錢
　　若移用右行釧一左行釵八為法徧乘者得減餘之實三十二兩九錢以法除之【四十七】先得七錢為一釧之重
　　問錢一萬文以賣二馬一牛則不足半馬之價以賣一馬二牛則餘半牛之價其牛馬價各若干此當以不足半馬者損為一馬零二分馬之一及一牛以餘半牛者益之為一馬及二牛零二分牛之一依法列之而以整帶零之法乘除之
　　馬一匹二之一　牛一頭　　　　　價一萬文馬一匹【一匹二之一】　牛二頭二之一【三頭四之三】價一萬文【一萬五千】
　　先以右馬徧乘左行【馬一匹二之一牛三頭四之三價一萬五千】次以左馬徧乘右行【馬如上牛二價一萬文】其兩馬減盡兩牛減餘二頭又四之三為法兩價減餘五千文為實以法除實得一千八百一十八文又十一之二為牛價以減右行總價【一萬文】餘八千一百八十一文又十一之九以馬一匹又二之一除之得五千四百五十四文又十一之六為馬價問甲乙二窖積粟不知各㡬何但云取乙三之一與甲及取甲二之一與乙則各滿二千石其原窖㡬何此零法照前列位互乘甲得六千乙得四千減餘二千為實而以兩母相倂得五為法除之得四百以乙母之三乘之得一千二百石為乙窖原粟餘八百石以甲母二乘得一千六百石為甲粟其必各以母乘者盖前所除得只是子數必歸母見整故也
　　甲二之一　　　　二千石【六千】
　　乙三之一　　　　二千石【四千】
　　問治地不知畝數每工種麥三畦種菽四畦共三百零一工其菽麥數并工數各若干此為雙頭單脚互乘取三四左右列之併得七為法其下列工數
　　麥三畦
　　菽四畦
　　若求菽數者右三乘總工【九百三】以法除得一百二十九為菽畦以四乘得工五百一十六即以右三除得麥畦數若求麥數者左四乘總工【一千二百四】以法除得一百七十二為麥畦以三乘得工數如前亦以左四除得菽畦問犒夫不知數但云二人共飯三人共酒四人共肉總用飯酒肉六十五分計夫若干列三位維乘【二乗三得六又三乗四得一十二又四乘二得八】併得二十六為法另用乘併之法【二乘三得六以乗四得二十四】得數以乘總分【六十五】　二人
　　得一千五百六十為實　三人　六十五分
　　以法除得六十為夫數　　四人
　　問銀二百六十四兩買牛羊共一百牽每牛三頭價二十兩每羊四羫價一兩五錢内牛羊倂價各若干以牛羊各價依子母左右列之互乘得數【牛乘羊四兩五錢羊乘牛八十兩】減餘七十五兩七錢為法另列總牽總價于下如求牛數者先以羊四乗總價【一千五十六】以羊價乘總牽【一百五十】減餘【九百零六】為實以法除得一兩二錢為牛衰以右位牛三乘得三十六頭以二十乘得共價二百四十两就總内減牛數餘為羊數
　　牛三　　二十兩
　　羊四　　一兩五錢
　　若先求羊數者以牛三乗總價【七百九十二】以牛價乗總牽【二千】減餘【一千二百零八】為實亦以法除之得一十六為羊衰以左位羊四乘得六十四羫以一十五乘得二十四兩就總内減羊亦得牛數
　　問用匠五千名包磚板隄共四千九百九十五方定限每日匠九名包板隄十一方匠七名包磚隄四方磚板堤匠各若干以母子左右對列互乘得數【九乗四得三十六七乘十一得七十七】減餘四十一為法另列總匠總隄于下
　　九名　十一方
　　七名　四方
　　若求板隄數者左七乘總方【三萬四千九百六十五】四乘總匠【二萬】減餘【一萬四千九百六十五】為實以法除之得三百六十五為板衰以乘右九得板匠三千二百八十五名以乘十一得板隄四千一十五方于總内除板隄餘皆磚數或求磚隄數者右九乗總方【四萬四千九百五十五】十一乘總匠【五萬五千】減餘【一萬零四十五】為實以法除之得二百四十五為磚衰以乘左七得磚匠一千七百一十五方以乘四得磚隄九百八十方于總内除磚隄餘即板數
　　問七人醵金不知總數亦不知各數第云甲乙共二十三兩七錢戊己庚共二十六兩一錢亦不知丙丁共數此七人各若干法先求隔母且以甲乙二列左戊己庚三列右取右衰三增一為四【與後章求隔母法同】仍以右衰【三】乘之得數【十二】減半【六】又減去右衰【三】餘三為右中率取左衰【二】乘總位【七人】得數【十四】内減右衰【三】餘十一為左中率而各以共金數列其下
　　右三　三　　　二十六兩一錢
　　左三　一十一　二十三兩七錢
　　乃以左二徧乘右【中三得六下二十六兩一錢得五十二兩二錢】以右三徧乘左【中十一得三十三下二十三兩七錢得七十一兩一錢】各得數相減中餘二十七為法下餘一十八兩九錢為實以法除實得七錢為隔母之數别取甲乙共數【二十三兩七錢】併入隔母七【得二十四兩七錢】減半得一十二兩二錢為甲金數内減差數七得十一兩五錢為乙金數其餘以七遞減各得【丙十兩八錢丁十兩一錢戊九兩四錢己八兩七錢庚八兩】
　　問竹筩一莖九節下大上細下三節共盛粟三升九合上四節共盛粟三升中二節不知數要見每節盛粟若干亦先求隔母數為逐節相較之率取上三列左下四列右以右四加一為五與右四相乘得數【二十】減半【一十】又減右四得六為右中率别以左三乘總位【九】得數【二十七】内減右中率六得二十一為左中率各以所共盛之數從之
　　右四　　六　　　三升
　　左三　　二十一　三升九合
　　乃以左三徧乘右【中六得一十八下三得九分】以右四徧乘左【中二十一得八十四下三升九合得一十五分六釐】得數相減中餘六十六為法下餘六十六為隔母率别以左三共粟為實【三升九合】以法【六十六】乘之【得二百五十七分四釐】以三除之【因係三節故也】得八十五分八釐是第八節數加母率【六分六釐】得九十二分四釐是第九節數若減母數【六分六釐】得七十九分二釐是第七節數其餘遞減母率【第六節得七十二分六釐第五節得六十六分第四節得五十九分四釐第三節得五十二分八釐第二節得四十六分二釐第一節得三十九分六釐】而仍以法除之【第一節六合第二節七合第三節八合第四節九合第五節一升第六節一升一合第七節一升二合第八節一升三合第九節一升四合】其以中餘【六十六】為法下餘為實以法除實者得一合為隔母率以三除左總【三升九合】得一升三合為第八節數以一合加減之亦得第七節第九節數以次推之同前
　　問四雀六燕七鷦共集于衡重八錢九分又三雀五燕九鷦共重八錢一分又五雀七燕八鷦共重一兩六分三禽各重若干法置左右中三行三色及總重作四段列之先以右行五雀徧乘中行【雀一十五燕二十五鷦四十五共重四兩零五】







　　再置前圖減餘而以右燕四徧乘左行左燕二亦乗右行餘四燕　餘廿一鷦【四十二】共餘八錢七分【一兩七錢四分】餘二燕　餘三鷦【十二】　　共餘二錢一分【八錢四分】
　　乘訖對減鷦餘三十為法共重餘九錢為實以法除實得三分為一鷦之衡就以乘左餘鷦三得九分以減左重餘一錢二分為二燕之衡即知每燕重六分也【既得一鷦之衡以乗右餘鷦二十一及減右重亦得每燕六分】乃于前左行原價八錢九分之内減去原鷦七【二錢一分】原燕六【三錢六分】各重數其餘三錢二分以雀四除之得雀重八分【或于前右行中行原數内減乘皆同】問牛一頭馬一匹驢三匹皆載物七百斤上坡皆不能上牛借馬一匹馬借驢一匹驢借牛一匹方上其三等力各若干列左中右三行以三畜及總物為四段
　　正牛一　借馬一　　○　　　　七百斤
　　○　　　正馬二【二】　借驢一【一】　七百斤
　　借牛一　○負一【二】　正驢三【六】　七百斤【一千四百斤】
　　先右行正牛一徧乘左行得數又以左行借牛一徧乘右行得數【乘借馬一一如一乘物仍七百斤】對減盡因左行中○無減乃倣右馬乘出之數為立負馬一以俟另乘次以中行正馬二徧乘左行中下得數【負一得二原驢得六下物一千四百斤】復以左行負一為法徧乘中行中下得數【正馬得二借驢得一下物仍七百斤】以對減正負馬同名減盡正借驢異名相併得七為法下物同名相減餘七百斤為實以法除實得驢力一百斤取中行物實【七百】内減一驢之力餘六百即二馬之力以二除得每馬三百斤又于右行物實【七百】亦減一馬之力餘四百即一牛力右法或更置其位先求一馬之力借驢一　正馬二【左六】○　　　七百【二千一百左減餘一千四百】○　　　借馬一【六】正牛一【六】七百【四千二百左減餘三千五百】正驢三　○負六【六】借牛一【一】七百【七百】
　　先以右行借驢一徧乘左行中下得數亦即以左行正驢三徧乘右行中下得數【正馬得六下物二千一百】因左馬空○乃如右馬乘得之數亦置負六相減三畜俱減盡下物餘一千四百次以中行借馬一徧乘左行中下得數而以左行負六徧乘中行中下【借馬六正牛六下物四千二百】牛數正借異名以相併得數七為法下物中左同名相減得三千五百又以右下餘物減之得二千一百為實以法除實得三百斤為一馬之力然後取右行物實減二馬力餘一百見一驢之力又取左行物實減三驢之力餘四百見一牛之力
　　問硃二斤黄三斤價錢二千四十文又黄五斤碌六斤價六百四十文硃三斤碌七斤價二千九百八十文三色各價若干依式左右中列之
　　硃二　黄三【九】　○　　　價二千四十文【六千一百二十】○　　黄五【四十五】碌六　　價六百四十文
　　硃三　○負九【四十五】碌七【一十四】價二千九百八十文【五十九百六十】
　　先以右行硃二徧乘左行得數【碌得一十四價得五千九百六十】次以左行硃三徧乘右行得數【黄得九價得六千一百二十文】於左行○位照右立負九而與右行相對三色俱減盡其價餘一百六十文又以中行黄五另列右徧乘左行【碌七十價得八百】以左行負九另列左徧乘右行【碌得五十四價得五千七百六十】
　　黄五【四十五】碌六【五十四】　　價六百四十【五千七百六十】○負九【四十五】碌餘一十四【七十】價餘一百六十【八百】
　　以相減黄與○同數減盡碌係正負異名併得一百二十四為法兩價同名相減餘四千九百六十為實以法除實得四十文為碌一斤之價乃於前圖中行原價内減碌六斤價【二百四十】餘四百文悉黄價以黄五除之得每斤價八十文又于右行原價減黄三斤價【二百四十】餘一千八百文悉硃價以二除之得每斤九百文
　　問鴈二雉三換穀五斗七升鴈五兎四換穀一石雉二兎二換穀五斗三升每色每箇價穀若干先以右行鴈二徧乘左行得數【鴈一十兎八穀二石】亦以左行鴈五徧乘右行【鴈一十雉十五穀二石八斗五升】以相減鴈盡係○照立負十五兎無減仍八穀餘八斗五升
　　鴈二　雉三【左一十五】○　　　穀五斗七升【左二石八斗五升】○　　雉三【左四十五】兎二【左三十】穀五斗三升【左七石九斗五升】鴈五○負十五【中四十五】兎四【右八中二十四】穀一石【右二減餘八斗五升中乘二石五斗五升】另以中行雉三徧乘左行中下【雉負四十五兎二十四穀二石五斗五升】左行雉負徧乗中行中下【雉四十五兎三十穀七石九斗五升】以相對雉減盡兎係正負異併得五十四為法價榖同名相減餘五石四斗為實以法除實得一斗為一兎價就于中行穀内減二兎價餘三斗三升悉雉價以中雉三除之得每雉一斗一升即于右行穀内減三雉價餘二斗四升悉鴈價以右鴈二除之得每鴈一斗二升
　　問賣二牛五羊買十三豕餘價銀五兩賣一牛一豕買三羊適足賣六羊八豕買五牛不足三兩各價若干此以賣為正買為負餘為正不足為負而正為主則同減異併負為主則同併異減如前求之列左右中三行以右行牛二徧乗中行得數【牛正二羊負六豕正二】其中行牛一亦徧乗右行【牛二同正減盡羊正五與中行負六異名併得負十一豕負十三與中行豕正二係異名併得正十五價正五中空無減】又右行牛二徧乗左行【牛十羊十二豕十六價六】其左行牛五亦徧乗右行【牛十正負異名減盡羊正二十五與左正十二同名併得正三十七豕負六十五異减豕正餘得負四十九價正二十五異減左負餘負一十九】依法或減或併訖
　　牛正二【中二　左一十】羊正五【中五　　左二十五】豕負十三【中十三　左六十五】正五兩【中五　　左二十五】牛正一【右二】羊負三【右六】豕正一【右二】　○足
　　牛負五【右一十】羊正六【右十二】豕正八【右一十六】負三兩【右六】乃别列減併之數仍分正負互乘之如後圖羊負十一為法以乘左行中下【羊正得四百零七豕負得五百三十九價負得二十兩九錢】亦以羊正三十七而乘右行中下【羊負同數異名減盡豕正得五百五十五與左豕負異名減餘一十六價正一十八兩五錢與左異減餘二兩四錢】以減餘豕正一十六為法價正二百四十為實以法除實得豕價一兩五錢就以右行豕正十五乘【二十二兩五錢】加正價【五兩】共二十七兩五錢俱羊價以十一除之得每羊二兩五錢復以前圖右行豕負十三乘豕價得數【一兩五錢】加入正價【五兩】共二十四兩五錢為牛羊總價内減右行五羊之價【一十二兩五錢】餘一十二兩悉牛價以牛二除之得每牛六兩
　　羊負一十一　豕正一十五【五百五十五】價正五【一十八兩五錢】羊正三十七【四百七】豕負四十九【五百三十九】價負一十九【二十兩九錢】問買柰二梨四共錢四十文梨二桃七亦共錢四十文桃四榴七共錢三十文梨八柰一共錢二十四文各價㡬文列甲乙丙丁四行每行五段先以甲丁柰為法彼此互乘以甲柰二徧乘丁【梨空桃空榴一十六錢四十八文】丁柰一徧乘甲【桃榴俱空錢仍四十文對減餘八文】因丁梨空當照甲立負四次當以乙丁柰互乘乙無柰取梨二徧與丁乘【梨負得八桃空榴三十二錢一十六文】丁亦以負梨四徧乘乙【梨八減盡桃二十八榴空錢一百六十文併得一百七十六文】因丁桃空亦照乙立負二十八次以丙桃徧乗丁【桃一百一十二榴一百二十八錢七百零四文】丁亦以桃負二十八徧乘丙【桃一百一十二減盡榴一百九十六減餘六十八錢八百四十文減餘一百三十六】相減訖取此餘榴六十八為法餘錢一百三十六文為實其甲乙與丁互乘之數但求應立負數以為乘母而減併之數皆置不用者也以法除實得二文為榴價乃就丙價三十文内減七榴之價【十四】餘錢一十六文俱桃價以四除得每桃四文又于乙價四十文内減七桃之價【二十八文】餘錢一十二文俱梨價以二除得每梨六文又于甲價四十文内減四梨之價餘一十六文俱柰價以二除得每柰八文
　　甲柰二　梨四　○　　　○　　　四十文
　　乙○　　梨二桃七【二十八】　○　　　四十文
　　丙○　　○　　桃四　　榴七【一百九十六】三十文【八百四十文】丁柰一　○負四【八】○負二十八　榴八【一十六　　一百二十八】二十四文【四十八文】問井不知深用甲繩二不及泉借乙繩一補之
　　及泉用乙繩三則借丙一用丙繩四則借丁一
　　用丁繩五則借戊一用戊繩六條則借甲一乃
　　俱及泉其井深若干五等繩各長若干列五行
　　以五繩之數為母借繩一為子先取甲二乗乙
　　三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十
　　以乗戊得七百二十併入子一共七百二十一
　　為井深積列位
　　一　甲二　乙一　○　　○　　　　　七百二十一二　○　　乙三　丙一　○　　○　　七百二十一三　○　　○　　丙四　丁一　○　　七百二十一四　○　　○　　○　　丁五　戊一　七百二十一五甲一　　○【負一】　○【負一】○【負一】戊六　七百二十一乃取五行為主而以一二三四俱與相乗先以一行甲二為法徧乘五行【甲一得二戊六得十二積七百二十一得一千四百四十二】五行甲一亦乘一行對減【甲二得二減盡乙一得一因五行乙空立負一積七百二十一得本數以減五行仍餘七百二十一】次以二行乙三為法乘五行【乙負一得負三戊正十二得三十六積七百二十一得二千一百六十三】五行乙負一亦乘二行【乙三得三對減盡丙一得一因五行丙空立負一積七百二十一得本數併入五行積二十一百六十三共二千八百八十四】再以三行丙四為法乘五行【戊正三十六得一百四十四積二千八百八十四得一萬一千五百三十六】五行丙負一亦乘三行【丙四得四減盡丁一得一因五行丁空立負一積得本數與五行積一萬一千五百三十六對減餘一萬八百一十五】又以四行丁五為法乘五行【丁負一得五戊正一百四十四得七百二十積一萬八百一十五得五萬四千七十五】五行丁負一亦乘四行【丁五得五減盡戊一得一併入五行戊正七百二十共七百二十一積得本數併入五行積五萬四千七十五得五萬四千七百九十六】乃以最後所得求之以積五萬四千七百九十六為實戊七百二十一為法除之得戊繩七尺六寸以減四行總積【七百二十一】餘六百四十五以丁五除之得一百二十九為丁繩一丈二尺九寸以減三行積【七百二十一後同】餘五百九十二以丙四除之得丙繩一丈四尺八寸亦減二行積餘五百七十三以乙三除得乙繩一丈九尺一寸以減一行積餘五百三十以甲二除得甲繩二丈六尺五寸
　　遞加法第九
　　數始于微積于鉅漸加漸賾覽之茫如然有定數可推如人數物數有分有總但知一隅亦可例推也為立法如左





















