御製題九章算術【有序】 　　是書雖為晉劉徽注而其名則始見於唐書葢自李淳風注釋義遂大顯北宋時人罕習者漸以湮晦南宋慶元中鮑澣得其本寫入祕閣世亦莫得而見明初編列永樂大典然依韻分排閱者鮮能究其端委則雖存猶亡也兹以校勘四庫全書詞臣於斷簡零篇中裒輯得九篇悉符鮑澣之舊顧鮑本無圖今諸臣按注意補為之雖未能必其盡合皆可因注推演而知則亦未嘗或紊視澣所傳殆有過之無不及矣算法自 　　皇祖表章以來可謂大備是書至今始出或亦顯晦有時固有莫知其然而然者乎夫九章昉於周官六藝教於洙泗余雖未習其事要不得謂非學者所當肄業及之者也系詩題識如左 　　算術由來非所學不知難强以為知大成廣集欽皇祖　　【皇祖講明算法　　欽定數理精藴儀象考成等書實足為萬世算學標準】六藝曽論愧 　　仲尼分韻笑他割裂者補圖欣此粹完之時為顯晦晦今顯是用摛毫作弁詞 　　欽定四庫全書　　　　　子部六 　　九章算術　　　　　　　天文算法類二【算書之屬】提要 　　【臣】等謹案九章算術九卷葢周禮保氏之遺法不知何人所傳永樂大典引古今事通曰王孝通言周公制禮有九章之名其理幽而微其形祕而約張蒼刪補殘缺校其條目頗與本術不同云云今攷書内有長安上林之名上林苑在武帝時蒼在漢初何縁預載知述是書者在西漢中葉後矣舊本有注題曰劉徽所作攷晉書稱魏景元四年劉徽注九章然注中所引有晉武庫銅斛則徽入晉之後又有増損矣又有注釋題曰李淳風所作攷唐書稱淳風等奉詔注九章算術為算經十書之首國子監置算學生三十人習九章及海島算經共限三嵗葢即是時作也北宋以來其術罕傳自沈括夢溪筆談以外士大夫少留意者書遂幾於散佚至南宋慶元中鮑澣之始得其本於楊忠輔家因傳寫以入秘閣然流傳不廣迨明又亡故二三百年來算數之家均未嘗得睹其全惟分載於永樂大典者依類裒輯尚九篇具在攷鮑澣之後序稱唐以來所傳舊圖至宋已亡又稱盈不足方程之篇咸缺淳風注文今校其所言一一悉合知即慶元之舊本葢顯於唐晦於宋亡於明而幸逢 　　聖代表章之盛復完於今其隠其見若有數黙存於其間非偶然矣謹排纂成編併攷訂訛異各附案語於下方其注中指狀表目如朱實青實黄實之類皆就圖中所列而言圖既不存則其注猝不易曉今推尋注意為之補圖以成完帙唐李籍音義一卷亦併附焉算術莫古於九數九數莫古於是書雖新法屢更愈推愈密而窮源探本要百變不離其宗録而傳之固古今算學之弁冕矣乾隆四十九年十月恭校上 　　總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅 　　總　校　官【臣】陸　費　墀 　　劉徽九章算術注原序 　　昔在庖犧氏始畫八卦以通神明之徳以類萬物之情作九九之數以合六爻之變暨于黄帝神而化之引而伸之於是建厯紀協律吕用稽道原然後兩儀四象精㣲之氣可得而效焉記稱隸首作數其詳未之聞也按周公制禮而有九數九數之流則九章是矣往者暴秦焚書經術散壞自時厥後漢北平侯張蒼大司農中丞耿夀昌皆以善算命世蒼等因舊文之遺殘各稱刪補故校其目則與古或異而所論者多近語也徽幼習九章長再詳覽觀陰陽之割裂總算術之根源探賾之暇遂悟其意是以敢竭頑魯采其所見為之作注事類相推各有攸歸故枝條雖分而同本榦者知發其一端而已又所析理以辭解體用圗庶亦約而能周通而不黷覽之者思過半矣且算在六藝古者以賔興賢能教習國子雖曰九數其能窮纎入㣲探測無方至于以法相傳亦猶規矩度量可得而共非特難為也當今好之者寡故世雖多通才達學而未必能綜于此耳周官大司徒職夏至日中立八尺之表其景尺有五寸謂之日中説云南戴日下萬五千里夫云爾者以術推之按九章立四表望逺及因木望山之術皆端旁互見無有超邈若斯之類然則蒼等為術猶未足以博盡羣數也徽尋九數有重差之名原其指趣乃所以施于此也凡望極高測絶深而兼知其逺者必用重差句股則必以重差為率故曰重差也立兩表于洛陽之城令高八尺南北各盡平地同日度其正中之時以景差為法表高乗表間為實如法而一所得加表高即日去地也以南表之景乘表間為實實如法而一即為從南表至南戴日下也以南戴日下及日去地為句股為之求即日去人也以徑寸之筩南望日日滿筩空則定筩之長短以為股率以筩徑為句率日去人之數為大股大股之句即日徑也雖夫圓穹之象猶曰可度又况泰山之高與江海之廣哉徽以為今之史籍且畧舉天地之物攷論厥數載之于心以闡世術之美輒造重差并為注解以究古人之意綴於句股之下度高者重表測深者累矩孤離者三望離而又旁求者四望觸類而長之則雖幽遐詭伏靡所不入博物君子詳而覽焉 　　欽定四庫全書 　　九章算術卷一　　　　　晉　劉　徽　注 　　唐　李淳風　注釋 　　方田以御田疇界域 　　今有田廣十五步從十六步問為田幾何答曰一畝又有田廣十二步從十四步問為田幾何答曰一百六十八步 　　方田術曰廣從步數相乘得積步 　　此積為田幂凡廣從相乘謂之幂 　　淳風等按經云廣從相乗得積步注云廣從相乘謂之幂觀斯注意積幂義同以理推之固不當爾何則幂是四方單布之名積乃衆數聚居之稱循名責實二者全殊雖欲同之竊恐不可今以據言幂者據廣從之一方其言積者舉衆步之都數經云相乗得積歩即是都數之明文注云謂之為幂全乖積步之本意此注前云積為田幂于理得通復云謂之為幂繁而不當今者注釋存善去非畧為科簡遺諸後學 　　以畝法二百四十步除之即畝數百畝為一頃 　　淳風等按此為篇端故特舉頃畝二法餘數不復言者從此可知一畝之田廣十五步從而疏之令為十五行則每行廣一步而從十六步又横而截之令為十六行則每行廣一步而從十五步此即從疏横截之步各自為方凡有二百四十步一畝之地步數正同以此言之則廣從相乘得積步驗以二百四十步者畝法也百畝者頃法也故以除之即得 　　今有田廣一里從一里為田幾何答曰三頃七十五畝又有田廣二里從三里問為田幾何答曰二十二頃五十畝 　　里田術曰廣從里數相乘得積里以三百七十五乘之即畝數 　　按此術廣從里數相乘得積里方里之中有三頃七十五畝故以乘之即得畝數也 　　今有十八分之十二問約之得幾何答曰三分之二又有九十一分之四十九問約之得幾何答曰十三分之七 　　約分 　　按約分者物之數量不可悉全必以分言之分之為數繁則難用設有四分之二者繁而言之亦可為八分之四約而言之則二分之一也雖則異詞至于為數亦同歸爾法實相推動有參差故為術者先治諸分 　　術曰可半者半之不可半者副置分母子之數以少減多更相減損求其等也以等數約之 　　等數約之即除也其所以相減者皆等數之重疊故以等數約之 　　今有三分之一五分之二問合之得幾何答曰十五分之十一 　　又有三分之二七分之四九分之五問合之得幾何答曰得一六十三分之五十 　　又有二分之一三分之二四分之三五分之四問合之得幾何答曰得二六十分之四十三 　　合分 　　淳風等按合分知數非一端分無定準諸分子雜互羣母參差麤細既殊理難從一故齊其衆分同其羣母令可相併故曰合分 　　術曰母互乘子并以為實母相乘為法 　　母互乘子約而言之者其分麤繁而言之者其分細雖則麤細有殊然其實一也衆非錯雜非細不㑹乘而散之所以通之通之則可并也凡母互乘子謂之齊羣母相乘謂之同同者相與通同共一母也齊者子與母齊勢不可失本數也方以類聚物以羣分數同類者無逺數異類者無近逺而通體知雖異位而相從也近而殊形知雖同列而相違也然則齊同之術要矣錯綜度數動之斯諧其猶佩觿解結無往而不理焉乘以散之約以聚之齊同以通之此其算之綱紀乎其一術者可令母除為率率乘子為齊 　　實如法而一不滿法者以法命之 　　今欲求其實故齊其子又同其母令如母而一其餘以等數約之即得知所謂同法為母實餘為子皆從此例 　　其母同者直相從之 　　今有九分之八減其五分之一問餘幾何答曰四十五分之三十一 　　又有四分之三減其三分之一問餘幾何答曰十二分之五 　　減分 　　淳風等按諸分子母數各不同欲知餘幾減餘為實故曰減分 　　術曰母互乘子以少減多餘為實母相乘為法實如法而一 　　母互乘子者知以齊其子也以少減多者知齊故可相減也母相乘為法者同其母也母同子齊故如母而一即得 　　今有八分之五二十五分之十六問孰多多幾何答曰二十五分之十六多多二百分之三 　　又有九分之八七分之六問孰多多幾何答曰九分之八多多六十三分之二 　　又有二十一分之八五十分之十七問孰多多幾何答曰二十一分之八多多一千五十分之四十三 　　課分 　　淳風等按分各異名理不齊一較其相近之數故曰課分也 　　術曰母互乘子以少減多餘為實母相乘為法實如法而一即相多也 　　淳風等按此術母互乘子以少分減多分與減分義同惟相多之數意與減分有異減分知其餘數有幾課分知其餘數相多也 　　今有三分之一三分之二四分之三問減多益少各幾何而平答曰減四分之三者二三分之二者一并以益三分之一而各平于十二分之七 　　又有二分之一三分之一四分之三問減多益少各幾何而平答曰減三分之二者一四分之三者四并以益二分之一而各平于三十六分之二十三 　　平分 　　淳風等按平分知諸分參差欲令齊等減彼之多増此之少故曰平分也 　　術曰母互乘子 　　齊其子也 　　副并為平實 　　淳風等按母互乗子副并為平實知定此平實主限衆子所當損益知限為平【案此注有舛誤據首問第二數母三第三數母四互乘第一數子一得十二第一數母三第三數母四互乘第二數子二得二十四第一第二數母各三互乘第三數子三得二十七并之共六十三為平實母三三相乘又與四乗得三十六為法列數凡三即以三乗二十得三十六乗二十四得七十二乗二十七得八十一為列實亦以三乗法三十六得一百八平實六十三減列實三十六少二十七減七十二餘九減八十一餘十八約之九為一則十八為二而二十七為三平實六十三為七法一百八為十二命為十二分之七設以十二作三數三分之一則四也三分之二則八也四分之三則九也定平實七立限八減一九減二皆七所減之一二益于四亦七損多益少適如其限宜云定此平實立限如限為平立訛作主如訛作知遂不可通】 　　母相乘為法 　　母相乘為法知亦齊其子又同其母 　　以列數乘未并者各自為列實亦以列數乘法 　　此當副并列數為平實若然則重有分故反以列數乘周齊 　　淳風等按問云所平之分多少不定或三或二列位無常平三知置位三重平二知置位二重凡此之例一準平分不可豫定多少故直云列數而已 　　以平實減列實餘約之為所減并所減以益于少以法命平實各得其平 　　今有七人分八錢三分錢之七問人得幾何答曰人得一錢二十一分錢之四 　　又有三人三分人之一分六錢三分錢之一四分錢之三問人得幾何答曰人得二錢八分錢之一 　　經分 　　淳風等按經分者自合分已下皆與諸分相齊此乃直求一人之分以人數分所分故曰經分也 　　術曰以人數為法錢數為實實如法而一有分者通之母互乘子知齊其子母相乘者同其母以母通之者分母乘全内子散全則為積分積分則與子相通故可令相通凡數相與者謂之率率知自相與通有分則可散分重疊則約也等除法實相與率也故散分者必令兩分母相乘為法也 　　重有分者同而通之 　　又以法分母乗實實分母乗法此謂法實俱有分故令分母各乗全分内子又令分母互乗上下 　　今有田廣七分步之四從五分步之三問為田幾何答曰三十五分步之十二 　　又有田廣九分步之七從十一分步之九問為田幾何答曰十一分步之七 　　又有田廣五分步之四從九分步之五問為田幾何答曰九分步之四 　　乘分 　　淳風等按乗分者分母相乗為法子相乘為實故曰乘分 　　術曰母相乗為法子相乗為實實如法而一 　　凡實不滿法者而有母子之名若有分以乗其實而長之則亦滿法乃為全耳又以子所乘乗故母當報除報除者實如法而一也今子相乘則母各當報除因令分母相乗而連除也此田有廣從難以廣諭設有問者曰馬二十匹直金十二斤今賣馬二十匹三十五人分之人得幾何答曰三十五分斤之十二其為之也當如經分術以十二斤金為實三十五人為法設更言馬五匹直金三斤今賣馬四匹七人分之人得幾何答曰人得三十五分斤之十二其為之也當齊其金人之數皆合初問入于經分矣然則分子相乘為實者猶齊其金也母相乘為法者猶齊其人也同其母為二十馬無事于同但欲求齊而已又馬五匹直金三斤完全之率分而言之則為一匹直金五分斤之三七人賣四匹馬一人賣七分馬之四分子與人交互相生所從言之異而計術則三術同歸也 　　今有田廣三步三分步之一從五步五分步之二問為田幾何答曰十八步 　　又有田廣七步四分步之三從十五步九分步之五問為田幾何答曰一百二十步九分步之五 　　又有田廣十八步七分步之五從二十三步十一分步之六問為田幾何答曰一畝二百步十一分步之七大廣田 　　淳風等按大廣田知初術直有全步而無餘分次術空有餘分而無全步此術先見全步復有餘分可以廣兼三術故曰大廣 　　術曰分母各乘其全分子從之 　　分母各乘其全分子從子者通全步内分子如此則母子皆為實矣 　　相乘為實分母相乘為法 　　猶乘分也 　　實如法而一 　　今為術廣從俱有分當各自通其分命母入者須還出之故令分母相乘為法而連除之 　　今有圭田廣十二步正從二十一步問為田幾何答曰一百二十六步 　　又有圭田廣五步二分步之一從八步三分步之二問為田幾何答曰二十三步六分步之五 　　術曰半廣以乘正從 　　半廣知以盈補虚為直田也亦可半正從以乘廣按半廣乘從以取中平之數故廣從相乘為積步畝法除之即得也 　　今有斜田一頭廣三十步一頭廣四十二步正從六十四步問為田幾何答曰九畝一百四十四步 　　又有斜田正廣六十五步一畔從一百步一畔從七十步步問為田幾何答曰二十三畝七十步 　　術曰并兩斜而半之以乘正從若廣又可半正從若廣以乘并畝法而一 　　并而半之者以盈補虚也 　　今有箕田舌廣二十步踵濶五步正從三十步問為田幾何答曰一畝一百三十五步 　　又有箕田舌廣一百一十七步踵廣五十步正從一百三十五步問為田幾何答曰四十六畝二百三十二步半 　　術曰并踵舌而半之以乘正從畝法而一 　　中分箕田則為兩斜田故其術相似又可并踵舌半正從以乘之 　　今有圓田周三十步徑十步 　　淳風等按術意以周三徑一為率周三十步合徑十步今依密率合徑九步十一分步之六 　　問為田幾何答曰七十五步 　　此于徽術當為田七十步一百五十七分步之一百三 　　淳風等按依密率為田七十一步二十二分步之一十三 　　今有圎田周一百八十一步徑六十步三分步之一淳風等按周三徑一周一百八十一步徑六十步三分步之一依宻率徑五十七步二十二分步之一十三 　　問為田幾何答曰十一畝九十步十二分步之一此于徽術當為田十畝二百八步三百一十四分步之一百一十三 　　淳風等按依密率當為田十畝二百五步八十八分步之八十七 　　術曰半周半徑相乘得積步 　　按半周為從半徑為廣故廣從相乘為積步也假令圎徑二尺圎中容六觚之一面【案六觚原本訛作六弧攷六角形其平面亦有六八角形其平面亦有八古人謂之六觚八觚若截圎形為六古人謂之觚背具弧即圎周不得云圎中容六弧之一面後或言弧或言觚義各不同原本觚皆訛作弧遂䝉混不可通今並改正】與圎徑之半其數均等合徑率一而外周率三也【案劉徽以周三徑一乃六觚之率圎内容六觚其觚面適為六弧之圎周大于六觚之周為六弧背與六弧之差其説非圗莫顯今補圗附于後】 　　又按為圎以六觚之一面乘一弧半徑【案一弧二字衍當刪】二因而六之【案此句有訛舛當改云三之上衍二因而三字】得十二觚之幂若又割之次以十二觚之一面乘一弧之半面【案一弧之三字亦衍當刪】四因而六之【案此句亦有訛舛當云六之上衍四因而三字】則得二十四觚之幂割之彌細所失彌少割之又割以至于不可割則與圎周合體而無所失矣觚面之外又有餘徑以面乘徑則幂出觚矣若夫觚之細者與圎合體則表無餘徑表無餘徑則幂不外出矣以一面乘半徑觚而裁之每輒自倍故以半周乘半徑而為圎幂此一周徑謂至然之數非周三徑之一率也周三者從其六觚之環耳以推圎規多少之較【案較原本訛作覺今改正】乃弓之與也然世傳此法莫肯精覈學者踵古習其謬失不有明據辯之斯難凡物類形象不圎則方方圎之率誠著于近則雖逺可知也由此言之其用博矣謹按圎驗更造密率恐空設法數昧而難譬故置諸檢括謹詳其記注焉 　　割六觚以為十二觚術曰置圎徑二尺半之為一尺即圎裏觚之面也【案觚之而原本訛作之面後觚之半面訛作弧之半面今改正】令半徑一尺為【案原本訛作為弧今改正】半面五寸為句為之求股以句幂二十五寸減幂餘七十五寸開方除之下至秒忽又一退法求其㣲數㣲數無各知以為分子以下為分母約作五分忽之二故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二【案二秒原本訛作二絲今改正】以減半徑餘一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三謂之小句【案此下原本衍小句知半面五寸之句九字】觚之半面又謂之小股為之求其幂二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽餘分棄之【案此句原本訛作全分并之攷幂五忽之下尚有一六餘分無所謂全分也當是傳寫舛誤遂不可通後數條皆云餘分棄之令據以改正】開方除之即十二觚之一面也 　　割十二觚以為二十四觚術曰亦令半徑為半面為句為之求股置上下幂四而一得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽餘分棄之即句幂也以減幂其餘開方除之得股六寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四以減半徑餘三分四釐七秒四忽五分忽之一謂之小句觚之半面又謂之小股為之求小其幂六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽餘分棄之開方除之即二十四觚之一面也 　　割二十四觚以為四十八觚術曰亦令半徑為半面為句為之求股置上下幂四而一得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽餘分棄之即句幂也以減幂其餘開方除之得股九寸九分一釐四毫四秒四忽五分忽之四以減半徑餘八釐五毫五秒五忽五分忽之一謂之小句觚之半面又謂之小股為之求小其幂七百七十一億一千二十七萬八千八百一十三忽餘分棄之開方除之得小一寸三分八毫六忽餘分棄之即四十八觚之一面以半徑一尺乘之又以二十四乘之得幂三萬一千三百九十三億四千四百萬忽以百億除之得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四即九十六觚之幂也 　　割四十八觚以為六十六觚術曰亦令半徑為半面為句為之求股置次上幂四而一得四十二億七千七百五十六萬九千七百三忽餘分棄之即句幂也以減幂其餘開方除之得股九寸九分七釐八毫五秒八忽十分忽之九以減半徑餘二釐一毫四秒一忽十分忽之一謂之小句觚之半面又謂之小股為之求小其幂四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽餘分棄之開方除之得小六分五釐四毫三秒八忽餘分棄之即九十六觚之一面以半徑一尺乘之又以四十八乘之得幂三萬一千四百一十億二千四百萬忽以百億除之得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四即一百九十二觚之幂也以九十六觚之幂減之餘六百二十五分寸之一百五謂之差幂倍之為分寸之二百一十【為分寸者上省文謂六百二十五分寸之二百一十也】即九十六觚之外弧田所謂以乘矢之凡幂也【案弧田下原本衍九千六字今刪】加此幂于九十六觚之幂得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九則出圎之表矣故還就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以為圎幂之定率而棄其餘分以半徑一尺除圎幂倍之得六尺二寸分分即周數令徑自乘為方幂四百寸與圎幂相折圎幂得一百五十七為率方幂得二百為率方幂二百其中容圎幂一百五十七也圎率猶為㣲少按弧田圗令方中容圎圎中容方内方合外之半半然則圎幂一百五十七其中容方幂一百也【案一百原本訛作二百今改正】又令徑二尺與周六尺二寸八分相約周得一百五十七徑得五十則其相與之率也周率猶為㣲少也晉武庫中漢時王莽作銅斛其銘曰律嘉量斛内方尺而圎其外庣旁九釐五毫幂一百六十二寸深一尺積一千六百二十寸容十斗以此術求之得幂一百六十一尺有奇其數相近矣此術㣲少而斛差幂六百二十五分寸之一百五以十二觚之幂為率消息當取此分寸之三十六【案取此分寸亦䝉上省文謂六百二十五分寸之三十六也】以増于一百九十二觚之幂以為圎幂三百一十四寸二十五分寸之四置徑自乘之方幂四百寸令與圎幂通相約圓幂三千九百二十七方幂得五千是為率方幂五千中容圎幂三千九百二十七圎幂三千九百二十七中容方幂二千五百也以半徑一尺除圓幂三百一十四寸二十五分寸之四倍之得六尺二寸八分二十五分寸之八即周數也全徑二尺與周數通相約徑得一千二百五十周得三千九百二十七即其相與之率若此者葢盡其纎微矣舉而用之上法仍約耳當求一千五百三十六觚之一面得三千七十二觚之幂而裁其㣲分數亦宜然重其驗耳 　　淳風等按舊術求圎皆以周三徑一為率若用之求圎周之數則周少徑多用之求其六觚之田乃與此率合㑹耳何則假令六觚之田觚間各一尺為面自然從角至角其徑二尺可知【案二尺原本訛作一尺今改正】此則周六徑二與周三徑一已合恐此猶為難曉今更引物為喻設令刻物作圭形者六枚枚别三面皆長一尺攢此六物悉使鋭頭向裏則成六觚之周角徑亦皆一尺更從觚角外畔圍繞為規則六觚之徑盡達規矣當面徑短不至外規若以徑言之則為規六尺徑三尺面徑皆一尺【案此三句有舛誤當云若以言觚言之則為周六尺徑二尺面皆一尺言觚二字訛作徑周訛作規二訛作三面字下又衍徑字遂不可通】面徑股不至外畔定無二尺可知故周三徑一之率于圎周乃是徑多周少徑一周三理非精密葢術從簡要舉大綱畧而言之劉徽特以為疎遂改張其率但周徑相乘數難契合徽雖出斯一法終不能究其纎毫也祖沖之以其不精就中更推其數今者修撰攈摭諸家攷其是非沖之為密故顯之于徽術之下冀學者知所裁焉【案沖之密率較徽率為密其約率較徽率為踈淳風等所稱宻率皆約率以之譏徽似誤】 　　又術曰周徑相乘四而一 　　此周與上觚同耳周徑相乘各當一半而今周徑兩全【案原本兩訛作田今改正】故兩母相乘為四以報除之于徽術以五十乘周一百五十七而一即徑也以一百五十七乘徑五十而一即周也新術徑率猶當㣲少據周以求徑則失之長據徑以求周則失之短諸據見徑以求幂者皆失之于㣲少據周以求幂者皆失之于㣲多 　　淳風等按依密率以七乘周二十二而一即徑以二十二乘徑七而一即周依術求之即得 　　又術曰徑自相乘三之四而一 　　按圎徑自乘為外方三之四而一者是為圎居外方四分之三也若令六觚之一面乘半徑其幂即外方四分之一也因而三之即亦居外方四分之三也是為圎裏十二觚之幂耳取以為圎失之于㣲少于徽新術當徑自乘又以一百五十七乘之二百而一淳風等按密率令徑自乘以十一乘之十四而一即圎幂也 　　又術曰周自乘十二而一 　　六觚之周其于圎徑三與一也故六觚之周自相乘為幂若圎徑自乘者九方九方凡為十二觚者十有二故曰十二而一即十二觚之幂也今此令周自乘非但為圎徑自乘者九方而已然則十二而一所得又非十二觚之幂也若欲以為圎幂失之于多矣以六觚之周十二而一可也于徽新術直令圎周自乘又以二十五乘之三百一十四而一得圎幂其率三百一十四者周自乘之幂也置周數六尺二寸八分令自乘得幂三十九萬四千三百八十四分又置圎幂三萬一千四百分皆以一千二百五十六約之得此率 　　淳風等按方面自乘即得其積圓周求其幂假率乃通【案假原本訛作股今改正】但此術所求用三一為率圎田正法半周及半徑以相乘今乃用全周自乘故須以十二為母何者據全周而求半周則須以二為法就全周而求半徑復假六以除之是二六相乘除周自乘之數依密率以七乘之八十八而一 　　今有田下周三十步徑十六步問為田幾何答曰一百二十步 　　今有田下周九十九步徑五十一步問為田幾何答曰五畝二十六步四分步之一 　　術曰以徑乘周四而一 　　此術不驗故推方錐以見其形假令方錐下方六尺高四尺四尺為股下方之半三尺為句正面邪為五尺也令句相乘【案句原本訛作句股今改正】四因之得六十尺即方錐四面見者之幂若令其中容圎錐圓錐見幂與方錐見幂其率猶方幂之與圎幂也【案圎幂原本訛作圎錐今改正】按方錐下六尺則方周二十四尺以五尺乘而半之則亦方錐之見幂故求圎錐之數折徑以乘下周之半即圎錐之幂也今田上徑圎穹而與圎錐同術則幂失之于少矣然其術難用故畧舉大較施之大廣田也求圎錐之幂猶求圎田之幂也今用兩全相乘故以四為法除之【案原本脱四字今補】亦如圎田矣開立圎術説圎方諸率甚備可以驗此 　　今有弧田三十步矢十五步問為田幾何答曰一畝九十七步半 　　又有弧田七十八步二分步之一矢十三步九分步之七問為田幾何答曰二畝一百五十五步八十一分步之五十六 　　術曰以乘矢矢又自乘并之二而一 　　方中之圓圓裏十二觚之幂合外方之幂四分之三也方中合外方之半則朱實合外方四分之一也弧田半圎之幂也故依半圎之體而為之術以乘矢而半之【案原本訛作弧今改正】則為黄幂矢自乘而半之則為二青幂青黄相連【案注文此書舊有圗而缺又上圎田注内亦引弧田圗詳攷其説非圗不顯今補圗于後】為弧體法當用規今觚面不至外畔【案原本訛作令弧而不至外畔今改正】失之于少矣圎舊術以周三徑一為率俱得十二觚之幂【案原本訛作十二弧之弧今改正】亦失之子少也與此相似指驗半圎之幂耳若不滿半圎者益復疎濶宜句股鋸圎材之術以弧為鋸道長以矢為句深而求其徑【案此謂弧矢形求圎徑其術以弧折半自乘矢除之加矢為圎徑】既知圎徑則弧可割分也割之者半弧田之以為股其矢為句為之求即小弧之也以半小弧之為句半圎徑為為之求股以減半徑其餘即小之矢也割之又割使至極細但舉矢相乘之數則必近密率矣然于算數差繁必欲有尋究也若但度田取其大舊術為約耳 　　