　　右超位加各審其母如超一超二超三四之類各以所超為母其間少者易知多者難定大率以退位減之餘數即母
　　凡超位數截取三位較之其前後二位數必倍于中位數


　　若截四位較之則前後二位與中二位數等

　　以上皆取位置匀列超母相同者論之雖所超多位如超五超六至千萬位但同超母者截取前後逺數相併較其進内挨身兩位相併其數皆等




　　右凡加數以求總積之實不論累加超加及超二超三等但係遞加者只除首位單一不用外取次位與末位數併為實其中間亦不拘㡬位但察自前至後布位之數為法乘之所得之數皆倍各位實積之數以減半得總數如右式以前四後三十七併之共四十一數係一十二位以一十二乘四十一得四百九十二減半為二百四十六即其十二位之全數若以前四後十六併之共二十數係五位乘得一百減半得五十即五位全數也【如欲連首位算則再加一云】
　　此超八
　　遞加者
　　右式假如方箭一束外周六十四枝問中積數㡬何者凡方物必以八包一每層超八遞加今置中心一枝不算【即首位之一】以内層之八併外周六十四共七十二以八位乘之得數【五百七十六】減半得八位之總數加中心之一為二百八十九枝凡平方面有中心之一者倣此
　　此超六遞加者

　　右式假如圓箭一束外周三十六枝問中積者凡圓物必以六包一每層以六遞加今置中心一枝不算外以内層之六併外周三十六共四十二以六位乘之得數【二百五十二】減半得六位之總數再加中心之一為一百二十七枝凡平圓面倣此
　　此超九
　　遞加者
　　右式假如有三稜物一束外周七十二枝問積者凡三稜物必以外九包中一每層超九遞加置中心一枝不算外以内層之九併外周七十二共八十一以八位乘之得數【六百四十八】減半得八位之總數再加中一為三百二十五枝凡三稜面者倣此
　　若順數而加自一而二而三而四以遞相加者另是一法但取最後二大數相乘得數亦以減半即得最後第二位以至首位之數惟餘最後第一位在外又併入得全數



　　右式假如有物倚墻一面尖堆最下一行濶十五枚問總積若干取最下二行【一十五一十四】相乘得數【二百一十】減半【一百○五】又加入下行十五得一百二十枚合總
　　一法取下行加一為法以乘下行得數減半亦同
　　若首位不係一數而自二數或三或四為首者併首尾二位為實而以首位數減尾位數其餘數加一為法乘之減半合總
　　假如有物倚墻一面平堆下濶十四枚上濶四枚問總積者併首尾二位得一十八為實就尾位減首位得一十外加一共一十一乘之葢原係十一位也以乘得數【一百九十八】減半得九十九枚合總
　　又假如衆人醵錢首位出八文末位出六十文問總數總人者以首位減末位餘五十二外加一係五十三位乃併首尾二位錢數以乘五十三得三千六百四文合總
　　若自一而三而九俱以陽數超加者但看位數以自乘得全數

　　此皆陽位但據位數自乘如係一十位自乘得一百之類其陽數超加已知首尾兩位之數而未知中間若干位者但取尾位之數外加一以減半得位數如右式尾位十九加一得二十減半則十位也但係陽數雖至百千萬位皆同此法
　　若自二而四而六俱以陰數超加者取最後一位之數減半即得位數再以減半數外加一而與位數相乘即得自首至尾全數


　　四　取二十四減半見位數又減半加一為十三二　以乘位數十二得一百五十六見全數
　　又若自二數起遞加至一百數止但取一百減半知是共五十位再加一為五十一以乘位數五十得二千五百五十即五十位之全數
　　若多中起數超位遞加但知位數及首位數及所超母數而未知最後一位數者但審布位若干於内減一以乘超母【如超一則一為母超八則八為母之類】得數加入首位數即得尾位之數既得首尾二位乃照前首尾相併而以位乘減半得全數


　　此超八遞加者計十位減一為九與八相乘得七十二再加首位三得七十五為末位數又以七十五加三得七十八以乘十位得七百八十減半三百九十合全數
　　假如有牛四十區但云第一區是三十頭餘區遞加二十頭今問第四十區㡬頭依前法就四十減一為三十九與超母二十相乘得七百八十再加首區三十知是八百一十乃最後一區之數也再問各區總數㡬何照法以首區三十加末區共八百四十以乘區數四十得三萬三千六百減半得一萬六千八百頭為各總數若但知末區數及母數位數而不知首區數者照前以區數減一與母數相乘得數而以末區數減之即得首區之數【如前乘得七百八十而末區係八百一十相差三十即知首區係三十頭】



　　假如發兵破一賊巢有二十人先登以登城先後敘賞其第二十人賞銀一百兩第十九人賞一百三十兩其餘遞加三十兩問第一人該銀㡬何此以二十為位減一為十九以乘超母三十得五百七十再加尾位一百得六百七十兩為第一人所賞之數也若問此二十人共銀幾何照法併首尾二數得七百七十與位數二十相乘減半得七千七百兩見全數
　　若但舉總數及超數及首尾共數而不知係幾位亦不知首尾二位數各若干者以總數為實以首尾數減半為法除之得位數又以位數減一乘超母得數即用此數為主若
　　以併首尾共數減其半即尾數若
　　以較首尾共數減其半即首數
　　右式假如貸錢起息每日増錢六文共積子母錢三百二十文不言每日細數但云併初末日共錢一百六十文問初末日各㡬文其起息計幾日者以日為位立總錢三百二十為實併初末減半得八十除之得四日依法減一為三乘増母之六得一十八以併初末數得一百七十八減半是末數若以較初末數餘一百四十二減半是初數
　　若但舉中積及位數及首尾之較若干以求首尾各㡬何者倍中積為實以位為法除之得數以較減之半其餘得首數乃以較加之得尾數



　　右假如織布自冬至始厯十三日共織一千三百五十二寸因晷漸長其功日加六寸末日視首日多織七十二寸問首日末日各織㡬許者倍中積得二千七百四寸為實以積日十三為法除之得二百零八以較減之得數又減半合首數六十八以較併入亦減半合末數一百四十
　　若但知位數總數及超母數而未知每位得若干數者取位數列之去尾數餘併之【如係九位則但用一二三四五六七八共三十六數除九不用】以乘超母得數減總乃以位數歸其餘得首位數乃以超母遞加得各位細數


　　假如兄弟九人遞差三嵗共二百○七嵗欲知每人㡬何者照右法置母數【三】乃取位數内除去尾數九只以八位細數併之得三十六以乘母得數【一百零八】以減總數餘九十九以九除之得最幼一人嵗數【一十一】乃以三遞加之得諸人嵗數
　　共八位以一十
　　七為超母總數
　　九百九十六
　　假如鈔九百九十六錠分給八人遞差一十七錠各若干取位數除去尾八併自一至七之數共二十八以乘超母一十七得數【四百七十六】以減總餘五百二十以八除得最少一人數【六十五】仍以一十七遞加得諸人數若超位遞加但知係㡬位及各位總數而未知超母㡬位亦未知各位細數與首尾二位數第云前㡬位共若干後㡬位共若干以求各位細數者依母子互乘法求之以所知前㡬位後㡬位為母以前共若干後共若干為子互乘得數相較為實又併其母減半以較總位餘若干而以兩母相乘之數乘之得數為法以法除實得超母加入所知之數如係二位者加入折半得多者數如係三位者加入三歸得中數乃依超母遞加遞減得全數


　　假如八人差等分錢但知甲乙共七十七文己庚辛共六十六文問每人㡬文者以二人乘六十六【得一百三十二】以三人乘七十七【得二百三十一】以相較餘九十九為實併分母【二三】得五減半得二零二之一以減總位【八】餘五零二之一仍以分母所乘之六乘之得三十三為法以法除實得三為超母之數併入甲乙減半得四十為甲衰若求己庚辛則三歸之得中間之庚衰乃以超母遞加遞減得全數○外如係戊己庚辛四位者三歸之得己庚共數又加減超母之半得己庚數
　　倍加法第十
　　數有挨次遞加者以一數為遞母而絫加之其母不易焉另有以倍而加者












　　右法皆取乘法如第一式倍一加者以二一見二以二二見四以二四見八以二八見十六也第三式倍一加者以二三見六以二六見十二也第二式倍三加者以三三見九以三九見二十七以三箇二十七見八十一也此由少進多之法假如欲尋其母則取挨身小數減其大數知之以二減盡者倍一也以三減盡者倍二也凡挨次遞加者由少加多其多至于無窮葢凡數從多減少其減至于單數而止無復零分之可減也惟此倍加之數則進而加之無窮減而約之亦無窮剖之又剖細微毫忽按法而約求焉豈可以數盡乎


　　此以倍一約之其數無窮餘法皆同
　　右數假如截取三位以首尾二位相乘其所得數與中一位數之自乘者等【假如八四二共三位以二八相乘得十六以中間之四自乘亦十六】若截取四位而以首尾二位相乘其所得數與中二數相乘者亦等【假如十六○八○四○二○共四位以十六乗二得卅二以中間之八與四乘亦得卅二】雖至許多位但以首尾二位相乘其所得數與挨身次二位俱相等步步乘入皆無不同至於最中若有單位以之自乘亦復如是
　　此外乘與進
　　内乘皆同中
　　單自乘亦同
　　凡倍加之數不論㡬位欲知總數但取首尾二位為主以首最小數減尾最大數而以其所剰大數依後法求之如係加一倍者【即二因】先取尾大數倍之内減首數得全數如一二四八【六二四一三六】此七位者取尾六十四倍得一百二十八數減首位一得一百二十七即此七位之細數【加一倍者自一起手用此法其加二加三者雖亦自一起手但各另有倍母則另如後法以倍母為首位不以一為首位云】如係加二倍者【即三因法】取尾後最多數内先減首位之數而以餘數二歸【縁三因者係加二倍故以二為倍母而用二】取其所得之數併入尾位大數即得中間㡬位細數凡四因五因以至六七等類皆同此法而四因三歸五因四歸【各減因數之一者依所倍之數為母也】餘皆同
　　此係四因者三
　　倍于本數以相
　　加也用尾位數
　　内減首位數實
　　剰四萬九千一
　　百四十九以倍母之三除之得一萬六千三百八十三加入四萬九千一百五十二共得六萬五千五百三十五是八位全數
　　又有加一倍又二之一遞進者即四六衰分法也
　　此一因半


　　右四六衰分倍加係一因有半者若欲求其各位總數亦取尾位數【四十五又十六之九】内減首位數【除四得四十一又十六之九】如前法亦減除法一數【十一因半減其一也如前三因者用二及四因用三之類】而用半以除之【以半為倍母以除之者是一化為二】得八十三零八之一以併尾數總共得一百二十八零十六分之十一也為七位細數
　　凡二因半三因半等類倣此其除法俱只減其一數凡倍加數不論共有㡬位但就中抽取一位自乘但看自首挨來是㡬位假如第五位其前有四位矣今以五位自乘其所得之數即與此後第四位之數相同【即九位】不特此也又如取第五位與第七位相乘其五位前凡有四位則其第七位後亦管四位其五位七位乘得之數即與第十一位之數相同如後式
　　假如後式十六係第五位前有四位後亦管到四位今以十六自乘得二百五十六恰與後四位之數相同


　　又假如三十二係第六位前有五位
　　今以三十二自乘得一千二十四即合後第五位之數一又假如八係第四位與七位之六十四相乘以八前凡有三位則六十四之後亦管到三位今以八乘六十四得五百十二數亦與第十位之數相合其相離亦三位故也又法不必算其前後之位但看所自乘數為第㡬位以本位數加一倍内減一即得同數之位假如第六位倍六得十二内減一為十一位則第六位自乘所得之數正合第十一之數與前法理同而更為捷徑
　　又法不必減一但先排倍數于右次排位數于左相對而于位前加一【即以○見所減之一】其餘以次察之





　　凡所得位數但係自乘者只一位以位數倍之但係互乘者有兩位以兩位數積之
　　右式假如以四自乘得十六矣其四之本位是二位倍二得四則十六之數即第四位之數也此一位自乘之法又假如八乘三十二得二百五十六數其八之本位係三位三十二之本位係五位三與五併共得八即係第八位數　　以上乃首位起一者
　　若首位非自一起【如二或三或四五之類】則自乘互乘皆先取首位之數分之【如首位四則以四分其所得】而後倍位積位如前法





　　假如以八十自乘得六千四百因首位非從一起而從五起先以首位之五而分之得一千二百八十數仍取列位之四倍之為八則對八之數
　　又假如以四十與六百四十相乘得二萬五千六百以首位之五分之得五千一百二十次以兩位相積其一是三其一是七合對十之數
　　凡倍一加者【即二因】就中隨意截取一位以其本數減一即合此位以前各位之細數此除本身而言然必從一數起者合此




　　假如截取一百二十八數内減一得一百二十七數即合第六位以前之總數葢自六位之六十四以前各位細數總得此
　　又假如右式以對八位之二百五十六數而求本位以前各位之總依前法以次位求之次位減一得五百一十一乃對八以前各位細總也若就以此八位為主外加一作五百一十二以自乘得二十六萬二千一百四十四數内再減一此何數乎按實對八之位乃係第九位此前既有九位此後亦管九位乃是第十八位以前各位細數也葢以倍位所對之本數自乘則得對位加倍之本數此用倍位法看之如不以本數乘而以積出本位以前諸位之全數乘則又推得本位以後相對若千位之全數此則不用倍位而用實位得之者實位者如本位前實有九位則本位後再管十位即其相對之位之全數也須減一數始合不減一數則進越一位矣








　　假如借銀一忽每日加息一倍至第六十四日該息㡬何依前法推之試如一二四八此四位共十五數加一自乘得二百五十六内減一餘二百五十五即係八位之數蓋自首位一至第八位之一百二十八其細數乃二百五十五數也再以此加一【二百五十六】自乘得六萬五千五百三十六内減一餘六萬五千五百三十五即知其為第十六位之數再以此數加一得六萬五千五百三十六自乘得四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六内減一即知其為第三十二位之數凡四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五數又以之加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四萬零七百三十七億又九百五十五萬一千六百一十六忽内減一即知其為第六十四值之數凡一十八兆四千四百六十七億四千四百零七萬三千七百九兩五錢五分一釐六毫一絲六忽也