今有環田中周九十二步外周一百二十二步徑五步此欲令與周三徑一之率相應故言徑五步也據中外周以徽術言之當徑四步一百五十七分步之一百二十二也 　　淳風等按依密率合徑四步二十二分步之十七 　　問為田幾何答曰二畝五十五步 　　于徽術當為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三 　　淳風等按依密率為田二畝三十步二十二分步之十五 　　術曰并中外周而半之以徑乘之為積步 　　此田截而中之周則為長【案此處有脱誤當云截齊中外之周周則為長】并而半之知亦以盈補虚也此可令中外周各自為圎田以中圎減外圎餘則環實也 　　又有環田中周六十二步四分步之三外周一百一十三步二分步之一徑十二步三分步之二 　　此田環而不通匝故徑十二步三分步之二若據上周求徑者此徑失之于多過周三徑一之率葢為疎矣于徽術當徑八步六百二十八分步之五十一淳風等按依周三徑一攷之合徑八步二十四分步之一十一依密率合徑八步一百七十六分步之一十三 　　問為田幾何答曰四畝一百五十六畝四分步之一于徽術當為田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也依周三徑一為田三畝二十五步六十四分步之三十五 　　淳風等按宻率為田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也 　　術曰置中外周步數分母子各居其下【案原本脱母字今據注補】母互乘子通全步内分子【案此句上下皆有脱文當云分母相乘通全步内分子并而半之】以中周減外周餘半之【案此别記術之小異亦有脱文當云又可以中周減外周餘半之以益中周】徑亦通分内子以乘周為實分母相乘為法除之為積步餘積步之分【案此句下有脱文當云餘積步之分等數約之】以畝法除之即畝數也 　　按此術并中外周步數于上以分母子置于下母互乗子者為中外周俱有餘分故以互乗齊其子母相乗同其母子齊母同故通全步内分子半之　【二字上有脱文當云并而半之】知以盈補虚得中平之周周則為從徑則為廣故廣從相乗而得其積既合分母還須分母出之故令周徑分母相乗而連除之即得積步不盡以等數除之而命分以畝法除積步得畝數也 　　九章算術卷一 　　欽定四庫全書 　　九章算術卷二　　　　　晉　劉　徽　注 　　唐　李淳風　注釋 　　粟米以御交質變易 　　凡此諸率相與大通其時相求各如本率可約者約之别術然也 　　粟率五十 　　糲米三十 　　粺米二十七 　　糳米二十四 　　御米二十一　【詩大雅鄭箋云米之率糲十粺九糳八侍御七疏云九章粟米之法粟率五十糲米三十粺二十七鑿二十四御二十一言粟五升爲糲米三升已下則米漸細故數益少今攷鑿糳古多通用】小䵂十三半 　　大䵂五十四 　　糲飯七十五 　　粺飯五十四 　　糳飯四十八 　　御飯四十二 　　菽荅麻麥各四十五 　　稻六十 　　豉六十三 　　飧九十 　　熟菽一百三半 　　糱一百七十五 　　今有　【今有即下文稱所有率是也】 　　此都術也凡九數以爲篇名可以廣施諸率所謂告往而知來舉一隅而三隅反者也誠能分詭數之紛雜通彼此之否塞因物成率審辨名分平其偏頗齊其参差則終無不歸于此術也 　　術曰以所有數乗所求率爲實以所有率爲法 　　少者多之始一者數之母故爲率者必等之於一據粟率五糲率三是粟五而爲一糲米三而爲一也欲化粟爲米者糲當先本是一【案下舉粟率五令五為一則此不得云糲當先本是一糲字應改作粟】一者謂以五約之令五而為一也訖乃以三乗之令一而爲三如是則率至于一　【至字誤上云爲率者必等之于一至乃等字之誤】以五為三矣然先除後乗或有餘分故術反之又究言之知粟五升爲糲米三升以分言之知粟一斗為糲米五分斗之三以五為母三為子以粟求糲米者乗其母報除也【案此句有脱誤當云以子乗其母報除也】然則所求之率常為母也 　　淳風等按宜云所求之率常為子所有之率常為母今乃云所求之率常為母知脱錯也 　　實如法而一 　　今有粟一斗欲爲糲米問得㡬何答曰爲糲米六升術曰以粟求糲米三之五而一 　　淳風等按都術以所求率乗所有數以所有率為法此術以粟求米故粟爲所有數三是米率故三為所求率五為粟率故五為所有率粟率五十米率三十退位求之故惟云三五也 　　今有粟二斗一升欲爲粺米問得㡬何答曰爲粺米一斗一升五十分升之十七 　　術曰以粟求粺米二十七之五十而一 　　淳風等按粺米之率二十有七故直以二十七之五十而一也 　　今有粟四斗五升欲為糳米問得㡬何答曰為糳米二斗一升五分升之三 　　術曰以粟求糳米十二之二十五而一 　　淳風等按糳米之率二十有四以為率太繁故因而半之半所求之率以乗所有之數所求之率既減半所有之率亦減半是故十二乗之二十五而一也 　　今有粟七斗九升欲為御米問得㡬何答曰為御米三斗三升五十分升之九 　　術曰以粟求御米二十一之五十而一 　　今有粟一斗欲為小䵂問得㡬何答曰爲小䵂二升一十分升之七 　　術曰以粟求小䵂二十七之百而一 　　淳風等按小䵂之率十三有半半者二為母以二通之得二十七為所求率又以母二通其粟率得一百為所有率凡本率有分者須即乗除也他皆倣此 　　今有粟九斗八升欲為大䵂問得㡬何答曰為大䵂一十斗五升二十五分升之二十一 　　術曰以粟求大䵂二十七之二十五而一 　　淳風等按大䵂之率五十有四因其可半故二十七之亦如粟求糳米半其二率 　　今有粟二斗三升欲為糲飯問得㡬何答曰爲糲飯三斗四升半 　　術曰以粟求糲飯三之二而一 　　淳風等按飯之率七十有五粟求糲飯合此此數乗之今以等數二十有五約其二率所求之率得三所有之率得二故以三乗二除 　　今有粟三斗六升欲為粺飯問得㡬何答曰為粺飯三斗八升二十五分升之二十二 　　術曰以粟求粺飯二十七之二十五而一 　　淳風等按此術與大䵂多同 　　今有粟八斗六升欲為糳飯問得㡬何答曰為糳飯八斗二升二十五分升之一十四 　　術曰以粟求糳飯二十四之二十五而一 　　淳風等按糳飯率四十八此亦半二率而乗除 　　今有粟九斗八升欲為御飯問得㡬何答曰為御飯八斗二升二十五分升之八 　　術曰以粟求御飯二十一之二十五而一 　　淳風等按此術半率亦與糳飯多同 　　今有粟三斗少半升欲為菽問得㡬何答曰為菽二斗七升一十分升之三 　　今有粟四斗一升太半升欲為荅問得㡬何答曰為荅三斗七升半 　　今有粟五斗太半升欲為麻問得㡬何答曰為麻四斗五升五分升之三 　　今有粟一十斗八升五分升之二欲為麥問得㡬何答曰為麥九斗七升二十五分升之一十四 　　術曰以粟求菽荅麻麥皆九之十而一 　　淳風等按四術率竝四十五【案竝原本訛作并今改正】皆是為粟所求俱合以此率乗其本粟術欲從省先以等數五約之所求之率得九所有之率得十故九乗十除義由于此 　　今有粟七斗五升七分升之四欲為稲問得㡬何答曰為稻九斗三十五分斗之二十四 　　術曰以粟求稻六之五而一 　　淳風等按稻率六十六約二率而乗除 　　今有粟七斗八升欲為豉問得㡬何答曰為豉九斗八升二十五分升之七 　　術曰粟求豉六十三之五十而一 　　今有粟五斗五升欲為飧問得㡬何答曰為飧九斗九升 　　術曰以粟求飧九之五而一 　　淳風等按飧率九十退位與求稻多同 　　今有粟四斗欲為熟菽問得㡬何答曰為熟菽八斗二升五分升之四 　　術以粟求熟菽二百七之百而一 　　淳風等按熟菽之率一百三半半者其母二故以母二通之所求之率既被二乗所有之率随而俱長故以二百七之百而一 　　今有粟二斗欲為糱問得㡬何答曰為糱七斗 　　術曰以粟求糱七之二而一 　　淳風等按糱率一百七十有五合以此數乗其本粟術欲從省先以等數二十五約之所求之率得七所有之率得二故七乗二除 　　今有糲米十五斗五升五分升之二欲為粟問得㡬何答曰為粟二十五斗九斗 　　術曰以糲米求粟五之三而一 　　淳風等按上術以粟求米故粟為所有數三為所求率五為所有率今此以米求粟故米為所有數五為所求率三為所有率準都術求之各合其數以下所有反求多同皆準此 　　今有粺米二斗欲為粟問得㡬何答曰為粟斗斗七升二十七分升之一 　　術曰以粺米求粟五十之二十七而一 　　今有糳米斗求半升欲為粟問得㡬何答曰為粟二斗三升三十六分升之七 　　術曰以糳米求粟二十五之十二而一 　　今有御米十四斗欲為粟問得㡬何答曰為粟三十三斗三升少半升 　　術曰以御米求粟五十之二十一而一【案原本作二十二而一今改正】今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四欲為粟問得㡬何答曰為粟一十斗五升九分升之七 　　術曰以稻求粟五之六而一 　　今有糲米一十九斗二升七分升之一欲為粺米問得㡬何答曰為粺米一十七斗二升一十四分升之一十三 　　術曰以糲米求粺九之十而一 　　淳風等按粺米率二十七合以此數乗糲米術欲從省先以等數三約之所求之率得九所有之率得十故九乘而十除 　　今有糲米六斗四升五分升之三欲為糲飯問得㡬何答曰為糲飯一十六斗一升半 　　術曰以糲米求糲飯五之二而一 　　淳風等按糲飯之率七十有五宜以本糲飯乗以率數【案此句舛誤當云宜以本糲米乗此率】術欲從省先以等數十五約之所求之率得五所有之率得二故五乗二除義由於此 　　今有糲飯七斗六升七分升之四欲為飧問得㡬何答曰為飧九斗一升三十五分升之三十一 　　術曰以糲飯求飧六之五而一 　　淳風等按飧率九十為糲飯所求宜以飧乗此率【案此句誤當云宜以糲飯乗此率】術欲從省先以等數十五約之所求之率得六所有之率得五以此故六乗五除也 　　今有菽一斗欲為熟菽問得㡬何答曰為熟菽二斗三升 　　術曰以菽求熟菽二十三之十而一 　　淳風等按熟菽之率一百三半　【率原本訛作粟今改正】因其有半各以母二通之宜以熟菽數乗此率【案此句誤當云宜以菽數乗此率衍熟字】術欲從省先以等數九約之所求之率得一十一半所有之率得五也 　　今有菽二斗欲為豉問得㡬何答曰為豉二斗八升術曰以菽求豉七之五而一 　　淳風等按豉率六十三為菽所求宜以豉乗此率【此句誤當云宜以菽乗此率】術欲從省先以等數九約之所求之率得七而所有之率得五也 　　今有麥八斗六升七分升之三欲為小䵂問得㡬何答曰為小䵂二斗五升一十四分升之一十三 　　術曰以麥小䵂三之十而一 　　淳風等按小䵂之率十三半宜以母二通之以乗本麥之數術欲從省先以等數九約之所求之率得三所有之率得十也 　　今有麥一斗欲為大䵂問得㡬何答曰為大䵂一斗二升 　　術曰以麥求大䵂六之五而一 　　淳風等按大䵂之率五十有四合以大䵂數乗此率【此句誤當云合以麥數乗此率】術欲從省先以等數九約之所求 　　之率得六所有之率得五也 　　今有出錢一百六十買瓴甓十八枚 　　瓴甓甎也 　　問枚㡬何答曰一枚八錢九分錢之八 　　今有出錢一萬三千五百買竹二千三百五十箇問箇㡬何答曰一箇五錢四十七分錢之三十五 　　經率術曰以所買率為法所出錢數為實實如法得一此術猶經分 　　淳風等按今有之義以所求率乗所有數合以瓴甓一枚乗錢一百六十為實【案此句原本脱乗字今補】但以一乗不長故不復乗是以徑將所買之率與所出之錢為法實也又按此今有之義出錢為所有數一枚為所求率所買為所有率而今有之即得所求數【案原本訛作即得所求率今改正】一乗不長故不復乗是以徑將所買之率為法以所出之錢為實實如法得一枚錢不盡者等數而命分 　　今有出錢五千七百八十五買漆一斛六斗七升太半升欲斗率之問斗㡬何答曰一斗三百四十五錢五百二分錢之一十五 　　今有出錢七百二十買縑一匹二丈一尺欲丈率之問丈㡬何答曰一丈一百一十八錢六十一分錢之二今有出錢二千三百七十買布九匹二丈七尺欲匹率之問匹㡬何答曰一匹二百四十四錢一百二十九分錢之一百二十四 　　今有出錢一萬三千六百七十買絲一石二鈞一十七斤欲石率之問石㡬何答曰一石八千三百二十六錢一百九十七分錢之百七十八 　　術曰以所求率乗錢數為實以所買率為法實如法得一 　　淳風等按今有之義錢為所求率物為所有數故以乗錢又以分母乗之為實實如法而一有分者通之所買通分内子為所有率故以為法得錢【案此已上舛誤不可通攷書内列數問淳風等多據首一問為言此當云今有之義一斗為所求率出錢為所有數故以一斗乗錢數有分者通之又以分母乗之為實所買通分内子為所有率故以為法實如法而一得錢】數不盡而命分者因法為母實餘為子實見不滿故以命之 　　今有出錢五百七十六買竹七十八箇欲其大小率之問各㡬何答曰其四十八箇箇七錢其三十箇箇八錢今有出錢一千一百二十買絲一石二鈞十八斤欲其貴賤斤率之問各㡬何答曰其二鈞八斤斤五錢其一石一十斤斤六錢 　　今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤石率之問各㡬何答曰其一鈞九兩一十二銖石八千五十一錢其一石一鈞二十七斤九兩一十七銖石八千五十二錢 　　今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤鈞率之問各㡬何答曰其七斤一十兩九銖鈞二千一十二錢其一石二鈞二十斤八兩二十銖鈞二千一十三錢 　　今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤斤率之問各㡬何答曰其一石二鈞七斤十兩四銖斤六十七錢其二十斤九兩一銖斤六十八錢 　　今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤兩率之問各㡬何答曰其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖兩四錢其一鈞一十斤五兩四銖兩五錢 　　其率術曰各置所買石鈞斤兩以為法以所率乗錢數為實實如法而一不滿法者反以實減法法賤實貴其求石鈞斤兩以積銖各除法實各得其積數餘各為銖其率如欲令差分按出錢五百七十六買竹七十八箇以除錢得七實餘三十是以三十箇復可増一錢然則實餘之數即是貴者之數故曰實貴也本以七十八箇為法今以貴者減之則其餘悉是賤者之數故曰法賤也其求石鈞斤兩以積銖各除法實各得其積數餘各為銖者謂石鈞斤兩積銖除實又以石鈞斤兩積銖除法餘各為銖即合所問 　　今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤銖率之問各㡬何答曰其一鈞二十斤六兩十一銖五銖一錢其一石一鈞七斤一十二兩一十八銖六銖一錢 　　今有出錢六百二十買羽二千一百翭 　　翭羽本也數羽稱其本猶數草木稱其根株 　　欲其貴賤率之問各㡬何答曰其一千一百四十翭三翭一賤其九百六十翭四翭一錢 　　今有出錢九百八十買矢榦五千八百二十枚欲其貴賤率之問各㡬何答曰其三百枚五枚一錢其五千五百二十枚六枚一錢 　　反其率術曰以錢數為法所率為實實如法而一不滿法者反以實減法法少實多二物各以所得多少之數乘法實即物數 　　按其率出錢六百二十買羽一千二百翭反之當二百四十錢一錢四翭其三百八十錢一錢三翭【案以上舛誤不可通参攷上注當云按其率錢多物少反之錢少物多出錢六百二十買羽二千一百翭當以除羽得三實餘二百四十是為三翭復可増一翭然則實餘之數即是多者之錢故曰實多本以六百二十錢為法今以多者減之則其餘三百八十悉是少者之錢故曰法少也二百四十錢一錢四翭乘得九百六十其三百八十錢一錢三翭乗得一千一百四十】是錢有二價物有貴賤故以羽乘反二率也 　　淳風等按其率者錢多物少反其率知錢少物多多少相反故曰反其率也其率者以物數為法錢數為實反之知以錢數為法物數為實不滿法知實餘也當以餘物化為錢矣法為凡錢而今以化錢減之故以實減法法少知經分之所得故曰法少實多者餘分之所益故曰實多乘實宜以多乘法宜以少故曰各以其所得多少之數乗法實即物數 　　九章算術卷二 　　欽定四庫全書 　　九章算術卷三　　　　　晋　劉　徽　注 　　唐　李淳風　注釋 　　衰分以御貴賤稟税 　　術曰各置列衰 　　列衰相與率也重疊則可約 　　副并為法以所分乘未并者各自為實實如法而一法集而衰别數本一也今以所分乘上别以下集除之一乘一除適相足消故所分猶存且各應率而别也于今有術列衰各為所求率副并為所有率所分為所有數又以經分言之假令甲家三人乙家二人丙家一人并六人共分十二為人得二也欲復作逐家者則當列置人數以一人所得乘之今此術先乘而後除也 　　不滿法者以法命之 　　今有大夫不更簮褭上造公士凡五人共獵得五鹿欲以爵次之分問各得㡬何答曰大夫得一鹿三分鹿之二不更得一鹿三分鹿之一簪褭得一鹿上造得三分鹿之二公士得三分鹿之一 　　術曰列置爵數各自為衰 　　爵數者謂大夫五不更四簪褭三上造二公士一也墨子號令篇以爵級為賜然則戰國之初有此名也 　　副并為法以五鹿乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一鹿衍鹿字攷古算凡以法除實得所求之數多云實如法而一所有率恒為法所求率通所有數恒為實準所有率以剖實取其一為所求數故曰如法而一或變言實如法得某數篇内有云實如法得絲數及得銀數得粟數之類是也一乃該舉得所求之數為言此云得一亦該舉得所求數之辭不知者妄加鹿字得一鹿便不足該舉與後妄加斗字錢字尺字斛字升字作得一斗得一錢得一尺得一斛得一升者皆不可通今竝為之訂正冊去】 　　于今有術【案原本脱于字今㨿後注文之例補】列衰各為所求率副并為所有率今有鹿數為所有數而今有之卽得 　　今有牛馬羊食人苗苗主責之粟五斗羊主曰我羊食半馬馬主曰我馬食半牛今欲衰償之問各出㡬何答曰牛主出二斗八升七分升之四馬主出一斗四升七分升之二羊主出七升七分升之一 　　術曰置牛四馬二羊一各自為列衰副并為法以五斗乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一斗乃後人妄加斗字今刪】淳風等按此術問意羊食半馬馬食半牛是謂四羊當一牛二羊當一馬今術置羊一馬二牛四者通其率以為列衰 　　今有甲持錢五百六十乙持錢三百五十丙持錢一百八十凡三人俱出關關税百錢欲以錢數多少衰出之問各㡬何答曰甲出五十一錢一百九分錢之四十一乙出三十二錢一百九分錢之一十二丙出一十六錢一百九分錢之五十六 　　術曰各置錢數為列衰副并為法以百錢乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一錢亦後人妄加錢字今刪】 　　淳風等按此術甲乙丙持錢數以為列衰副并爲所有率未并者各為所求率百錢為所有數而今有之即得 　　今有女子善織日自倍五日織五尺問日織㡬何答曰初日織一寸三十一分寸之十九次日織三寸三十一分寸之七次日織六寸三十一分寸之十四次日織一尺二寸三十一分寸之二十八次日織二尺五寸三十一分寸之二十五 　　術曰置一二四八十六為列衰副并為法以五尺乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一尺亦後人妄加尺字今刪】今有北鄉算八千七百五十八西鄉算七千二百三十六南鄉算八千三百五十六凡三鄉發徑三百七十八人欲以算數多少衰出之問各㡬何答曰北鄉遣一百三十八人一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百三十七西鄉遣一百一十二人一萬二千一百七十五分人之四千四南鄉遣一百二十九人一萬二千二一百七十五分之之八千七百九 　　術曰各置算數為列衰 　　淳風等按三鄉算數約可半者為列衰 　　副并為法以所發徭人數乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一人亦後人妄加人字今刪】 　　按此術今有之義也【案此注有脱誤㨿注文之例當云亦今有之義以列衰各為所求率副并為所有率所發徭人數為所有數而今有之即得】 　　今有稟粟大夫不更簪褭上造公士凡五人一十五斗今有大夫一人後来亦當稟五斗倉無粟欲以衰出之問各㡬何答曰大夫出一斗四分斗之一不更出一斗簪褭出四分斗之三上造出四分斗之二公士出四分斗之一 　　術曰各置所稟粟斛斗數爵次均之以為衰列副并而加後来大夫亦五斗得二十以為法以五斗乘末并者各自為實實如法得一【案原本作得一斗亦後人妄加斗字今刪】 　　稟前五人十五斗者大夫得五斗不更得四斗簪褭得三斗上造得二斗公士得一斗欲令五人各依所得粟多少減與後来大夫即與前来大夫同據前来大夫已得五斗故言亦也各以所得斗數為衰并得十五而加後來大夫亦五斗凡二十為法也是為六人共出五斗後來天子亦俱損折于今有術【案原本脱于字今補】副并為所有率未并者各為所求率五斗為所有數而今有之即得 　　今有稟粟五斛五人分之欲令三人得三二人得二問各㡬何答曰三人人得一斛一斗五升十三分升之五二人人得七斗六升十三分升之十二 　　術曰置三人人三二人人二為列衰副并為法以五斛乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一斛亦後人妄加斛字今刪】今有大夫不更簪褭上造公士凡五人共出百錢欲令髙爵出少以次漸多問各㡬何答曰大夫出八錢一百三十七分錢之一百四不更出一十錢一百三十七分錢之一百三十簪褭出一十四錢一百三十七分錢之八十二上造出二十一錢一百三十七分錢之一百二十三公士出四十三錢一百三十七分錢之一百九反衰術曰列置衰而令相乘動者為不動者哀置爵數各自為衰而反衰之副并為法以百錢乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一錢亦後人妄加錢字今刪】 　　以爵次言之大夫五不更四欲令髙爵得多者者使大夫愛五分不更一人愛四分人数為母分為子為子同母則子齊齊卽衰也故上衰分宜以五四為列焉今此令髙爵出少則當大夫五人共出一人分不更四人共出一人分故謂之反衰人不同則分數不齊當令母互乘子母互乘子則動者為不動者衰也亦可先同其母各以分母約其子為反衰副并為法以所分乘未并者各為實實如法而一 　　今有甲持粟三升乙持糲米三升丙持糲飯三升欲令合而分之問各㡬何答曰甲二升一十分升之七乙四升一十分升之五丙一升一十分升之八 　　術曰以粟率五十糲米率三十糲飯率七十五為衰而反衰之副并為法以九升乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一升亦後人妄加升字今刪】 　　按此術三人所持升雖等論其本率精麤不同米率雖少令最得多飯率得多反使得少故令反之使精得多而麤得少于今有術副并為所有率未并者各為所求率九升為所有數而今有之即得 　　今有絲一斥價直二百四十今有錢為實定二十八問得絲㡬何答曰五斤八両一十二銖五分銖之四術曰以一斤價數為法以一斤乘今有錢數為實實如法得絲 　　按此術亦今有之義以一斤價為所有率一斤為此求率今有錢為所有數而今有之即得 　　今有絲一斤價直三百四十五今有絲七兩一十二銖問得錢㡬何答曰一百六十一錢三十二分錢之二十三 　　術曰以一斤銖為法以一斤價乘七両一十二銖為實實如法得錢 　　按此術亦今有之義以絲一斤銖數為所有率【案原本脱銖字今補】價錢為所求率今有絲為所有數而今有之即得 　　今有縑一丈價直一百二十八今有縑一匹九尺五寸問得㡬何答曰六百三十三錢五分錢之三 　　術曰以一丈寸數為法以價錢數乘今有縑寸數為實實如法得錢數 　　淳風等按此術亦今有之義以縑一丈寸數為所有率價錢為所求率今有縑寸數為所有數而今有之即得 　　今有布一匹價直一百五十五今有布二丈七尺問得錢㡬何答曰八十四錢八分錢之三 　　術曰以一匹尺數為法今有布尺數為乘錢為實實如法得錢數 　　按此術亦今有之義以一匹尺數為所有率價錢為所求率今有布所有數而今有之即得 　　今有素一匹一丈價直六百二十五今有錢五百問得㡬何答曰得素一匹 　　術曰以價直為法以一匹一丈尺數乘今有錢數為實實如法得素數 　　按此術亦今有之義以價錢為所有率以丈尺數為所求率今有錢為所有數而今有之即淂 　　今有與人絲一十四斤約淂縑一十斤今與人絲四十斤八兩問得縑㡬何答曰三十二斤八両 　　術曰一十四斤兩數為法以十一斤乘今有絲兩為數實實如法得縑數 　　按此術亦今有之義以十四斤兩數為所有率以十一斤為所求率今有絲為所有數而今有之即得 　　今有絲一斤耕七兩今有絲二十三斤五兩問耗㡬何答曰一百六十三兩四銖半 　　術以曰以一斤展十六兩為法以七兩乘今有絲數為實實如法得耗數 　　按此術亦今有之義以一斤為十六兩為所有率七兩為所求率今有絲為所有數而今有之即得 　　今有生絲三十斤乾之耗三斤十二兩今有乾絲一十二斤問生絲㡬何答曰一十三斤一十一兩十銖七分銖之二 　　術曰置生絲兩數除耗數餘以為法 　　餘四百二十兩即乾絲率 　　三十斤乘乾絲兩數為實實如法得生絲數 　　凡所得率如細則俱細麤則俱麤兩數相抱而已故品物不同如上縑絲之比相與乘為三十斤凡四百八十兩今生絲率四百八十兩今乾絲率四百二十兩則其數相通可俱為銖可俱為兩可俱為斤無所歸滯也若然宜以所有乾絲斤數乘生絲兩數為實今以斤兩錯互而亦同歸者使乾絲以兩數為率生絲以類為率譬之異類亦各有一定之勢 　　淳風等按此術置生絲兩數除耗數餘即乾絲之率于今有術為所有率三十斤為所求率乾絲兩數為所有數凡所為率者細則俱細麤則俱麤今有一斤乘兩知乾絲即以兩數為率生絲即以斤數為率譬之異物各有一定之率也 　　今有田一畞收粟六升大半升今有田一頃二十六畞一百五十九步問收粟㡬何答曰八斛四斗四升一十二分升之五 　　術曰以畞二百四十步為法以六升太半升乘今有田積步為實實如法得粟數 　　按此術亦今有之義以一畞步數為所有率六升太半升為所求率今有田積步為所有數而今有之即得 　　今有取保一嵗價錢二千五百今先取一千二百問當作日㡬何答曰一百六十九日二十五分日之三十二為實實如法為法以一嵗三百五十四日乘先取錢數為實實如法得日數 　　按此術亦今有之義以價為所有率一歲日數為所求率取錢為所有數而今有之即得 　　今有貨人千錢月息三十今有貨人七百五十錢九日歸之問息㡬何答曰六錢四分錢之三 　　術曰以月三十日乘千錢為法 　　以三十日乘千錢為法者得三萬是為貨人錢三萬一日息三十也 　　以息三十乘今所貨錢數又以九日乘之為實實如法得一【案原本作淂一錢亦後人妄加錢字今刪】 　　以九日乘今所貨錢為今日一所有錢于今有術為所有數息三十日為所求率三萬錢為所有率又可以又月三十日約息三十錢為十分一日以乘今日日所有錢為實千錢為法為率者當等之于一也故三十日或可乘本或可約息皆所以等之也 　　九章算術卷三 <子部,天文算法類,算書之屬,九章算術> 　　欽定四庫全書 　　九章算術卷四　　　　　晉　劉　徽　注 　　唐　李淳風　注釋 　　少廣以御積幂方圓 　　淳風等按一畝之田廣一步長二百四十歩今欲截取其從少以益其廣故曰少廣 　　術曰置全歩反分母子以最下分母徧乘諸分子及全歩 　　淳風等按以分母乘全少者通其分也以母乘子者齊其子也 　　各以其母除其子置之子左命通分者又以分母徧乘諸分子反已通者皆通而同之并之為法 　　淳風等按諸子悉通故可并之為法亦宜用合分術列數尤多若用乘則算數至繁故别置此術從省約 　　置所求歩數以全歩積分乘之為實實如法而一得從歩【案此句實如法之上原水以劉幾總注列入求注又誤截為三中間法有分者至子如母而一凡三十五字訛作正攵語意遂横隔不句通今改正】 　　此以田廣為法以畝積歩為實【案此十二字原本截作置所求步數以全歩積分乘之為實下注又今攷其文意乃劉注總解田廣求從之術定以田廣為廣以畝積步為實非専釋二語也】法有分者當同其母齊其子以同乘法實而使齊子法今以分母乘全歩及子子如母而一【案此三十五字原本訛作正文今改正攷注有分者言田廣既有分母子須令母同子齊也以同乘法實言母相乘為同既以子來法通其子母又必以之乘實則實齊子法也今以分母乘全步及子之如母而一即正文所云以孜下分母偏乘諸分子及全歩也以其母除其子也】竝以并全法則法實俱長意亦等也故如法而一得從步數【案此二十三字原本截作上文法有分者已下之注今攷竝以并全法即此文所云并之為法也則法寳俱長意亦等也承土法既以分母通之而長畝積步為實者亦以通之而長實與法方相等此二句始専釋置所求步數以余歩積分乘之為實二語前後文意相貫自中間訛作正立截首尾而三遂不可通】 　　今有田廣一歩半求田一畝間從幾何答曰一百六十步 　　術曰下有半是二分之一以一為二半為一并之得三為法置田二百四十歩亦以一為二乘之為實實如法得從歩 　　今有田廣一步半三分步之一求田一畝問從幾何答曰一百三十歩一十一分歩之一十 　　術曰下有三分以一為六半為三三分之一為二并之得一十一為法置田二百四十步亦以一為六乘之為實實如法得從步 　　今有田廣一步半三分步之一四分歩之一求田一畝問從幾何答曰一百一十五步五分步之一 　　術曰下有四分以為一十二半為六三分之一為四四分之一為二并之得二十五以為法置田二百四十步亦以一為一十二乘之為實實如法而一得従步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一求田一畝問從幾何答曰一百五步一百三十七分步之一十五 　　術曰下有五分以一為六十半為三十三分之一為二十四分之一為一十五五分之一為一十二并之得一百三十七以為法置田二百四十步亦以一為六十乘之為實實如法得從步 　　今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一求田一畝問從幾何答曰九十七步四十九分步之四十七 　　術曰下有六分以一為一百二十半為六十三分之一為四十四分之一為三十五分之一為二十四六分之一為二十并之得二百九十四以為法置田二百四十步亦一為一百二十乘之為實實如法得從步 　　今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一求田一畝問從幾何答曰九十二步一百二十一分歩之六十八 　　術曰下有七分以一為四百二十半為二百一十三分之一為一百四十四分之一為一百五五分之一為八十四六分之一為七十七分之一為六十并之得一千八十九以為法置田二百四十步亦以一為四百二十乘之為實實如法得從步 　　今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一求田一畝問從幾何答曰八十八步七百六十一分步之二百三十二 　　術曰下有八分以一為八百四十半為四百二十三分之一為二百八十四分之一為二百一十五分之一為一百六十八六分之一為一百四十七分之一為一百二十八分之一為一百五并之得二千二百八十三以為法置四二百四十步亦以一為八百四十乘之為實實如法得從歩 　　今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一求田一畝問從幾何答曰八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四 　　術曰下有九分以一為二千五百二十半為一千二百六十三分之一為八百四十四分之一為六百三十五分之一為五百四六分之一為四百二十七分之一為三百六十八分之一為三百一十五九分之一為二百八十并之得七千一百二十九以為法置四二百四十步亦以一為二千五百二十乘之為實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一求田一畞問從幾何答曰八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九 　　術曰下有一十分以一為二千五百二十半為一千二百六十三分之一為八百四十四分之一為六百三十五分之一為五百四六分之一為四百二十七分之一為三百六十八分之一為三百一十五九分之一為二百八十十分之一為二百五十二并之得七千三百八十一以為法置田二百四十步亦以一為二千五百二十乘之為實實如法得從步 　　今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一十一分步之一求田一畝問從幾何答曰七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一 　　術曰下有一十一分以一為二萬七千七百二十半為一萬三千八百六十三分之一為九千二百四十四分之一為六千九百三十五分之一為五千五百四十四六分之一為四千六百二十七分之一為三千九百六十八分之一為三千四百六十五九分之一為三千八十一十分之一為二千七百七十二十一分之一為二千五百二十并之得八萬三千七百一十一以為法置田二百四十步亦以一為二萬七千七百二十乘之為實實如法得從步 　　今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一十一分步之一十二分步之一求田一畝問從幾何答曰七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三 　　術曰下有一十二分以一萬八萬三千一百六十半為四萬一千五百八十三分之一為二萬七千七百二十四分之一為二萬七百九十五分之一為一萬六千六百三十二六分之一為一萬三千八百六十七分之一為一萬一千八百八十八分之一為一萬三百九十五九分之一為九千二百四十一十分之一為八千三百一十六十一分之一為七千五百六十十二分之一為六千九百三十并之得二十五萬八千六十三以為法置田二百四十步亦以一為八萬三千一百六十乘之為實實如法得從步 　　淳風等按凡為術之意約省為善宜云下有一十二分以一為二萬七千七百二十半為一萬三千八百六十三分之一為九千二百四十四分之一為六千九百三十五分之一為五千五百四十四六分之一為四千六百二十七分之一為三千九百六十八分之一為三千四百六十五九分之一為三千八十十分之一為二千七百七十二十一分之一為二千五百二十十二分之一為二千三百一十并之得八萬六千二十一以為法置田二百四十步亦以一為二萬七千七百二十乘之以為實實如法得從步其術亦得如不繁也 　　今有積五萬五千二百二十五步問為方幾何答曰二百三十五步 　　今有積二萬五千二百八十二步問為方幾何答曰一百五十九步 　　今有積七萬一千八百二十四步問為方幾何答曰二百六十八步 　　今有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一問為方幾何答曰七百五十一步半 　　今有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步問為方幾何答曰六萬三千二十五步 　　開方 　　求方幂之一面也 　　術曰置積為實借一算步之超一位 　　言百之面十也言萬之面百也 　　議所得以一乘所借一算為法而以除 　　先得黄甲之而上下相命是自乘而除也【案注而有黄甲黄乙朱青幂之文則知舊有圖而缺今補鬬方圖附于後】 　　除已倍法為定法 　　倍之者豫張兩面求幂定袤以待復除故曰定法 　　其復除折法而下 　　欲除朱幂者本當副置所得成方倍之為定法以折議乘而以除如是當復步之而止乃得相命故使就上折下 　　復置借算步之如初以復議一乘之 　　欲除朱幂之角黄乙之幂其意如初之所得也 　　所得副以加定法以除以所得副從定法 　　以黄乙之面加定法是則張兩青幂之袤 　　復除折下如前若開之不盡者為不可開當以面命之術或有以借算加定法而命分者雖粗相近不可用也凡開積為方方之自乘當還復有積分令不加借算而命分則常微少其加借算而命分則又微多其数不可得而定故惟以面命之為不朱耳譬猶以三除十以其餘為三分之一而復其數可以舉不以面命之加定法如前求其微数微数無名者以為分子其一退以十為母其退以百為母退之彌下其分彌細則朱幂雖有所乘之数不足言之也 　　若實有分者通分内子為定實乃開之訖開其母報除淳風等按分母可開者竝通之積先合二母既開之後一母尚存故開分母求一母為法以報除也 　　若母不可開者又以母乘定實乃開之訖令如母而一 　　淳風等按分母不可開者本一母也又以母乘之乃合二母既開之後亦一母存焉故令如母而一得全面也 　　又按此術開方者求方幂之一面也借一算者假借一算空有列位之名而無除積之實方隅得面是故借算列之于下也步之超一位者方十自乘其積有百方百自乘其積有萬故超位至百而言十至萬而言百也議所得以一乘所借一算為法而以除者先得黄甲之面以方為積者兩相乘故開方除之還令呐面上下相命是自乘而除之也除已倍法為定法者實積未盡當復更除故豫張兩面朱幂定袤以待復除故曰定法也其復除折法而下者欲除朱幂本當副置所得成方倍之為定法以折議乘之而以除如是當復步之而止乃得相命故使就上折之而下也復置借算步之如初以復議一乘之所得副以加定法以除之欲除朱幂之角黄乙之幂以所得副從定法者再以黄乙之幂加定法是則張兩青幂之袤故如前開之即合所問 　　今有積一千五百一十八步四分步之二問為圓周幾何答曰一百三十五步 　　于徽術當周一百三十八步一十分步之一 　　淳風等按此依宻率為周一百三十八步五十分步之九 　　今有積三百步問為圓周幾何答曰六十步 　　于徽術當周六十一步五十分步之十九 　　淳風等按依宻率為周六十一步一百分步之四十一 　　術曰置積步数以十二乘之以開方除之即得周此術以周三徑一為率與舊圓田術相反覆也于徽術以三百一十四乘積如二十五而一所得開方除之即周也開方除之即徑是為據見幂以求周猶失之于微少其以二百乘積一百五十七而一開方除之即徑猶失之于微多 　　淳風等按此注于徽術求周之法其中不用開方除之即徑六字今木有者衍賸也依宻率八十八乘之七而一按周三徑一之率假令周三徑二半周半徑相乘得幂三周六自乘得三十六俱以等数除得幂一周之数十二也其積本周自乘合以二乘之十二而一得積三也術為一乘不長故以十二而一得此積今還原置此積三以方二乘之者復其本周自乘之数凡物自乘開方除之復其本数故開方除之耶周 　　今有積一百八十六萬八百六十七尺 　　此尺謂立方尺也凡物有高深深而言積者曰立方 　　問為立方幾何答曰一百二十三尺 　　今有積一千九百五十三尺八分尺之一問為立方幾何答曰一十二尺半 　　今有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七問為立方幾何答曰三十九尺八分尺之七今有積一百九十三萬七千五百四十一尺三十七分尺之一十七問為立方幾何答曰一百二十四尺太半尺 　　開立方 　　立方適等求其一面也 　　術曰置積為實借一算步之超二位 　　言千之面十言百萬之面百 　　議所得以乘所借一算為法而以除 　　乘者亦求為方幂以上議命而除之則立方等也 　　除已三之為定法 　　為當復除故豫張三面已定方幂為定法也 　　復除折而下 　　復除者三面方幂已皆自乘之数湏得折議定其厚薄耳開平幂者方百之面十開立幂者方千之面十據定法也有成方之幂故復除當以千為百折下一等也 　　以三乘所得数置中行 　　設三亷之定長 　　復借一算置下行 　　欲以為隅方立方等未有定数且置一算定其位 　　步之中超一下超二位 　　上方法長自乘而折中亷法但有長故除一等下隅法無面長故又降一等也 　　復置議以一乘中 　　為三亷借幂也 　　乘下 　　令隅自乘為方幂也 　　皆副以加定法以定法除 　　三面三亷一隅皆已有幂以上議命之而除去三袤之厚也 　　除已倍下并中従定法 　　凡以中三以下加定法者三亷各當以兩面之幂連于兩方之面一隅連于三亷之端【案原本脱兩方之面一隅連于凡八字今據李淳風注釋所舉此文補入】以待復除也言不盡意解此要當以棊乃得明耳 　　復除折下如前開之不盡者亦為不可開 　　術亦有以定法命分者不如故幂開方以微数為分也 　　若積有分者通分内子為定實定實乃開之託開其母以報除 　　淳風等按分母可開者竝通之積先合三母既開之後一母尚存故開分母求一母為法以報除也 　　若母不可開者又以母乘定實乃開之訖令如母而一 　　淳風等按分母不可開者本一母也又以母再乘之今合三母既開之後一母猶存故令如母而一得全面也 　　又按開立方者立方適等求其一面之数也借一算步之超二位者立方求積方再自乘就積開之故超二位言千之面十言百萬之面百也議所得以再乘所借一算為法而以除者求為方幂以議命之而除則立方等也除已三之為定法者為積米盡當復更除故豫張三面已定方幂為定法也復除折而下者三面方幂皆已有自乘之数湏得折議定其厚薄據開平方百之面十其開立方則千之面十而定法已有成方之幂故復除之當以千為百折下一等也以三乘所得数置中行者設三亷之定長也復借一算置下行者欲以為隅方立方等未有数且置一算定其位也步之中超一下超二者上方法長自乘而一折中亷法但有長故降一等下隅法無面長故又降一等也復置議以一乘中者為三亷借幂也再乘下者當令隅自乘為方幂也皆副以加定法以定法除者三面三亷一隅皆已有幂以上議命之而除去三袤之厚也除已倍下并中從定法者三亷各當以兩面之幂連于兩方之面一隅連于三亷之端以待復除也其開之不盡者折下如前開方即合所問有分者通分納子開之訖開其母以報除可開者竝適之積先令三母既開之後一母尚存故開分母者求一母為法以報除若母不可開者又以母乘定實乃開之訖令如母而一分母不可開者本一母又以母乘今合三母既開之後亦一母尚存故令如母而一得全面也 　　今有積四千五百尺 　　亦謂立方之尺也 　　問為立圓徑幾何答曰二十尺 　　淳風等按依宻率立圓徑二十八尺計積四千一百九十尺二十一分尺之一十 　　今有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺問為立圓徑幾何答曰一萬四千三百尺淳風等按依宻率為徑一萬四千六百四十三尺四分尺之三 　　術曰置積尺数以十六乘之九而一所得開立方除之即圓徑 　　立圓即丸也為術者葢依周三徑一之率令圓幂居方幂四分之三圓囷居立方亦四分之三更令圓囷為方率十二為丸率九凡居圓囷又四分之三也置四分自乘得十六三分自乘得九故丸居立方十六分之九也故以十六乘積九而一得立方之積丸徑與立方等故開立方而除得徑也然此意非也何以驗之取立方棊八枚皆令立方一寸積之為立方二寸規之為圓囷徑二寸高二寸又復横因之【案此句有舛誤後李淳風注釋亦以立方棊為喻有従規横規之語此當云又復横規之】則其形有似牟合方葢矣八棊皆然似陽馬圓然也按合葢者方率也丸居其中即圓率也推此言之謂夫圓囷為方率豈不闕哉以周三徑一為圓率則圓幂傷少令圓囷為方率則九積傷多互相通補是以九與十六之率偶與實相近而丸猶傷多耳觀立方之内合葢之外雖哀殺有漸而多少不揜判合總結方圓相纒濃纎詭互不可等正欲陋形措意懼失正理敢不闗疑以俟能言者 　　黄金方寸重十六兩金丸徑寸重九兩率生于此未曾驗也周官考工記㮚氏為量改煎金錫則不耗不耗然後權之權之然後凖之凖之然後量之言鍊金使極精而後分之則可以為率也命丸徑自乘三而一開方除之即丸中之立方也微令丸中立方立尺五尺為句句自乘幂二十五尺倍之得五十尺以為股幂謂平面方五尺之也以此幂為股亦以五尺為句并句股幂得七十五尺是為大幂開方除之則大可知也大即中立方之長邪邪即丸徑故中立方自乘之幂于丸徑自乘之幂三分之一也今大還乘其幂即丸外立方之積也大幂開之不盡令囷幂七十五【案七十五即大弦幂是為外立方一面自乘之幂非囷幂也囷幂當是具幂之誤】自乘之為面命得外立方積四十二萬一千八百七十五尺之面又令中立方五尺自乘又以方乘之得積一百二十五尺一百二十五尺自乘為面句得積一萬五千六百二十五尺之面【案句字誤彼上云命得外立方積之面此乃命得中立方積之面也句當作命】皆以六百二十五約之外立方積六百七十五尺之面中立方積二十五尺之面也 　　張衡算又謂立方為質立圓為渾衡言質之與中外之渾六百七十五尺之面開方除之不足一謂外質積二十六也内渾二十五之面謂積五尺也今徽令質言中渾渾又言質則二質相與之率猶衡二渾相與之率也衡葢亦先二質之率推以言渾之率也衡又言質六十四之面渾二十五之面質復言渾謂居質八分之五也又云方八之面圓【案此下有脱文據前言丸居圓圖四分之三此當作方八之面圓六之面故斷之云圖渾相推知其復以圓圖為方率渾為圓率脱六之而三字】圓渾相推知其復以圓囷為方率渾為圓率也失之逺矣衡説之自然欲協其陰陽竒偶之説而不顧疎宻矣雖有文辭斯亂道破義病也置外質積二十六以九乘之十六而一得積十四尺八分之五即質中之渾也以分母乘全内子得一百一十七又置内質積五以分母乘之得四十是謂質居渾一百一十七分之四十【案此言渾圓内所客之立方是謂質當作是内質】而渾率猶為傷多也假令方二尺方四面并得八尺也謂之方周其中令圓徑與方等亦二尺也丸半徑以乘圓周之半即圓幂也半方以乘方周之半即方幂也然則方周知方幂之率也圓周知圓幂之率也按如衡術方周率八之面圓周率五之面也令方周六十四又之面則圓周四十尺之面也又令徑二尺自乘得徑四尺之面【案上言張衡術立方内容五圓者止圓積居立方積八分之五以此通之立間外非周之幂亦居立方外六面之幂八分之五故設立方幂六七四尺則立圓幂四十尺也此言又令徑二尺白乘得徑四尺之而二語無從得其解據下云是為圓周率十二之面而徑率一之面也謂周自乘得十二耆徑自乘得一置十二開方除之得圓周三四六四三五弱由此言之衡所定平方與平圓周徑之率古周四其靣一内容圓之周三四六四三五弱其徑亦一劉徽所定方圓周徑之率則方周四圓周三一四一六其徑一故下言衡增周人多過其實然則當云又令徑一尺分周四尺自乘得十六尺之面不得言徑二尺自乘得徑四尺之而或傳冩舛誤校是書者又有竄改遂致不可通】是為圓周率十二之面而徑率一之面也衡亦以周三徑一之率為非是故更著此法然僧周太多過其實矣 　　淳風等按祖一之謂劉徽張衡二人皆以圓囷為方率丸為圓率乃設新法祖暅之開立圓術曰以二乘積【案此句有脱誤據淳風中明祖暅之所定立圓術以徑司乘十一乘之二十一而一得圓積反是以求徑當云以二十一乘積十一而一葢立圓積約居同徑之立方積二十一分之十一也君以二乘積則立圓居立方之半疏謬甚矣復云今欲求其本清故二十一乘之十一而一正承此申明其説】開立方除之即立□徑其意何也取立方棊一枚令立樞子左後之下隅從規去其右上之亷又合而横規之去其前上之亷【案此下有脱文據上去立相于左後之下隅則其隅正與右前之上隅相對成内外而外之亷皆連于右前之上隔一為右上之亷一為前上之亷一為右前之亷三亷皆當規去方是外棊三内慕一不得僅言規去二亷也疑脱及右前之亷五字】于是立方之慕分而為四規内棊一謂之内棊規外棊三謂之外棊規【案上言規内棊一規外棊三以内棊列棊稱之此規字不得連上句當是衍文】更合四棊復横斷之以句股言之令餘高為句内棊斷上方為股本方之数其句股之法以句幂減幂則餘為股幂若令餘高自乘減本方之幂餘即内減其斷上方之幂也本方之幂即外四棊之斷上幂然則餘高自乘即外三棊之㫁上幂矣不問卑勢加然也【案此句舛誤不可通反上文借立方棊以論立圓而所言一及句脱竝與乎幂不足見圓術當行脱誤】然固有所歸同而途殊者耳而乃控逺以演類借況以析微按陽馬方高数参等者列而立之横截去上則高自乘與㫁上幂数亦等馬夫疊棊成立積緣幂勢既同則積不容異由此觀之規之外三棊旁蹙為一即一陽馬也三分立方則陽馬居一内棊居二可知矣合八小方成一大方合八内棊成一合葢内棊居小方三分之二則合葢居立方亦三分之二較然驗矣置三分之二以圓幂率三率之如方幂率四而一約而定之以為九率故曰九居立方三分之一也【案此句舛誤據上言置三分之二以三乘之如四而一乃九居立方二分之一非三分之一况已上明祖氏圓術其率乃丸居立方二十一分之十一下云圓徑自乘十一乘之如二十一而一是也君二分之一可祖氏術不隅矣又祖氏方幂率下四圓幂率十一亦不得用方幂四圓幂三之疎率以解祖氏説自祖暅之開立方圓術曰至此似因傳冩既訛後又妄亦一改遂不可通今攷立方與圓圈猶之平方與平圓也其率亦立方積十四圓囷積十一而丸居圓囷三分之二與十四分之十一通之分母乘分母得四十二分子乘分子得二十一是為丸居立方四十二分之二十二即二十二分之十一也祖氏求圓囷立圓平圖三法本係貫為一】等数既宻心亦昭晰張衡倣舊貽哂于後劉徽循故未暇校新夫豈難哉栁未之思也依率立此圓積本以圓徑自乘十一乘之二十一而一約此積今欲求其本積故二十一乘之十一而一凡物自乘開立方除之復其本数故立方除之即丸徑也 　　九章算術卷四 　　欽定四庫全書 　　九章算術卷五　　　　　晋　劉　徽　注 　　唐　李淳風　注釋 　　商功以御功程積實 　　今有穿地積一萬尺問為堅壤各幾何答曰為堅七千五百尺為壤一萬二千五百尺 　　術地穿地四為壤五 　　壤謂息土 　　為堅三 　　堅謂築土 　　為四 　　謂穿坑此皆其常率 　　以穿地求壤五之求堅三之皆四而一 　　今有術也 　　以壤求穿四之求堅三之皆五而一以堅求穿四之求壤五之皆三而一 　　淳風等按此術竝今有之義也重張穿地積一萬尺為所有數堅率三壤率五各為所求率墟率四為所有率而今有之即得 　　城垣隄溝壍渠皆同術 　　今有穿地袤一丈六尺深一丈上廣六尺為垣積五百七十六尺問穿地下廣㡬何答曰三尺五分尺之三術曰置垣積尺四之為實 　　穿地四為堅三垣堅也以堅求穿地當四之三而一也 　　以深袤相乘 　　為深袤之立實也 　　又三之為法 　　以深袤乘之立實除垣積即阬廣又三之者與堅率并除之 　　所得倍之 　　為阬有兩廣先并而半之即為廣狹之中平今先得其中平故又倍之知兩廣全也 　　減上廣餘即下廣 　　按此術穿地四為堅三垣即堅也今以堅求穿地當四乘之三而一深袤相乘者為深袤立幂以深袤立幂除積即阬廣又三之為法與堅率并除所得倍之者為阬有兩廣先并而半之為中平之廣今此得中平之廣故倍之還為兩廣并故減上廣餘即下廣也 　　今有城下廣四丈上廣二丈高五丈袤一百二十六丈五尺問積㡬何答曰一百八十九萬七千五百尺今有垣下廣三尺上廣二尺高一丈二尺袤二十二丈五尺八寸問積㡬何答曰六千七百七十四尺 　　今有隄下廣二丈上廣八尺高四尺袤一十二丈七尺問積㡬何答七千一百一十二尺 　　冬程人功四百四十四尺問用徒㡬何答曰一十六人一百一十一分人之二 　　術曰并上下廣而半之 　　損廣補狹 　　以高若深乘之又以袤乘之即積尺 　　