　　同文算指通編卷五
　　欽定四庫全書
　　同文算指通編卷六
　　明　李之藻　撰
　　測量三率法第十一
　　凡測山岳樓臺城郭之髙川谷之深土田道里之逺舊名勾股法立表或立重表參望相直乃以開方求之今立器以代表名曰矩度而以三率代開方之算勾股者植立地上為股其影横地上為勾今半矩木尺其制也矩度之形平方而取横直二邊各刻為度互為勾股立為直影倒影二算義同勾股而法稍捷
　　製矩度法以堅木或銅版其制平方上畫甲乙丙丁四直角方形【務取極方詳具幾何原本】用甲乙邊立兩耳平對各通一竅名曰通光以便窺望以甲角為矩極系線任其垂下以權鎮之次自甲至丙斜界一線分矩面為兩平分乃並乙至丙及並丙至丁各依原邊線又平行二線俱勻分十二度其度各自其邊界望矩極分之近極為虚線外用為實線或每度更分三分五分六或分至十二皆
　　隨版體大小為分愈細則法愈
　　密矣用時甲昻乙低以目射兩
　　竅與所望之物參相直視其繩
　　之所值何度何分以算推之或
　　不設兩竅只立相等兩小表亦
　　可凡測望必以所求物與立矩度處為直角形取平【解在㡬何】有不平者須先準平然後測量次論直倒二景直影者繩在乙丙界内即勾影也如立表地中影落地面者是倒影者繩在丁丙界内即股影也如立表墻上影射墻面者是凡有所窺測而望者前卻其步使其繩適在甲丙是為勾股平等知勾即得股知股即得勾其不然者須將倒直互變推求且如求髙求深所求在股即權繩宜在直度而却在倒度則當變倒為直若求逺求近所求在勾其權繩宜在倒度而却在直度則當變直為倒各以通二度之窮其互變之術皆以矩全度為準【少者用十二多者用一百四十四】假如繩在倒影三度今欲變為直影度者法以矩度為實三度為法除之得四十八為直影度假如繩在倒影五度三分度之二欲變直度者因有三之二每度以三通之得一十七為法亦以三通其矩度得四百三十四為實以法除之得二十五度餘十七分度之七為直度也其繩在直度而欲變為倒度者亦如之【詳見徐太史測量法義】
　　量影測髙
　　已知影長若干欲測其髙者如測日影即以矩度向日目切于乙甲耳在前日光透于耳之兩竅權線與矩度相切任其垂下審值何度何分若在十二度之中正對角線丙際則影與物必正相等知影㡬何長即得物㡬何髙矣
　　若權線在直影邊則影小于物而直影上所值度分為第一率以矩度十二為第二率以物影度為第三率二三相乘一除之得第四率為其物髙
　　假如欲測己庚之髙線在直影乙戊得八度正其庚辛影長三十步即以矩度十二乘庚辛之三十得三百六十為實以乙戊八度為法除之得四十五即己庚髙四十五步
　　若權線在倒影邊則影大於物以矩度為第一率以倒影上所值度分為二率以物影度為三率算之得物之髙
　　假如欲測己庚之髙線在倒影丁戊得七度五分度之一庚辛影六十步即以丁戊七度五之一乘庚辛之六十得二千一百六十為實以矩度六十分為法除之得己庚之髙三十六步【因權值有零分五分度之一故以分母五通七度通作三十五分以分子一從之為三十六分其表】
　　【度十二亦通作六十分】
　　從髙測影
　　若已知物髙若干欲測其影者以矩度承曰審值度分若權線在丙則影與物等若權線在直影邊即物大于影以矩度十二為第一率直影度分為第二率物髙度為第三率算之得數為影度
　　若權線在倒影邊即物小于影以倒影度分為第一率矩度為第二率物髙度為第三率算之得數為影度
　　以目測髙
　　已知庚辛之逺欲測己庚之髙人目在辛先量自目至足其髙㡬何乃以矩度向所測物頂甲耳在前目切乙後目與矩耳及髙相參直細審權線值何度分假如權線在直影乙戊以乙戊度為第一率矩度為第二率次量庚距辛之逺㡬何為第三率二三相乘以一除之得物
　　之髙
　　假如權線在倒影丁戊即以矩度為第一率丁戊倒影為第二率庚辛為第三率照前算之
　　若權線不在丙而有平地可前可却即任意前却至權線值丙而止不必推算既知辛庚即知己庚
　　若人目在辛求己庚之髙而為山水林木屋舍所隔或地非平面不欲至庚或不能至者則用兩直影之較起算其法依前以矩竅向物頂審權線在直影否如在倒影即以所值度分依法變作直影次從所立之辛依地平取直線或前或却任意逺近至癸仍以矩竅向物頂審權線在直影否如在倒影亦以所值度分變作直影乃以兩直影度分相減之較為首率以矩度為二率辛癸大小兩矩之較為三率依法算之得己壬之髙又加自目至足乙癸之數得己庚之髙假如欲測己庚之髙如前圖先從辛立望得直影小乙戊為五度次却立于癸得直影大乙戊為十度丙影之較五度為首率矩度為次率次量足距之較從癸至辛十步為三率依法算得二十四步加目至足之乙辛或乙癸試作一步即知己庚之髙二十五步　如後圖先于辛得直影小乙戊為十一度次退立于癸得倒影九度當如前變法作大乙
　　戊直影十六度得景較五度以為首率矩度為次率次量距之較癸辛二十步為三率依法算得四十八步加自目至足或一步即知己庚之髙四十九步
　　地平測逺
　　欲于已測己庚之逺先除自目至足之髙為甲己若量極逺則立樓臺或山岳之上以目下至地平為甲己【測髙法見前】次以矩極甲角切于目以乙向逺際之庚如前法稍移就之俾甲乙庚相參直細審權線值何度分
　　如權線在丙則髙與逺等
　　若權在乙丙直影邊即逺數不及髙數以矩度十二為首率直景乙丙為二率甲己為第三率算之得己庚逺
　　若權在丁丙倒影邊即逺過于髙以倒影丁丙為首率以矩度十二為次率甲己為三率算之此所置一率二率視前測髙之法互換云
　　測深
　　凡從井上測深者井口或徑為己庚井面為辛壬欲測
　　己壬之深用矩極甲角切目以乙
　　從己向對面水際之辛如前法稍移
　　就之令目與竅與辛相參直垂下權
　　線假如線在直影乙戊三度為首
　　率矩度為次率次量己庚井口十
　　二尺為三率算得四十八尺為己
　　壬之深
　　若權線在倒影三度則依法變為
　　直影得四十八度而以矩度十二為首率變得直影度為次率井口乘之歸除數同
　　以上用矩度者如無矩度另有用鏡用表用尺諸法【具後】
　　平鏡測髙【用盂水亦同】
　　欲知甲乙之髙置平鏡于丙人立于丁其丙丁取平人目在戊向物頂之甲稍移就之令目見甲在鏡中心而甲影從
　　鏡心射目乃量自丁至丙之度為首率丁戊為次率乙丙為三率算之得甲乙髙
　　以表測髙【凡立表必三面垂線以取端直】
　　已知乙戊之逺而欲測甲乙之髙立表于丙為丁丙退立于戊置乙丙戊為極平線人目在己視表末丁至物頂甲相參直次量目至足數移置表上為辛以截取丁辛之數其辛己線與乙丙戊為平行若其表僅
　　與身等或小于身另立一小表為己戊而以目切之為己亦可乃以丙戊為首率丁辛為次率乙戊為三率算之得甲庚之髙加目至足之數己戊即得甲乙之髙若戊不欲至乙或不能至則用兩表之較為算如前圖立于戊目在己望丁至甲移己置辛得丁辛數乃或前或却又立一表【或即用前表或兩表等】為癸壬目在丑王癸至甲亦移丑至寅得癸寅數此癸寅與丁辛之度相同而丑寅度必小于己辛度以相減截己辛于卯得卯辛較為首率以表目相減之較癸寅或丁辛為二率以兩目相距之較己丑或戊子為三率算之得甲庚加自目至足之數得甲乙之髙【前圖為進步立重表者後圖為退步立重表者】
　　以表測地平逺
　　欲于甲測甲乙之逺依地平立丙甲表此表稍矬于身以便窺望次却立于戊目在丁視表末丙與逺際乙相參直次移丙度于己截取丁己之度為首率以丙己或甲戊為次率丙甲表度為三率算之得甲乙
　　之逺
　　以矩尺測逺
　　欲于甲測地平逺者先立一表為甲丁與地平為直角次以矩尺之内直角置表末丁上以丁戊尺向所望逺際之乙稍移就之使丁戊與乙相參直次迴身從丁丙尺上亦望地平之己使丁丙與己相參直乃量己至表下甲為首率表身丁甲為次率又為第三率依法算之得甲乙逺


　　以重矩兼測無廣之深無深之廣
　　有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之廣欲測乙丙之深則用重矩法先于甲岸上依垂下直線立戊甲己勾股矩尺其甲己勾長六尺人從股尺上視勾末己與谷底
　　丙相參直以目截取戊甲股上之庚
　　庚甲之髙得五尺次又于甲上依垂
　　下直線取壬壬去甲一丈五尺于壬
　　上亦依垂直線更立一辛壬癸勾股
　　矩尺壬癸勾亦長六尺從股尺上視
　　勾末癸與谷底丙相參直而以目截
　　取辛壬股上之辛辛壬之髙八尺如
　　欲求深者以前股所得庚甲五尺與
　　兩勾間壬甲十五尺相乘得七十五尺為實以兩股所得庚甲辛壬相減之較辛子三尺為法除之即得乙丙深二十五尺如欲求廣者以勾六尺與兩勾間十五尺相乘得九十尺為實以辛子三尺為法除之即得甲乙之廣三十尺【測深法與重表測逺同測逺法與重表測髙同】
　　移測地平逺及水廣
　　凡測江河谿壑之廣逺身不能至而其傍近有平地與彼相當者立表於乙際為甲乙與地平為直角次用一小尺或竹木等為丙丁斜加表上稍移就所望之戊使丙丁戊相參直次以表帶尺旋轉向平地以目視丙丁尺端所直得己次自乙量至己即得乙戊之數　如不用
　　表即以身代作甲乙表不用尺或以笠覆至目代作丙丁亦便
　　以四表測逺【前測逺諸法不依極髙不得極逺此法能于平地測極逺】逺望一山或城或臺為甲欲測其逺擇平曠處立表【前云
　　依地平線必依直線取平此不必拘】為乙次
　　任却後若干步更立一表
　　為丁望兩表與甲一直線
　　次從乙丁各横行若干步
　　取平方為四角形其二角為丙為己就丙上更立一表又從丁己直行若干尺望丙與甲一直線此際立表為戊乃以乙丙減丁戊之較為首率乙丁為次率乙丙為三率算之得乙逺
　　假如丁戊三十六乙丙三十相減餘六乙丁四十以六為首率四十為次率三十為三率算之得二百四十為甲乙逺
　　測髙深逺近不諧布算而得其度
　　凡測量必先得三率而推第四率三率者其一直影度或倒影度其二所立處距所測物之底若不能至者則其影較度或兩測較度也其三表度或距較度也設如測一髙其影較八而距較十步其影較八【一率】與表十二【二率】
　　之比例若距較十步【三率】與其所求之
　　髙【四率】如不諳算法則于平面畫作甲
　　乙甲丙兩直線任和交于甲從甲向
　　乙用規作八平分為影較甲丁次用
　　元度從丁向乙規取十二平分為矩
　　度丁乙次從甲向丙規取十平分為
　　矩較甲戊【此用度與前兩率度任等不等】乃從戊至
　　丁畫一直線次從乙亦畫一直線與
　　戊丁平行而截甲丙線于丙次取甲戊元規度從丙向戊畫得若干分即所求之髙
　　又法若景較七度有半距較八度三
　　分度之一即物髙度十三步三分步
　　之二如後圖加目至足髙即得全髙