按此術并上下廣而平之者以盈補虚得中平之廣以高若深乘之【案此下原本衍堅率三壤率五各為所求墟墟率四為所有率而今有之凡二十二字係上注重見於此今删正】得一頭之五幂又以袤乘之者得立實之積故為積尺 　　以積尺為實積功尺數為法實如法而一即用徒人數【案此節之上原木有術曰二字上兩節并注原本誤入上城垣隄溝塹渠皆同術之丅今訂正合為一條】今有溝上廣一丈五尺下廣一丈深五尺袤七丈問積㡬何答曰四千三百七千五尺 　　春程人功七百六十六尺并出土功五分之四定功六百一十二尺五分尺之四問用徒㡬何答曰七人三千六十四分人之四百二十七 　　術曰置本人功去其五分之一餘為法 　　去其五分之一者謂以四乘五除也 　　以溝積尺為實實如法而一得用徒人數 　　按此術置本人功去其五分之一者謂以四求之五而一除去出土之功取其定功乃道分内子以為法以分母乘溝積尺為實者法裏有分實裏通之故實如法而一即用徒人數此以一人之積尺除其衆尺故用徒人數不盡者等數約之而命分也 　　今有壍上廣一丈六尺三寸下廣一丈深六尺三寸袤一十三丈二尺一寸問積㡬何答曰一萬九百四十三尺八寸 　　八寸者謂穿地方尺深八寸此積餘有方尺中二分四釐五毫棄之文欲從易非其常定也 　　夏程人功八百七十一尺并出土功五分之一沙礫水石之工作太半定功二百三十二尺一十五分尺之四問用徒㡬何答曰四十七人三千四百八十四分人之四百九 　　術曰置本人功去其出土功五分之一又去沙礫水石之功太半餘為法以壍積尺為實實如法而一即用徒人數 　　按此術置本人功去其出土功五分之一者謂以四乘五除又去沙礫水石作太半者一乘三除存其少半取其定功乃通分内子以為法以分母乘壍積尺為實者為法裏有分實裏通之故實如法而一即用徒人數不盡者等數約之而命分也 　　今有穿渠上廣一丈八尺下廣三尺六寸深一丈八尺袤五萬一千八百二十四尺問積㡬何答曰一十七萬四千五百八十五尺六寸 　　秋程人功三百尺問用徒㡬何答曰三萬三千五百八十二人功内少一十四尺四寸 　　一千人先到問各當受袤㡬何答曰一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八 　　術曰以一人功尺數乘先到人數為實 　　以一千人一日功為實立實為功【案此四字不可通當是衍文攷下注有立幂為法四字幂訛作實後人更移而加之于此葢因訛致衍耳】 　　并渠上下廣而半之以深乘之為法 　　以渠廣深之立實為功【案此四字舛誤據廣深相乗得立幂故以除于人一日功得袤當作以渠廣深之立幂為法】實如法得袤尺 　　今有方堢壔 　　堢者堢城也壔音丁老反又音纛謂以土擁木也 　　方一丈六尺高一丈五尺問積㡬何答曰三千八百四十尺 　　術曰方自乘以高乘之即積尺 　　今有圓堢壔周四丈八尺高一丈一尺問積㡬何答曰二千一百一十二尺 　　于徽術當積二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一 　　淳風等按依密率積二千一十六尺 　　術曰周自相乘以高乘之十二而一 　　此章諸術亦以周三徑一為率皆非也于徽術當以周自乗以高乗之又以二十五乗之三百一十四而一此之圓幂亦如圓田之幂也求幂亦如圓田而以高乗幂也 　　淳風等按依密率以七乗之八十八而一 　　今有方亭下方五丈丄方四丈高五丈問積㡬何答曰一十萬一千六百六十六尺太半尺 　　術曰上下方相乗又各自乗并之以高乗之三而一此章有壍堵陽馬皆合而成立方葢説算者乃立棊三品以效高深之積假令方亭上方一尺下方三尺高一尺其用棊也中央立方一四面壍堵四四角陽馬四上下方相乗為三尺以高乗之約積三尺是為得中夾立方一四面壍堵各一上方自乗亦得中央立方一【案此十一字錯誤不可通據上方自乗所得者平幂耳非立方也又下云上方自乗以髙乗之得積一尺又為中央立方一合前中央方方一四面壍堵各一及中央立方一四面壍堵各二四角陽馬各三共二十七棊則此二句乃衍文應刪去】下方自乗為九以髙乗之得積九尺是為中央立方一四面壍堵各二四角陽馬各三也上方自乗以髙乗之得積一尺又為中央立方一凡三品棊皆一而為三故三而一得積尺用棊之數立方三壍堵陽馬各十二凡二十七棊十三更差次之【案此句有脱誤據壍堵陽馬各十二分配立方三則一立方適得四壍堵四陽馬當云十二與三更差次之】而成方亭者三驗矣為術又可命方差自乘以高乘之三而一卽四陽馬也上下方相乗以髙乗之卽中央立方及四面壍堵也并之以為方亭積數也 　　今有圓亭下周三丈上周二丈髙一丈問積幾何答曰五百二十七尺九分尺之七 　　于微術當積五百四百七百七十一分尺之一百一十六也 　　淳風等按依密率為積五百三尺三十三分尺之二十六 　　術曰上下周相乗又各乗并之以高乘之三十六一而一 　　此術周三徑一之義合以三除上下周各為上下徑以相乘又各自乗并以高乗之三而一為方亭之積假命三約上下周俱不盡還通之即各為上下徑令上下徑分母相乗【案此句舛誤據上云還通之卽各為上下徑則是既以分母通上下徑納分子矣此乘即各爲上下徑言之當云令上下徑相乘其語便足分母二字乃衍文應删】又各自乘并以高乘之為三方亭之積分此合分母分相乘得九為法除之【案此句有脱誤據上下徑分母同為三則上下徑相乘之數應以兩分母相乗得九報除而丄下徑各自乘之數應各以分母自乗得九報除是相乘為法及自乘為法者同用九也當云此合分母相乘得九分母各自乘亦得九為法除之不得遺去自乘一邊言之葢後人傳冩脱落耳】又三而一得方亭之積　【此下有脱文據後委粟依垣條注云從方錐中求圓錐之積亦猶方幂求圓幂以彼例此似應有従方亭求圓亭之積八字】亦猶方幂中求圓幂乃令圓率三乘之方率四而一得圓亭之積前求方亭之積乃以三而一今求圓亭之積亦合三乘之二母既同故相準折准以方幂四乘分母九得三十六而連除之于徽術當上下周相乘又各自乘并以高乘之又二十五乘之九百四十二而一此方亭四角圓殺比于方亭二百分之一百五十七為術之意先作方亭三而一則此據上下徑為之者當又以一百五十七乗之六百而也也今據周為之若干圓堢壔又以二十五乗之三百一十四而一則先得三圓亭矣故以三百一十四為九百四十二而一併除之 　　淳風等按依密率以七乘之二百六十四而一 　　今有方錐下方二丈七尺髙二丈九尺問積幾何答曰七千四十七尺 　　術曰下方自乗以髙乗之三而一 　　按此術假令方錐下方二尺髙一尺即四陽馬如術為之用十二陽馬成三方錐故三而一得陽馬也 　　今有圓錐下周三丈五尺髙五丈一尺問積幾何答曰一千七百三十五尺一十二分尺之五 　　于徽術當積一千六百五十八尺三十一十四分尺之十三 　　淳風等按依密率為積一千六百五十六尺八十八分尺之四十七 　　術曰下周自乗以髙乗之三十六而一 　　按此術圓錐下周以為方錐下方方錐下方令自乗以髙乘之合三而一得大錐方之積大錐方之積合十二圓矣今求一圓復合十二除之故令三乘十二得三十六而連除于徽術當下周自乘以髙乘之又以二十五乘之九百四十二而一圓錐此于方錐亦二百分之一百五十七令徑自乘者亦當以一百五十七乘之六百而一其説如圓亭也 　　淳風等按依密率以七乘之二百六十四而一 　　今有壍堵下廣二丈袤一十八丈六尺髙二丈五尺問積㡬何答曰四萬六千五百尺 　　術曰廣袤相乘以髙乘之二而一 　　斜斛立方得兩壍堵雖復橢方亦為壍堵故二而一此則合所規幂推其物體葢為壍上疊也其形如城而無上廣與所規棊形異而同實未開所以名之為壍堵之説也 　　今有陽馬廣五尺袤七尺高八尺問積㡬何答曰九十三尺少半尺 　　術曰廣袤相乗以高乗之三而一 　　按此術陽馬之形方錐一隅也今謂四柱屋隅為陽馬假令廣袤各一尺髙一尺相乗得立方積一尺斜解立方得兩壍堵斜斛壍堵其一為陽馬一為鼈臑陽馬居二鼈臑居一不易之率也合兩鼈臑成一陽馬合三陽馬而成一立方故三而一驗之以棊其形露矣悉割陽馬凡為六鼈臑觀其割分則體勢互通葢易了也其棊或脩短或廣狹立方不等者分割分以為六鼈臑其形不悉相似然見數同積實均也鼈臑殊形陽馬異體則不純合不純合則難為之矣何則按斜解方棊以為壍堵者必當以半為分斜解壍堵以為陽馬者亦必當以半為分一從一横耳設以陽馬為分内鼈臑為分外棊雖或隨脩短廣狹猶有此分常率知殊形異體亦同也者以此而已其使鼈臑廣袤髙各二尺【案原本訛作廣袤各髙二尺今改正】用壍堵鼈臑之棊各二皆用赤棊又使陽馬之廣袤髙各二尺用立方之棊一壍堵陽馬之棊各二皆用黒棊棊之赤黑接為壍堵廣袤髙各二尺于是中效其廣又中分其髙令赤黑壍堵各自適當一方髙二尺方二尺每二分鼈臑則一陽馬也其餘兩端各積本體合成一方焉是為别種而方者率居二通其體而方者率居一雖方隨棊改而固有常然之勢也按餘數具而可知者有一二分之别則一二之為率定矣其于理也豈虗矣若為數而窮之置餘廣袤高之數各半之則四分之三又可知也半之彌少其餘彌細至細曰微㣲則無形由是言之安取餘哉數而求窮之者謂以情推不用籌算鼈臑之物不同器用陽馬之形或隨脩短席狹然不有鼈臑無以審陽馬之数不有陽馬無以知錐亭之数功寔之主也 　　今有鼈臑下廣五尺無袤上袤四尺無廣高七尺問積㡬何答曰二十三尺少半尺 　　術曰廣袤相乗以高乘之六而一 　　按此術臑者背節也或曰半陽馬其形有似鼈肘故以名云中破陽馬得兩鼈臑鼈臑之見數卽陽馬之半數數同而寔據半故云六而一即得 　　今有羨除下廣六尺土廣一丈深三尺末廣八及無深袤七尺問積㡬何答曰八十四尺 　　術曰并三廣以深乘之又以袤乘之六而一 　　按此術羨除寔隧道也其所穿地上半下斜似兩鼈臑夾一壍堵即羨除之形假令用此棊上廣三尺深一尺下廣一尺末廣一尺無深袤一尺下廣即壍堵上廣者兩鼈臑與一壍堵相連之廣也以深袤乘得積五尺鼈臑居二壍堵居三其于本棊皆一為六故六而一合四陽馬以為方錐斜畫方錐之底亦令為中方就中方削而上合全為中方錐之半于是陽馬之棊悉中解矣中錐離而為四鼈臑焉故外錐之半亦為四鼈臑雖背正異形與常所謂鼈臑参不相似寔則同也所云夾壍堵者中錐之鼈臑也凡壍堵上袤短者連陽馬也下袤短者與鼈臑連也下兩袤相等知亦與鼈臑連也并三廣以高袤乗六而一皆其積也今此羨除之廣即壍堵之袤也按此本是三廣不等即與鼈臑連者别而言之中央壍堵廣六尺髙三尺袤七尺末廣之兩旁各一小鼈臑皆與壍堵等令小鼈臑居裏大鼈臑居表則大鼈臑出撱皆方錐下廣三尺袤六尺高七尺分取其半則為袤三尺以高廣乗之三而一即半錐之積也斜解半錐得此兩大鼈臑求其積亦當六而一合于常率矣按陽馬之棊兩斜棊底方當其方也不問旁角而割之相半可知也推此上連無成不方故方錐與陽馬同寳角而割之者相半之勢此大小鼈臑可知更相表裏但體有背正也 　　今有芻甍下廣三丈袤四丈上袤二丈無廣高一丈問積㡬何答曰五十尺 　　術曰倍下袤上袤從之以廣乘之又以高乘之六而一推明義理者舊説云凡積芻甍有上下廣曰童甍謂其屋葢之苫也是故甍之下廣袤與童之上廣袤等正解方亭兩邉合之即芻甍之形也假令下廣二尺袤三尺上袤一尺無廣髙一尺其用棊也中央壍堵二兩端陽馬各二倍下袤上袤從之為七尺以髙廣乘之得幂十四尺陽馬之幂各居一壍堵之幂各居三以髙乘之得積十四尺其于本棊也皆一而為六故六而一即得亦可令上下袤差乘廣以髙乘之三而一即四陽馬也下廣乘上袤而半之髙乘之即二壍堵并之以為甍積也 　　芻童曲池盤池冥谷皆同術 　　術曰倍上袤下袤從之亦倍下袤一袤從之各以其廣乘之并以髙若深乘之皆六而一 　　按此術假令芻童上廣一尺袤二尺下廣三尺袤四尺高一尺其用棊也中央立方二四面壍堵六四角陽馬四倍下袤為八上袤從之為十以高廣乗之得積三十尺是為得中央立方各三兩邉壍堵各四兩旁壍堵各六四角陽馬亦各六復倍上袤下袤從之為八以高廣乗之得積八尺是為得中央立方亦各三兩端壍堵各二并兩旁三品棊皆一而為六故六而一即得為術又可令上下廣袤差相乘以髙乗之三而一亦四陽馬上下廣袤互相乗并而半之以髙乘之即四而六壍堵與二立方并之為芻童積又可令上下廣袤互相乗而半之上下廣袤又各自乘并以髙乘之三而一即得也 　　其曲池者并上中外周而半之以為上袤亦并下中外周而半之以為下袤 　　此池環而不通帀形如盤蛇而曲之亦云周者謂如委榖依垣之周耳引而伸之周為袤求袤之意環田也 　　今有芻童下廣二丈袤三丈上廣三丈袤四丈髙三丈積幾何答曰一萬六千五百尺 　　今有曲池上中周二丈外周四丈廣一丈下中周一丈四尺外周二丈四尺廣五尺深一丈問積㡬何答曰一千八百八十三尺三寸少半寸 　　今有盤池上廣六丈袤八丈下廣四丈袤六丈深二丈問積幾何答曰七萬六百六十六尺太半尺 　　負土往來七十步其二十步上下棚除棚除二當平道五踟蹰之間十加一載輸之間三十歩定一返一百四十步土籠積一尺六寸秋程人功行五十九里半問人到積尺及用徒各幾何答曰人到二百四尺用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二 　　術曰以一籠積尺乘程行步數為實往來上下棚除二當平道五 　　棚閣除斜道有上下之難故使二當五也 　　置定徃來歩數十加一及載輸之間三十步以為法除之所得即一人所到尺以所到約積尺即用徒尺數按此術棚閣除斜道有上下之難故使二當五置定往來步數十加一及載輸之間三十步是為往來求一返凡用一百四十步于今有術為所有行率籠積一尺六寸為所求到土率程行五十九里半為所有數而今有之即所到尺數所到約積尺即用徒人數者此一人之積除其衆積尺故得用徒人數為術又可令往乗一返所用之步約程行為返數乘籠積為一人所到以此術與今有術相反覆則乘除之或先後意各有所在而同歸耳 　　今有冥谷上廣二丈袤七丈下廣八尺袤四丈深六丈五尺問積幾何答曰五萬二千尺 　　載土往來二百步載輸之間一里程行五十八步六人共車車載三十四尺七寸間人到積尺及用徒各幾何答曰人到二百一尺五十分尺之十三用徒二百五十八人一萬六十三分人之三千七百四十六 　　術曰以一車積尺乘程行步數為實置今往來步數加載輸之間一里以車六人乗之為法除之所得即一人所到尺以所到約積尺即用徒人數 　　按此術今有之義以載輸及往來并得五百步為所有行率車載三十四尺七寸為所求到土率程行五十八里通之為步為所有數而今有之所得即一車所到欲得人到者當以六人除之即得術有分故亦更令法而并除者亦用以半尺數以為一人到土率【案此二十五字訛舛不可通據下文云術恐有分故令乘法而并除又云亦可令六人約半積尺數為一人到土率此即下殘缺字句之誤入于前者應删去以免重複】六人乘五百步為行率也又亦可五百步為行率令六人約半積尺数【此句舛誤當云約車載尺数】為一人到上率以載土術入之入之者亦可求返數也要其會通而矣【案此二十一字訛舛不可通據下云術恐有分故令乘法而并除總承上六人除一車所到及交約車載尺數二術也中間衍前二十五字及此此十一字葢由傳冩失真後人復妄意竄改耳】術恐有分故令乗法而并除以所到為積尺即用徒人数者以一人所積尺除其衆積故得用徒人数也 　　今有幾粟平地下周一十二丈高二丈問積及為粟幾何答曰積八千尺 　　于徽術當積七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九 　　淳風等按依宻率為積七千六百三十六尺十一分尺之四 　　為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六于徽術當粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十 　　淳風等按依宻率為粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八 　　今有委米依垣内角下周八尺高五尺問積及為米幾何答曰積三十五尺九分尺之五 　　于徽術當積三十三尺四百七十一分尺之四百五十七 　　淳風等按依宻率當積三十三尺三十三分尺之三十一 　　為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一于徽術當米二十斛三萬八千一百五十一分斛之三萬六千九百八十 　　淳風等按依宻率為米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十 　　今有委菽依垣下周三大高七尺問積及為菽各幾何答曰積三百五十尺 　　依徽術當積三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六 　　淳風等按依宻率為積三百三十四尺十一分尺之一 　　為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八 　　依徽術當菽一百三十七斛一萬二于七百一十七分斛之七千七百七十一 　　淳風等按依宻率為菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三 　　術曰下周自乘以高乘之三十六而一 　　此猶圖錐也于徽術亦當下周自乘以高乘之又以二十五乘之九百四十二而一也 　　其依垣者 　　居圖錐之半也 　　十八而一 　　于徽術當令此下周自乘以高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依垣之周半于全周其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一故半全周之法以為法也 　　其依垣内角者 　　角隅也居圓錐四分之一也 　　九而一 　　于徽術當令此下周自乘而倍之以高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依隅之周半于依垣其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一當半依垣之法以為法法不可半故倍其實又此術亦用周三徑一之率假令以三除周得徑若不盡通分内子即為徑之積令自乘以高乘之為三方錐之積分母自相乘得九為法又當三而一約方錐之積從方錐中求圓錐之積亦猶方幂求圓幂乃當二乘之四而一方錐得圓幂之積　【此句衍方錐二字又圓幂當作圓錐】前乘方積乃以三而一今求圓錐之積復合三乘之二母既同故相凖折惟以四乘分母九得三十六而運除圓錐之積其圓錐之積與平地聚粟同故三十六而一 　　淳風等按依宻率以七乘之其平地者二百六十四而一依垣者一百三十二而一依隅者六千六而一也 　　程粟一斛積二尺七寸 　　二尺七寸者謂方一尺深二尺七寸凡積二千七百寸 　　其米一斛積一尺六寸五分寸之一 　　謂一千六百二十寸 　　其菽荅麻麥一斛皆二尺四寸十分寸之三 　　謂積二千四百三十寸此為以精粗為率而不等其㮣也粟率五米率二故米一斛于粟一斛五分之三菽答麻麥亦如本率云故謂此三一器為㮣而皆不合于今斛當今大司農斛圓徑一尺三寸五分五釐正深一尺于徽術為積一十四百四十一寸排成餘分又有十分寸之三王莽銅斛于今尺為深九寸五分五釐徑一尺三寸六分八釐二毫以徽術計之于余斛為容九斗七升四合有竒周官考工記桌氏為量深二尺内方一尺而圓外其實一鬴于徽術此圓周積一千五百七十六寸左氏傳曰齊舊四量且區釡鍾四升曰豆各自其四以登于釡大十則鍾鍾六斛四斗釡六斗四升方一尺深一尺其積一千寸若此方積容四斗二升則通外圓積成旁客十斗四合一龠五分之三也以数相乘之則斛之制方一尺而圓其外庣旁一釐七毫幂一百五十六寸四分寸之一深一尺積一千五百六十二寸半容十斗王莽銅斛與漢書律厯志所論斛同 　　今有倉廣三丈袤四丈五尺容粟一萬斛問高幾何答曰二丈 　　術曰置粟一萬斛積尺為寳廣袤相乘為法寳如法而一得高 　　以廣袤之幂除積故得高按此術本以廣袤相乘以高乘之得此積今還元置此廣袤相乘為法除之故得高也 　　今有圓囷 　　圓囷廪也亦云圓囷也 　　高一丈三尺三寸少半寸容米一十斛問周幾何荅曰五丈四尺 　　于徽術當周五丈五尺二寸二十分寸之九 　　淳風等按依宻率為用五丈五尺一百分尺之二十七 　　術曰置米積尺 　　此積猶圓堢壔之積 　　以十二乘之令高而一所得開方除之即周 　　于徽術當置米積尺以三百一十四米之為實二十五乘囷為為法所得開方除之即周也一亦披見幂以求周失之千微少也晉武庫中有漢時王莽所作銅斛其篆書字題斛旁云律嘉量斛方一尺而圓其升庣旁九釐五毫幂一百六十二寸而一尺積一千六百二十寸容十斗及斛底云律嘉量斗方尺而圓其外庣旁九釐五毫幂一百六十二寸【案原本紀作幂一尺六寸二分于数不合當是後人因下文積一百六十二寸與此適圓妄改此以别于下不知幂一百六十二寸者平方寸也其深僅一才故積仍為一百六十二寸積乃立方才與幂自别沉斗與斛之方圖庣旁既同則幂亦同斛深十倍于斗故積十倍之今據上下文訂正】深一寸【案原本訛作深一尺今改正】積一百六十二寸容一斗合龠皆有文字升居斛旁合龠在斛耳上後有讚文與今律厯志同亦魏晋所常用今粗疏王莽銅斛文字尺寸分數然不盡得升合寸之文字按此術本周自相乘以高乘之十二而一得此積今還元置此積以十二乘之令高而一即復本周自乘之数凡一自乘開方除之復其本周自乘之数故開方除之即得也 　　淳風等按依宻率以八十八乘之為實七乘囷高為法實如法而一開方除之即周也 　　九章算術卷五 　　欽定四庫全書 　　九章算術卷六　　　　　晋　劉　徽　注 　　唐　李淳風　注釋 　　均輸以御逺近勞費 　　今有均輸粟甲縣一萬户行道八日乙縣九千五百戸行道十日丙縣一萬三千三百五十戸行道十三日丁縣一萬二千二百戸行道二十日各到輸所凡四縣賦當輸二十五萬斛用車一萬乗欲以道里逺近戸數多少衰出之問粟車各㡬何答曰甲縣粟八萬三千一百斛車三千三百二十四乗乙縣粟六萬三千一百七十五斛車二千五百二十七乗丙縣粟六萬三千一百七十五斛車二千五百二十七乗丁縣粟四萬五百五十斛車一千六百二十二乗 　　術曰令縣戸數各如其本行道日數而一以為衰按此均輸猶均運也令戸率出車以行道日數為均發粟為輸據甲行道八日因使八戸其出一車乙行道十日因使十户共出一車計其在道則皆戸一日出一車【案原本作出車脱一字今補】故可為均平之率也 　　甲衰一百二十五乙丙衰各九十五丁衰六十一副并為法以賦粟車數乗未并者各自為實 　　衰分科率 　　實如法得一【案原本作得一車亦後人妄加車字今刪】 　　各置所當出車以其行道日數乗之如户數而一得率户用車二日四十七分日之三十一故謂之均求此户以率當各計車之錢分也【案此二句舛誤當云求此率以户當各計車之衰分也】 　　淳風等按縣户有多少之差行道有逺近之異欲其均等故各令行道日數約戸為衰【案原本脱道字令補】行道多者少其户行道少者多其户故各令約户為衰以八日約除甲縣得一百二十五乙丙各九十五丁六十一于今有術副并為所有率未并者各為所求率以賦粟車數為所有數而今有之各得車數一旬除乙十三除丙各得九十五二旬除丁得六十一也【案淳風等至此原本訛在前接故可為均平之率也下于術意前後失次今訂正】 　　有分者上下輩之 　　輩配也車牛人之數不可分裂推少就多均賦之宜今按甲分既少宜從于乙滿法除之有餘從丙丁分又少亦宜就丙除之適盡加乙丙各一上下輩益以少從多也 　　以二十五斛乘車數即粟數 　　今有均輸卒甲縣一千二百人薄塞乙縣一千五百五十人行道一日丙縣一千二百八十人行道二日丁縣九百九十人行道三日戊縣一千七百五十人行道五日凡五縣賦輸卒一月一千二百人欲以逺近户率多少衰出之問縣各㡬何答曰甲縣二百二十九人乙縣二百八十六人丙縣二百二十八人丁縣一百七十一人戊縣二百八十六人 　　術曰令縣卒各如其居所及行道日數而一以為衰按此亦以日數為均居所為輸甲無行道日但以居所三十日為率言欲為均平之率者當使甲三十人而出一人出一人者計役則皆一人一日是以可為均平之率 　　甲衰四乙衰五丙衰四丁衰三戊衰五副并為法以人數乗未并者各自為實實如法而一 　　各置所當出人數以其居所及行道日數乘之如縣人數而一【案此二十四字原本又重見于後接故存之也下今刪彼存此】得戸率人役五日七分日之五【案此十二字原本接注文重見者之下今據徽説前後體例訂正】 　　淳風等按為衰于今有術副并為所有率未并者各為所求率以賦卒人數為所有數此術以别攷則意同以廣異聞故存之也【案此條原本訛入上注接如縣人數而一之下脱淳風等按四字今據淳風等所釋前後體例訂正又為衰二字上有脱文當云各令居所及行道日數約縣卒為衰】 　　有分者上下輩之 　　輩配也今按丁分最少宜就戊除不從乙者丁近戊故也滿法除之有餘從乙丙分又少亦就乙除有餘從甲除之適盡從甲丙二分其數正等二者于乙逺近皆同不以甲從乙者方以下從上也 　　今有均賦粟甲縣二萬五百二十户粟一斛二十錢自輸其縣乙縣一萬二千三百一十二戸粟一斛一十錢至輸所二百里丙縣七千一百八十二户粟一斛一十二錢至輸所一百五十里丁縣一萬三千三百三十八戸粟一斛一十七錢至輸所二百五十里戊縣五千一百三十戸粟一斛一十三錢至輸所一百五十里凡五縣賦輸粟一萬斛一車載二十五斛與僦一里一錢欲以縣户輸粟令費勞等問縣各粟㡬何答曰甲縣三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七乙縣二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十丙縣一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六丁縣一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三戊縣九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三術曰以一里僦價乘至輸所里 　　