　　附勾股畧
　　測量之法専用半矩則勾股所必藉也故補入勾股以顯測望原本舊法勾三股四五葢勾自乘股自乘併之即自乘數故得勾股可以求得勾可以求股得股可以求勾而引伸其義可以求勾股中容方容圓可以各較求勾求股求可以各和求勾求股求其變無窮今撮其要者十五則著於篇
　　句股求
　　甲乙股四乙丙勾三求以股自乘得十六勾自乘得九併得二十五為實開
　　方得甲丙五【開方法見後編】
　　勾求股
　　如前圖乙丙勾三自乘得九甲丙五自乘得二十五相減得較十六開方得甲乙股四
　　股求勾
　　如前圖甲乙股四自乘得十六甲丙五自乘得二十五相減得較九開方得乙丙勾三
　　勾股求容方
　　甲乙股三十六乙丙勾二十七求容方以勾股相乘得甲乙丙丁方形為實并勾股得甲戊長線六十三為法
　　除之得庚戊長方其辛乙乙癸各
　　邊俱一十五零六十三之二十七
　　約之為七之三為勾股内所容方形
　　餘勾餘股求容方求勾求股
　　甲丁餘股七百五十戊丙餘勾三十
　　求丁乙戊己容方邊以丙戊勾甲丁
　　股相乘為辛壬己庚方形得二萬二
　　千五百為實開方得容方乙丁丁己
　　各邊俱一百五十加餘股得股九百加餘勾得勾一百八十【辛壬己庚形與丁乙己戊方形等説見㡬何原本六卷其羃相同故開方即容方】
　　容方與餘勾求餘股與餘股求餘勾
　　容方丁乙己丁各邊俱一百五十戊丙餘勾三十求甲
　　丁餘股以容方邊自乘為實以餘勾
　　為法除之得甲丁餘股七百五十以
　　容方與餘股求餘勾法同【辛己方之羃既等丁
　　戊方之羃矣開方即容方矣加餘股非全股乎加餘勾非全勾乎】
　　勾股求容圜
　　甲乙股六百乙丙勾三百二十求容圜以勾股相乘得一十九萬二千為甲乙丙丁方形倍之得三十八萬四千為丙丁戊己方形以為實别以勾股求得甲丙邊
　　六百八十併
　　勾股得甲
　　辛長線一千
　　六百為法除
　　實得辛壬癸
　　甲長方形其辛壬邊相等之乙子二百四十即容圜徑半徑為圜心【於甲乙線引長之截乙庚與勾等庚辛與等得甲辛為和和為法除實即成辛壬癸甲長方形與丙丁戊己方形之羃等而壬癸邊截乙丙勾于子次作子丑寅乙小角方形此各邊名和較皆容圜徑亦皆切圜線也詳著徐太史勾股義】
　　又法甲乙股六百乙丙勾三百二十并得九百二十與甲丙六百八十相減亦得乙子二百四十
　　勾股較求股求勾
　　甲丙四十五甲乙股甲丙勾之
　　較為甲丁九求股求勾以自乘
　　得二千○二十五為甲戊方形倍
　　之得四千○五十為己丙方形較
　　自乘得八十一為甲庚小方形以減己丙之兩羃存三千九百六十九為實開方得勾股和六十三即丑辰大方形四邊之一也以之加較九得七十二半之得三十六為甲乙股即以減較得二十七為乙丙勾【丑辰方形内之丑寅方及卯辰方兩股羃也丙壬方癸子方兩勾羃也以比甲己方形只中心多一箇較羃耳故減此開方即得勾股和矣再加較得兩股故折半得股以減較得勾】
　　勾較求勾求【附較和求勾求和較求勾求】
　　甲乙股三十六乙丙勾甲丙之較為甲丁十八求勾
　　求以股自乘得一千二百九十六
　　為甲戊方形較自乘得三百二十四
　　為庚丁小方形兩方形相減【於甲戊方内去
　　其等庚丁　方之辛癸　方即得甲壬戊之磬折形】存九百七
　　十二為實倍較乙寅為法除之得乙
　　子長方形其丙乙之邊二十七為勾以加較得四十五為甲丙【乙子方何以等于甲壬戊形之實也葢加一同較羃之乙丑形以成子卯癸之磬折形即與股羃甲戊方形等也又甲辰方形羃也内兼勾股二羃試照庚丁較羃分作庚未未午午丁三形其申未及酉戌較也庚申及未戌及未辰及午酉及丁丙股也庚未形未午形相併勾羃也庚丁形丁午形相併股羃
　　也各加較羃則甲戊午之磬折形與子卯癸之磬折形　　　　　等亦與甲戊股羃等内各減較羃則乙子方形即甲壬戌磬折形矣】
　　又法股自乘得甲己方形一千二百
　　九十六為實以勾較甲丁十八【即同
　　乙癸】為法除之得甲壬之勾和七十二
　　加較得九十半之得四十五減較
　　得勾二十七【甲壬何以知為勾和葢羃甲丑形内既兼】
　　【勾股羃矣試以甲丁之度移于子卯又移于丑辰于卯寅分為三方形其丙丁寅辰形勾羃也則甲卯卯辰兩形併即股羃也亦即甲辛長方形也子卯也卯寅也甲庚也皆較也甲子也卯丑勾也故甲辛形内之甲壬線為勾和】
　　若以股與較和求勾求者股自乘為實次以股減較和餘即勾較除實得勾和乃以加減同前若以股與和較求勾求者股自乘為實以股減和較餘即勾較除實加減同前
　　股較求股求【附和較求股求較較求股求】
　　乙丙勾二十七甲乙股甲丙之較為丙丁九求股求以勾自乘得乙己方形七百二十九較自乘得丙丑
　　方形八十一【丙庚同】相減存乙庚己磬
　　折形得六百四十八為實乃倍丙丁
　　較為辛乙線以為法除實得辛壬方
　　形其乙辛邊三十六即甲乙股數以加較得甲丙四十五【羃甲癸方形内兼勾股二羃試依丙丑較羃線分作甲丑形丑癸形丑子形即丑子為股羃而餘為勾羃之實也甲丑與丑癸併固與乙庚己磬折之形等亦與辛壬長方之形等而辛乙兼丁丑丑寅之兩較甲丁及寅癸均為兩股合并成乙壬之股】
　　又法勾自乘得丙戊方形七百二十九為實以丙丁較九為法除之得丙己方形其丙庚邊八十一為股和
　　加較得九十半之得四十五減
　　較得股三十六【丙庚線何以為股和也甲丙羃
　　内兼有勾股二羃試依丙丁較截作丁辛形丁癸形癸壬形即壬癸】
　　【方形為股羃而餘為勾羃亦即丙己長方形之實也夫甲癸也壬辛也庚己也均較也而甲丁之股丙辛之併之非丙庚乎故云股和】
　　若勾與和較求股求者勾自乘為實次以勾減和較餘即股較除實得股和乃以加減同前又勾與較較求股求者勾自乘為實以勾減較較餘即股較除實加減同前
　　勾股和求股求勾
　　甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三求勾求股以自乗倍之得四千○五十勾股和作甲丁線自乘得甲己方形三千九百六十九相減得八十一開方得勾股較甲卯九加和得七十二半之得甲乙股三十六減較得乙丙勾二十七【勾股和自乘為甲己方形此形内函甲辛及癸己之兩股羃乙寅及庚壬之兩勾羃而中間重借一癸辛小方形正其較羃若以自乘只得一勾一股羃倍之當得兩勾兩股羃今以減甲】
　　【己方形少一較羃之癸辛形故以癸辛開方得較也】
　　勾和求勾求【附和和求勾求較較求勾求】
　　甲乙股三十六乙丙甲丙勾和七十二求勾求以股自乘得一千二百九十六又以勾和作乙己線自乘得五千一百八十四為乙戊方形次用股羃減之【就乙戊大方内減去庚壬長方】餘三千八百八十八【即丁辛及丙己兩長方形】半之得
　　一千九百四十四為實以勾和
　　乙己為法除之得乙丙勾二十七
　　以減和得甲丙四十五【何以知庚壬長
　　方為股羃也試于乙戊方之乙己線以勾度截之取子寅二㸃作子】
　　【癸線寅丑線又照取丙庚二㸃作丙壬庚辛二線則一形内四隅有勾羃四中央有較羃一而四正又有庚未辰壬未寅癸辰為勾較相乗之羃亦四也夫一勾一較相併為則卯己之方形為冪而冪之内存一午己之勾冪而此外子午辛之磬折形即為所減之股羃兹以庚未形代子午形則庚壬固所減之股羃矣此丁辛丙己兩形所以為減餘形也半之即丙已形次以乙己線除之】
　　又法股自乗得一千二百九十六
　　以勾和七十二為法除之得十
　　八為勾較加勾和得九十半
　　之得四十五為減較得二十七
　　為勾【此與前勾較求勾求又法同理】
　　若以股與和和求勾求者既得股自乗之數乃以股減和和餘即勾和除之得勾較加減如前因多一股故用一減
　　又股與較較求勾求者股自乘為實以股併較較即得勾和除實加減同前
　　股和求股求【附和和求股求較和求股求】
　　乙丙勾二十七甲乙乙丙股和八十一求股求以勾自乗得七百二十九股和自乘為乙丁方形得六千五百六十一乃以勾羃相減去戊己長方形
　　存乙戊方及丁己方得五千八百三十二半之得二千九百一十六為實以和為法除之得甲乙股三十六以減和得甲丙四十五【大方形内之戊乙句羃也餘論同前】
　　又法勾自乘得七百二十九以股和八十一為法除
　　之得九為股較加股和得
　　九十半之得四十五為減較
　　得三十六為股【此與勾較求勾求又法同理】
　　若以勾與和和求股求者勾自乘為實以勾減和和仍得股和除之餘如前亦因多一勾故用一減若以勾與較和求股求者勾自乗為實勾和相併即股和除之
　　股較勾較求勾求股求
　　甲乙股甲丙較二乙丙勾甲丙較九求勾求股求以二較相乘得十八倍之得三十六為實平方開之得六為和較加勾較九得甲乙股十五加股較二得乙丙勾八以勾較加勾或股較加股得十七為甲丙【此最要者在求與勾股和之較法以二九互乘是乘兩次也故倍之戊癸及子丑長方
　　形是也倍之而開方得六即和較矣然所以三十六開方為和
　　較者何也葢一之羃常兼有勾股兩羃今試于甲乙股線引之加
　　甲辰之亦于丙乙勾線引之加乙午之于甲丙引之加丙艮
　　之股艮申之勾此三線者各以自乘為三大羃則兼勾股之羃比
　　諸股與勾相併之羃共欠四十九數而此四十九為合減之數就
　　于多羃中心減之所餘三十六即開方之和較何者試取三大羃
　　而各以元設之勾股分之為諸小羃相當相抵其甲酉羃内多勾
　　股矩之形凡二其丙戌或乙亥羃内多羃一以此兩多之形又相
　　當抵所差者有四十九數而原設股較二勾較九相減餘七自
　　乗之數亦相符焉至于中心減之而餘三十六葢又有説試以股
　　較二自乘得四為己庚方形以勾較九自乘得八十一為辛壬方
　　形併得八十五而以四十九減之減去乾兑形其餘形之乾離離壬
　　及己庚形合三十六即前二九互乘戊癸子丑之數也用此開方得
　　六以作寅卯方形令于甲酉方減此寅卯而丙戊方亦減辛壬而乙
　　亥方亦減己庚則其兼勾股之羃不等于股勾之二羃乎葢
　　甲酉四隅四羃也乙亥四隅四股羃也丙戊四隅四勾羃也所謂
　　羃兼勾股羃者既相當抵而甲寅辛坎兩形併亦與寅㢲方形相
　　當中心除出乾兑之四十九而乾離離壬及己庚又與寅卯相當故
　　以寅卯開方求之而和較得焉夫丙巽即寅卯邊也在甲丙巽申
　　兩之間者也丙距申為勾股和則丙截巽為和較明矣已得
　　和較即以元設兩較相加而勾股皆可得矣加九者巽距艮也艮
　　申為勾而艮丙為股也加二者丙距坤也坤甲為股而巽坤為勾也】
　　【以巽艮益艮申以丙坤益坤申皆也】
　　勾和股和求勾求股求
　　甲丙乙丙勾和七十二甲乙甲丙股和八十一求勾求股求以兩和相乘得五千八百三十二為乙己
　　長方形倍之得一萬一千
　　六百六十四為丁戊大方
　　形以為實平方開之得己
　　庚形其邊一百○八為
　　和和求乙丙勾者以股
　　和減之得勾二十七求甲乙股者以勾和減之得股三十六欲求者以勾股和減之得四十五【己庚形與丁戊形等其開方邊為和和者葢丁戊全形内有羃二股矩形及勾矩形各二與己庚方形内諸形比各等其丁戊形内餘一羃己庚形内亦餘一句羃一股羃又相等故己庚形之各邊皆和和】
　　論曰勾股三合成形錯綜立義勾股相減其差曰較勾股相併其名曰和股之差曰股較勾之差曰勾較併勾股與較其差曰和較勾股之差與相減其差曰較較股相併曰股和勾相併曰勾和勾股之差併曰較和勾股併曰和和勾股各自乘併之為實故開之得勾各自乘減餘為股實故開之得股股各自乘減餘為勾實故開之得勾勾股和自乘倍實相減開其餘即勾股較也勾股較自乘以減倍實開其餘即勾股和也併勾以除股實得勾較若以勾較除股實即得勾和矣併股以除勾實得股較若以股較除勾實即得股和矣勾股和自乗減實除以較較得較和矣除以較和非即較較乎勾股較自乘減實除以和和則得和較矣除以和較非即和和乎勾乘股為實併勾股為法除得容方徑勾乘股倍之勾股求併之除得容圜徑容圜之徑即和較也又錯綜論之勾為主以加股較即較較以減股較即和較若加較和又即股和也股為主以加勾較即較和以減勾較即和較若加較較又即勾和也勾股較為主以加股較即勾較若減股和亦即勾和也勾股和為主以加股較復得勾和若減股和亦得勾較也至若諸較諸和法相因配連綴減半恒得所求若取勾股較以加勾股和半之得股以減勾股和半之得勾若取股較以加股和半之得以減股和半之得股取勾較者以加勾和半之得以減勾和半之得勾取和較者以加和和半之得和以減和和半之得取較較者以加較和半之得以減較和半之得較加減乘除圜變不滯神而明之存乎其人逺近髙深方圜弧矢準此而推亦在乎熟之而已
　　開平方法第十二
　　凡平方開者依除法列位先審當以幾位除盡列實自末位下㸃記之每隔位一㸃每一㸃即定開下一位乃從左位起用自乘開除凡㸃在左首位下者以一字取數自乘【如係九數則用三除三三見九除盡之類】若㸃在左次位下者以二字共取一數自乘各除之【如係一六則用四除四四一十六除盡之類】是為初商以紀格右亦註首㸃之下兩相呼除不盡者作餘數再商【如係二十者用五則廿五矣是不可也須用四自乘得十六外剩四作餘數以再商除之】倍初商為亷法註初㸃初商之次位若干以除上位視其可得㡬轉以定次商若干註次㸃之下為隅法亦紀于格右先與亷呼除若干再與隅呼除若干有不盡者再倍亷法商除如前若剩數僅及開數一倍以下以法命之【開者一面數也加倍又加一數乃得二面是于小平方外添一勾股為大平方若不及加倍増一總是不滿方面即以加倍増一為母餘數為子命曰幾分之㡬】
　　列式
　　列實二千一百一十七萬八千四百○四凡八位従末位㸃起每隔一位用一㸃共四㸃知用四字開盡

　　此首位無㸃而㸃在次位者以二一相連且作二十一數只一字開之
　　初商用四除註㸃下亦紀格右四四乘之除一十六尚剩五　四上一變五完首段




　　既用四自乘除剩五矣第二段所㸃従五至七凡三位且只作五百八十四而商以從簡便先立亷法須倍前商數前係四則此倍作八註八于次位之下如以八而除五十一者然也乃商五十一有㡬箇八該得六紀六于格右四字之次亦註次㸃下為隅法如八十六者然乃與次商相呼先呼六八除四十八剩三數八上一變三尚剩三十七又以六六相呼要見六於三十七内恰好否若可除則用六如總數不足則寧減一數以就之如前除法相似所謂商也此呼六六三十六尚剩一六上七變一完次段除實二千一百一十六萬餘實一萬八千




　　次于所剩之一除起因此第三㸃管
　　到四字止則自一到四作一百八十
　　四除之其格右四六乃四十六倍作
　　九十二列次下為亷法列式且讓四下
　　之㸃不填以待所商之隅法而列二
　　于八下列九于一下凡亷法商法冩
　　式皆倣此九不可除一作○于格右
　　四六之次以存虚位餘皆抺之另商
　　第四㸃所用仍剩一萬八千四百四
　　竟以一數開畢
　　前所用四六○是四百六十仍再倍為
　　亷法當作九百二十數讓空四下所㸃
　　一位不填以待隅法而列九于八下列二于四下列○于○下乃先以九除一八看得若干乃二九一十八也當用二為再商右紀二亦註于所㸃四下為隅法如九百二十二者然乃以相呼首以二乘九除十八次以二乘二減四次○不必除次又以二乘二除四恰盡凡開方每面四千六百零二若欲還原用自

　　又有開方不盡者
　　具式于後假如列
　　實四億五千六百
　　七十八萬九千○　　　　首㸃左第一位下只以本
　　一十二數凡九位　　　　一位開之首位係四當用
　　從小數間㸃至大　　　　二蓋二之自乘四也系二
　　數共五㸃該以五　　　　于四下右紀二為初商相
　　位開盡　　　　　　　　呼二二除四完初段除實
　　四億餘實五千六百七十
　　八萬九千一十二俟再商
　　次除五六且作五十六以從簡
　　便倍初商二作四為亷法讓㸃
　　下一位系四于五下所商以四
　　除五得㡬轉四除五只一轉右
　　紀一亦註一于㸃下先呼一四
　　如四五除四剩一四上五變一
　　次呼一一如一六除一剰五也
　　一上六變五完二段除實四億
　　四千一百萬餘實一千五百七
　　十八萬有竒另商
　　次除一五七八之一段且作一千五百七十八而商因前商二一是為二十一今倍作四十二為亷法空有㸃之八以待隅法而系二于七下系四于五下要商四除一十五凡幾轉計得三轉即用三數為再商紀格右亦系三于有㸃八字之下先呼三四一十二于十五内除十二則抺五改三進抺一又呼三二是六于七内除六尚剰一則抺七改一又呼三三是九于八内除九依借法抺八改九進位一變○完三段餘實三百九萬九千有竒次除三○九九
　　○之一段因前用二一三是為二百一十三今又倍其
　　數作四二六為亷法空有㸃之○
　　而于九下系六于進位九下系二
　　于○下系四先以四商上三○看
　　四除三十凡㡬轉該七轉則用七
　　紀七于格右亦系于有㸃○下以
　　相呼先呼四七二十八于三十内
　　除二十八尚剩二數四上○變二
　　進抺三次呼二七一十四于廿九
　　内除十四二上九變五進位二變
　　一次呼六七四十二六上九變七進
　　位五變一次呼七七四十九依借法
　　七上○變一進位七變二完四段餘
　　實一十一萬二千一百一十二另開
　　次除一一二一一二總作一段前已用二一三七是為二千一百三十七今倍之當作四二七四為亷法空有㸃之二而于進位一下系四于又進之一下系七于進二下系二于進一下系四先以四商上一十一看除該二轉則用二紀格右亦系二于末位㸃下而先呼二四為八以除一十一餘數三乃抺一改三進抺一
　　次呼二二為四依借法二上二
　　變八進位三變二又呼二七一
　　十四依借法七上一變七進位
　　八變六再呼二四為八依借法
　　四上一變三進位七變六又呼
　　二二為四依借法二上二變八
　　進位三變二完第五段除實四
　　億五千六百七十六萬二千三
　　百八十四餘二萬六千六百二
　　十八為不盡數
　　右開方二萬一千三百七十二以自乘得四億五千六百七十六萬二千三百八十四併入餘數二萬六千六百二十八得原數
　　開平竒零法第十三
　　凡開方法有可盡者如十六用四除盡如二十五用五除盡是也亦有必不可盡者假如列實二十者用四除去十六尚餘四此所餘之四將何術以開之其法依除法立子母數倍用數為亷法外加一為隅法併為母而以餘數為子乃以原所用開之數依母數化之而併子數俱以為子乃以母自乘子亦自乘以取開方而以小數除其大數視其所得之數若干即開盡數若原數内
　　更有未盡者再法開之　　　　倍用數得八加一為
　　母共九而以餘數四
　　為子次以用數乘母
　　共三十六併子四共四十
　　以八十一而
　　除一千六百
　　得一十九零
　　八十一之
　　六十一為
　　開方之數
　　尚有未盡
　　另法具後
　　右法于二十數内開過一十九零八十一之六十一比前但開除一十六者所得多矣然尚餘八十一之二十未盡另立一法開焉用盈不足對稽如前用四自乘盈四也又如用五自乘乃得二十五是又不足五也以不
　　足五對前四又九　　　　　　　　五内除四餘一依前
　　之四而以少除多　　　　　　　　法化一為九内又除
　　【以五為實以四又九之四為法除之】　　　　　　　四餘五是九之五也
　　乃以前四零九之四者而　　　　五八併得十三倍之為八零九之八併入今　　　除一九是一整餘九之五共得九零九之四　　　數尚剰九之四【其倍之為亷法也併入今餘又用盈不足相併】
　　次取九零九之四以除前所餘未盡八十一之二十依化法整九與母九相乘得八十一併入子四共八十五
　　是為九之八　　　　　　　　　　　兩母乘得六
　　十五又倒位　　　　　　　　　　　千八百八十
　　對相母乘母　　　　　　　　　　　五兩子乘得
　　子乘子　　　　　　　　　　　　　一百八十
　　又以母子乘　　　　　　　　　　兩母數以九乘
　　出之數與原　　　　　　　　　　六千八百八十五
　　存九之四十　　　　　　　　　　得六萬一千九百
　　對列而以兩　　　　　　　　　　六十五為共母其
　　母相乘為母　　　　　　　　　　子數以六千八百
　　次以子母互　　　　　　　　　　八十五乘四十得
　　乘各為子而　　　　　　　　　　二十七萬五千四
　　併之【原存盈數也今】　　　　　　　　　　百以九乘一百八
　　【乘出數不足也亦相併】　　　　　　　　　　十得一千六百二