此以出錢為均也問者曰一車載二十五斛與僦一里一錢一錢即一里僦價也以乘里數者欲知僦一車到輸所所用錢也甲自輸其縣則無取僦價也 　　以一車二十五斛除之 　　欲知僦一斛所用錢 　　加一斛粟價【案原本一訛作以注同今據淳風等所釋竝改正】則致一斛之費加一斛之價于一斛僦直即凡餘粟取僦錢也甲一斛之費二十乙丙各十八丁二十七戊十九也 　　各以約其戸數為衰 　　言使甲二十户共出一斛乙丙十八户共出一斛計其所費則皆户一錢故可為均賦之率也 　　甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十副并為法所賦粟乘未并者各自為實實如法得一 　　各置所當出粟以其一斛之費乘之如户數而一得率户出三錢二千八百七十三分錢之一千三百八十一 　　淳風等按此以出錢為均問者曰一車載二十五斛與僦一里一錢一錢即一里僦價也【案原本脱價字今據注文補入】以乗里數者【案原本脱數字今據注文補入】欲知僦一車到輸所用錢甲自輸其縣則無取僦之價以一車二十五斛除之者欲知僦一斛所用錢加一斛之價于一斛僦直即凡餘粟取僦錢甲一斛之費二十乙丙各十八丁二十七戊一十九各以約其戸為衰甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十言使甲二十户共出一斛乙丙十八戸共出一斛計其所費則皆户一錢故可為均賦之率也【案率字下原本衍計字今刪】于今有術副并為所有率未并者各為所求率賦粟一萬斛為所有數此今有衰分之義也【案此條原本誤連上劉徽注脱淳風等三字攷其文義多與徽所注重複應是淳風等更舉注文以總解術意書内此䫫甚多今改正】計經賦之率既有户算之率亦有逺近貴賤之率此二率者各自相與通功則甲二十乙十二丙七丁十三戊五一斛之費謂之錢率錢率約戸率者則錢為母户為子子不齊令母互乗為齊則衰也若其不然以一斛之費約户數取衰竝有分當通分内子約之于算甚繁此一章皆相與通功共率畧相依似以上二率下一率亦可放此從其簡易而已又以分言之使甲一戸出二十分斛之一乙一戸出十八分斛之一各以戸數乘之亦可得一縣凡所當輸俱為衰也乘之者乘其子母報除之以此觀之則以一斛之費約戸數者其意不異矣然則可置一斛之費而反衰之約户以乗户率為衰也合分注曰母除為率率乘子為齊反衰汪曰先同其母各以分母約其子為反衰以施其率為算既約且不妨處下也【案計經賦之率至此原本訛入前節注文故可為均賦之率也下文多舛誤不可通據辭内引合分注及反衰注乃淳風等推論術意無疑今改正】 　　今有均賦粟甲縣四萬二千算粟一斛二十傭價一日一錢自輸其縣乙縣三萬四千二百七十二算粟一斛一十八傭價一日一十錢到輸所七十里丙縣一萬九千三百二十八算粟一斛一十六傭價一日五錢到輸所一百四十里丁縣一萬七千七百算粟一斛一十四傭價一日五錢到輸所一百七十五里戊縣二萬三千四十算粟一斛一十二傭價一日五錢到輸所二百一十里己縣一萬九千一百三十六算粟一斛一十傭價一日五錢到輸所二百八十里凡六縣賦粟六萬斛皆輸甲縣六人共車車載二十五斛重車日行五十里空車日行七十里載輸之間各一日粟有貴賤傭各别價以算出錢令費勞等問縣各粟㡬何答曰甲縣一萬八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九乙縣一萬八千二十七斛一百三十三分斛之九丙縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六丁縣六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二戊縣九千二十二斛一百三十三分斛之七十四己縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六 　　術曰以車程行空重相承為法并空重以乘道里各自為實實如法得一【案原本作得一日亦後人妄加日字今刪】 　　按此術重往空還一輸再行道也置空行一里用七十分日之一重行一里用五十分日之一齊而同之空重行一里之路往返用一百七十五分日之六定言之者一百七十五里之路往返用六日也故并空重者齊其子也空重相乘者同其母也于今有術至輸所里為所有數六為所求率齊一百七十五為所有率而今有之即各得輸所用日也 　　加載輸各一日 　　欲得㡬日也【案原本訛作故凡日也今改正】 　　而以六人乗之 　　欲知致一車用人也 　　又以傭價乘之 　　欲知致車人傭直㡬錢 　　以二十五斛除之 　　欲知致一斛之傭直也 　　加一斛粟價即致一斛之費 　　加一斛之價于致一斛之傭直【案原本價訛作費于訛作則今改正】即凡輸一斛餘粟取傭所用錢 　　各以約其算數為衰 　　今按甲衰四十二乙衰二十四丙衰十六丁衰十五戊衰二十己衰十六於今有術副并為所有率未并者各自為所求率所賦粟為所有數此今有衰分之義也 　　副并為法以所賦粟乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一斛亦後人妄加斛字今刪】 　　各置所當出粟以其一斛之費乗之如算數而一得率算出九錢一百三十三分錢之三又載輸之間各一日者即二日也 　　今有粟七斗三人分舂之一人為糲米一人為粺米一人為糳米令米數等問取粟為米各㡬何答曰糲米取粟二斗一百二十一分斗之一十粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八糳米取粟二斗一百二十一分斗之七十三為米各一斗六百五分斗之一百五十一術曰列置糲米三十粺米二十七糳米二十四而反衰之 　　此先約三率糲為十粺為九糳為八欲令米等者其取粟糲率十分之一粺率九分之一糳率八分之一當齊其子故曰反衰也 　　淳風等按米有精麤之異有多少之差據率粺糳少而糲多用粟則粺糳多而糲少米若依本率之分粟當倍率故今反衰之使精取多而麤得少 　　副并為法以七斗乘未并者各自為取粟實實如法得一 　　于今有術副并為所有率未并者各為所求率粟七斗為所有數而今有之故各得取粟也 　　若求米等者以本率各乘定所取粟為實以粟率五十為法實如法得一【案原本作得一斗亦後加妄加斗字今刪】 　　若徑求為米等數者置糲米三用粟五粺米二十七用粟五十糳米十二用粟二十五齊其粟同其米并齊為法以七斗乗同為實所得即為米斗數 　　今有人當禀粟二斛倉無粟欲與米一菽二以當所禀粟問各㡬何答曰米五斗一升七分升之三菽一斛二升七分升之六 　　術曰置米一菽二求為粟之數并之得三九分之八【案九分原本訛作分九今據註改正】以為法亦置米一菽二而以粟二斛乘之各自為實實如法得一【案原本作得一斛亦後人妄加斛字今刪】 　　淳風等按置粟率五乗米一米率三除之得一三分之二即如米一之粟也粟率十以乘菽二菽率九除之得二九分之二即是菽二之粟也并全得三齊子并之得二十四同母得二十七約之得九分之八故云并之得三九分之八米一菽二當粟三九分之八此其粟率也于今有術米一菽二皆為所求率當粟三九分之八為所有率粟二斛為所有數凡言率者當相與通之則為米九菽十八當粟三十五也亦有置米一菽二求其為粟之率以為列衰副并為法以粟乘列衰為實所得即米一菽二所求粟也以米菽本率而今有之即合所問 　　今有取傭負塩二斛行一百里與錢四十今負塩一斛七斗三升少半升行八十里問與錢㡬何答曰二十七錢一十五分錢之一十一 　　術曰置塩二斛升數以一百里乘之為法 　　按此術以負塩二斛升數乘所行一百里得二萬里是為負塩一升行二萬里得錢四十于今有術為所有率升數乗所行里為法于今有術為所有數也 　　以四十錢乗今負塩升數又以八十里乘之為實實如法得一【案原本作得一錢亦後人妄加錢字今刪】 　　以今負塩升數乘所行里今負塩一升凡所行里也于今有術以所有四十錢為所求率也衰分章貸人千錢與此同【案此條原本訛作正文今據前後體例改為注】 　　今有負籠重一石一十七斤行七十六步五十返今負籠重一石行百步問返㡬何答曰五十七返二千六百三分返之一千六百二十九 　　術曰以故所行歩數乘故籠重斤數為法 　　此法謂負一斤一返所行之積步也 　　今籠重斤數乘今歩又以返數乘之為實實如法得一【案原本作得一返亦後人妄加返字今刪】 　　按此法負一斤一返所行之積步此實者一斤一日所行之積歩故以一返之課除終日之程即是返數也 　　淳風等按此術所行步多者得返少所行歩少者得返多然則所行者今返率也故令所得返乘今返之率為實而以故返之率為法今有術也按此負籠又有輕重于是為術者因令重者得返少輕者得返多故又因其率以乘法實者重今有之義也然此意非也按此籠雖輕而行有限籠過重則人力遺力有遺而術無窮人行有限而籠輕重不等使其有限之力隨彼無窮之變故知此術率乖理也若故所行有空行返數設以問者當因其所負以為返率則今返之數可得而知也假令空行一日六十里負重一斛行四十里減重一斗進二里半負重三斗以下與空行同今負籠重六斗往還行一百步問返㡬何答曰一百五十返術曰置重行率加十里以里法通之為實以一返之歩為法實如法而一即得也 　　今有程傳委輸空車日行七十里重車日行五十里今載太倉粟輸上林五十三返問太倉去上林㡬何答曰四十八里一十八分里之一十一 　　術曰并空重里數以三返乘之為法令空重相乗又以五日乗之為實實如法得一【案原本作淂一里亦後人妄加里字今刪】此亦如上術率一百七十五里之路往返用六日也于今有術則五日為所有數一百七十五里為所求率六日為所有率以此所得則三返之路今求一返當以三約之因令乘法而并除也為術亦可各置空重行一里用日之率以為列衰副并為法以五日乗列衰為實實如法所得即各空重行日數也各以一日所行以乗為凡日所行三返約之為上林去太倉之數按此術重往空還一輸再還道置空行一里七十分日之一重行一里用五十分日之一齊而同之空重行一里之路往返用一百七十五分日之六定言之者一百七十五里之路往返用六日故并空重者并齊也空重相乗者同其母也于今有術五日為所有數一百七十五為所求率六為所有率以此所得則三返之路今求一返者當以三約之故令乗法而并除亦當約之也【案自按術重往空還以下應是李淳風等所釋訛為劉注】 　　今有絡絲一斤為練絲一十二兩練絲一斤為青絲一斤一十二銖今有青絲一斤問本絡絲㡬何答曰一斤四兩一十六銖三十三分銖之一十六 　　術曰以練絲十二兩乘青絲一斤一十二銖為法以青絲一斤銖數乘練絲一斤兩數又以絡絲一斤乘之為實【案原本脱之字今補】實如法得一【案原本作得一斤亦後人妄加斤字今刪】 　　按練絲一斤為青絲一斤十二銖此練率三百八十四青率三百九十六也又絡絲一斤為練絲十二兩此絡率十六練率十二也置今有青絲一斤以練率三百八十四乗之為實實如青絲率三百九十六而一所得青絲一斤練絲之數也又以絡率十六乗之所得為實以練率十二為法所得即練絲用絡絲之數也是為重今有也雖各有率不問中間故令後實乗前實後法乗前法而并除也故以練絲兩數為實青絲銖數為法一曰又置絡絲一斤兩數與練絲十二兩約之絡得四練得三此其相與之率又置練絲一斤銖數【案原本脱數字今補】與青絲一斤一十二銖約之練得三十二青得三十三亦其相與之率齊其青絲絡絲同其二練絡得一百二十八青得九十九練得九十六即三率悉通矣今有練絲一斤為所有數絡絲一百二十八為所求率青絲九十九為所有率為率之意猶此但不先約諸率耳凡率錯互不通者皆積齊同用之放此雖四五轉不異也言同其二練者以明三率之相與通耳于術無以異也又一術今有青絲一斤銖數乗練絲一斤兩數為實以青絲一斤一十二銖為法所得即用練絲兩數以絡絲一斤乗所得為實以練絲十二兩為法所得即用絡絲斤數也 　　今有惡粟二十斗舂之得糲米九斗今欲求粺米一十斗問惡粟㡬何答曰二十四斗六升八十一分升之七十四 　　術曰置糲米九斗以九乗之為法亦置粺米十斗以十乗之又以惡粟二十斗乘之為實實如法得一【案原本作得一斗亦後人妄加斗字今刪】 　　按此術置今有求粺米十斗以糲米率十乘之如糲率九而一即糲亦化為惡粟矣此亦重今有之義為術之意猶絡絲也雖各有率不問中間故令後實乗前實後法乘前法而并除之也 　　今有善行者行一百歩不善行者行六十歩今不善行者先行一百歩善行者追之問㡬何歩及之答曰二百五十歩 　　術曰置善行者一百步減不善行者六十步餘四十步以為法以善行者之一百歩乗不善行者先行一百歩為實實如法得一【案原本作得一歩亦後人妄加步字今刪】 　　按此術以六十歩減一百歩餘四十步即不善行者先行率也善行者行一百步追及率約之追及率得五先行率得二于今有術【案原本脱有字今補】不善行者先行一百歩為所有數五為所求率二為所有率而今有之得追及步也 　　今有不善行者先行一十里善行者追之一百里先至不善行者二十里問善行者㡬何里及之答曰三十三里少半里 　　術曰置不善行者先行一十里以善行者先至二十里増之以為法以不善行者先行一十里乗善行者一百里為實實如法得一【案原本作得一里亦後人妄加里字今刪】 　　按此術不善行者既先行一十里後不及二十里并之得三十里也謂之先行率善行者一百里為追及率約之先行率得三三為所有率而今有之即得也其意如上術也 　　今有免先走一百歩犬追之二百五十步不及三十歩而止問犬不止復行㡬何步及之答曰一百七歩七分歩之一 　　術曰置免先走一百步以犬走不及三十歩減之餘為法以不及三十步乘犬追歩數為實實如法得一【案原本作得一歩亦後人妄加歩字今刪】 　　按此術以不及三十步減先走一百歩餘七十歩為先走率犬行二百五十歩為追及率約之先走率得七追及率得二十五于今有術不及三十歩為所有數二十五為所求率七為所有率而今有之即得也 　　今有人持金十二斤出闗闗税之十分而取一今闗取金二斤價錢五千問金一斤值錢㡬何答曰六千二百五十 　　術曰以一十乘二斤以十二斤減之餘為法以一十乘五十為實實如法得一【案原本作得一錢亦後人妄加錢字今刪】 　　按此術置十二斤以一乘之十二一得一斤五分斤之一即所當税者也減二斤餘即闗取盈金以盈除所償錢即金值也【案值原本訛作實今改正】今術既以十二斤為所税則是以十為母故以十乘二斤及所償錢通其率于今有術五千錢為所有數十為所求率八為所有率而今有之即得也 　　今有客馬日行三百里客去忘持衣日已三分之一主人乃覺持衣追及與之而還至家視日四分之三問主人馬不休日行㡬何答曰七百八十里 　　術曰置四分日之三除三分日之一 　　按此術置四分日之三除三分日之一者除即減也【案即原本訛作其今改正】減之餘有十二分之五即是主人追客還用日率也 　　半其餘以為法 　　去其還存其往率之者子不可半故倍母二十四分之五是為主人與客均行用日之率也 　　副置法増三分日之一 　　法二十四分之五者主人往追用日之分也三分之一者客去主人未覺之前獨行用日之分也并連此數得二十四分日之十三則主人追及前用日之分也是為客行主人追及用日率也然則主人用日率者客馬行率也客用日率者主人馬行率也母同則子齊是為客馬行率五主人馬行率十三于今有術三百里為所有數十三為所求率五為所有率而今有之即得也 　　以三百里乘之為實實如法得主人馬一日行 　　欲知主人追客所行里者以三百里乘主人均行日分子十三以母二十四而一得一百六十二里半以此乗主人均行日分母二十四如客馬與主人均行用日分子五而一亦得主人馬一日行七百八十里也 　　今有金箠長五尺斬本一尺重四斤斬末一尺重二斤問次一尺各重㡬何答曰末一尺重二斤次一尺重二斤八兩次一尺重三斤次一尺重三斤八兩次一尺重四斤 　　術曰令末重減本重餘即差率也又置本重以四間乘之為下第一衰副置以差率減之毎尺各自為衰按此術五尺有四間者有四差也今本末相減餘即四差之凡數也以四約之即得毎尺之差以差數減本重餘即次尺之重也為術所置如是而已今此率以四為母故令母乘本為衰通其率也亦可置末重以四間乘之為上第一衰以差重率加之為次下衰也 　　副置下第一衰以為法以本重四斤徧乘列衰各自為實實如法得一【案原本作得一斤亦後人妄加斤字今刪】 　　以下第一衰為法以本重乗其分母之數而又反此率乗本重為實一乘一除勢無損益故惟本存焉衆衰相推為率則其餘可知也亦可副置末衰為法而以末重二斤乗列衰為實此雖迂迴然是其舊故就新而言之也 　　今有五人分五錢令上二人所得與下三人等問各得㡬何答曰甲得一錢六分錢之二乙得一錢六分錢之一丙得一錢丁得六分錢之五戊得六分錢之四術曰置錢錐行衰 　　按此術錐行者謂如立錐初一次二次三次四次五各均為一列者也 　　并上二人為九并下三人為六六少于九三 　　數不得等但以五四三二一為率也 　　以三均加焉副并為法以所分錢乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一錢注内同亦後人妄加錢字今刪】 　　此問者令上二人與下三人等上下部差一人其差三均加上部則得二三均加下部則得三三下部猶差一人差得一以通于本率即上下部等也于今有術副并為所有率未并者各為所求率五錢為所有數而今有之即得等耳假令七人分七錢欲令上二人與下五人等則上下部差三人并上部為十三下部為十五下多上少下不足減上當以上下部列差而後均減乃合所問耳此可倣下術令上二人分二錢半為上率令下二人分二錢半為下率上下二率以少減多餘為實置二人三人各半之減五人餘為法實如法得一即衰相去也下衰率六分之五者丁所得錢數也 　　今有竹九節下三節容四升上四節容三升問中間二節欲均容各多少答曰下初一升六十六分升之二十九次一升六十六分升之二十二次一升六十六分升之一十五次一升六十六分升之八次一升六十六分升之一次六十六分升之六十次六十六分升之五十三次六十六分升之四十六次六十六分升之三十九術曰以下三節分四升為下率以上四節分三升為上率 　　此二率者各其平率也 　　上下率以少減多餘為實 　　按此上下節各分所容為率者各其平率上下以少減多者餘為中間五節半之凡差故以為實也 　　置四節三節各半之以減九節餘為法實如法得一【案原本作得一升亦後人妄加升字今刪】即衰相去也 　　按此術上下節所容已定之節中間相去節數也實者中間五節半之凡差也故實如法而一則毎節之差也 　　下率一升少半升者下第二節容也 　　一升少半升者下三節通分四升之平率平率即為中分節之容也 　　今有鳬起南海七日至北海鴈起北海九日至南海今鳬鴈俱起問何日相逢答曰三日十六分日之十五術曰并日數為法日數相乗為實實如法得一【案原本作得一日亦後人妄加日字今刪】 　　按此術置鳬七日一至鴈九日一至齊其至同其日定六十三日鳬九至鴈七至令鳬鴈俱起而問相逢者是為共至并齊以除同即得相逢日故并日數為法者并齊之意日數相乗為實者猶以同為實也一曰鳬飛日行七分至之一鴈飛日行九分至之一齊而同之鳬飛定日行六十三分至之九鴈飛定日行六十三分至之七是為南北海相去六十三分鳬日行九分鴈日行七分也并鳬鴈一日所行以除南北相去而得相逢日也 　　今有甲發長安五日至齊乙發齊七日至長安今乙發已先二日甲乃發長安問㡬何日相逢答曰二日十二分日之一 　　術曰并五日七日以為法 　　按此術并五日七日為法者猶并齊為法置甲五日一至乙七日一至齊而同之定三十五日甲七至乙五至并之為十二至者用三十五日也謂甲乙與發之率耳然則日化為至當日除故以為法也 　　以乙先發二日減七日 　　減七日者言甲乙俱發今以發為始發之端于本道里則餘分也 　　餘以乘甲日數為實 　　七者長安去齊之率也五者後發相去之率也今問後發故舍七用五以乘甲五日為二十五日言甲七至乙五至更相去用此二十五日也 　　實如法得一【案原本作得一日亦後人妄加日字今刪】 　　一日甲行五分至之一乙行七分至之一齊而同之甲定日行三十五分至之七乙定日行三十五分至之五是為齊去長安三十五分甲日行七分乙日行五分也今乙先行發二日已行十分餘相去二十五分故減乙二日餘令相乘為二十五分 　　今有一人一日為牝瓦三十八枚一人一日為牡瓦七十六枚今令一人一日作瓦牝牡相半問成瓦㡬何答曰二十五枚少半枚 　　術曰并牝牡為法牝牡相乗為實實如法得一【案原本作得一枚亦後人妄加枚字今刪】 　　此意亦與鳬鴈同術牝牡瓦相并猶如鳬鴈日飛相并也按此術并牝牡為法者并齊之意牝牡相乘為實者猶以同為實也故實如法即得也 　　今有一人一日矯矢五十一人一日羽矢三十一人一日筈矢十五今令一人一日自矯羽筈問成矢㡬何答曰八矢少半矢 　　術曰矯矢五十用徒一人羽矢五十用徒一人大半人筈矢五十用徒三人少半人并之得六人以為法以五十矢為實實如法得一【案原本作得一矢亦後人妄加矢字今刪】 　　按此術言成矢五十用徒六人一日工也此同功共作猶鳬鴈共至之類亦以同為實并齊為法可令矢互乗一人為齊矢相乗為同今先令同于五十矢矢同則徒齊其歸一也以此術為鳬鴈者當鴈飛九日而一至鳬飛九日而一至七分至之二并之得二至七分至之二以為法以九日為實實如法而一得一人日矯矢之數也 　　今有假田初假之嵗三畞一錢明年四畞一錢後年五畞一錢凡三嵗得一百問田㡬何答曰一頃二十七畞四十七分畞之三十一 　　術曰置畞數及錢數令畞數互乘錢數并以為法畞數相乗又以百錢乗之為實實如法得一【案原本作得一畞亦後人妄加畞字今刪】 　　按此術令畞互乗錢者齊其錢畞數相乗者同其畞同于六十則初假之嵗得錢二十明年得錢十五後年得錢十二也凡三嵗得錢一百為所有數同畞為所求率四十七錢為所有率今有之即得也齊其錢同其畞亦如鳬鴈術也于今有術百錢為所有數同畞為所求率并齊為所有率 　　淳風等按假田六十畞初嵗得錢二十明年得錢十五後年得錢十二并之得錢四十七是為得田六十畞三嵗所治于今有術百錢為所有數六十畞為所求率四十七為所有率而今有之即合問也 　　今有程耕一人一日發七畞一人一日耕三畞一人一日耰種五畞今令一人一日自發耕耰種之問治田㡬何答曰一畞一百一十四步七十一分歩之六十六術曰置發耕耰畞數令互乗人數并以為法畞數相乘為實實如法得一【案原本作得一畞亦後人妄加畞字今刪】 　　此猶鴈術也 　　淳風等按此術亦發耕耰種畞數互乘人者齊其人畞數相乘者同其畞故并齊為法以同為實計田一百五畞發用十五人耕用三十五人種用二十一人并之得七十一工治得一百五畞故以為實而一人一日所治故以人數為法除之即得也 　　今有池五渠注之其一渠開之少半日一滿次一日一滿次二日半一滿次三日一滿次五日一滿今皆決之問㡬何日滿池答曰七十四分日之十五 　　術曰各置渠一日滿池之數并以為法 　　按此術其一渠少半日滿者是一日三滿也次一日一滿次二日半滿者是一日五分滿之二也次三日滿者是一日三分滿之一也次五日滿者是一日五分滿之一也并之得四滿十五分滿之十四也 　　以一日為實實如法得一【案原本作得一日下同皆後人妄加日字今刪】此猶矯矢之術也先令同于一日日同則滿齊自鳬鴈至此其為同齊有二術焉可隨率宜也 　　其一術列置日數及滿數【案列原本訛作各今據注文改正】 　　其一渠少半日滿者是一日三滿也次一日一滿次二日半滿者是五日二滿次三日一滿次五日一滿此謂之列置日數及滿數也 　　令日互相乘滿并以為法日數相乗為實實如法得一亦如鳬鴈術也 　　淳風等按此其一渠少半日滿池者是一日三滿池也次一日一滿次二日半滿者是五日再滿次三日一滿次五日一滿此謂列置日數于右行及滿數于左行以日互乗滿者齊其滿日數相乗者同其日滿齊而日同故并齊以除同即得也【案此條原本誤連上劉徽注脱淳風等三字攷其文義多與前節注文重複應是淳風等復舉以縂觧術意今訂正】 　　今有人持米出三闗外闗三而取一中闗五而取一内闗七而取一餘米五斗問本持米㡬何答曰十斗九升八分升之三 　　術曰置米五斗以所税者三之五之七之為實以餘不税者二四六互相乗為法【案互相原本訛作相互今改正】實如法得一【案原本作得一斗亦後人妄加斗字今刪】 　　此亦重今有術也【案原本脱術字今補】所税者謂今所當税之定三五七皆為所求率二四六皆為所有率置今有餘米五斗以七乗之六而一即内闗未税之本米也又以三乗之二而一即外闗未税之本米也今從末求本不問中間故令中率轉相乘而同之亦如絡絲術 　　又一術外闗三而取一則其餘本米三分之二也求外闗所税之餘則當置三分乗之二而一欲知中闗以四乗之五而一欲知内闗以六乗之七而一凡餘分者乘其母而以三五七相乘得一百五為分母二四六相乘得四十八為分子約而言之則是餘米于本所持三十五分之十六也于今有術餘米五斗為所有數分母三十五為所求率分之十六為所有率也 　　今有人持金出五闗前闗二而税一次闗三而税一次闗四而税一次闗五而税一次闗六而税一并五闗所税適重一斤問本持金㡬何答曰一斤三兩四銖五分銖之四 　　術曰置一斤通所税者以乗之為實亦通其不税者以減所通餘為法實如法得一【案原本作得一斤亦後人妄加斤字今刪】此意猶上術也置一斤通所税者謂令二三四五六相乗為分母七百二十也通其所不税者謂令所税之餘一二三四五相乘為分子一百二十也約而言之是為餘金于本所持六分之一也以子減母凡五闗所税六分之五也于今有術所税一斤為所有數分母六為所求率分子五為所有率此亦重今有之義又雖各有率不問中間故令中率轉相乘而連除之即得也置一以為持金之本率以税率乘之除之則其率亦成積分也 　　九章算術卷六 <子部,天文算法類,算書之屬,九章算術> 　　欽定四庫全書 　　九章算術卷七　　　　　晉　劉　徽　注 　　唐　李淳風　注釋 　　盈不足以御隠雜互見 　　