　　九百六十五之二萬九千一百六十約
　　之即十七分之八也為開方零數
　　若欲知其已于二十數内除過㡬許即將四零十七分之八自乘之依法先以四各化為十七加八俱為子數而仍以十七為母母子各自乘以見開方【母自乘得二百八十九子自乘得五千七百七十六】而以母數除子數即見
　　依除法已開凈一十九零二百八十九之二百八十五較前十九零八十一之六十一逺矣尚餘二百八十九
　　之四未盡欲盡
　　之再依前法開
　　除




　　又法以四開二十因用四開之不盡乃用四零二之一
<子部,天文算法類,算書之屬,同文算指__通編,卷六>
<子部,天文算法類,算書之屬,同文算指__通編,卷六>數加一倍如四零三十六之一十七倍作八零三十六之三十四依法化之【八化三十六得二百八十八併入三十四得三百二十二】為三十六之三百二十二若用約法則為八零十八之十七亦依法化之【八化十八得一百四十四併入十七共得一百六十一】為一十八之一百六十一此倍出亷數也以之倒位而對前所餘數母子俱自乘
　　仍對前所化
　　亷數求之







　　次以所約之母子與原亷母子相對而依法以乘母者併母次以兩子各乗總母得數對減餘為實乃取所併





























　　此為開方不足之數比前則所剩微矣欲開盡依法再推同文算指通編卷六
<子部,天文算法類,算書之屬,同文算指__通編>
　　欽定四庫全書
　　同文算指通編卷七
　　明　李之藻　撰
　　積較和相求開平方諸法第十四
　　凡平方長濶不等以長濶相乗為實積以長濶相減為較以長濶相併為和
　　凡以積和求較者以和自乗以積四因相減開其餘得較
　　假如直田積八百六十四步長濶和六十步求長多濶幾步者用和自乗【得三千六百】又四因直積【得三千四百五十六】以少減多餘一百四十四平方開之得差一十二步
　　右開法見前不重列所以和自乗又四因直積者葢和自乗有四段直田積一段差方積故以四積減和乃剰下差方一段以取方面見步【有圖在後】比類如有金八百六十四兩數人分之只云人數與

　　【得銀數共六十其】
　　【差幾何銀數爲濶人數爲長得三十六人毎人】【二十四兩凡以積較求和者四因實積又以差】【自乗併入開平方除之得和假如直田積八百六十四歩濶不及長一十二歩求長濶和共幾歩者以積歩四因以較自乗相併開方得長濶和六十歩右四　因積有　四長四】

　　【濶縱横列之于外又較自之一段】
　　【居中故開方得和其用和自乗者得此圖全數外兼四積内兼較自乗故除積得較比類金八百六十四兩只云錠數不及兩數十二求錠與兩共若干兩數爲長錠數爲濶得錠與兩共六十得三千四百五十六一百四十四三千六百長三十六步】各
　　若夫積與較求濶者其長之積多於濶若非加法以帶除其長當於實積内抽減其長之積故其法有二其一以較為縱方併縱入方謂之帶縱開平方其一以較為減積以方乗減謂之減積開平方
　　積與較求長者其濶之積少於長若非益積以補濶則當損其法之長也求法有二其一以較為負縱乗上商以添積謂之負縱益積開平方其一以較為減縱而以負縱減方法謂之帶減縱開平方
　　積與和求濶者以和為縱方一為負隅和併一長一濶積得一長而少一濶故用一為負隅或益負隅於積或減負隅於縱皆可以求其濶也其益隅於積者乗負隅為方法又乗方法以益積是為帶縱益隅開平方其減隅於縱者乗負隅以減縱命餘縱以除實是為帶縱負隅減縱開平方
　　積與和求長者原積有長濶相乗而無長自乗宜損濶以益長故以和為縱方而置一算為負隅稍贏其商以減其縱用減餘者以除積而積常不足則翻以積減縱而餘為負積或再商命隅以減縱而縱反不足亦翻以縱減商而餘積縱三者俱負乃以負縱約餘負積商命負隅開之是為帶縱負隅減縱翻法開平方
　　右縱方六術所以通平方之變而翻法一術又所以通縱方之窮也此外有積與二濶較及長濶較求濶者則有所謂帶縱減積開平方有以大小二方和積求徑者則有所謂減積帶縱負隅併縱開平方有以方圓二徑虚設相同及積求其實徑者則有所謂隅算開平方至於匿其積實而虚張長濶和較之數互求長濶者則又有所謂帶縱隅益積開平方帶縱負隅減縱開平方減積帶縱隅益積開平方帶縱負隅減縱益實開平方帶縱廉開平方帶縱廉負隅開平方帶縱方廉開平方帶縱廉負隅乗縱減實開平方皆以帶縱諸法錯綜為用以御開方諸積之變神明變化存乎當機初不可一途而取今每則畧著數例以便初學
　　帶縱開平方法【積較求濶】
　　有勾股積若干平方開之第云勾不及股若干用加法帶除其股積餘為開方名帶縱開平方法列實點定開位亦列所不及為縱數于下以首位隨首點下須于縱上空一横行以容商除初商若干紀格右亦以商數併縱數列首點下【有小數者照常退位排之】次第呼乗以除實數但所商數須與帶縱相照若縱數多則減商數就之不盡之數再倍作廉法然倍方不倍縱亦併入帶縱商之假如有直田積八百六十四步濶不及長一十二步求濶幾步列實定位以帶縱【二一】隨首位列之初商二紀格
　　右亦列首點下以併帶縱【一】共三乃
　　變壹貳註三　相呼二三除六　三
　　上捌變二二二除四　貳上陸變二
　　完首段餘實二百二十四步次倍二
　　作四為廉法挨退位下亦列帶縱以
　　廉四併縱一其下列五次商四紀格
　　右亦註末位點下為隅法以併隅二下註六乃相呼除先呼五四除二十進抺二又呼四六二十四恰盡得
　　濶二十四步
　　比類給銀八百六十四兩只云所得銀之兩比得分人數多一十二兩求總是幾人每人各得銀幾兩銀多為長人少為濶得銀兩數二十四人數三十六
　　假如二十三萬○四百為實帶縱七百二十初商可用四數因有帶縱七乃減商作二紀格右亦紀首點下為
　　隅以併帶縱七共九乃變二七作
　　九是為【二九】與右二疉呼除之　二
　　九一十八　九上叄變五進削貳
　　本位下削九　次以右二乗二除
　　四用借法　二上○變六　進位
　　五變四本位下削二次倍二作四
　　為廉法列次點之進位○下另列
　　帶縱數于廉下以待商除次商四
　　紀格右亦註次點四下為隅法而以帶縱及廉法併入除之四七併一十一廉下變一　進位亦加一　四二併得六隅下變六乃以右四呼首一　　一四除四　一上削四又以右四呼次一　一四除四　一上六變二又以右四乗次六四六二十四　六上除肆　進位除二恰盡因尚餘一點于右加一○
　　右平方二百四十帶縱共九百六十
　　若實數首位寡而帶縱數多不能併累開方者雖點段在首位亦退一位列商及列帶縱而減一商
　　假如列實一萬六千一百卄八帶縱七十二點段該將
　　左首位商起因帶縱是七即減
　　一商置次點下　初商九紀格
　　右亦註次點之下併帶縱七共
　　一十六乃改七九作六進位置
　　一為方法與商九相呼　一九
　　除九　一上陸變七進抹一
　　六九五十四　六上壹變七進位七變一　二九一十八　二上貳變四進位七變五次倍九得一十八為廉法叧退一位置帶縱再商六紀右亦註末點下為隅法而併廉法帶縱呼除如前得濶九十六帶縱七十二共長一百六十八
　　其實首數多帶縱數少可以開除者仍照所點段位開起
　　假如列實三萬八千四百帶縱二百首位三自為一段初商一紀右亦紀一于首位下併帶縱二得三乃以貳變三與右一相呼一三如三徑除叄次倍一作二為廉法以註初商之次位以併帶縱得四註縱下如前再商二以紀右亦以註第二點下俱與右二相呼先呼二四如八徑除捌又呼二二如四徑除肆外尚剰一點該于格右加○
　　右開方一百二十縱三百二十
　　若點段開位少而帶縱之位反多【如開位三點只該百而帶縱乃至千之類】以初商置首點下而以帶縱大數進位列之必首段係二位者方有此例
　　假如列實一十九萬八千帶縱一千五百三十只點作三段其開數止有三位初商只是百數而所帶乃踰至千此其併縱亦須以百隨百以千進一位　初商一紀右亦註首點之下併帶縱五得六另改註其下先以右一與縱一呼之一一除壹次以右一呼併六　一六如
　　六六上玖變三　次以右一呼縱
　　三三上捌變五完首段　乃倍初
　　商之一作二為廉法註初商之次
　　其帶縱亦于次位列之【列五百于廉下二五
　　併得七另註七于下一千進位】再商二紀右亦註
　　次點下以併三得五另註五乃以
　　遞呼　先呼一二如二　一上三
　　變一　再呼二七一十四　七上
　　五變一　進除一　又呼二五得一十恰盡外尚餘一點右加○
　　右開方一百二十縱一千六百五十
　　帶縱併商數有共一十者進位照式呼除【第一圖亦有此】假如列實七萬二千帶縱四百八十點在首位初商一紀右亦註點下併縱四得五註于下以呼一五除五四上㭍變二　再呼一八除八　八上貳變四進位二變一乃倍初商之一作二為廉法註次位其
　　下另列帶縱以二併四得六註于
　　下次商二紀右亦註次點之下以
　　相呼除　二六除一十二　六上
　　四變二進削一商二併縱八得一
　　十進位註一本位註○以相呼除
　　一二除二恰盡外餘一點加○于
　　右
　　右開方一百二十縱六百
　　若實數縱數商除數俱多雜糅易淆者務須先將帶併之數逐一歸併停當各註其本位之下乃以呼除大抵只據最下一字為準則不淆亂
　　假如列實一十六萬六千四百六十四帶縱一千○八十八先點定該開三位訖其帶縱低二行列之以便填商置初商于第二位點下以帶縱之千進一位列之【初商是百故帶縱之千進位與前法同】初商一併入為一千一百八十八以初商一紀右相呼首位呼一一如一以削壹　次
　　位呼一一如一　一上陸變五
　　三位呼一八如八　八上陸
　　變八　進位五變四　四位呼
　　一八如八　八上肆變六進位
　　八變七畢一段【以上甚簡】倍初商之
　　一作二為廉法註次位下另列
　　帶縱數【併得一千二百八十八】次商三紀
　　右亦註次點下併入以商【三】併
　　縱【八】得一十一註一于八下又註一于進位廉二之下以商縱【一】併廉【二】得三另註三于廉【二】之下併畢其併註數多認定最下字為主以與右相呼首位呼一三如三一上四變一次位呼三三如九三上七變八進削一第三位呼一三如三　一上六變三第四位呼三八二十四　八上陸變二進位三變一畢二段以上除過一十五萬八千三百四十餘實八千一百二十四未盡又倍前商之一三作二六為廉法空末位之點以待隅
　　法而以六註【二】下【右第二位】以二註
　　【一】下【右第三位】另列
　　帶縱數以相併
　　乃以廉六併縱
　　八共一十四系
　　四于八下一進
　　位又以一併廉
　　二共得三系于其下乃商六紀右亦註末位下又以併縱八共一十四註四于末位下一進位四下改作五併訖以最下字與右相呼一六除六　一上八變二　三六一十八　三上一變三進除二　五六三十進除三四六二十四除恰盡
　　右開方一百三十六縱一千二百二十四
　　減積開平方法【積較求濶】
　　勾股積若干勾不及股亦有減積法減積者於實内減股之積以就其方也列實定位另列不足數為減積以商乗減積以所乗出之數列原積下對減視餘實若干以所商依法除之有未盡者倍方為廉約得再商别置為隅亦乗減積以減餘實乃倂廉隅除之
　　假如直田八百六十四步濶不及長一十二步求濶幾何列實點位如前另列不及一十二為減積以初商乗之初商可用三因有乗數故約用二紀右亦註首位下以乗減積得二十四隨位列之相對減原積二上捌變
　　六　四上陸變二餘實六百二
　　十四乃以方法呼除　二二除
　　四二上六變二餘實二百二十
　　四次倍二作四為廉法註退位
　　再商得四紀右亦紀末位為隅
　　法以乗減積得四十八亦相對
　　減餘實四上二變八進位二變
　　一　八上肆變六進位八變七乃以方廉呼除　四四除十六　四上七變一進削一又以方隅呼除四四除一十六恰盡得濶二十四步
　　假如直積一千七百五十濶不及長一十五問濶幾何列實定位叧列不及為減積初商三紀右亦註首點之
　　下為方法以乗減積得【五四】隨方
　　法之位列之以減原積四上㭍
　　變三　五上伍變○　乃以方
　　法除之　三三除九　四上三
　　變四進削壹餘實四百次倍三
　　作六為廉法註退位再商五紀
　　右亦註末位為隅法以乗減積
　　得七十五對註以減餘實五上
　　○變五　七上○變二　進位四變三尚餘三百二十五皆與次商相呼五六進除三　五五二十五恰盡得廣三十五
　　假如直積一十六萬七千四十濶不及長一百三十二求濶幾何列實定位另置不及為減積初商三紀格右亦註首點下以乗減積得三百九十六隨首點列位對減　六上○變四因有借故進位仍七　三上陸變二餘實一十二萬七千四百四十乃以方法開之三三除九　三上二變三進削壹餘實三七四四○次倍三作六為廉法註退位商實得四紀右亦註次段點下為隅法亦乗減積得五
　　百二十八退前積一位
　　列之對減八上肆變六
　　二上四變一五上七
　　變二仍餘三二一六却
　　以廉隅呼除四六二十
　　四六上二變八進削三
　　四四一十六　四上
　　一變五進位八變六尚
　　餘六五六○乃倍三四
　　作六八為廉法挨尾點
　　一位列之再商得八紀
　　右亦註尾下為隅法又
　　乗減積得一千五十六
　　挨尾位列之對減六上
　　○變四　五上六變○
　　一上六變五仍餘五
　　五○四乃以廉隅呼除
　　六八四十八　六上五
　　變七進削五　八八六
　　十四　八上○變六進
　　削七又八八六十四恰盡得濶三百四十八
　　負縱益積開平方法【積較求長】
　　有勾股積若干勾不及股為較以積及較求股而勾少於股則益積以補勾名負縱益積開平方列實定位另置所不及數為負縱以商乗負縱虚增其積而後以方法開除不盡者倍方為廉又以再商乗負縱増積而另置一算為負隅以再商乗負隅為隅法置於廉次以商呼廉隅除盡
　　假如直積八百六十四濶不及長一十二求長幾何列實定位叧列不及十二為負縱而初商則約所増負縱之乗命之如首位捌開法宜用二因有負縱之乗乃商三紀右亦註首位下為方法而以乗負縱得三十六註三於首位註六於次位以併原積六上陸變二　三上捌變二　進位置一益積得數一千二百二十四乃以
　　方法呼除三三除九　三上二變
　　三餘積三二四又倍三作六為廉
　　法另商六紀右以乗負縱得七十
　　二退位列之添積二上肆變六
　　七上二變九共積三九六而另置
　　一算為負隅以次商【六】乗之仍得
　　六為隅法乃併廉隅呼除六六三
　　十六　六上九變三進削三又呼六六三十六恰盡得長三十六