今有共買物人出八盈三人出七不足四問人數物價各幾何答曰七人物價五十三 　　今有共買雞人出九盈一十一人出六不足十六問人數雞價各幾何答曰九人雞價七十 　　今有共買璡人出半盈四人出少半不足三問人數璡價各幾何答曰四十二人璡價十七 　　今有共買牛七家共出一百九十不足三百三十九家共出二百七十盈三十問家數牛價各幾何答曰一百二十六家牛價三千七百五十 　　按此術并盈不足者為衆家之差故以為實置所出率各以家數除之各得一家所出率以少減多者得一家之差以除即家數以出率乗之減盈故得牛價也 　　術曰盈不足相與同共買物者【案此十字原本訛在有分者通之句下共訛作其遂不可通今改正】置所出率盈不足各居其下令維乗所出率并以為實并盈不足為法【案此下原本有實如法而一五字考此術法實皆以設差約之實為物價法為人數與他術實如法而一者不同此五字後人所加今刪】 　　按盈者謂之朓不足者謂之朒所出率謂之假令盈朒維乗兩設者欲為同齊之意據共買物人出八盈三人出七不足四齊其假令同其盈朒盈朒俱十二通計齊則不盈不朒之正數故可并之為實并盈不足為法齊之三十二者是四假令有盈十二齊之二十一者是三假令亦朒十二并七假令合為一實故并三四為法【案此條原本訛在以御隠雜互見之下今改正移此】 　　有分者通之 　　若兩設有分者齊其子同其母此問兩設俱見零分故齊其子同其母【案此條首句之上原本有注云二字接上條故并三四為法之下係後人連合注文田其更端不相通貫竄入注云二字以别之今刪正】 　　副置所出率【案原本脱副字今補】以少減多餘以約法實實為物價法為人數【案此術前列四問本會通為一徽注辭不逹意後人失其解遂妄加改竄據第二問人出九盈十一人出六不足十六以十六互乗九得一百四十四以十一互乗六得六十六并之二百一十為實所謂相與同共買物者置所出率盈不足各俱其丅令維乗所出率并以為實也盈十一及不足十六并之二十七為法所謂并盈不足為法也于出九減出六餘三以三約實二百一十得價七十以三約法二十七得九人所謂副置所出率以少減多餘以約法實實為物價法為人數也其第一問所出率相減餘一則法實無庸約故維乗并之徑得物價并盈不足徑得人數偶省一算耳第三問人出半盈四人出少半不足三半即二分之一少半即三分之一也又即為二人共出一盈四三人共出一不足三以二分通三之一得二以三分通二之一得三是齊其子也二分三分相乗得六是同其母也以盈四互乗二得八以不足三互乗三得九并之十七為實是盈不足維乗所出率并以為實也盈四及不足三并而為七以分母相乗所得六通而齊之得四十二為法是并盈不足為法也二三相減餘一以約法實亦無庸約故徑得物價人數第四問七家共出一百九十不足三百三十九家共出二百七十盈三十以九家互乗一百九十得一千七百一十以七家互乗二百七十得一千八百九十猶之齊其子也七家九家相乗得六十三猶之同其母也以盈三十互乗一千七百一十得五萬一千三百以不足三百三十互乗一千八百九十得六十二萬三千七百并之六十七萬五千為實是盈不足維乗所出率并以為實也盈三十及不足三百三十并而為三百六十以六十三通而齊之得二萬二千六百八十為法是并盈不足為法也于一千八百九十減一千七百一十餘一百八十以一百八十約實六十七萬五千得價三千七百五十以一百八十約法二萬二千六百八十得一百二十六家是副置所出率以少減多餘以約法實也三四兩問皆所謂有分者通之也由此觀之後人改竄之謬顯然後兩盈兩不足相與同共買物者後人亦改竄其文謬戻倣此】 　　令下維乗上訖以同約之不可約故以乗同之所出率以少減多者餘謂之設差以為少設則并盈朒是為定實故以少設約定實則法為人數適足之實故為物價【案二十字有舛誤當云故以少設約法則為人數約實則為物價】盈朒當與少設相通不可徧約亦當分母乗設差為約法實此【條首句之上原本有又云二字接上條故齊其子同其母之丅亦後人連合注文田其更端竄入此二字以别之今改正】 　　其一術曰并盈不足為實以所出率以少減多餘為法實如法得一以所出率乗之減盈増不足即物價此術意謂盈不足衆衆人之差以所出率以少減多餘為一人之差以一人之差約衆人之差故得人數也【案此條原本訛在第一問之下今改正】 　　今有共買金人出四百盈三千四百人出三百盈一百問人數金價各幾何答曰三十三人金價九千八百今有共買羊人出五不出四十五人出七不足三問人數羊價各幾何答曰二十一人羊價一百五十 　　術曰兩盈兩不足相與同共買物者【案此十二字原本亦訛在後有分者通之句下共訛作其今改正】置所出率盈不足各居其下令維乗所出率以少減多餘為實兩盈兩不足以少減多餘為法【案此下原本有實如法而一五字亦後人妄加今刪】有分者通之副置所出率【案原木脱副字今補】以少減多餘以約法實實為物價法為人數按此術兩盈兩不足者兩設皆不足于正數其所以變化猶兩盈【案此有脱誤當云兩盈者兩設皆逾于正數兩不足者兩設皆不足于正數其所以變化則兩不足亦猶兩盈】而或有勢同而情違者當其為實俱令不足其相乗減則遺其所不足焉故其餘所以為實者無朒數以損焉葢出而有餘兩盈兩設皆通于正數【案以上訛舛不可通】假令與共買物人出八盈三人出九盈十齊其假令同其兩盈兩盈俱三十【案原本脱盈字今補】舉齊則兼去其餘所以為實者無盈數兩盈以少減多餘為法齊之八十者是十假令而凡盈三十者是齊十以十三之【案此七字舛誤不可通當云是三以十齊之】齊之二十七者是三假令而凡盈三十者是三以十之【案此五字亦舛誤當云是十以三齊之】今假令兩盈共十三以三減十餘七為一實故令以三減十餘七為法所出率以少減多餘謂之設差因設差為少設則兩盈之差是為定實故以設法人數約實即得全數【案此十二字亦舛誤當云故以少設約法則為人數約實則得物價】 　　其一術曰置所出率以少減多餘為法兩盈兩不足以少減多餘為實實如法而一得人數以所出率乗之減盈増不足即物價 　　置所出率以少減多得一人之差兩盈兩不足相減餘為衆人之差【案原本脱餘字今補】故以一人之差除之得人數以所出率乗之減盈増不足即物價 　　今有共買犬人出五不足九十人出五十適足問人數大價各幾何答曰二人犬價一百 　　術曰以盈及不足之數為實實置所出率以少多餘為法實如法得一其求物價者以適足乗人數得物價此術意謂以所出率以少減多者餘是一人不足之差不足數為衆人之差以一人差約之故得人之数也適足數為實者【案此句訛舛當云盈不足數為實者】數單見即衆人差故以為實所出率以少減多餘即一人差【案原本脱餘字今補】故以為法以除衆人差得人數以適足乗人數即得物價也 　　今有米在十斗桶中不知其數滿中添粟而舂之得米七斗問故果幾何答曰二斗五升 　　術曰以盈不足術求之假令故米二斗不足二升令之三斗有餘二升【案此下有脱文當云以盈不足維乗假令之數并為實并盈不足為法實如法而一得故米斗數】 　　按桶受一斛若使故米二斗須添粟八斗以滿之八斗得糲米四斗八升課于七斗是為不足二升若使故米三斗須添粟七斗以滿之七斗得糲米四斗二升課于七斗是為有餘二升以盈不足維乗假令之數者欲為齊同之意【案此下原本云為齊同者假令據共買物人出八盈三人出七不足四齊其假令同其盈朒俱十二通計齊即不盈不朒之正數故可以并之為實并盈不足為法齊之三十二者是四假令有盈十二齊之二十一者是三假令而凡物十二并七假令合為一實故亦并三四為法几一百字已見前此處係重出衍文與上下絶不相涉今刪去】實如法即得故米斗數乃不盈不朒之正數也 　　今有垣髙九尺生其上蔓日長七寸瓠其其下蔓日長一尺問幾何日相逄瓠各長幾何答曰五日十七分日之五長三尺七寸一十七分寸之一瓠長五尺二寸一十七分寸之一十六 　　術曰假令五日不足五寸令之六日有餘一尺二寸【案此下有脱文當云以盈不足維乗假令之數并為實并盈不足為法實如法而一得日數】 　　按假令五日不足五寸者生五日下垂蔓三尺五寸瓠生五日上延蔓五尺課于九尺之垣是為不足五寸令之六日有餘一尺二寸者若使生六日下垂蔓四尺二寸瓠生六日上延蔓六尺課于九尺之垣是為有餘一尺二寸以盈不足維乗假令之數者欲為齊同之意【案此下原本云假令據共買物者人出八盈三人出七不足四齊其假令同其盈朒俱十二通計齊即不盈不朒之正數故可并以為實并盈不足為法齊之三十二者是四假令有盈十二齊之二十一者足三假令而凡朒十二并七假令合為一實故亦并三四為法凡九十六字即上條重出衍文復雜入于此與上下亦絶不相涉今刪去】實如法而一即設差不盈不朒之正數即得日數以瓠一日之長乗之故各得其長之數也 　　今有蒲生一日長三尺莞生一日長一尺蒲日自半莞生日自倍問幾何日而長等答曰二日十三分日之六各長四尺八寸一十三分寸之六 　　術曰假令二日不足一尺五寸令之三日有餘一尺七寸半【案此下有脱文當云以盈不足維秉假令之數并為實并盈不足為法實如法而一得日數不盡者等數約之而命分以後一日所長乗日分子如日分母而一各増二長為二物共長齊等之數】 　　按假令二日不足一尺五寸者蒲生二日長四尺五寸莞生二日長三尺是為未相及一尺五寸故曰不足令之三日有餘一尺七寸半者蒲増前七寸半莞増前四尺是為過一尺七寸半故曰有餘以盈不足乗除之又以後一日所長各乗日分子如日分母而一者各得日分子之長也故各増二長即得其數 　　今有醇酒一斗直錢五十行酒一斗直錢一十今將錢三十得酒二斗問醇行酒各得幾何答曰醇酒二升半行酒一斗七升半 　　術曰假令醇酒五升行酒一斗五升有餘一十令之醇酒二升行酒一斗八升不足二【案此下有脱文當云各以盈不足維乗之并為實并盈不足為法實如法而一得二酒之數】 　　據醇酒五升直錢二十五行酒一斗五升直錢一十五課于三十是為有餘十據醇酒二升直錢一十行酒一斗八升直錢一十八課于三十是為不足二以盈不足術求之此問已有重説及其齊同之意也 　　今有大器五小器一容三斛大器一小器五容二斛問大小器各容幾何答曰大器容二十四分斛之十三小器容二十四分斛之七 　　術曰假令大器五斗小器亦五斗盈一十斗令之大器五斗五升小器二斗五升不足二斗 　　按大器容五斗大器五容二斛五斗以減二斛餘五斗即小器一所容故曰小器亦五斗小器五容二斛五斗大器一合為三斛課于兩斛乃多十斗令之大器五斗五升大器五合容二斛七斗五升以減三斛餘二斗五升即小器一所容故曰小器二斗五升大器一容五斗五升小器五合容一斛二斗五升合為一斛八斗課于二斛少二斗故曰不足二斗以盈不足維乗除之【案此句有脱文當云以盈不足維乗之各并為實并盈不足為法除之】 　　今有漆三得油四油四和漆五今有漆三斗欲令分以易油還自和餘漆問出漆得油和漆各幾何答曰出漆一斗一升四分升之一得油一斗五升和漆一斗八升四分升之三 　　術曰假令出漆九升不足六升令之出漆一斗二升有餘二升 　　按此術三斗之漆出九升得油一斗二升可和漆一斗五升餘有二斗一升則六升無油可和故曰不足六升令之出漆一斗二升則易得油一斗六升可和漆二斗于三斗之中已出一斗二升餘有一斗八升見在油合和得漆二斗則是有餘二升以盈不足維乗之為實并盈不足為法實如法而一得出漆升數【案此下有脱文當云求油及和漆者】四五各為所求率四三各為所有率而今有之即得也 　　今有玉方一寸重七兩石方一寸重六兩今有石立方三寸中有玉并重十一斤問玉石重各幾何答曰玉一十四寸重六斤二兩石一十三寸重四斤一十四兩術曰假令皆玉多十三兩令之皆石不足一十四兩不足為玉多為石各以一寸之重乗之得玉石之積重立方三寸是一面之方計積二十七寸玉方一寸重七兩石方一寸重六兩是為玉石重差一兩假令皆玉合有一百八十九兩課于一十一斤有餘一十三兩【案此下原本衍故謂二字今刪】玉重而石輕故有此多即二十七寸之中有十三寸寸損一兩則以為石重故言多為石言多之數出于石以為玉假令皆石合有一百六十二兩課于十一斤少十四兩故曰不足此不足即以重為輕故令減少數于石重即二十七寸之中有十四寸寸増一兩也【案此句有脱文當云寸増一兩則以為玉重也】 　　今有善田一畞價三百惡田七畞價五百今并買一頃價錢一萬問善惡田各幾何答曰善田一十二畞半惡田八十七畞半 　　術曰假令善田二十畞惡田八十畞多一千七百一十四錢七分錢之二令之善田一十畞惡田九十畞不足五百七十一錢七分錢之三 　　按善田二十畞直錢六千惡田八十畞直錢五千七百一十四七分錢之二課于一萬是多一千七百一十四七分錢之二令之善田十畝直錢三千惡田九十畞直錢六千四百二十八七分錢之四課于一萬是為不足五百七十一七分錢之三以盈不足術求之也 　　今有黄金九枚白銀一十一枚稱之重適等交易其一金輕十三兩問金銀一枚各重幾何答曰金重二斤三兩一十八銖銀重一斤一十三兩六銖 　　術曰假令黄金三斤白銀二斤一十一分斤之五不足四十九于右行令之黄金二斤白銀一斤一十一分斤之七多一十五于左行以分母各乗其行内之數以盈不足維乗所出率并以為實并盈不足為法實如法得黄金重分母乗法以除得銀重約之得分也 　　按此術假令黄金九白銀一十一俱重二十七斤金九約之得三斤銀一十一約之得二斤一十一分斤之五各為金銀一枚重數就金重二十七斤之中減一金之重以益銀銀重二十七斤之中減一銀之重以益金則金重二十六斤一十一分斤之五銀重二十七斤一十一分斤之六以少減多則金輕一十七兩一十一分兩之五課于一十三兩多四兩一十一分兩之五通分内子言之是為不足四十九又令之黄金九一枚重二斤九枚重一十八斤白銀一十一亦合重一十八斤也乃以一十一除之得一枚一斤一十一分斤之七為銀一枚之重數今就金重一十八斤之中減一枚金以益銀復減一枚銀以益金則金重一十七斤一十一分斤之七銀重一十八斤一十一分斤之四以少減多即金輕一十一分斤之八課于一十三兩少一兩一十一分兩之四通分内子言之是為多一十五以盈不足為之如法得金重【案此二句有脱誤當云以盈不足術求之實如法得金重】以除者為銀兩分母故同之【案此二句亦脱誤當云分母乗法以除者謂銀兩分母同】須通法而後乃除得銀重餘皆約之者術省故也 　　今有良馬與駑馬發長安至齊齊去長安三千里良馬初日行一百九十三里日増一十三里駑馬初日行九十七里日減半里良馬先至齊復還迎駑馬問幾何日相逢及各行幾何答曰一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢良馬行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六駑馬行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五 　　術曰假令十五日不足三百三十七里半令之十六日多一百四十里以盈不足維乗假令之數并而為實并盈不足為法實如法而一得日數不盡者以等數除之而命分【案以盈不足維乗至此原本訛入注内今據前術體例改正又此下仍有脱文當云求二馬各行里數以十五日初末之行并而半之十五乗之又以後一日之定行乗日分子日分母為法得一各加于前破半里為半法以入殘分】 　　求良馬行者十四乗益疾里數而半之加良馬初日之行里數【案此下有脱文當云以乗十五日得十五日之凡行又以十五日乗益疾里數加良馬初日之行】以乗日分子如日分母而一所得前良馬凡行里數即得其不盡而命分【案此二句有舛誤當云所得及其不盡而命分加于前良馬凡行里數即得】求駑馬行者以十四乗半里又半之以減駑馬初日之行里數以乗十五日之凡行【案又半之至此有訛脱當云以減駑馬初日之行里數餘以并初日之行又半之乗十五日得駑馬十五日之凡行】又以十五日乗半里以減駑馬初日之行餘以乗日分子如日分母而一所得加前里即駑馬定行里數其竒半里者為半法以半法増殘分即得其不盡者而命分按令十五日不足三百三十七里半者據良馬十五日凡行四千二百六十里除先去齊三千里定還迎駑馬一千二百六十里駑馬十五日凡行一千四百二里半并良馬二馬所行得二千六百六十二里半課于三千里少三百三十七里半故曰不足令之十六日多一百四十里者據良馬十六日凡行四千六百四十八里先除去齊三千里定還迎駑馬一千六百四十八里駑馬十六日凡行一千四百九十二里并良駑二馬所行得三千一百四十里課于三千里餘有一百四十里故謂之多也以盈不足之【案此五字脱誤不可通當云以盈不足維乗假令之數并而為實并盈不足為法】實如法而一得日數者即設差不盈不朒之正數以二馬初日所行里乗十五日為一十五日平行數求初末益疾減遲之數者并一與十四以十四乗而半之為中平之積【案此下原本有減益疾之數五字係衍文今刪】又令益疾減遲里數乗之各為減益之中平里故各減益平行數得一十五日定行里若求後一日以十六日之定行里數乗日分子如日分母而一各得日分子之定行里數故各并十五日定行里即得其駑馬竒半里者法為全里之分故破半里為半法以増殘分即合所問也 　　今有人持錢之蜀賈利十三初返歸一萬四千次返歸一萬三千次返歸一萬二千次返歸一萬一千後返歸一萬凡五返歸錢本利俱盡問本持錢及利各幾何答曰本三萬四百六十八錢三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千八百七十六利二萬九千五百三十一錢三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬六千四百一十七 　　術曰假令本錢三萬不足一千七百三十八錢半令之四萬多三萬五千三百九十錢八分 　　按假令本錢三萬并利為三萬九千除初返歸留餘加利為三萬二千五百除二返歸留餘又加利為二萬五千三百五十除第三返歸留餘又加利為一萬七千三百五十五除第四返歸留餘又加利為八千二百六十一錢半除第五返歸留合一萬錢不足一千七百三十八錢半若使本錢四萬并利為五萬二千除初返歸留餘加利為四萬九千四百除第二返歸留餘又加利為四萬七千三百二十除第三返歸留餘又加利為四萬五千九百一十六除第四返歸留餘又加利為四萬五千三百九十錢八分除第五返歸留合一萬餘三萬五千三百九十錢八分故曰多 　　又術置後返歸一萬以十乗之十三而一即後所持之本加一萬一千又以十乗之十三而一即第四返之本加一萬二千又以十乗之十三而一即第三返之本加一萬三千又十乗之十三而一即第二返之本加一萬四千又以十乗之十三而一即初持之本并五返之錢以減之即利也 　　今有垣厚五尺兩䑕對穿大䑕日一尺小䑕亦日一尺大䑕日自倍小䑕日自半問幾何日相逢各穿幾何答曰二日一十七分日之二大䑕穿三尺四寸十七分寸之一十二小䑕穿一尺五寸十七分寸之五 　　術曰假令二日不足五寸令之三日有餘三尺七寸半大䑕日倍二日合穿三尺小䑕日自半合穿一尺五寸并大䑕所穿合四尺五寸課于垣厚五尺是為不足五寸令之三日大䑕穿得七尺小䑕穿得一尺七寸半并之以減垣厚五尺有餘三尺七寸半以盈不足術求之即得以後一日所穿【案原本訛作求今改正】乗日分子如日分母而一即各得日分子之中所穿故各増二日定穿即合所問也 　　九章算術卷七 　　欽定四庫全書 　　九章算術卷八　　　　　晉　劉　徽　注 　　唐　李淳風　注釋 　　方程以御錯糅正負 　　今有上禾三秉中禾二秉下禾一秉實三十九斗上禾二秉中禾三秉下禾一秉實三十四斗上禾一秉中禾二秉下禾三秉實二十六斗問上中下禾實一秉各幾何答曰上禾一秉九斗四分斗之一中禾一秉四斗四分斗之一下禾一秉二斗四分斗之三【案三原本訛作一今改正】程課程也羣物總雜各列有數總言其實令每行為率二物者再程三物者三程皆如物數程之並列為行故謂之方程行之左右無所同存且為有所據而言耳此都術也以空言難曉故特繫之禾以決之又列中行如右行也 　　術曰置上禾三秉中禾二秉下禾一秉實三十九斗于右方中左禾列如右方以右行上禾徧乘中行而以直除【案古字直值通用直除猶言對減也以右行上禾徧乘中行復以中行上禾徧乘右行然後可相對減古人文省故但舉一以該之】 　　為術之意令少行減多行反覆相減則頭位必先盡上無一位則此行亦闕一物矣然而舉率以相減不害餘數之課也若消去頭位則下去一物之實如是叠令左右行相減審其正負則可得而知先令右行上禾乗中行為齊同之意為齊同者謂中行直減右行也【案此句舛誤當云謂中行上禾亦乗右行也】從簡易雖不言齊同以齊同之意觀之其義然矣 　　又乗其次亦以直除【案此謂右行上禾徧乗左行復以左行上禾徧乗右行亦相對減古人文多省畧】 　　復去左行首 　　然以中行中禾不盡者【案古人單用然字不曰然後者然猶乃也非脫後字】徧乗左行【案此以中行左行所減之餘如前徧乗文亦從省】而以直除 　　亦令兩行相乗去行之中禾也 　　左方下禾不盡者【案下原本訛作上今改正】上為法下為實實即下禾之實 　　上中禾皆去故餘數是下禾實非但一秉欲約衆秉之實當以禾秉數為法列此下禾之秉實【案下禾上原本衍以字今刪】乗兩行以直除則下禾之位自決矣若以其餘一位之秉除其下實即斗數矣【案斗原本訛作計今改正】用算繁而不省所以别為法約也然猶不如自用其舊廣異法也【案用算繁而不省以下亦訛舛衍文】 　　求中禾以法乗中行下實而除下禾之實 　　此謂中下兩禾實【案原本脫下字今補】下禾一秉實數先見將中秉求中禾其列實以減下實而左方下禾雖去一秉以法為母于率不通【案此三句有脫誤當云而左方下禾不惟一秉下禾實既以法為母則中行下實不以法為母于率不通】故先以法乘其實而同之【案實原本訛作通今改正】俱令法為母而除下禾實以下禾先見之實令乘下禾秉數即得下禾一位之列實減于下實【案原本脱減字今補】則其數是中禾之實也 　　餘如中禾秉數而一即中禾之實 　　餘中禾一位之實也故以一位秉數約之乃得一秉之實也 　　求上禾亦以法乘右行下實而除下禾中禾之實此右行三禾共實合三位之實【案合原本訛作令今改正】故以二位秉數約之【案二原本訛作一今改正】乃得上禾一秉之實【案原本脫上禾二字今補】此右行三禾共實合中下禾之實其數竝見右行之禾秉以減之【案此句有脫誤當云以中下禾先見之實令乗右行中下禾秉數以減之】故亦如前各求列實以減下實也 　　餘如上禾秉數而一即上禾之實實皆如法各得一【案此下原本衍斗字係後人妄加今刪正】 　　三實同用不滿法去以法命之母實皆當除之【案此六字亦訛舛衍文】 　　今有上禾七秉損實一斗益之下禾二秉而實一十斗下禾八秉益實一斗與上禾二秉而實一十斗問上下禾實一秉各㡬何答曰上禾一秉實一斗五十二分斗之一十八下禾一秉實五十二分斗之四十一 　　術曰如方程損之曰益益之曰損 　　問者之辭雖【案此字下有脫文當云雖以損益為説】今按實云上禾七秉下禾二秉實一十一斗上禾二秉下禾八秉實九斗也損之曰益言損一斗餘當一十斗今欲全其實當加所損也益之曰損言益實以一斗乃滿一十斗今欲加本實當減所加即得也 　　損實一斗者其實過一十斗也益實一斗者其實不滿一十斗也 　　重諭損益數者各以損益之數損益之也 　　今有上禾二秉中禾三秉下禾四秉實皆不滿斗上取中中取下下取上各一秉而實滿斗問上中下禾實一秉各㡬何答曰上禾一秉實二十五分斗之九中禾一秉實二十五分斗之七下禾一秉實二十五分斗之四術曰如方程各置所取 　　置上禾二秉為右行之上中禾三秉為中行之中下禾四秉為左行之下所取一秉及實一斗各從其位諸行相借取之物皆依此例 　　以正負術入之正負術曰 　　今兩算得失相反要令正負以名之正算赤負算黑否則以邪正為異方程自有赤黑相取左右數相推求之術而其并減之勢不得交通故使赤黑相消奪之于算或減或益同行異位殊為二品各有并減之差見于下焉著此二條特繫之禾以成此二條之意故赤黑相雜足以定上下之程減益雖殊足以通左右之數差實雖分足以應同異之率然則其正無人以負之【案此句有脱誤當云然則其正無入負之負無入正之】其率不妄也 　　同名相除 　　此為以赤除赤以黑除黑行求相減者為法頭位也然則頭位同名當用此條頭位異名者當用下條 　　異名相益 　　益行減行當各以其類矣其異名者非其類也非其類者猶無對也非所得減也故赤用黑對則除黑無對則除赤赤黑并于本數此為相益之皆所以為消奪消奪之與減益成一實也【案此注多訛舛據方程術無論物有幾品遞減至一物乃止又以赤黑别正負首位赤减赤黑減黑者同名相除也次位以下遇赤用黑對則相益此條是也首位赤減黑黑減赤者異名相除也次位以下遇皆赤皆黑則相益後條是中由此言之注之謬顯然蓋傳冩失真後人復妄加改竄遂不可通】術本取要必除行首至于他位不嫌多少故或令相減或令相并理無同異一也【案一上原本衍而字今刪正】 　　正無入負之【案入原本訛詐人下文及注竝同據注云無人為無對也無對之説亦未分曉釋方程者專為遇空位起例而左右兩行相對減或正宜變為負或負宜變為正徃徃不得其義例今考同名相除異名相益者如下實左右俱正所減之餘屬左行則去右行屬右行則去左行其物品以正減正餘在所去之行為正無入以負減負餘在所去之行為負無入以正從負為正無入以負從正為負無入負對空位而負數在所去之行與以負減負同例正對空位而正數在所去之行與以正從負同例此皆所謂正無入負之負無入正之也異名相除同名相益者如下實左右俱正并為一數則無分于左右其物品以負減正餘或左或右為正無入以正減負餘或左或右為負無入以正從正為正無入以負從負為負無入正對空位與以負減正同例負對空位與以負從負同例此皆所謂正無入正之負無入負之也由是言之在所去之行則其數無入而或左或右以與無分于左右合為一行因亦謂之無入又字乃傳冩之誤明矣今悉改正】負無入正之 　　無入為無對也無所得減則使消奪者居位也其當以列實或減下實【案此句訛舛據後注内方程新術以列衰乘下實又以列衰乗羣物之數并為法其當相并而行中正負雜者同名相從異名相消似即此所舉】而行中正負雜者亦用此條此條者同名減實異名益實正無入負之負無入正之也 　　其異名相除同名相益正無入正之負無入負之此條異名相除為例故亦與上條互取凡正負所以記其同異使二品互相取而已矣言負者未必負于少言正者未必正于多故每一行之中雖復赤黑異算無傷然則可得使頭位常相與異名此條之實兼通矣遂以二條反覆一率觀其每與上下互相取位則隨算而言耳猶一術也又本設諸行欲因成數以相去耳【案成字誤當作減】故其多少無限令上下相命而已若以正負相減如數有舊増法者每行可均之不但數物左右之也 　　今有上禾五秉損實一斗一升當下禾七秉上禾七秉損實二斗五升當下禾五秉問上下禾實一秉各幾何答曰上禾一秉五升下禾一秉二升 　　術曰如方程置上禾五禾正下禾七秉負損實一斗一升正 　　言上禾五秉之實多減其一斗一升餘是與下禾七秉相當數也故互其算令相折除以一斗一升為差為差者上禾之餘實也 　　次置上禾七秉正下禾五秉負損實二斗五升正以正負術入之 　　按正負之術本設列行物程之數不限多少必令與實上下相次而以每行各自為率【案此下原本衍多少二字乃上文不限多少句重出今刪正】然而或減或益同行異位殊為二品【案此下原本衍各自二字乃上文各自為率句重出今刪正】并減之差見于下也 　　今有上禾六秉損實一斗八升當下禾一十秉下禾一十五秉損實五升當上禾五秉問上下禾實一秉各㡬何答曰上禾一秉實八升下禾一秉實三升 　　術曰如方程置上禾六秉正下禾一十秉負損實一斗八升正次置上禾五秉負【案原本脱置字今據前後文補入】下禾一十五秉正損實五升正以正負術入之 　　言上禾六秉之實多減損其一斗八升餘是與下禾十秉相當之數故亦互其算而以一斗八升為差實差實者下禾之餘實 　　今有上禾三秉益實六斗當下禾一十秉下禾五秉益實一斗當之禾二秉問上下禾實一秉各㡬何答曰上禾一秉實八斗下禾一秉實三斗 　　術曰如方程置上禾三秉正下禾一十秉負益實六斗正次置上禾二秉負下禾五秉正益實一斗正以正負術入之 　　言上禾三秉之實少益其六斗然後于下禾十秉相當也故亦互其算而以六斗為差實差實者下禾之餘實 　　今有牛五羊二直金十兩牛二羊五直金八兩問牛羊各直金㡬何答曰牛一直金一兩二十一分兩之一十三羊一直金二十一分兩之二十 　　術曰如方程 　　假令為同齊頭位為牛當相乘右行定【案此句舛誤應作左右行相乘定】更置牛十羊四直金二十兩左行牛十羊二十五直金四十兩牛數等同金多二十兩左行牛二十一使之然也以少行減多行則牛數盡惟羊與直金之數見可得而知也以小推大雖四五行不異也 　　今有賣牛二羊五以買一十三豕有餘錢一千賣牛三豕三以買九羊錢適足賣六羊八豕以買五牛錢不足六百問牛羊豕價各㡬何答曰牛價一千二百羊價五百豕價三百 　　術曰如方程置牛二羊五正豕一十三負餘錢數正次牛三正羊九負豕三正次五牛負六羊正八豕正不足錢負以正負求術入之 　　此中行買賣相折錢適足故但互買賣算而已故下無錢直也設欲以此行如方程法先令二牛徧乘左行而以右行直除之是故終于下實虚缺矣故注曰正無實負負無實正方為類也方將以别實加不足之數與實物作實【案此注訛脱不分曉據術意應列三行先令右行牛二徧乘中行復令中行牛三徧乘右行而以直除得羊三十三正豕四十五負餘錢三千正此同名相除異名相益正無入負之負無入正也也次令右牛二徧乗乗左行復令左行牛五徧乗右行而以直除得羊三十七正豕四十九負餘錢三千八百正此異名相除同名相益正無入正之負無入負之也重列為左右兩行先令左行羊三十三徧乘左行復令左行羊三十七徧乗右行而以直除得豕四十八正以為法錢一萬四千四百正為實實如法而一得豕價三百轉減而上得羊價五百牛價一千二百此亦同名相除異名相益正無入負之負無入正之也中行下實虚缺本無庸論蓋注文傳冩失真後人又妄加改竄遂不可通】盈不足章黄金白銀與此相當假令黄金九白銀一十一稱之重適等交易其一金輕十三兩問金銀一枚各重㡬何與此同 　　今有五雀六燕集稱之衡雀俱重燕俱輕一雀一燕交而處衡適平并雀燕重一斤問雀燕一枚各重㡬何答曰雀重一兩一十九分兩之一十三燕重一兩一十九分兩之五 　　術曰如方程交易質之各重八兩 　　此四雀一燕與一雀五燕衡適平并重一斤故各八兩列兩行程數左行頭位其數有一者今右行徧除亦可令于左行【案此十六字訛舛不可通當云其數是一可省乗令右徧乗乗左行】而取其法實于左左行數多以右行取其數左頭位減盡中下行算當燕與實右行不動左上空【案此十五字係訛舛術文】中法下實即每枚當重宜可知也按此四雀一燕與一雀五燕其重等是三雀四燕重相當【案四原本訛作一今改正】雀率重四燕率重三也諸再程之率皆可異術求也即其數也【案此即末條所言新術以下實俱重八兩徧乗上雀燕以左雀八減右雀三十二餘二十四以右燕八減左燕四十餘三十二是為二物正負相借因而約之雀得三燕得四乃三雀當四燕也對易其數即雀率重四而燕率重三注于此突入異術㡬不解其所謂姑附論之】 　　今有甲乙二人持錢不知其數甲得乙半而錢五十乙得甲太半而亦錢五十問甲乙持錢各㡬何答曰甲持三十七錢半乙持二十五錢 　　術曰如方程損益之 　　此問者言一甲半乙而五十太半甲一乙亦五十也各以分母乘其全内子行定二甲一乙而錢一百二甲三乙而錢一百五十于是乃如方方諸物有分者放此 　　今有二馬一牛價過一萬如半馬之價一馬二牛價不滿一萬如半牛之價問牛馬價各㡬何答曰馬價五千四百五十四錢一十一分錢之六牛價一千八百一十八錢一十一分錢之二 　　術曰如方程損益之 　　此一馬半與一牛價直一萬也二牛半與一馬亦直一萬也一馬半與一牛通分内子右行為三馬二牛直錢二萬二牛半與一馬直錢一萬通分内子左行為二馬五牛直錢二萬也 　　今有武馬一匹中馬二匹下馬三匹皆載四十石至阪皆不能上武馬借中馬一匹中馬借下馬一匹下馬借武馬一匹乃皆上問武中下馬一匹各力引㡬何答曰武馬一匹力引二十二石七分石之六中馬一匹力引一十七石七分石之一下馬一匹力引五石七分石之五 　　術曰如方程各置所借以正負術入之 　　今有五家共井甲二綆不足如乙一綆乙三綆不足如丙一綆【案此句如字及下三如字原本竝訛作以惟上如字不悞今據上文改正】丙四綆不足如丁一綆丁五綆不足如戊一綆戊六綆不足如甲一綆【案此下原本衍一如字今刪】各得所不足一綆皆逮問井深綆長各㡬何答曰井深七丈二尺一寸甲綆長二丈六尺五寸乙綆長一丈九尺一寸丙綆長一丈四尺八寸丅綆長一丈二尺九寸戊綆長七尺六寸【案此問不言丈尺無由知井深綆長于丈尺㡬何使井深半之為三丈六尺有半寸則甲綆一丈三尺二寸半乙綆九尺五寸半丙綆七尺四寸丅綆六尺四寸半戊綆三尺八寸使井深倍之為十四丈四尺二寸則甲綆五丈三尺乙綆三丈八尺二寸丙綆二丈九尺六寸丅綆二丈五尺八寸戊綆一丈五尺二十皆合所問由是言之問既不定以丈尺依術推求先得七百二十一無以定百為丈十為尺也問井深綆長之率各㡬何答以井深之率七百二十一甲綆長率二百六十五乙綆長率一百九十一丙綆長車一百四十八丅綆長率一百二十九戊綆長率七十六于義乃通】 　　術曰如方程以正負術入之 　　此率初如方程為之名各一逮井其後法得七百二十一實七十六【案此上訛舛不可通據術先得七百二十一為所列五行之通車即井深率也以此率列各行下為各行之下實重求之法得七百二十一實得五萬四千七百九十六以法除實得用逮之數七十六】是為七百二十一　而七十六逮井用逮之數以法除實者【案此九字乃訛舛衍文】而戊一綆逮之數定逮七百二十一分之七十六是故七百二十一為井深七十六為戊綆之長舉率以言之 　　今有白禾二歩青禾三歩黄禾四歩黑禾五歩實各不滿斗白取青黄青取黄黑黄取黑白黑取白青各一歩而實滿斗問白青黄黑禾實一歩各㡬何答曰白禾一歩實一百一十一分斗之三十三青禾一歩實一百一十一分斗之二十八黄禾一歩實一百一十一分斗之一十七黑禾一歩實一百一十一分斗之一十 　　術曰如方程各置所取以正負術入之 　　今有甲禾二秉乙禾三秉丙禾四秉重皆過于石甲二重如乙一乙三重如丙一丙四重如甲一問甲乙丙禾一秉各重幾何答曰甲禾一秉重二十三分石之一十七乙禾一秉重二十三分石之一十一丙禾一秉重二十三分石之一十 　　術曰如方程置重過于石之物為負 　　此問者言甲禾二秉之重過于一石也其過者何云【案何云當作㡬何】如乙一秉重矣互其算令相折除【案原本訛作互言其算令相折除而一衍言字及而一二字今刪正】以石為之差實差實者如甲禾餘實故置算相與同也 　　以正負術入之 　　此入頭位異名相除者正無入正之負無入負之也 　　今有令一人吏五人從者一十人食鷄一十令一十人吏一人從者五人食鷄八令五人吏一十人從者一人食鷄六問令吏從者食鷄各幾何答曰令一人食一百二十二分鷄之四十五吏一人食一百二十二分鷄之四十一從者一人食一百二十二分鷄之九十七術曰如方程以正負術入之 　　今有五羊四犬三鷄二兎直錢一千四百九十六四羊二犬六鷄三兎直錢一千一百七十五三羊一犬七鷄五兎直錢九百五十八二羊三犬五鷄一兎直錢八百六十一問羊犬鷄兎價各㡬何答曰羊價一百七十七犬價一百二十一鷄價二十三兎價二十九 　　術曰如方程以正負術入之 　　今有麻九斗麥七斗菽三斗荅二斗黍五斗直錢一百四十麻七斗麥六斗菽四斗荅五斗黍三斗直錢一百二十八麻三斗麥五斗菽七斗荅六斗黍四斗直錢一百一十六麻二斗麥五斗菽三斗荅九斗黍四斗直錢一百一十二麻一斗麥三斗菽二斗荅八斗黍五斗直錢九十五問一斗直㡬何答曰麻一斗七錢麥一斗四錢菽一斗三錢荅一斗五錢黍一斗六錢 　　術曰如方程以正負術入之 　　此麻麥與均輸少廣之章重衰積分皆為大事其拙于精理從按本術者或用算而布氊方好煩而喜誤曾不知其非反欲以多為貴故其算也莫不同于設通而專于一端至于此類苟務其成然或失之不可謂要約更有異術者庖丁解牛游刄理間故能　乆其刄如新夫數猶刄也易簡用之則動中庖丅之理故能和神愛刄速而寡尤凡九章為大事按法皆不盡一百算也雖布算不多然足以算多世人多以方程為難或盡布算之象在綴正負而已未暇以論其設動無方斯膠柱調瑟之類聊復恢演為作新術著之于此將亦啟導疑意綱羅道精豈傳之空言記其施用之例著䇿之數每舉一隅焉【案以上字句多訛誤又皆屬虚辭非有貿義可考無從訂正姑仍之】 　　方程新術曰以正負術入之令左右相減先去下實又轉去物位則其求一行二物正負相借者【案此句則其求三字舛誤當云求其一行二物正負相借者據所立新術推算至一行二物若非遇一正一負彼此相借者則不得其率須另推算徃徃輒窮】易其相當之率又令二物與他行互相去取轉其二物相借之數即皆相當之率也各據二物相當之率對易其數即各當之率也更置成行及其下實【案成行不可通後稱減行指所減之餘也疑成乃减之訛】各以其物本率今有之求其所同并以為法其當相并而行中正負雜者同名相從異名相消餘以為法以下實為實【案下實原本訛作下置今據上下文謂價直為下實改正】實如法即合所問也一物各以本率今有之即皆合所問也率不通者齊之 　　其一術曰置羣物通率為列衰更置成行羣物之數【案成行亦減行之訛】各以其率乘之【案率原本訛作數今改正】并以為法其當相并而行中正負雜者同名相從異名相消餘為法以成行下實【案成行亦減行之訛】乘列衰各自為實實如法而一即得以舊術為之凡應置五行今欲要約先置第三行以減第四行及減第三行次置第二行以第二行減第三行去其頭位次置右行去其頭位次以第四行減左行頭位次以左行去第四行及第二行頭位次以第五行減第二行頭位餘可半次以第二行去第四行頭位餘約之為法實如法而一得空即有黍價以法治第二行得荅價左行得麥價第三行麻價右行得菽價如此凡用七十七算【案以上所言舊術訛舛不可通據方程術凡五物及總價求其各物之價者應列五行行五位及價直以上一位互乘因徧乘次位以下及價直兩兩相對減去其頭位所減之餘重列之減至一物一價乃止物為法價為實實如法而一得一物之價轉減而止以知各價先化五為四次化四為三次化三為二次化二為一凡用十算兼乘減除言之則一百四十五算凡上一位互乘其數必同可省乘若遇上一位數同則省徧乘或上一位遇一則省其與對行徧乘考問意左行上一位是一先以左行減右行次減第二行次減第三行次減第四行所減之餘重列為四行其左行上一位又是一以左行減右行次減第二行次減第三行所減之餘重列為三行其上一位數皆同即以本數減之餘列為兩行依術得荅價轉而上求得菽價及麥價麻價凡用九十九算】以新術為此先以第四行減第三行次以第三行去右行及第二行第四行下位又以減右行下位不足減乃止次以左行減第三行下位次以第三行去左行下位訖廢去第三行次以第四行去左行下位右行當左行下位次以右行去第二行及第四行下位次以第二行減第四行及左行頭位次以第四行減右行菽位不足減乃止次以左行減第二行頭位餘可再半次以第四行去右行及第二行頭位次以第二行去右行頭位餘約之上得五下得三是菽五當荅三次以左行去第三行菽位又以減第四行及右行菽位不足減乃止次以右行減第二行頭位不足減乃止次以第三行去左行頭位次以左行去右行頭位餘上得六下得五是為荅六當黍五次以右行去左行荅位餘約之上為二下為三次以左行去第二行下位以第二行去第四行下位又以減左行下位次右行去第二行下位餘上得三下得四是為麥三當菽四次以第二行減第四行下位次以第四行去第二行下位餘上得四下得七是為麻四當麥七是為相當之率舉矣【案以上所言新術亦訛舛不可通據其術求之先以左行減第三行去其次位次并右行亦并亦并第三行第四行以減之去其次位次倍左行以第二行減之去其次位所減之餘重列之為三行次以第四行減第二行去次位及下位次以重列之中行減右行去其下位次以重列之左行減右行去其下位所減之餘又重列之為三行次以此右行減中行去其頭位次以此右行減左行去其頭位所減之餘兩行兩物減去下實餘約之上得五下得三是菽五當荅三前云令左右相減先去下實又轉去物位求其一行二物正負相借者易其相當之率謂菽五當荅三即菽價率三荅價率五也或先減下實乃減物位或先減物位乃減下實各從省便本無一定之先後其先求菽與荅相當之率次求荅與黍相當之率次求麥與菽相當之率次求麻與麥相當之率亦無一定之先後然非遇正負相借者則二物相當之率不可得徃徃窮而復推輾轉滋繁逺不若舊術之究歸易簡也】據麻四當麥七即麻價率【案此四字有脫誤當云即為麻價率七而麥價率四】又麥三當菽四即為麥價率四而菽價率三【案此下原本有而荅價率五凡五字今刪正】又荅六當黍五即為荅價率五而黍價率六【案此下原本有荅價率五又荅六當黍五即荅價率五也凡十六字乃重出衍文今刪正】而率通矣更置第三行以第四行減之餘有麻一斗菽四斗荅三斗負黍四斗正【案第三行黍四以第四行黍四減之適盡惟下實一百一十六以第四行一百一十二減之餘四當云下實四正此作黍四斗正乃後人所妄改】求其同為麻之數以菽率四黍率四【案黍率四三字亦後人所妄改又有脱文當云以菽率三荅率五各乘菽荅斗數】如麻率七而一得一斗七分斗之一負【案此句亦脱誤當云菽得一斗七分斗之五正荅得二斗七分斗之一負】則菽荅化為麻以并之令同名相從異名相消餘得定麻七分斗之四以為法置四為實【案此句有脱文當云置下實四為實】以分母乘之【案以原本訛作而今改正】實得二十八而分子化為法矣【案實字法字之上原本竝衍荅字今刪正】以法除得七即麻一斗之價【案麻字原本訛作麥今改正】置麥率四菽率三荅率五黍率六皆以麻乘之【案此句誤當云皆以其斗數乗之】各自為實以麻率七為法【案麻字原本訛作實今改正】所得即各為實【案此句誤當云所得即同為麻之數】亦可使置本行實與物同通之各以本率今有之求其本率所得并以為法如此即無正負之異矣擇異同而已又可以一術為之置五行通率為麻七麥四菽三荅五黍六以為列衰減行麻一斗菽四斗正荅三斗負各以其率乗之訖令同名相從異名相消餘為法【案法原本訛作減今改正】或置餘乗列衰為實所得各為實【案此二句舛誤當云又置下實乘列衰所得各為實】此可以實約法【案實字原本訛作置今改正此所謂法乃各物之率總數實乃各物之價總數價于率或適相等或幾倍也】則不復乘列衰各以列衰為實　【此句亦脱誤當云各以列衰如所約知其價】如此則凡用一百二十四算也 　　九章算術卷八 　　欽定四庫全書 　　九章算術卷九　　　　　晋　劉　徽　注 　　唐　李淳風　注釋 　　句股以御髙深廣逺 　　今有句三尺股四尺問為㡬何答曰五尺 　　今有五尺句三尺問為股㡬何答曰四尺 　　今有股四尺五尺問為句㡬何答曰三尺 　　句股 　　短面曰句長面曰股相與結角曰句其股短股短其將以施于諸率故先具此術以見其源也 　　術曰句股各自乘并而開方除之即得 　　句自乘為朱方股自乘為青方令出入相補各從其類因就其餘不移動也合成方之幂【案注内以朱青分句股之方幂則知舊有圖而缺今補圖于後】開方除之即也 　　又股自乘以減自乘其餘開方除之即句 　　淳風等按此術以句股幂合成幂句方于内則句短于股今股自乘以減自乘餘者即句幂也故開方除之即句也 　　又句自乘以減自乘其餘開除之即股 　　句股幂合以成幂令去其一則餘在者皆可得而知之 <子部,天文算法類,算書之屬,九章算術,卷九> 　　今有圓材徑二尺五寸欲為方版今厚七寸問廣幾何答曰二尺四寸 　　術曰令徑二尺五寸自乘以七寸自乘減之其餘開方除之即廣 　　此以圓徑二尺五寸為版厚七寸為句所求廣為股也 　　今有木長二丈圍之三尺葛生其下纏木七周上與木齊問各長幾何答曰二丈九尺 　　術曰以七周乘三圍為股木長為句為之求者葛之長 　　㩀圍廣求從為木長者【案此句有舛誤當云㩀圍廣木長求葛之長】其形萬卷裏袤以筆官青線宛轉有似葛之纏木解而觀之則每周之間自有相間成句股則其間葛青七周乘三圍并合衆句以為一句木長而股短術云木長謂之股言之倒【案此數句訛舛不可通當云則其間木長股圍為之為句葛長為七周乘三圍是并合衆句以為一句則句長而股短故術以木長謂之句圍之謂之股言之倒互】句互與股求亦無圍二十五青之自乘幂出上第一圍【案此亦訛舛當云句與股求亦如前圖句三自乘為味幂股四自乘為青幂合朱青得二十五為五自乘幂出上第一圍】句股幂合為幂明矣然二幂之數謂倒在于幂之中而已可更相裏者則成方幂其居表者老成矩幂二表裏形訛而數均又按此圖句幂之矩青卷白表是其幂以股差為廣股并為袤而股幂方其裏股幂之矩青卷白表是其幂以句差為廣句并為袤而句幂方其裏是其幂之與并用除之短長互相乘也【案此上亦多訛舛又非本術所該特因論句幂股幂合為幂旁推交相言之據君卿注周趙髀算經云凡并句股之實即成實或矩于外或方于内形詭而量均體殊而數齊句實之矩以股差為廣股并為袤而股實方其裏股實之矩以句差為廣句并為袤而句實方其裏君卿漢人此注葢用其説而傳冩失真加以後人竄改遂不可通其圖已見上】 　　今有池方一丈葭生其中央出水一尺引葭赴岸適與岸齊問水深葭長各幾何答曰水深一丈二尺葭長一丈三尺 　　術曰半池方自乘 　　此以池方半之得五尺為句水深為股葭長為以句見股故令自乘先矩見幂也【案此注有脱誤當云以句及股差求股故令句自乘先見矩幂也】 　　以出水一尺自乘減之 　　出水者股胘差減此差幂于矩幂則除之【案此三字舛誤當云餘為倍股差乘股為之矩幂】 　　餘倍出水除之即得水深 　　差為矩廣之幂【案此句有脱誤當云倍差為矩幂之廣】水深是股令此幂得出水一尺為長故為矩而得葭長也【案此二字有脱誤當云欲先見葭長者出水一尺自乘以加于半池方自乘尺数倍出水除之即得令此幂得出水一尺為袤故為矩而得葭長也】 　　加出水數得葭長 　　淳風等按此葭本出水一尺既見水深故加出水尺數而得葭長也 　　今有立木繫索其末委地三尺引索卻行本去八尺而索盡問索長幾何答曰一丈二尺六分尺之一 　　術曰以去本自乘 　　此以去本八尺為句所求索者也引而索盡開門去閫者句及股差同一術【案此句有脫誤當云與閫者去閫者句及股差求股同一術】去本自乘者先張矩幂 　　今如委數而一 　　委地者股差也以除矩幂即是股胘并也 　　所得加委地數而半之即索長 　　子不可半者倍其母加差者并而成長故又半之其減差者并而半之也【案此注脫誤不可通據句自乘之矩幂如股差而一得股并加差為兩減差為兩股當云加差于并則成兩索長故又半之其減差于并而半之得木長也】 　　今有垣髙一丈倚木于垣上與垣齊引木卻行一尺其木至地問木長幾何答曰五丈五寸 　　術曰以垣髙一十尺自乘如卻行尺數而一所得以加郤行尺數而半之即木長數 　　此以垣髙一丈為句所求倚木者為引卻行一尺為股差為術之意與繫索問同也 　　今有圓材埋在壁中不知大小以鐻鐻之深一寸鐻道長一尺問徑幾何答曰材徑二尺六寸 　　術曰半鐻道自乘 　　此術以鐻道一尺為句材徑為鐻深一寸為股差之一半鐻長是半也【案此五字舛誤當云故鐻長亦半之也】 　　淳風等按下鐻深得一寸為半股差注云為股差者鐻道也【案此言下鐻道得一寸為半股差即注所謂鐻深一寸為股差之一半也更綴注云為股差者鐻道五寸字舛誤不可通據割圓術鐻深寸即一可為股差半鐻道五寸為句材半徑為若以此言之尤合術意】 　　如深寸而一以深寸増之即材徑 　　亦以半増之如上術去本當半之今此皆同半差不復半也 　　今有開門去閫一尺不合二寸開門廣幾何答曰一尺一寸 　　術曰以去閫一尺自乘所得以不合二寸半之而一所得増不合之半即得門廣 　　此去閫一尺為句門廣為股不合二寸以半之得一寸為股差求故當半之今次以兩為廣数【案次字誤當云今即以兩為廣数】故不復半之也 　　今有户髙多于廣六尺八寸兩隅相去適一丈問户髙廣各幾何答曰廣二尺八寸髙九尺六寸 　　術曰令一丈自乘為實半相多令自乘倍之減實半其餘以開方除之所得減相多之半即户廣加相多之半即户髙 　　今户廣為句髙為股兩隅相去一丈為髙多于廣六尺八寸為句股差按圖為位幂適滿萬守倍之減句股差幂開方除之其所得即高廣并數以差減并而求之即廣户加相多之數即户髙也今此術先求其半一丈自乘為朱幂四黄幂一半差自乘又倍之為朱幂【案此處脱誤當云為黄幂四分之二減實】半其餘有朱幂二黄幂四半一丈【案此亦訛當云黄幂四分之一】其于大方棄四分之二故開方除之即户廣并數半并数【案此亦訛當云棄四分之三適得四分之一故開方除之得髙廣并数之半】減差半得廣加得户髙又按此圓幂【案圓字誤當作圖據注文知舊有圖而缺今補圖于後】句股相并而加其差幂亦減幂為積葢先見其然後知其句與股【案此亦訛舛據句股并自乘加差幂為兩幂半之開方得今倍幂減差幂求句葢并葢先見其然後知其句股也】今適自等乘亦各為方先見其然而後知其句與股適等者今自乘亦今為幂【案此亦訛舛據句股適等者并而自乘即為兩幂皆各為方先見其然後知其句與股者倍幂即為句股適等者并兩自乘之幂】令半相多而自乘倍之亦為幂而差数復先此各自乘之而與相乘数各為門實【案此亦訛舛不可通據半相多自乘倍之又半句股并自乘亦倍之合為幂其無差数者句股各自乘并之為實與句股相乘倍之為實皆開方得幂半之為實開方即得句幂】及股長句股同源而分流焉假令句股各五幂五十開方除之得七尺有餘一不盡假令十其幂有百半之為句股三幂各得五十【案此句舛誤當云為句股二幂各得五十】當亦不可開故曰圓三徑一方五斜七雖不正得盡理亦可言相近耳其句股合而自相之乘幂者令自乘為四幂以減之開方除之其餘為句股差加于合而半為股減差于合而半之為句【案此亦訛舛當云其句股合而自乘之幂令自乘而之為兩幂以減之其餘開方除之為句差于合而合而半之為股減差于合而半之為句】股即髙廣袤其出此圖也其倍為廣袤今矩句即為幂得廣即句股差　【此亦訛舛據趙君卿注周髀算經云其倍為廣袤合而令句股見者自乘為其實四實以減之開其餘所得為差以差減合半其餘為廣減廣于即所求也此注似用其説而傳寫舛誤後人又妄加改竄遂不可通就君卿説攷之倍自乘得實四内有句實股實各四減四句實餘即四股實開之得倍股減四股實餘即四句實開之淂倍句所謂開其餘所得為差也減即四于倍半其餘為股差減倍句于倍半其餘為句差所謂以差減合半其餘為廣也減股差于即股減句差于即句所謂減廣于即所求也凡股差為廣股并為袤其幂即向幂句差為廣句并為袤其幂即股幂合廣袤皆成倍故曰倍為廣袤合而倍句倍股即廣袤差此云廣即句股差其謬甚矣】其倍句之幂倍為從法開之亦句股差其餘以句股幂減半其餘差為從法開法除之即句也【案此亦訛舛據趙君卿云減矩句之實于實開其餘即股倍股在兩邉為從法開矩句之角即股差減矩股之實于實開其餘即句倍句在兩邉為從法開矩服之角即句差此注亦用其説而殘缺失次遂不可通 <子部,天文算法類,算書之屬,九章算術,卷九>】 　　今有竹髙一尺末折抵地去本三尺問折者髙幾何答曰尺四二十分尺之一十一 　　術曰以去本自乘 　　以去三尺為句折之餘髙為股以先令自乘之幂【案此句有脱誤當云末折折地為以句及股并求朕故先令句自乘見矩幂】 　　令如髙而一 　　凡為髙一丈為股并之【案此句有舛誤當云竹髙一丈為股并】以除此幂得差 　　所得以減竹髙而半餘即折者之髙也 　　此術與繫索之類更相反覆也亦可如上術令自乘為朕并幂【案此句脱一髙字當云令髙自乘為股并幂】去本自乘為矩幂減之餘為實倍髙為法則得折之髙数也 　　今有二人同所立甲行率七乙行率三乙東行甲南行十步而斜東北與乙㑹問甲乙行各㡬何答曰乙東行一十步半甲斜行一十四步半及之 　　術曰令七自乘三亦自乘并而半之以為甲斜行率斜行率減于七自乘餘為南行率以三乘七為乙東乙率【案此問甲行率七者設句并七也乙南率者三設股三也術令七自乘三亦自乘并而半之以為甲斜行率者句股并自乘加股自乘半之即乘句并所得数以為率斜行率減于七自乘餘為南行率者句并自乘減乘句并餘即句乘句并所得數以為句率率句率皆句并乘出之率故所設股三亦以乘句并七及為股率句率二十股率二十一率三十九則句之十步股必十步股必十步半步半矣】此以南行為句東行為股斜行為并句率七　