　　假如直積二十三萬四百長濶較七百二十求長幾何列實亦列較為負縱初商九紀右亦註首點下為方法以乗負縱得六四八以益積　八上○變八　四上叄變七六上貳變八共八七八肆○○以方法除之九九八十一九上七變六進削八餘實六八肆○○乃倍九作【八一】為
　　廉法註八於次隅之進位又
　　註一於進位次商六亦乗負
　　縱得四三二以益餘積二上
　　肆變六　三上八變一　四
　　上六變一　進位置一共得
　　一一一六○○又以次商六
　　乗負隅一仍得六註本段點
　　下為隅法乃以廉隅呼除
　　一六除六　一上一變五進
　　削一　六八四十八　八上
　　一變三進削五　六六三十六恰盡得長九百六十帶減縱開平方【積較求長】
　　凡以較及積求股者股長於勾亦有損股之長以就其方者名減縱開平方列實定位列較為減縱以減初商而以所減之餘即乗初商以開之其次商又即以初商併入為廉法而商之置隅如常
　　假如直積八百六十四濶不及長一十二求長若干列實叧置不及一十二為負縱初商三十【因有二點故知三十】置右另以負縱減之餘一十八挨註首位點下為方法以呼所商三八二十四　八上陸變二　進位捌變六　一三除三
　　一上六變三　餘積三百二十肆乃
　　于右三加○以併方法一十八共四十八為廉法註退位再商六紀右亦註隅而併入廉法共五十四而六八併改四
　　進位四改五以呼次商五六三十
　　五上進位削三　四六二十四恰盡得
　　長三十六　其次商若不以隅相併亦同前法
　　六　　　次商六併前【八一】為四十八退位註之以
　　呼四六二十四　四上二變八　進位
　　削三　六八四十八　八上肆變六
　　進位八變三　又置隅法於尾位六六
　　三十六恰盡
　　只就本段積
　　比類以金換絹八百六十四匹
　　不知金一兩換絹幾匹但云原
　　金總兩多於絹數十二今求原
　　金幾何如長絹匹如濶得金三
　　十六兩其所換匹數即直積也
　　假如直積三千四百五十六濶不及長二十四求長幾何列實定位另置較二十四為負縱初商七十【因有二點故知七十】紀右以負縱減之餘四十六挨註首位為方法【四多于三照例退位】與商相呼　四七二十八　四上肆變六進削叄　六七四
　　十二　六上伍變三進位六變二　餘
　　實二百三十陸乃於右七加○以併四
　　十六共一百一十六為廉法列於下續
　　商得二改右○為二亦註尾位為隅法
　　併入廉法呼除一二為二　一上削二
　　又一二為二　一上三變一　二八
　　一十六恰盡得長七十二
　　又有兩方共積若干第云以小方之一面乗大方之一面共若干問大小方面各幾何者倍乗積以減共積以所餘積為實開方得較再置二方乗數為實以較為減縱開平方除之得大方面以較減之得小方面
　　假如大小方田二段共積六千五百二十九步以小方大方各一邊相乗得三千一百二十步求大小方面幾何者倍二方乗積【得六千二百四十步】以減共積餘二百八十九為實以開平方法除之得較一十七步再置二方乗數三千一百二十步為實以較為負縱初商六十紀右以負縱減之餘四十三註下為方法以呼所商四六二十四　四上壹變七進削叄三六一十八　三上貳變四
　　進位七變五餘實五百四十乃於
　　六右加○以併方法共得一百零
　　三為廉法列下續商五紀右亦註
　　尾位為隅法併入廉法共一百零
　　八以相呼　一五除五五八四十
　　恰盡得大方面六十五步以較一
　　十七減之得小方面四十八步
　　帶縱益隅開平方法【積和求濶】
　　凡積和求濶者用其和為帶縱則已兼長濶而積有長無濶故虚置一積為負隅而以負隅益積即以帶縱開之得濶數名帶縱益隅開平方列實定位另置帶縱數以初商紀右用自乗以益原積是為負隅而以所商呼縱方除之不盡者倍商為廉註退位又再商紀右亦註廉次為隅法廉隅併數以乗所商益積乃用商呼縱方若不盡須再商者則以後廉併前廉餘如前法除盡得濶數
　　假如直積八百六十四長濶和六十求濶幾何置積為實
　　以和為帶縱初商二紀右亦註首
　　位下自乗得四以益積共一千二
　　百六十四乃以初商乗帶縱二六
　　一十二　二上削二進削一餘實
　　六十四倍方為廉得四註次位次
　　商四紀右亦註尾位為隅法以乗
　　廉法得一十六併入餘實四上陸
　　變二進加二亦以乗隅法尾位肆
　　變○進位二變四共二百四十而
　　以次商呼帶縱恰盡得濶二十四
　　二積共一千
　　四百四十步
　　以帶縱六十
　　除之得濶二
　　十四步
　　假如直積二萬一千六百四十八長濶和二百九十六求濶幾何列實定位置和為帶縱初商一列右為方法亦註首位下自乗仍得一以益積首位貳變三乃以方法與帶縱相呼除實首位三變一　次位壹變二進削一退位陸變○餘實二千○四十八倍方為廉得二註退位次商三紀右為方法亦註廉次為隅法共【三二】以乗方法得六十九益入本段餘積三上○變九　二上二變八共得八九四八乃以方法呼帶縱除之二三除六
　　二上八變二　三
　　九二十七　三上九
　　變二進削二　三六
　　一十八退位四變六
　　進削二餘實六十八
　　又倍方法之三為六
　　作廉法註退位倂入
　　前廉【二】共二百六十【所以倂入前廉者盖一方外必具兩廉故】為方法再商二紀右亦註尾位為隅法併入方法共　以乗所商【二】得五百二十四以併餘積尾位八變二進位六變九進位加五乃以所商【二】與帶縱呼除恰盡得濶一百三十二歩
　　假如直積三千四百五十六步長濶和一百二十步求濶幾何列實以和為帶縱初商四紀右為方法亦註首點下自乗得一十六益積四上肆變○進位叄變五乃以方法呼帶縱一四除四首位五變一二四除八退位
　　○變二進削一尚剰二百五
　　十六次倍方四得八為廉註
　　次位續商得八為方法紀右
　　亦註尾位為隅併入廉法得
　　【八八】而與方法【八】相乗共七百
　　四以益餘實尾位陸變○進位伍變六　進位二變九乃以所商【八】呼帶縱恰盡得濶四十八步
　　帶縱負隅減縱開平方【積和求濶】
　　積濶求和若難以益隅開之者即用減隅法而減負隅於縱名帶縱負隅減縱開平方列實定位列和為帶縱置一為負隅初商紀右乗負隅以減帶縱列減餘於實下而乗所商以開之不盡者倍方為廉以廉減縱次再商紀右亦減餘縱而以其減餘乗商除盡得濶數假如直積八百六十四長濶和六十求濶列實定位另列和為縱方初商二紀右亦紀首點下以乗負隅一仍得二為方法以減縱數陸剰四隨首位註之以呼初商
　　二四為八二上削捌餘實二十四倍
　　方法之二作四為廉法註初商之次
　　位亦乗負隅得四以減縱剰二十註
　　退位次商四紀右亦註末位為隅以
　　減餘縱之二十餘一十六附註乃與
　　右四相呼先呼一四除四　一上陸變二再呼四六二十四恰盡得濶二十四亦有初商除實訖即以初商再減剰縱以所餘為縱方而即以再商再減為下法者【前法倍初商為廉以減原縱此即以初商減剰縱不立廉數然已將原縱再減以應兩廉之數與倍商同】

　　初商除實八百訖即將初商之二十
　　再減餘縱【四十】剰二十退位列之
　　次商四以減餘縱【二十】尚剰一十六呼
　　除如前
　　右得廣二十四以除實積得縱三十
　　六若欲還原以廣縱相乗
　　長濶和變作通
　　長六十
　　濶二十四共負
　　四百八十
　　假如列實三萬三千六百長濶和四百列實亦列和
　　為減縱初商一乗負隅仍得一以減
　　縱【四】餘三百隨首位列註以呼所商
　　一三除叄訖　次倍初商一作二為
　　廉法以減縱四仍餘二註退位再商
　　二亦以減縱變二○為一八而以次
　　商呼之　一二除二一上叄變一
　　又呼二八一十六恰盡　格右加○
　　以結末位得濶一百二十
　　右法同前但減縱有借法進位故録
　　為式
　　假如列實六萬九千三百六十長濶和七百八十二列
　　如前初商一以乗負隅仍得一減縱
　　【七】餘六相呼　一六除陸　一八除
　　八玖變一　一二除二叄變一訖
　　次倍一作二為廉法以減縱仍剰五
　　附列而縱數多于原數無可商除則
　　紀○于右併初次商得一十另倍一
　　十作二十為廉法挨註退位以二減
　　縱七是為　挨尾段列之續商二以相呼　二五除一十　進削一　二八一十六除盡得濶一百二【初商除訖即以先減縱數亦然】
　　假如列實九萬六千長濶和六百四十
　　初商二以乗負隅一仍得二紀右亦
　　註首位以減六　餘四以相呼　二
　　四除八　四上玖變一又呼二四除
　　八　四上陸變八　進削一訖
　　乃倍二作四為廉法以減縱六剰二
　　亦隨退位註之　次商四紀右亦註
　　退位為隅以減縱【只剰二】乃以四變○
　　以商相呼　二四除八恰盡　因有
　　餘位　右加○得濶二百四十
　　右法已見因縱有重位故録備例
　　若以積與虚長濶共若干而欲求其濶者及欲求其長者皆以共若干為帶縱方而求濶則以濶為負隅以長乗積為實求長則以長為負隅以濶乗積為實列例如左
　　假如直積八百六十四步三長五濶共二百二十八步求濶幾何以三乗積步得二千五百九十二為實【三長原有
　　三積故以三乗】五為負隅【已用三長尚少五濶故用為負隅暗
　　添五段濶方之積】以共步為帶縱列實定位
　　初商二紀右以乗負隅【五】得【○一】以一
　　減縱首　貳變一　餘縱一百二十
　　八挨註首位與商相呼一二除二二
　　二除四退位伍變一　二八一十六退位玖變三進削一餘實三十二再以所商【二】乗負隅得【○一】以【一】減餘縱剰二十八【即前倍方為廉之法】續商【四】以乗負隅得【○二】再減餘縱二十剰八以呼所商四八三十二恰盡得濶二十四步




　　假如直積八百六十四步三長五濶共二百二十八步求
　　長幾何以五乗積步得四千三百二
　　十為實【五濶原有五積故五乗之】以三為負隅【於原
　　縱減去二長故】以共步為帶縱初商三以乗
　　負隅三得九減縱註其退位九上貳
　　變三　進位貳變一餘縱一三八挨
　　註首位以呼初商一三除三　一上
　　肆變一　三三除九退位叄變四
　　進削一　三八二十四　八上貳變八　進位四變一餘積一百八十復以初商三乗負隅【三】得九以減縱九上三變四進削一剰四十八次商六又乗負隅【三】得十八亦以減縱剰三十與商相呼恰盡得長三十六步
　　又有以積與虚長濶和較共若干求濶者及求長者約和得長濶幾何併濶與較得長幾何而視其所求為長為濶如前法以别實積及負隅而皆以共數為帶縱
　　假如直積八百六十四步一長二濶三和四較共三百一
　　十二步求濶幾何約三和自具三
　　長三濶以併一長二濶共四長五
　　濶又以四較益濶為四長共得八
　　長而餘一濶應八乗積步得數六
　　千九百一十二為實以餘一為負
　　隅以共步為帶縱初商二以乗負
　　隅【一】仍得二【因點為二段此為二十】以置縱
　　次位減之二上壹變九　進位叄
　　變二餘縱二百九十二列原積之下以呼所商二二除四二上陸變二　二九一十八次位玖變一　進位二變
　　一　二二除四　二上壹變七　進位一變○　餘實一○七貳復以初商二又乗負隅以減縱二上九變七　剰縱二七貳續商四又乗隅減縱四上貳變八　進位七變六是為二六八以乗所商【四】除盡得濶二十四步又有以虚長虚濶約其子母共若干與積若干求長濶若干者法以長母乗濶子為濶率以濶母乗長子為長率又兩母相乗以乗共數為帶縱而約帶縱為幾長幾濶以一乗原積為實以一為負隅如前法為減縱開平方除之
　　假如直積二千三百五十二步只云長取八之五濶取三之二併得六十三步求濶者兩母【三八】互乗得二十四以乗相併【六十三】共一千五百一十二為帶縱而以長母【八】乗濶子【二】得一十六為濶率以濶母【三】乗長子【五】得一十五為長率則知此帶縱數内具有長十五濶十六也以長十五乗直積得三萬五千二百八十為實以濶一十六為負隅初商四紀右【有二點即作四十】以乗負隅得六百四十以減縱四上壹變七六上伍變八　進削壹　餘縱八百七十二以註實下與商呼除四八三十二　八上伍變三進
　　削三四七二十八七上貳變四
　　進削三二四除八　尾位變○
　　餘實四百再以初商所乗隅算
　　【六百四十】減餘縱四上七變三　六
　　上八變二餘縱二百三十二續
　　商二紀右以乗負隅得三十二
　　亦以減縱尾位除貳進位三變
　　○剰縱二百與續商二相呼恰
　　盡得濶四十二以除直積得長
　　五十六
　　帶縱負隅減縱翻法開平方法【積和求長】
　　凡積與勾股和求股者原積但有長乗濶數而負長自乗之數法須損濶益長求之先立一為負隅以和為縱方而以負隅減縱方初商令稍浮常法以乗負隅減縱次呼餘縱開積而原積不及翻以原積減商除之積而以餘負積為實復以初商乗隅以減餘縱如餘縱不及即以餘縱翻減以為負縱而隅積縱三者俱負乃以負縱約餘負積以得次商命負隅以除負積為帶縱負隅減縱翻法開平方
　　假如直積八百六十四長濶和六十求長幾何列實以和為縱方一為負隅初商三【有二段即係三十正得長濶之平損濶益長】紀右以乗負隅【一】仍得三以減縱剰三十與商相呼三三得九【即九百】而原積不及乃翻列九百於原積之上而以原積減之尾位○變六進位○變三　首位削九得餘負積三十六為實再以初商【三】命負隅【一】以減餘縱【三十】減盡乃約餘實得次商六紀右以乗負隅【一】仍得六註尾位呼除負實六六三十六恰盡得長三十六





　　假如直積三千四百五十六長濶和一百二十求長幾何列實定位列和為縱方立一為負隅初商七【有二段即七十】乗負隅【一】仍得七紀右以減縱方餘縱【五即五十】以呼初商合除三千五百而原積不足乃翻以原積除之列三五於原積之上反以原積除之尾位○變四進位○變四　進位削五又進位削三　剰負積四十四為實仍以初商七十乗負隅減餘縱【五十】而餘縱不足乃以餘縱【五十】反減初商【七十】餘二十為廉法挨註次位而縱又為負次商二紀右亦註二
　　於尾位為隅法共二十二皆與所商之二呼除恰盡得長七十二
　　亦有虚立長濶和較求長者假如直積八百六十四步一長二濶三和四較共三百一十二步求長若干依前法演
　　得八長一濶以一濶為實
　　八長為負隅共步為縱方
　　列實初商三紀右【即三十】以
　　乗隅【八】得二百四十以減
　　縱一變七進削三餘縱七
　　十二以呼所商【三】除積合除二千一百六十而積反不足乃翻以積除之列二一六○於上　肆上○變六　進位六變九　進位一變二　進位二變一　尚餘負積一二
　　九六復以初商【三】乗負隅
　　【八】合減縱二百四十而餘
　　縱【七十二】不足翻以餘縱減
　　之剰負縱一百六十八是
　　餘縱積算俱負
　　次約負積商六紀右以乗負隅八又併負縱共二百一十六挨註尾位以呼所商二六一十二　二上削二進削一　一六除六　一上九變三　六六三十六恰盡得長三十六
　　假如直積三千四百五十六步一長二濶三和四較共六百二十四步求長幾何仍前八長一濶以一為實八為負隅共步為縱方初商七紀右以乗負隅【八】得五百六十以減縱方剰六十四註首位合除四千四百八○
　　列原積上以視原積不
　　足翻以原積減之尾位
　　○變四　四上八變二
　　六上四變○　進位
　　四變一　餘負一千二
　　十四為實再以初商【七十】乗負隅【八】得五百六十者減餘縱而縱又不足則翻以縱減之餘縱四百九十六而隅法縱法積法俱負續商二紀右以乗隅【八】得一十六併入負縱共五百一十二挨尾註之與所商二相呼恰盡得長七十二步