【并句二字誤當云句并七】欲行者當以為幂【案此亦訛舛當云欲知者當以股自乘為幂】如并而一所淂為句差加半之半為率以率減餘為句率【案此亦訛舛當云加差于并而半之為以減差餘為句】如是或有分當通而約之及定術以可使為分母【案此亦說誤當云乃定術以句并為分母差為分子】故令句自乘為朱黄相連之方并股自乘為青矩之矩以句并為袤差為廣今有相引之直加損同上【案上當作之】其圖大體【案圖原本訛作圖今改正】以兩為袤句股為廣【案此句誤當云句股并為廣】引黄㫁其半為率七自乘者句并之率故減之餘為句率同立䖏是中停也列用率【案此三字原本訛在上斷其半為率之下今訂正】皆句并為率故亦以句率同其袤也【案此亦說誤當云皆句并為袤與句各為之廣故亦以股率同其袤也】 　　置南行十步以甲斜行率乘之副置十步以乙東行率乘之各自為實實如南行率而一各淂行数 　　南行十步者所見有句求見股故以股率如句率而一 　　今有向五步股十五步問句中容方㡬何答曰方三步十一七分步之九 　　術曰并句股為法句股相乘為實實如法而一得方【案方字下原本衍一步二字乃後人妄加今刪正】 　　句股相乘為朱黄幂青各二【案此及下注舊皆有圖而缺今各補圖于後】令黄袤于隅朱青各以其類令從以兩徑共幂共成脩之幂【案此有訛舛據後容圓術注云可用畫于小紙分裁正之㑹令顛倒相補各各以類合成修幂則此亦謂令黄幂連于下隅朱青各以其類移而相補共成脩幂也】方中黄【案此三字下有脫文當云中方黄為幂】并句股為袤故并句股為法幂圓方在句中【案圓字誤當作圖】則方之兩亷各自成小股袤【案此句誤當云各自成小句股】而其相與之勢不失本率也句中之小股股面之半為中率【案此亦訛舛當是言句面之小股股面之小句從連相連合而成中方】合股為中方率并句股焉【案此四字之下有脱文當云并句股為廣率】據見句五步而今有之得中方也復令句為中率以句股為率【案此二句有脫誤當云復令句為中方率以并句股為袤率】據股十二步而今有之則中方又何如【案此句舛誤當云則中方又可知】此則雖不效而法實有法由生矣【案此亦舛誤據上以粟米章今有術及衰分章列衰之意解此術大小句股互求并句股即所有率中方率即所求率見句見股即所有數于事雖不同而意相倣效實術所生由也注意當是如此】不容圓率而似今有衰分言之【案此二句舛誤當云下容下容而以今有衰分言之】可以見之也 　　令有句八步股十五步一問句中容圓徑幾何答曰六步 　　術曰八步為句十五步為股為之求三位并之為法以句乘股倍之為實實如法得徑【案徑字下原本衍一步二字乃後人妄加今刪正】 　　句股相乘為圓本體朱青黄幂各二之則田為各四【案此注訛舛當云句股相乘為圖之本體朱青黄幂各二則倍之為各四】可用畫于小紙分裁邪正之㑹令倒顛相補各以類合成修幂圓徑為廣并句股為袤故并句股以為法又以圓大體言之【案圓字誤當作圖】股中青必令立規于横廣句股又邪三徑均而復連規【案此亦舛誤據容圓之徑即減于句朕并之餘也取半徑規之又以半徑減句股其餘并之適為如是截句股各為二三半徑均而復連于規之中央注意葢以此為言而殊缺失次遂不可通】從横量度句股必合而成小方矣又畫中以規除㑹則句股之面中央小句股【案此亦訛舛當是言又畫中以觀其㑹則句股之中成小句股者四】句之小股面面中句【案此二句誤當作句面之小股股面之小句】皆小方之面皆圓徑之半其数故可衰以句股為列衰副并為法以小句乘未并者各自為實實如法而一得句面之小股可知也以股乘列衰為實則得股面之小句可知【案以小句乘未并者至此訛舛不可通或後人妄加改竄又援衰分章之文入于此遂漫無辦䖏當是言令股為列衰以見句乘之為實實如法而一則句面之小股可知也今句為列衰以見股乘之為實實如法而一則股面之小句可可此在粟米章即今有實以所求率乘所有數所有率除之古算家謂之異乘同除注以解大小句股互乘句率股率為所有率及所求率見句或見股為所有數不可以見句乘句率見股乘股率也】言雖異矣及其所以成法之實則同歸矣則圓徑又可以句乘之差并【案此句亦訛舛當云則又可以句差減句為圓徑】句差減股為圓徑【案此下有脱文當補云句差股差并之以減餘為圓徑】又減句股并餘為圓徑以句差乘股差而倍之開方除之亦圓徑也 　　今有邑方二百步各中開門出東門一十五步有木問出南門幾何步而見木答曰六百六十六步太半步術曰出東門步數為法 　　以句率為法也 　　半邑方自乘為實實如法得一【案原本此句之下衍步字及後人妄加今刪正】此以出門十五步為句率東門南至隅一百步為股率南門東至隅一百步為見句步欲以見句求股以為出南門数正合半邑方自乘者股率當乘見句此二者數同也 　　今有邑東西七里南門九里各中開門出東門一十五里有木問出南門幾何步而見木答曰三百一十五步術曰東門南至隅數步以乘南門東至隅步數為實以木去門步數為法實如法而一 　　此以東門南至隅四里半為句率出東門一十五里為股率南門東至隅三里半為見股所問出南門即見股之句為術之意與上同也 　　今有一方不知大小各中開門出北門三十步有木出西門七百五十步見木問邑方幾何答曰一里 　　術曰令兩出門步數相乘因而四之為實開方除之即得邑方 　　按半邑方令半方自乘出門除之即步【案此注不分曉應有說誤據前出東門術半邑方自乘出東門步數除之即出南門步数似似之以互相證明】今之出相乘【案今之二字誤當云今兩出門相乘】故為半方邑自乘居一隅之積分因而四之即得四隅之積分故為實開方除即邑方也 　　今有邑方不知大小各出開門出北門二十步有木出南門一十四步折而西行一千七百七十五步見木門邑方幾何答曰二百五十步 　　術曰出以北門步数乘西行步數倍之為實 　　此以折而西行為股自木至邑一十四步為句【案邑下脱南字當云自木至邑南十四步為句】以為北門二十步為率為丈【字當云為南率】北門至西隅為單望半廣数【案單望二字誤當云為率即半廣數】故以出北門乘至南行股以半率乘句之幂【案此二句訛舛當云故以出北門句率乘西行股得半廣股率乘句之幂】然北門居半以西行故又倍之合東盡之也【案此亦訛舛當云然此幂居半以西故又倍之合半以東也】 　　并出南門步數為從法開方除之即邑方 　　此術之幂東西南北邑自木盡邑南四十步之幂【案此三句訛舛當云東西南北邑南北自木盡邑南十四步】各南北步為廣邑方為袤故連兩廣為法從并【案此八字訛舛當云故建并兩廣為從法】以為隅外之幂也 　　今有邑方一十里各中開門甲乙俱從邑中央而出乙東出甲南出出門不知步數邪向東門磨邑適與乙㑹率甲行五乙行三問甲乙行各幾何答曰甲出南門八百步邪東北行四八八百八十七步半及乙乙東行四千三百一十二步半 　　術曰令五自乘三亦自乘并而半之為邪行率邪行率減于五自乘者餘為南行率三三乘五為乙東行率求三率之意與上甲乙同 　　置邑方半之以南行率乘之如東行率而一即得出南門步數 　　今半方南門東隅五里半邑者謂為小股也求以為出南門步數【案此注有脱誤當云邑半方自南門至東隅五里以為小股求出南門步數為小股之句以東行為股率南行為句率】故置邑方半之以南行句率乘之如股率而一 　　以増邑方半即南行 　　半邑者謂從邑心中停也 　　置南行步求者以邪行率乘之求東者以東行率乘之各自為實實如法而率得一【案原本訛作實如法南行率得一步據前甲乙術云實如南行率而一各得行數則此文法字步字乃後人妄増今刪正】 　　此術與上甲乙同 　　今有木去人不知逺近立四表相去各一丈令左兩表與所望参相直從後右表望之入前右表三寸問木去人㡬何答曰三十三丈三寸三尺少半寸 　　術曰令一丈自乘實如法三寸為法實如法而一此以入前右表三寸為句率右兩表相去一尺為股率左右兩表相去一丈為見句所問木去人者見句之股以右行【案此三字乃衍文當刪】股率當乘見句此二率俱一丈故曰自乘之以三寸為實實如法得一 　　今有山居木西不知其高山去木五十三里木髙九丈五尺【案原本訛作九尺五寸今改正】人立木東三里望木末適與山峯斜平人目髙七尺問山髙㡬何答曰一百六十四丈九尺六寸太半寸 　　術曰置木髙減人目髙七尺 　　此以木髙減人目髙七尺餘有八丈八尺為句率去人目三里為股率山去木五十三里為見股以木髙為見股求句加人目之髙【案此二句訛舛當云以句率乘見股如股率而一得句加木之髙】故為山髙也 　　餘以乘五十三里為實以人去木三里為實法如法而一所得加木髙即山髙 　　此術句股之義【案丄節注文似應接此句之下衍注端一此字】 　　今有井徑五尺不知其深立五尺木于井上從木末望水岸入徑四寸問井深㡬何答曰五丈七尺五寸術曰置井徑五尺以入徑四寸減之餘以乘立木五尺為實以入徑四寸為法得一法得一【案此句之下原本衍寸字乃後人妄加今刪正】 　　此以入徑四寸為句率立木五尺為股率井徑四尺六寸為見句問井深者見句之股也 　　今有户不知髙廣竿不知長短横之不出四尺從之不出二尺邪之適出問户髙廣袤各㡬何答曰廣六尺髙八尺袤一丈 　　術曰從横不出相乘倍而開方除之所得加從不出即戸廣 　　此以户廣為句户髙為股戸袤為凡句之在股【案此句有訛舛當云凡并句股之幂即為幂】或矩于表或方于裏連之者舉表矩而端之又句句方裏令為青矩之表未滿黄方滿此方則兩端之邪【案邪字誤當作亷】重于隅中各以股差為廣句并為袤【案并字誤當作差又據注文舊有圗而缺今補圖于後】故兩端差相乘又倍之則成黄方之幂開方除之得黄方之面其外之幂知亦以股差為廣故以股差加則為句也 　　加横不出即戸髙兩不出加之得户袤 　　九章算術卷九 　　欽定四庫全書 　　九章算術音義 　　唐　李籍　撰 　　序 　　九九之術　食律切術者其所述也前漢梅福傳臣聞齊桓之時有以九九見者桓公不逆欲以致大也師古曰九九算術若今九章五曹之輩隋書經籍志九九算術二卷楊淑撰 　　九數　色具切即九章是也以算言之故曰九數以篇言之故曰九章周官保氏教國子以六藝一曰禮二曰樂三曰射四曰馭五曰書六曰數鄭康成注云九數方田粟米差分少廣商功均輸方程贏不足旁要今有重差夕桀句股【案周禮疏曰云今有重差句股也者此漢法增之馬氏注以為今有重差夕桀夕桀亦是算術之名與鄭異據疏所言鄭注惟云今有重差句股也夕桀二字乃馬注賈公彦後始竄入鄭注内此所引與今本周禮注同葢訛舛已久矣】隋書律厯志云一曰方田以御田疇界域二曰粟米以御交質變易三曰衰分以御貴賤稟税四曰少廣以御積幂方圓五曰商功以御功程積實六曰均輸以御逺近勞費七曰盈朒以御隠雜互見八曰方程以御錯糅正負九曰句股以御髙深廣逺 　　隸首　郎計切世本曰黄帝時隸首作數 　　探賾　上吐南切下士革切賾者含蓄含蓄者探之可及故易曰探賾 　　索隠　上色白切下於謹切隠者隠匿隠匿者索之可得故易曰索隠 　　重差　上直容切下楚佳切重復也差不齊也重差句股名也 　　率　所律切數相與也又音律約數也 　　可度　徒各切揆也 　　考論　盧敦切 　　孤離　吕支切 　　九章第一 　　方田　徒年切田者圍周之以為疆横從之以為理平夷著見興作利養之地也方田者田之正也諸田不等以為為正故曰方田 　　以御牛倨切理也 　　田疇　直留切耕治之田也 　　界域　雨逼切疆也 　　廣　如字濶也 　　從　即容切長也 　　幾何　上居豈切下如字幾何數之疑也 　　相乘　食陵切登也登之使其數多隋書曰乘以散之【案此引隋書乘以散之後又引隋書除以散之考之隋書亦然扵乘除之義適相反乘乃合其數當云乘以聚之除乃分數當云除以散之此該諸分為言最謂通之以衍而多聚謂約之使專而少焉】 　　淳風　竝如字李淳風岐州雍人幼爽秀通羣書明步天厯算正觀初與傅仁均争厯法議者多附淳風故以將仕郎直太史局制渾天儀詆摭前世得失著法象書七篇上之擢承務郎遷太常博士改太史丞與諸儒修書遷為令于占侯吉凶若節契然當世術家意有鬼神相之非學習可致終不能測也以勞封昌樂縣男奉詔與算博士梁述㫑教王真儒等是正五曹孫子等書刋定注解立于學官九章即其一也 　　畆法　莫厚切司馬法六尺為步步百為畆秦孝公之制二百四十步為一畆 　　除之　直魚切去也去之使其少隋書曰除以聚之【案聚非除之義蓋指約分諸術而言】 　　一頃　去穎切百畆也 　　約分　於略切約者欲其不煩分之為數煩則難用設有言四分之二者煩而言之則分為八分之四約而言之則二分之一也雖則異辭至于為數亦同歸耳 　　副置　上敷救切别下陟吏切設也别設算算位有所分也 　　合分　古沓切合分者欲其不離數非一端分無定準分子雜互羣母參差粗細既殊理難從一故齊其衆分同其羣母分可相并故曰合分 　　參差　上楚金切下楚宜切不齊也三相參為參兩相差為差 　　觿　音攜所以解結詩曰童子佩攜 　　減分　古斬切減損也減分者欲其其餘諸分子母數各不同以少減多欲知餘幾以餘為實故曰減分 　　課分　苦卧切校也欲知其相多分各異名理不齊一校其相多之數故曰課分 　　平分　符兵切均也平分者欲減多増少而至于均諸分參差欲令齊等減彼之多増此之少故曰平分 　　副并　畀政切兼也别兼算位有所合也 　　經分　如字釋名曰經者徑也經分欲欲徑求一人而至于徑自合分已下皆于諸分相齊此乃徑求一人之分以人數分所分故曰經分下經率同 　　乘分　如字乘分者欲知其所積分母相乘為法子相乘為積故曰乘分自合分已下獨乘言田而皆列于方田者欲其學數者不可後也故説算者以謂為術者先治諸分能治諸分則數學之能事盡矣 　　大廣田　竝如字初術有全步而無餘分次術有餘分而無全步此術先見全步復有餘分可以廣兼三術故曰大廣田 　　圭田　古攜切圭田者其形上鋭有如圭然白虎通曰圭者上鋭象物皆生見於上也 　　箕田　居之切箕田者有舌有踵其形哆侈有如箕然詩曰哆兮侈兮成是南箕 　　圓田　王權切圓田之率有三一曰古率周三徑一是也二曰徽率周一百五十七徑五十是也三曰密率周二十二徑七是也為算之術有四一曰半周半徑相乘得積步二曰周徑相乘四而一三曰徑自相乘三之四而一四曰周自相乘十二而一 　　徽術　許歸切徽術以五十乘周一百五十七而一即徑以一百五十七乘徑五十而一即周此率本于劉徽故曰徽術 　　密率　美畢切密率以七乘周二十二而一即徑以二十二乘徑七而一即周此率本於宋南徐州從事史祖沖之沖之以圓徑一億為一丈圓周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽正數在盈朒二限之間密率圓徑一百一十三圓周三百五十五約率圓徑七周二十二此乃率之最密也 　　秒忽　上亡沼切下呼骨切忽者數之始也一蠶所吐謂之忽孫子算術云蠶所生吐絲為忽十忽為秒十秒為毫十毫為釐為釐為分 　　億　於力切十萬曰億萬者物數也以人之億數為足以勝物數故也或曰萬萬曰億黄帝為法數有十等及其用也乃有三焉十等者謂億兆京垓秭壤溝澗正載也三等者謂上中下之數也下數者十十變之若言十萬曰億十億曰兆十兆曰京中數者萬萬變之若言萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京上數者數窮則變若言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京詩云不稼不穡胡取禾三百億兮毛氏曰萬萬曰億鄭氏曰十萬曰億據如此言則鄭用下數毛用中數也 　　嘉量　音亮周禮考工記㮚氏為量鬴深尺内方尺而圓其外其實一鬴其臋一寸其實一豆其耳三寸其實一升重一鈞其聲中黄鍾㮣而不税其銘曰時文思索允臻其極嘉量既成以觀四國永啟厥後兹器維則春秋左氏傳曰齊舊四量豆區鬴鍾四升曰豆各自其四以登於鬴六斗四升也鬴十則鍾六十四斗也鄭康成以為方尺積千寸比九章粟米法少二升八十一分升之二十二祖沖之以算術考之積凡一千五百六十二寸半方尺而圓其外減旁一釐八毫其徑一尺四寸一分四釐七秒二忽有竒而深尺即古斛之制也王莽作銅斛名曰律嘉量其意葢本于此銅斛之法方尺而圓其外旁有庣焉其上為斛其下為斗左耳為升右耳為合龠其狀似爵以縻爵禄上三下二參天兩地圓而函方左一右二隂陽之象也圓象規其重二鈞備氣物之數各萬有一千五百二十也聲中黄鍾始於黄鍾而反覆焉其斛銘曰律嘉量斛方尺而圓外庣旁九釐五毫幂百六十二寸深一尺積一千六百二十寸容十斗祖沖之以圓率考之此斛當徑一尺四寸三分六釐一毫九秒二忽庣旁一分九毫有竒劉歆庣旁少一釐四毫有竒歆數術不精之所致也魏陳留王景元四年劉徽注九章商功曰當今大司農斛圓徑一尺三寸五分五釐深一尺積一千四百四十一寸十分寸之三王莽銅斛于今尺為深九寸五分五釐徑一尺三寸六分八釐七毫以術計之于今斛為容九斗七升四合有竒此魏斛大而尺長王莽斛小而尺短也 　　庣　吐雕切不滿之貌也 　　竒　居宜切餘數也 　　攈摭　上居運切下之石切攈摭取拾也攈或作捃　當作宛字之誤也宛田者中央隆髙爾雅曰宛中宛邱又曰邱上有邱為宛邱皆中央隆髙之義也 　　孤田　户呉切弧田者有弧有矢如弧之形 　　環田　户闗切環田者有肉有好如環之形爾雅曰肉好若一謂之環或作鐶 　　九章第二 　　粟米　上相玉切下莫禮切粟者禾之未舂米者糓實之無殻粟者米之率也諸米不等以粟為率故曰粟米 　　交質　陟利切又如字 　　變易　羊益切 　　糲米　盧達切麤也凡粟五斗得糲米三斗故粟率五十而糲率三十 　　粺米　傍卦切精于糲也凡粟五斗得粺米二斗七升故粟率五十而粺率二十七詩曰彼疏斯粺鄭康成注云米之率糲十粺九糳八侍御七 　　糳米　音作精于粺也凡粟五斗得糳米二斗四升故粟率二十四春秋左氏傳曰粢食不糳俗作鑿 　　御米　牛倨切精于糳也供王膳之米也蔡邕獨斷曰所進曰御御者進也凡衣服加于身飲食入于口皆曰御 　　小䵂大䵂　音敵麥屑也細曰小䵂麤曰大䵂 　　菽　音叔大豆也 　　荅　都合切小豆也 　　豉　是義切鹽䜴也廣雅云苦李作豉 　　飱　音孫説文曰餔也 　　糱　魚列切麯糱也説文曰米牙 　　瓴甓　上音靈下扶厯切甎也 　　箇　古賀切數也數竹曰箇 　　縑　古甜切説文曰并絲繒也 　　鈞　居勻切三十斤也 　　銖　音殊八銖為錙二十四銖為兩 　　翭　音侯説文曰羽本也數羽稱其本猶數草木稱其根株也 　　榦　古按切榦莖也一本作簳 　　九章第三 　　衰分　楚宜切衰差也以差而平分故曰衰分 　　稟　筆錦切供榖曰稟或作廩非是 　　大夫　上如字下甫無切爵名也夫以智率人者也大夫則以智率人之大者也 　　不更　古衡切爵名也次大夫取其不與戌更 　　簪褭　上側吟切下奴了切爵名次不更取其纓冠乘馬 　　上造　音皂爵名也次簪褭取其為造士而居上公士　竝如字爵名也次上造取其為士而在公爵數　色具切爵數者謂大夫五不更四簪褭三上造二公士一也墨子號令篇以爵級為賜然則戰國之初有此名也 　　償之　市羊切還也 　　北鄉算　蘇貫切算者計口出錢漢律人出一算一算百二十錢賈人與奴婢倍算 　　傜　音遥役也 　　耗　呼到切減也 　　乾　古寒切燥也 　　保　音寶傭也如所謂酒家保 　　貸吐代切以物假人也 　　九章第四 　　少廣　上書沼切不多也下古莽切闊也廣少從多截從之多益廣之少故曰少廣 　　積幂　上資昔切下莫狄切積者聚也衆數聚居之稱幂者覆也方面單布之名積幂之義不同如此 　　半　博漫切物中分也凡言半者以二為分母言太半少半者以三為分母 　　約省　所景切 　　折法　㫖熱切折者屈而有降意折法即退位也内子　如字入也既以分母通之必入其分子故曰内子所謂齊同以通之也又音納 　　中行　户剛切列也下行同 　　中徑　故官切丸即立圓也 　　牟合　上莫浮切下胡閤切 　　㮚氏　力質切㮚氏鑄量之官也一本作粟 　　為渾　胡昆切 　　祖暅之　古鄧切暅之字景鑠沖之之子也少傳家業究極精㣲亦有巧思入神之妙般倕無以過也當其詣㣲之時雷霆不能入嘗行遇僕射徐勉以頭觸之勉呼乃悟父所改何承厯厯時尚未行梁天監初暅之更修之于是始行焉位至大舟卿 　　昭晣　音哲明也 　　咍哂　上呼開切下式忍切笑也 　　九章第五 　　商功　式羊切商度也以度其功庸故曰商功 　　穿地　昌緣切掘地也凡穿地四尺為壤五尺為堅三尺 　　壤　如兩切壤謂息土書曰厥土惟白壤 　　堅　古賢切堅謂築土詩曰築之登登 　　墟　苦虚切墟謂穿坑 　　垣　音園墉也 　　隄　都奚切防也俗作堤 　　溝　古侯切釋名曰田間之水曰溝溝搆也縱横相交搆 　　壍　七豓切長于溝也水之遶城者 　　渠　强如切長于壍也水之通運者 　　袤　莫侯切袤長也 　　礫　郎擊切釋名曰小石曰礫 　　堢壔　上音寳小城也下音島以土擁木也 　　方亭　特丁切釋名曰亭停也人所停集也方亭者其積之形如亭之方者圓亭亦然 　　方錐　職誰切方錐者其積之形如錐之方者圓錐亦然 　　壍堵　當古切壍堵壍上疊也以立方一邪解得二壍堵其積居立方二分之一將一壍堵邪解得一陽馬一鼈臑求壍堵之積以廣長相乘又以高乘之二而一 　　陽馬　莫下切陽馬之形方錐一隅也今以四柱屋隅為陽馬以立方一邪解得三陽馬其積居立方三分之一將一陽馬邪解得二鼈臑求陽馬之積以廣長相乘又以髙乗之三而一 　　鼈臑　那到切臂節也鼈臑之積半陽馬其形有似鼈肘故以名云以立方一邪解得六鼈臑其積居立方六分之一求鼈臑之積以廣長相乗又以髙乗之六而一臑或作腝非是 　　羡除　上以淺切下直魚切羡延也除道也羡除乃隧道也其所穿地上平下邪似兩鼈臑夾一壍堵即羡除之形求其積并三廣以深乗之又以長乗之六而一 　　芻甍　上測隅切刈草也俗作蒭下莫耕切屈棟也芻甍之形似屈葢上苫也求其積倍下長上長從之又以廣乗之又以髙乗之六而一正解方亭兩邉合之即其形也 　　芻童　徒紅切如倒置砑石求其積倍上長并入下長以上廣乗之又倍下長并入上長以下廣乗之并二位以髙乗之六而一曲池盤池冥谷皆同術 　　曲池　邱玉切 　　盤池　薄官切 　　冥谷　莫經切冥谷之形如正置砑石 　　棚　　薄耕切 　　踟蹰　上直離切下直誅切行不進也 　　載輸　上作代切下式朱切 　　一籠　力董切 　　委粟　於詭切積也 　　程粟　直城切課也程粟一斛積二千七百寸米一斛積一千六百二十寸菽荅麻麥一斛積二千四百三十寸此據精麤為率使價齊而不等其器之積寸也以米斛為正則同于漢志孫子算術曰六粟為圭十圭為抄十抄為撮十撮為勺十勺為合應劭曰圭者自然之形隂陽之始四圭為撮孟康曰六十四黍為圭漢志曰量者龠合升斗斛也所以量多少也本起于黄鍾之龠用度數審其容以子榖秬中者千有二百實其龠以井水準其㮣十龠為合十合為升十升為斗十斗為斛而五量嘉矣 　　圓囷　去倫切倉圓曰囷 　　九章第六 　　均輸　式朱切均平也輸委也以均平其輸委故曰均輸 　　勞費　芳未切耗也 　　乗　　䋲證切數車曰乗一本作量 　　衰出　楚危切次也不齊等也管子曰相地衰征薄塞　上補各切迫也下先代切邉也薄或作博非是輩之　補妹切配也俗作軰 　　僦　即就切賃也 　　傭　餘封切賃也 　　重車　直隴切輕對也 　　舂　書容切世本曰雍父作舂吕氏春秋曰赤冀作舂程傅　張戀切傳郵 　　絡　盧各切 　　惡　烏各切不善也 　　金箠　之累切策也 　　四間　古閑切中間也 　　錐行　户剛切錐行衰者下多上少如立錐之形鳧　防無切野鴨也 　　牝瓦　毗忍切 　　牡瓦　莫厚切 　　矯矢　居夭切説文曰揉箭箝也俗作撟 　　假田　古雅切借也 　　發　方伐切伐也詩曰駿發爾私 　　耕　古莖切犁也詩曰亦服爾耕 　　耰種　音憂覆種也孟子曰播種而耰之 　　九章第七 　　盈不足　以成切盈者滿也不足者虚也滿虚相推以求其適故曰盈不足 　　朒　女六切不足也或作朏非是 　　璡　將鄰切美石次玉曰璡一本作準 　　適足　施隻切恰也 　　桶　他孔切 　　瓠　胡誤切屬也蔓無販切蔓也 　　醇酒　常倫切厚酒也 　　行酒　胡剛切市酒也 　　和漆　如字又胡卧切 　　易油　羊葢切交易也 　　惡田　烏各切不善也 　　駑馬　音奴字林曰駘也 　　之蜀賈　音古商賈一本作價 　　返　府逺切還也 　　九章第八 　　方程　直成切方者左右也程者課率也左右課率總統羣物故曰方程 　　錯糅　女救切雜也 　　正負　上之盛切下房久切本數為切非本數為負正與正同名負與負同名同名相除則異名者相益異名相除則同名者相益一正一負相反而相為用術之至也 　　秉　兵永切一禾為秉 　　稱　昌孕切正斤兩也俗作秤 　　課　苦卧切程也 　　衡　户庚切權衡也 　　武馬　莫下切武馬戎馬也戎馬言武馬者猶曲禮謂戎車為武車也取其健猛而善行 　　阪　府逺切不平也俗作坂 　　借　資者切從人假物也 　　引　余忍切引重也易曰引重致逺 　　綆　古杏切汲水索 　　令　力正切官名也 　　從者　疾用切隨也 　　庖　薄交切 　　恢演　上苦囘切大也下以淺切廣也 　　九章第九 　　句股　上古侯切下公户切句短面月股長面也短長相推以求其故曰句股 　　圍之　兩非切周也 　　纏　持碾切纏繞物也俗作纏 　　葛長　直良切 　　葭　古牙切説文曰葦之未秀者 　　閫　苦本切門限也 　　折　常列切斷也 　　抵　都禮切 　　磨邑　莫禾切 　　參　倉含切俗作参 　　横　户盲切從横也 　　九章算術音義 　　九章算術後序 　　九章算經九卷周公之遺書而漢丞相張蒼之所刪補也算數之書凡數十家獨以九章為經之首以其九數之法無所不備諸家立術雖有變通推其本意皆自此出而且知後人無以易周漢之舊也自唐有國用之以取士本朝崇寧亦立于學官故前世算數之學相望有人自衣冠南渡以來此學既廢非獨好之者寡而九章正經亦幾泯没無傳矣近世民間之本題之曰黄帝九章豈以為為隸首之所作歟名以不當雖有細草類皆簡捷殘闕懵于本原無有劉徽李淳風之舊注者古人之意不復可見每為慨嘆慶元庚申之夏余在都城與太史局同知算造楊忠輔徳之論厯因從其家得古本九章乃汴都之故書今秘館所定著亦從此本寫以送官者也謹按晉志劉徽所注九章實魏之景元四年觀其序文以謂折理以辭解體用圖又造重差于勾股之下辭乃令之注文其圖至唐猶在今則亡矣重差之法今之海島算經是也又李淳風之注見于唐志凡九卷而今之盈不足方程之篇咸闕淳風注文意者此書嵗久傳録不無錯漏猶幸有此存者今此乃是合劉李二注而為一書云其年六月一日乙酉迪功郎新隆興府靖安縣主簿括蒼鮑澣之仲祺謹書