　　同文算指通編卷七
　　欽定四庫全書
　　同文算指通編卷八
　　明　李之藻　撰
　　帶縱諸變開平方第十五
　　開方帶縱其變無窮更繹其要有十一種餘可神而明之若積與二濶較及長濶較求濶用帶縱減積開平方假如三廣田積二千四百六十五步第云中廣不及南廣八步亦不及北廣三十六步又不及正長六十七步
　　問廣併長各幾何列積為實
　　併不及二廣【共四十四】以四而一
　　得一十一為縱方以不及正
　　長【六十七】為減積初商一紀右
　　【即一十】以併帶縱共二十一列
　　註首點下為方法以乗減積得一千四百七先以減積所乗呼商一七除七尾位伍變八　進位陸變五　一四除四　進位肆變○一一除一首位貳變一　次以
　　所註方法呼商一二除二
　　二上○變八進削一　一
　　一除一　一上五變四餘
　　實八四八乃倍方一作二
　　為廉法【即二十】併減積【六十七】
　　又併帶縱【一十一】共九十八為方法註退位續商八紀右以併方法得一百六呼除一八除八　一上削八　六八四十八恰盡得中廣一十八步各加不及得南廣二十六步北廣五十四步正長八十五步
　　右凡梯田斜田箕田杖鼓田四不等田以積求長廣者俱以此法求之
　　凡大小二方和積求徑者用減積帶縱負隅併縱開平方
　　假如大小方田二段共積七千五百九十二步大方面較小方面多二十八步求大小方面各幾何用較自乗【得七百八十四】以減積餘六千八百零八為實倍較【二十八】得五
　　十六為帶縱叧置二為負隅初
　　商四【即四十】乗負隅【二】得八十併
　　縱方共一百三十六為方法註
　　積下以呼所商一四除四　一
　　上陸變二　三四一十二　三
　　上捌變六進位二變一　四六二十四　六上○變六進位六變三餘實一三六八次倍商得八併初方【一百三十六】共二百一十六為廉法註退位續商六紀右亦乗負隅得一十二為隅法併入廉法共二百二十八與次商呼除盡得小方面四十六步加較得大方面七十四步又假如大小方田三段共積四千七百八十八步大方面多中方面十八步中方面多小方面十二步求各方面幾何以大方面較小面數【三十】自乗得【九百】以中方面較小面數【十二】自乗得【一百四十四】相併共一千四十四以減共積餘三千七百四十四為實併二較倍之得八十四為縱方以三為負隅初商二紀右【即二十】以乗負隅【三】得六
　　十併縱方共一百四十四為
　　方法列首位以呼所商二四
　　除八　四上肆變六　二四
　　除八　四上㭍變八進位叄
　　變二　一二除二　一上削
　　二餘實八百六十四倍方法【六十】作一百二十為廉法以併縱方【八四】得二百四註退位為方法次商四紀右以乗負隅【三】得一十二為隅法併方法共二百一十六與次商呼除二四除八　二上削八　一四除四　一上六變二　四六二十四恰盡得小方面二十四步以較加之得中方面三十六步大方面五十四步
　　凡方田圓田徑相似以其共積求相似之徑幾何者用隅算開平方凡圓者之四可當方者之三併方圓之率為七用七為隅算用四乗原積開方
　　假如方圓田共積二千二百六十八步只云方面圓徑相等求方面圓徑者四乗原積得九千七十二步為實叧列七為隅算初商三紀右【即三十】乗隅【七】共二百一十為方法與商相呼二三除六　二上玖變三一三除三一上○變七進位三變二餘實二七七二乃倍三十作
　　六十為廉法註退位次商六以乗
　　隅【七】得四十二為隅法又以乗廉
　　六十得三百六十併共四百○二
　　仍併入廉法共四六二與商相呼
　　恰盡得方面圓徑俱三十六步
　　又法四乗原積得九千○七十二步併方四圜三得七為法除之得一千二百九十六為實乃以開平方法求得方面圜徑三十六步更簡易
　　凡匿其原積只云一長二濶三和四較更以長乗之共數若干其長濶之較若干以求其長幾何者用益積以補濶則有帶縱隅益積開平方
　　假如田不知積但以長乗一長二濶三和四較共得四萬四千九百二十八步其長濶之較二十四步求長者列實叧置較為益縱約三和得三長三濶併一長二濶得四長五濶又併四較入濶為長得八長一濶共九段
　　以九為隅算初商
　　七十乗隅算【九】得
　　六百三十為隅法
　　又以初商【七】乗益
　　縱【二十四】得一千六
　　百八十註原積之
　　下以益原積　八上貳變○進加一六上玖併一變六進加一　一上肆併一變六共四萬六千六百○八却以隅法【六百三十】註退位與商相呼六七四十二六上六變四進削四　三七二十一　三上六變五進位四變二餘實二五○八乃倍隅法【六百三十】得一千二百六十為方法註退位以商餘實得二紀右又乗隅算【九】得一十八為隅法另以所商二乗益縱【二十四】得四十八併入餘實八上八變六　四上○變五共得二五五六却以方
　　隅二法併共一千二百七十八皆與所商【二】呼除恰盡得長七十二步
　　又同前田不知實用長數乗一長二濶三和四較共若干及其較若干以求長者或損長以就之用帶縱負隅減縱開平方
　　假如一長二濶三和四較以長乗之得四萬七千二百一十二其較二十八步而不知其積求其長列長乗之積為實較為縱方仍前法推得【九】為負隅初商七十紀
　　右乗負隅得六百三十為
　　方法内減縱法【二十八】剰六
　　百二退位註實下以呼所
　　商六七四十二六上㭍變
　　五進削肆　二七一十四
　　二上壹變七進位貳變
　　○餘實五○七二次倍方法得【一千二百六十】内減縱法【二十八】得一千二百三十二為廉法列餘實之下約實續商得四紀右乗負隅得三十六為隅法併廉法共一二六八改註尾位與續商相呼恰盡得長七十四步
　　又有同前不知積知較而以濶乗其一長二濶三和四較得若干求長者用減積帶縱隅益積開平方
　　假如設為一長二濶三和四較以濶數乗之得二萬九千九百五十二其較二十四問長幾何置較自乗【五百七十六】以減原積餘二萬九千三百七十六為實【以較自乗減其原積故曰減積】較為益縱六為隅算初商七十紀右乗隅【六】得四
　　百二十為隅法註實下
　　又以商【七十】乗益縱【二十四】得一千六百八十以益
　　原積尾次七變五進位
　　叄變○　又進玖變一
　　又進貳變三得三一
　　○五六乃以隅法乗商呼之四七二十八　四上一變三進削三　二七一十四　二上○變六　進位三變一餘實一六五六乃倍隅法得八百四十為廉法續商【二】以乗隅【六】得一十二為隅法另以所商【二】乗益縱得四十八以益餘實尾位陸變四進位五變○進位六變七共一千七百四却以方隅二法共八百五十二註尾位以呼續商恰盡得長七十二步
　　亦有匿積只以濶乗一長二濶三和四較共若干及較若干求長而用帶縱負隅減縱益實開平方者
　　假如田不知積一長二濶三和四較以濶乗得二萬九千三百四十八步濶不及長二十八步者列實亦列較為縱方九為負隅【共得九長】初商七紀右【即七十】以乗負隅得
　　六百三十為方法
　　内減縱方【二八】得六
　　百二註實下又以
　　乗縱方得一萬六
　　千八百五十六以
　　益實六上捌變四
　　五上肆變○　八上叄變二　六上玖變六　一上
　　貳變四乃以所商【七】呼除所註之下法【六百二】二上○變六進位二變○　六上六變四進削四餘實四○六四次倍方法【一千二百六十】減縱方得一千二百三十二為廉法次商四紀右以乗負隅【九】得三十六為隅法以乗縱方得一千零八為益實併入餘積八上四變二進位六變七　一上四變五以廉【一千二百三十二】隅【三十六】相併【一千二百六十八】呼商恰盡得長七十四步
　　右法以濶求長積欠一較故乗較為益實以補其缺
　　亦有同前不知積而以濶乗長濶和較共數及較求濶者用帶縱廉開平方
　　假如直田不云積步只云一長二濶三和四較以濶乗得二萬九千九百五十二步濶不及長二十四步求濶者置乗積為實減較之半【一十二】為縱廉而以初商乗之初商四【即四十】紀右為方法以乗縱廉得四十八即與商相併共五十二註實下照式退位以呼初商【四】五四二
　　十進削貳　二四除八　二上玖變
　　一餘實九一五二次倍所乗縱廉得
　　【九十六】及方法【八】共一百四進位得一
　　千四十為方法再置縱方一十二為
　　廉以相併共一千五十二商實得八
　　紀右亦註尾位為隅以乗縱方得九
　　十六併方廉隅共一千一百四十四註實下以呼次商恰盡得濶四十八步
　　又有同前匿積和較又以濶乗長濶和較共數求濶用帶縱廉負隅開平方者
　　假如田不知積只云一長二濶三和四較以濶乗之共二萬九千三百四十八其較二十八以求濶者置濶乗數為實推得共八較九濶用九為負隅以較八乗得二百二十四為縱廉以初商乗負隅為方法初商四【即四十】紀右乗隅得三百六十併縱廉共五百八十四註實下呼商五四除二十進削貳　四八三十二八上叄變一
　　進位玖變六　四四一十
　　六　四上肆變八進位一
　　變九　進位六變五餘積
　　五九八八次倍方法得七
　　百二十為廉法併縱廉九
　　百四十四為實續商六紀
　　右以乗負隅【九】得五十四為隅法併廉法縱廉共九百九十八註實下呼商恰盡得濶四十六步
　　若同前不知積步第置長濶和較以長乗得若干及較求濶用帶縱方廉開平方
　　假如一長二濶三和四較以長乗之得四萬四千九百二十八步較二十四步求其濶若干列實以較為縱方推得八長一濶共九段倍之得一十八為縱廉以乗初商而併計之又兼縱方乃以呼商除之初商四紀右【即四十】為方法乗縱廉【一十八】得七百二十併入方法【四十】共七百六十又併縱方【二十四】共七百八十四以呼商四七二
　　十八　七上肆變六進位
　　肆變一　四八三十二
　　八上玖變七進位六變三
　　四四一十六　四上貳
　　變六進位七變五餘實一
　　三五六八乃倍四得八為
　　方法倍縱廉得一千五百二十併入縱方【二十四】共一千五百四十四為廉法以商餘實得八紀右以乗縱廉【一十八】得一百四十四為隅法乃併方入廉【一千五百四十四】隅【一百四十四】三法共一千六百九十六註實下呼商恰盡得濶四十八步
　　又同前不知積及置長濶和較以長乗得若干及較求濶用帶縱廉負隅乗縱減實開平方者
　　假如一長二濶三和四較長乗得四萬七千二百一十二步濶不及長二十八步求濶幾何列實推得八長用八乗較得二百二十四為縱廉推得九段用九為負隅又以較為減縱方初商四【即四十】紀右以乗負隅得三百六十為方法併入縱廉共五百八十四為下法乗減縱
　　得一萬六千三百五
　　十二為減實註實下
　　變為三○八六○乃
　　以初商四呼下法照
　　常註退位五四得二
　　十進位三變一　四
　　八三十二　八上八變六進位○變七進削一　四四一十六　四上六變○進位六變五餘實七千五百乃倍方法得【七百二十】併縱廉【二百二十四】共九百四十四為廉法約商得六紀右以乗負隅得五十四為隅法即以隅法乗減縱得一千五百一十二以減實餘五九八八以廉隅二法相併得【九百九十八】與次商相乗開之恰盡得濶四十六
　　開立方法第十六
　　凡數自乗平列一面為平方更以原數再乗則四面皆方中積充實為立方矣凡立方點段俱隔二超三而首段尋其原數以自乗再乗如適合見數者即為方法開訖如少于見數則挨身減數尋原而以其再乗所得列首段下除之以為方法【若再乗之數反浮見數即非其原】餘實三倍其方為廉叧置而以方法進一十【如係一則作一十係二則作二十之類】與相乗得數以較餘實約得幾何分之幾何假如已得二之一者即以二為次商亦以乗廉法得數若干以併前所乗數共若干而以次商數總乗之即得三面之廉復以次商數自乗再乗為隅法併入開盡有不盡者以法命之
　　依法分為四段先開首位之捌尋原係二乃以二自乗再乗得八恰盡　抹捌右紀二　次開叄陸伍除點上之伍未用且作【六三】開之乃三倍其二為六另置於方法之上試加一為【一二】以六乗之得一百二十六以除原積叄陸其數反浮乃只作○紀格右為【○二】
　　次求第三位更三倍其【○二】為【○六】置於方法【○二】之上隨意加一位且如只加○為　以與【○六】相乗得一萬二千以視原積叄陸伍肆貳約得三之一乃商三紀格右為　以乗【○六】得一百八十併前【一萬二千】共得一萬二千一百八十又以三乗之
　　得三萬六千五百四十又以三自乗再乗得【二十七】為隅法併入恰盡　凡隅法皆以尾位挨本位所點之下尚餘尾段三箇○再加一○于格右
　　假如列實一千七百二十八
　　首位一自乗再乗只得一以一為方法紀右抹壹次倍一為三作廉法另置乃以方法加○為【○一】以乗廉法三得【○三】約得原積【二十七】内二之一矣乃改○作二為次商紀格右以乗廉法三得六併【○三】共得三十六而以次商之【二】乗之得七十二又以二自乗再乗得八為隅法併入是為七百二十八開盡
　　假如列實三萬二千七百六十八數
　　首位尋原係三以三為方法自乗再乗得【七二】二變五抹叄次倍三作九為廉法加○于方法之右為【○三】以乗九得二百七十以視餘實【五千七百六十】為二之一乃商二紀二于三右以二乗九得一十八併前乗共得二百八十八以二總乗得五百七十六符三廉之數又以二自乗再乗得八為隅法併入盡
　　若次商以方法進位乗廉法而乗得之數適符餘實或於餘實相近不足二之一及三之一以上者只以一為次商之數
　　假如列實九千二百六十一數
　　先開首位玖尋原用二自乗再乗得八即除八于玖而抹玖變一以二為方法紀右次倍二得六為廉法另置次以二為【○二】與相乗得一百二十適近本積只以一為次商數以乗所置六仍得六併前乗共得一百二十六又以一自乗再乗為隅依法併入是為一千二百六十一恰盡
　　廣諸乗方法第十七
　　凡積數若干以平面開之適得自乗之數者為開平方其立方乃開平再乗積也【四面皆方中積滿布】三乗方長立方也【如以二自乗起者得兩立方以三自乗起者得三立方之類但以平面一邊之數為準】四乗方平面立方也【如長立方得兩方數則進作四立方如長立方得三方數則進作九立方又如長立方係九方數則進作八十一立方之類倣此以至無窮俱係平面】五乗方大立方也【如係二自乗起者有四立方則進併十六方為大方如係五自乗起者有二十五立方則進併一百二十五方為大方之類】自此推之六乗方視三乗形七乗方視四乗形八乗方視五乗形餘乗倣此可至無窮舊法繁碎且僅止于五乗此立捷法由平面至諸乗總一機軸先以諸乗原委布為一圖乗母為原乗出之子為開
　　凡開方列位以點分段者
　　平方每二位點作一段再
　　乗方每三位一段三乗方
　　每四位一段倣此推之至
　　九乗方則十位一段矣皆
　　自尾小數起而先以最大
　　數之首段檢上圖以尋其
　　原即以原數開之假如平
　　方開者檢知首段數四十
　　九即知七是原數用七自
　　乗可開若首段數係六十
　　四者即知八是原數用八
　　自乗可開若係六十三者
　　不及六十四尚以七數開
　　之餘積另求再乗三乗以
　　上皆同此法假如再乗首
　　段係二十七檢知其原係
　　三即以三開之若是六十
　　三以下亦以三開又假如
　　七乗方首段係二五六原
　　數是二以二開之若原數
　　是六五六不及三數之六
　　五六一仍以二開之也上
　　圖係乗出之數已得乗出
　　之數開方之時第以此數
　　註首段下以除為開
　　右法已得首位方法餘實倍方為廉平方者一倍再乗方者再倍三乗以上皆以本乗之數倣此倍之别立通率凡平方只一率為【○二】再乗立方有二率為　【○三】三乗方有三率為四十為六百為四千自此以上諸乗倣此漸加而皆如後圖所推乃以方法之數乗之以乗出之數較餘實約得幾何母之幾何而即以其母為廉法





　　此圖以首行所列
　　之二為平方三為
　　立方四為三乗至
　　十七則十六乗方
　　也餘乗倣此首行
　　順列其第二行數
　　悉承首行上格二
　　數積之如【三三】為六
　　【四六】為【○一】之類數窮
　　則挨加一數如第
　　二行第五格為【○一】
　　其第三行第五格
　　亦為【○一】是也


　　右格内數以檢各乗合用通率而各視其乗法多寡於本位疊加虚○凡平方一乗者用一率為二以加○為【○二】以與方法相乗其立方再乗者用兩率為三三而左小數加一○為【○三】右大數加兩○為　而以　乗方法若三乗方者則用三率為四六四于末位之四加一○為【○四】進位之六加二○為　首位之四加三○為四千亦以大數乗方法右圖只具四六兩位而乗法却宜三位則迴用右方之四以足三率若並位之數相重如四乗方之連用【○○一一】者迴轉減其重數竟以首位之五用之末位為五【○○一一】五照前依位增○其數則為五十為一千為一萬為五萬而以五萬乗方法也至六乗方八乗方以上皆然












　　一乗開平方
　　假如列實六百七十六萬五千二百○一以平方開之初商得二為方法以求廉法立【○二】為通率列中位亦列方法于左位以相乗得【○四】以較餘實【七二】約得六之一乃立六為廉法列于右位以自乗得【六三】為隅法附列乃以廉數【六】乗四十得二百四十以併自乗之三十六共二百七十六盡第二段餘實五二○一另置通

　　率併廉入方為【六二】置左位以乗【○二】得數五百二十以較餘實得一又以一為廉法置右位自乗仍得一為隅法併入恰盡
　　若已得廉法而以乗通率反浮餘實或廉法相合而隅法又浮餘實者皆減其廉法以乗之假如列實二百八十九初商一除實一百餘實一百八十九次商以方法乗通率只係【○二】以較餘積可用九除實一百八十而乗出隅法八十一則浮原積又試用八除實一百六十而乗出隅法六十四亦浮原積惟再減用七為廉法乗得一十四以除餘積尚餘四十九而以廉法自乗得四十九為餘法併入恰盡凡諸乗所用廉法有浮原積者皆照遞減求之
　　再乗開立方
　　假如列實二十三萬八千三百二十八以立方開之尋原以六為母以六自乗再乗得二一六除積　六上捌變二一上叄變二　進抹貳以六為方法以求廉法凡立方皆用二數為通率為三十為三百自下而上疊位而以方法【六】對【○三】以方法自乗得【六三】對□各列于左
　　初乗乃以【六三】乗□得一萬八百以
　　視餘積約得二之一乃立二為廉
　　法以對□復以廉法【二】自乗得【四】以對□各列于右又以【二】乗【四】得
　　【八】為隅法附列于下乃以廉二乗
　　一萬八百得二萬一千六百
　　再乗以六對【○三】乗之得一百八十
　　又以四乗得七百二十以上二次
　　乗出數併之得二萬二千三百二
　　十加入隅法之八恰盡
　　凡方法之乗皆在通率位左以方法數對尾位其乗數自下而上凡廉法之乗皆在通率位右以廉法數對首位其乗數自上而下四乗五乗以上皆倣此
　　右再乗方法若以還原則以二十六自乗再乗
　　若初商方法只係一數者通率無乗須併諸率位除之一而淨即以一為廉法假如列實一千三百三十一以再乗立方開之初商以一為方法除淨首位【一千】次併中位兩通率一除可淨以一為廉法對通率三百次以自乗仍得一對次通率三十又以再乗亦得一為隅法系其下而以隅法之一併入三千三百恰盡
　　右式可例其餘凡以一為方法者不論幾乗方皆以諸位通率併求
　　三乗方
　　假如列實一千四百七十七萬六千三百三十六以三乗方開之尋原以六為母自乗再乗得一二九六除積　六上㭍變一　九上㭍變捌　二上肆變一　一上削壹次以六為初商方法以求廉法凡三乗皆疊用通率三位為
　　四十為六百為四千先列通率於中位
　　乃列方法于左尾位自乗【六三】再乗二一
　　六自下而上對列初乗以二百一十六乗四千得數八十六萬四千較原積約二之一以二為廉法列右首位自乗【四】再乗八三乗【六一】聨列乃以【二】乗八十六萬四千得數一百七十二萬八千再乗以【六三】乗□得數二萬一千六百又以右【四】乗之得數八萬六千四百三乗以【六】乗【○四】得數二百四十以右八乗之得數一千九百二十乃合三乗數積之併入隅法【六一】共得一百八十一萬六千三百三十六恰盡
　　右三乗方法若以還原則以六十二之數自乗再乗三乗　　一法以開平方法所得數更以平方開之
　　四乗方
　　假如列實九億一千六百一十三萬二千八百三十二數以四乗方開之尋原六為初商除積七億七千七百六十萬餘實一億三千八百五十三萬二千八百三十二以求廉法凡四乗方通率疊用四位為五十為一千為一萬為五萬中列自下而上而以方法【六】對尾位【○五】列之又自乗再乗三乗四乗亦自下而上對列于左
　　初乗首位左乗得六千四百八十萬
　　以較餘實約得二之一以二為廉法
　　對首位五萬列之亦自乗再乗三乗
　　自上而下對列又四乗得【二三】為隅法
　　系于其下而以首位二數乗左乗所
　　得之數計得一億二千九百六十萬
　　次乗次位左乗得二百一十六萬而
　　以右【四】乗之得八百六十四萬
　　三乗第三位左乗得三萬六千而以
　　右【八】乗之得二十八萬八千
　　四乗尾位左乗得三百而以右【六一】乗
　　之得四千八百以上四乗之積併入
　　右廉四乗所得隅法三十二恰盡
　　右四乗方若以還原則以六十二數自乗再乗以至四乗
　　五乗方
　　假如列實五百六十八億○○二十三萬五千五百八十
　　四數以五乗方開之尋原六為
　　初商除積四百六十六億五千
　　六百萬餘積一百一億四千四
　　百二十三萬五千五百八十四
　　數以求廉法凡五乗方皆疊用
　　通率五位為六十為一千五百
　　為二萬為一十五萬為六十萬
　　中列自下而上而以方法六對
　　尾位【○六】列之又自乗再乗三乗
　　四乗自下而上皆列于左位
　　初乗首位左乗得四十六億六
　　千五百六十萬以較餘實約得
　　二之一以二為廉法對首位六
　　十萬列之亦自乗再乗三乗四
　　乗自上而下對列于右又【五】乗
　　得【四六】為隅法系下而以首位【二】數乗左乗所得之數共得九十
　　三億三千一百二十萬
　　次乗次位左乗得數一億九千
　　四百四十萬而以右【四】乗之得
　　七億七千七百六十萬
　　三乗三位左乗得四百三十二
　　萬而以右【八】乗之得三千四百
　　五十六萬
　　四乗四位左乗得五萬四千而
　　以右【六一】乗之得八十六萬四千
　　五乗五位左乗得三百六十以
　　右【二三】乗之得一萬一千五百二
　　十併上五乗積又併右廉所乗
　　隅法六十四恰盡
　　右五乗方若以還原則以六十二之數自乗再乗以至五乗
　　六乗方
　　假如列實三萬五千二百一十六億一千四百六十萬六千二百○八以六乗方開之尋原六為初商除實二萬七千九百九十三億六千萬餘實七千二百二十二
　　億五千四百六十萬六
　　千二百○八數以求廉
　　法凡六乗方通率疊用
　　六位為七十為二千一
　　百為三萬五千為三十
　　五萬為二百一十萬為
　　七百萬中列而以方法
　　【六】對尾位【○七】列之又自
　　乗再乗三乗四乗五乗
　　自下而上皆列其左
　　初乗首位左位得數三
　　千二百六十五億九千
　　二百萬以較餘積約得
　　二之一以二為廉法對
　　首位七百萬列之亦自
　　乗再乗三乗四乗五乗
　　對列于右又以六乗得
　　一二八為隅法系下而
　　以首位【二】數乗左乗所
　　得之數共得六千五百
　　三十一億八千四百萬
　　次乗次位左乗得一百
　　六十三億二千九百六十
　　萬以右【四】乗之得六百五
　　十三億一千八百四十萬
　　三乗三位左乗得四億五
　　千三百六十萬以右【八】乗
　　之得三十六億二千八百
　　八十萬
　　四乗四位左乗得七百五
　　十六萬以右【六一】乗之得一
　　億二千○九十六萬
　　五乗五位左乗得七萬五
　　千六百以右【二三】乗之得二
　　百四十一萬九千二百
　　六乗六位左乗得四百二
　　十以右【四六】乗之得二十六
　　萬八千八百併上六乗之
　　積又併隅法一百二十八
　　恰盡
　　右六乗方若以還原則以六十二之數自乗再乗以至六乗
　　七乗方
　　假如列實四兆五千九百四十九萬七千二百九十八億六千三百五十七萬二千一百六十一數以七乗方開之首位四其原一以一為方法餘實三兆五千九百四十九萬七千二百九十八億共求一廉法因方法一數無乗當併下位以較餘實而惟首次兩數同位為大
　　數其餘小數不足為多寡
　　且從省只併首次兩位開
　　之【若不相併者以首率八千萬較餘實試用四為
　　廉法乗之似可除然次率八乗即浮原數矣試減用
　　三亦浮原數見後註】此二數併得一
　　億○八百萬以較餘實約
　　可用三數然緣次乗之六
　　以乗中列之第二位其數
　　反浮【初以三乗中首位固可除至次乗六以乗
　　次位得一億六千八百萬併初乗共四億有奇反浮
　　餘實】當減用二為廉法自乗
　　再乗至七乗依式列右凡
　　乗數多于原數者減法倣
　　此
　　初乗以廉二乗八千萬得
　　一億六千萬
　　再乗以廉再乗數【四】乗二
　　千八百萬得一億一千二
　　百萬
　　三乗以廉三乗數【八】乗五
　　百六十萬得四千四百八
　　十萬
　　四乗以廉四乗數【六一】乗七
　　十萬得一千一百二十萬
　　五乗以廉五乗數【二三】乗五
　　萬六千得一百七十九萬
　　二千
　　六乗以廉六乗數【四六】乗二
　　千八百得一十七萬九千
　　二百
　　七乗以廉七乗數　乗八
　　十得一萬○三百六十八
　　右併前七乗之積共得三億二千九百九十八萬一千四百四十併入隅法二百五十六以除餘積尚剰二千九百五十一萬五千六百二億六千三百五十七萬二千一百六十一數再商自首至尾共以一段開之
　　乃併廉法入方法共一十二為三商之數以對尾位【○八】列于左以自乗再乗三乗四乗五乗六乗悉自下而上對列
　　一　　　　　　　　　　初乗首位左乗得二千八
　　百六十六萬五千四百四
　　十六億四千萬以較餘積
　　只可一乃以一為廉法乗
　　無可乗故自乗至七乗皆
　　只一照式列右其對中末
　　位之下仍系一為隅法
　　再乗次位左乗得八十三
　　萬六千○七十五億五千
　　二百萬
　　三乗三位左乗得一萬三
　　千九百三十四億五千九
　　百二十萬
　　四乗四位左乗得一百四
　　十五億一千五百二十萬
　　五乗五位左乗得九千六
　　百七十六萬八千
　　六乗六位左乗得四十萬
　　三千二百
　　七乗尾位左乗得九百六
　　十併七乗之積増入隅法
　　之一恰盡
　　右七乗開方若欲還原則以一百二十一數自乗再乗以至七乗
　　以上開方則例共七乗衍至十乗百乗亦復如是妙在尋原變在通率熟玩自得難以備述
　　若夫尋原之法固與還原不同還原者依本乗之數以還實積耳尋原者用前列乗圖以尋下手方法凡尋原惟平方最易以每段只二位也次則立方亦易以每段只三位也三乗則四位為一段尋原難矣自是而上位置愈多尋原愈難矣然而即平方可求立方之原兼平方立方可以求多乗之原若三乗方者以平方法開之得數又以平方法開之得數即原矣若五乗方者先以平方開之得數乃以立方開之或先以立方開之得數乃以平方開之即原矣若六乗方者作四乗方開二次即得其原若七乗方者作開平方三次即得其原若八乗方者作立方二次即得其原若九乗方者先以平方開一次又以四乗方開之或先以四乗方開一次又以平方開之即得其原若十乗方者作四乗開方三次亦得其原錯綜變化總由自然進退開闔具有定法孰謂開方諸乗迂逺難冀者乎神而明之從積正負帶減加翻巧由心造妙以熟生智者于斯盖不啻思過半也奇零諸乗開方法第十八
　　凡開方諸法不惟全數可開即奇零之數亦各有法大都皆以尋原為第一義有母數子數俱有原數可用者如平方九之四則以三之二為原以三自乗得九以二自乗得四也如再乗立方【七二】之八亦以三之二為原以三自乗得九再乗得【七二】以二自乗得四再乗得八也又如三乗方【一八】之【六】以三之二為原謂三再乗得【七二】三乗得【一八】謂二再乗得八三乗得【六一】也如五乗方者　之【四六】以三之二為原謂三數以五乗則得　二數以五乗則得【四六】也有二數並列于母不同而亦有原數可用者如四之二與九之八並列依對乘法兩母乗得三十六兩子乗得一十六是為【六三】之【六一】其平方之原為九之四以四九三十六與夫四四一十六用四為鈕數者也有以全數帶奇數而亦有原可尋者如有全數二又【七二】之【○一】依化法乃為【七二】之【四六】尋其立方之原為三之四以三再乗為【七二】四再乗為【四六】歸其整數即一零三之一也凡有原可尋則可開無原可尋則不可開必命分之母與得分之子各有原則可開若一有原一無原則不可開尋原之術數之多者約之以至于寡如【五四】之【○二】必約之為九之四其開平方之原即三之二也如【一八】之【四二】必約之為【七二】之八其立方之原亦三之二也他如九之六者九有原六無原不可開矣又如【○二】之【一二】者命分數與得分數俱無原不可開矣然則終不可開乎又非也數窮則變變則通雖無原有數之最相近者可借之以為原吾以本數析之又析而相近之原可得也析之之法多取進位平方或析一為十為百立方或析一為百為千數彌多者求彌密其原亦彌近也彌近之數或稍多干所求或稍約于所求然而皆可以為原者也
　　假如以五數為開平方是為無原而任借【○一】為　之原以自乗得一百以五乗得　雖【○一】不為　之原乃其原之最近者有兩數其一為　以【二二】為原【二十二自乗得四百八十四】此近而朒者其一為　以【三二】為原【二十三自乗得五百二十九】此近而盈者何也試以所借【○一】為命分之母以【二二】為得分之子以【○一】之【二二】自乗【此　整二零　之二】得　之　内除四百為四整數而【四八】為　之【四八】夫四零　之【四八】以視二零【○一】之二猶五百與【二二】之比例也試以所借【○一】為母以【三二】為子以【○一】之【三二】自乗【此係整二零二之三】得　之　内除五百為五整數而【九二】為　之【九二】夫五零　之【九二】以視二零【三二】猶五百與【三二】之比例也故【○一】可以為五借也
　　假如以九數為開立方亦為無原而任借【○一】為　之原【以自乗再乗故】以九乗得　雖九千不以一十為原而其近原者亦有兩數一為　以【○二】為原【自乗再乗】此近而朒者一為九二六一以【一二】為原【自乗再乗】此近而盈者則何也試以【○一】為母【○一】之【○二】係整二數以自乗再乗即得【○一】之八試以【○一】為母【○一】之【一二】係整二數零【○一】之一以自乗再乗即得九零　之　也【母一十自乗得一百再乗得一千子整二化二十併入一仍二十一自乗得四百四十一再乗得九千二百六十一以九千歸元得整九餘為一千之二六一】故【○一】可以為九借也
　　假如列實【○四】以四乗方開之為無原任借一數為【○一】以自乗至四乗得一十萬以【○一】乗之得四百萬用前法推衍其原之近者有兩數其一為【○二】其一為【一二】何也以【○一】為【○二】之母此【○一】之【○二】係整二數以二自乗再乗三乗四乗為【○一】之【二三】以視【○四】其近而朒者以【○一】為【一二】之母此【○一】之【一二】係整二數零【○一】之一以二零【○一】之一自乗再乗【化整數併子法如前母四乗得一十萬子自乗再乗得九千二百六十一】三乗四乗得整四十數零一十萬之八萬四千二百○一【二十一以三乗得一十九萬四千四百八十一以四乗得四百○八萬四千二百○一内以四百萬還元得整四十數其零為八四二○一】以視四十其近而盈者故【○一】可以為【○四】借也以上三論姑借【○一】見例若進至百千萬數其數彌多其析愈精則原愈近矣










　　同文算指通編卷八