欽定四庫全書　　　　　子部六 　　乾坤體義　　　　　　　天文算法類一【推之屬】提要 　　【臣】等謹案乾坤體義三卷明利瑪竇撰利瑪竇西洋人萬厯中航海至廣東是為西法入中國之始利瑪竇兼通中西之文故凡所著書皆華字華語不煩再譯是書上中卷皆言天象以人居寒煖為五帶日月星天為九重以水火土氣為四大元行以日月地影三者定薄蝕至於恒星七曜與地各有倍數日月出入各有映蒙多發前人所未發其多方罕譬亦皆委曲詳明下卷皆言算術以邊線面積平圜撱圜互相容較補古方田之所未及為今線面體之造端雖篇帙無多而其言皆騐諸實測其法皆具得變通所謂詞簡而義賅者我 　　朝 　　御製數理精藴多因其說而推闡之當明季厯法乖舛之餘鄭世子載堉邢雲路諸人皆力斥其非而所學未足以相勝自徐光啟等改用新法乃漸由䟽入宻至 　　本朝而益為研究始盡精㣲則是書固亦大輅之椎輪矣乾隆四十六年九月恭校上 　　總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅 　　總　校　官【臣】陸　費　墀 　　欽定四庫全書 　　乾坤體義卷上 　　明　利瑪竇　撰 　　天地渾儀說 　　地與海本是圓形而合為一球居天球之中誠如鷄子黄在青内有謂地為方者語其徳靜而不移之性非語其形體也天既包地則彼此相應故天有南北二極地亦有之天分三百六十度地亦同之天中有赤道自赤道而南二十三度半為南道赤道而北二十三度半為北道據中國在北道之北日行赤道則晝夜平行南道則晝短行北道則晝長故天球有晝夜平圏列於中晝短晝長二圏列於南北以著日行之界地球亦有三圏對於下焉但天包地外為甚大其度廣地處天中為甚小其度狹此其差異者耳查得直行北方者每路二百五十里覺北極出高一度南極入低一度直行南方者每路二百五十里覺北極入低一度南極出高一度則不特審地形果圓而並徴地之每一度廣二百五十里則地之東西南北各一週有九萬里實數也是南北與東西數相等而不容異也夫地厚二萬八千六百三十六里零三十六丈上下四旁皆生齒所居渾淪一球原無上下蓋在天之内何瞻非天總六合内凡足所佇即為下凡首所向即為上其専以身之所居分上下者未然也且予自太西浮海入中國至晝夜平線已見南北二極皆在平地畧無髙低道轉而南過大浪峯已見南極出地三十六度則大浪峯與中國上下相為對待矣而吾彼時只仰天在上未視之在下也故謂地形圓而週圍皆生齒者信然矣以天勢分山海自北而南為五帶一在晝長晝短二圏之間其地甚熱則謂熱帶近日輪故也二在北極圏之内三在南極圏之内此二處地俱甚冷則謂寒帶逺日輪故也四在北極晝長二圏之間五在南極晝短二圏之間此二地皆謂之正帶不甚冷熱日輪不逺不近故也又以地勢分輿地為五大州曰歐邏巴曰利未亞曰亞細亞曰南北亞墨利加曰墨瓦蠟泥加其各州之界當以五色别之令其便覽各國繁夥難悉大約各州共有百餘國原宜作圓球惟其入圖不便不得不易圓為平反圏為線耳欲知其形必須相合連東西二海為一方可也其經緯線本宜每度畫之今且惟每十度為一方以免雜亂依是可分置各國于其所東西緯線數天下之長自晝夜平線為中而起上數至北極下數至南極南北經線數天下之寛自福島起為十度至三百六十度復相接焉試如察得南京離中線以上三十二度離福島以東一百二十八度則安之於其所也凡地在中線以上至北極則實為北方凡在中線以下則實為南方焉釋氏謂中國在南贍部洲並計須彌山出入地數其繆可知也又用緯線以著各極出地幾何蓋地離晝夜平線度數與極出地度數相等但在南方則著南極出地之數在北方則著北極出地之數也故視京師隔中線以北四十度則知京師北極髙四十度也視大浪峯隔中線以南三十六度則知大浪峯南極髙三十六度也凡同緯之地其極出地數同則四季寒暑同態焉若兩處離中線度數相同但一離於南一離於北其四季並晝夜刻數均同惟時相反焉蓋此之夏為彼之冬焉耳且長晝夜愈離中線愈長也余以式之推計於圖濵每五度其晝夜長何如則西東上下隔中線數一則皆可通用也用經線以定兩處相離幾何辰也蓋日輪一日作一週則每辰行三十度而兩處相違三十度並謂差一辰故視女直離福島一百四十度而緬國離一百一十度則明女直於緬國差一辰而凡女直為夘時緬方為寅時也其餘倣是焉設差六辰則兩處晝夜相反焉如又離中線度數同而差南北則兩地人對足氐反行故南京離中線以北三十二度離福島一百二十八度而南亞墨利加之瑪八作離中線以南三十二度離福島三百零有八度則南京於瑪八作人相對反足氐行矣從此可曉同經線處並同辰而同時見日月蝕矣此其大畧也其詳則備于圖並其後書云 　　地球比九重天之星逺且大幾何 　　余嘗留心於量天地法且従太西庠天文諸士討論已久茲述其各數以便覽焉夫地球既每度二百五十里則知三百六十度為地一週九萬里又可以計地面至其中心隔一萬四千三百一十八里零十八丈地心至第一重謂月天四十八萬二千五百二十二餘里至第二重謂辰星即水星天九十一萬八千七百五十餘里至第三重謂太白即金星天二百四十萬零六百八十一餘里至第四重謂日輪天一千六百零五萬五千六百九十餘里至第五重謂熒惑即火星天二千七百四十一萬二千一百餘里至第六重謂歳星即木星天一萬二千六百七十六萬九千五百八十四餘里至第七重謂填星即土星天二萬五百七十七萬零五百六十四餘里至第八重謂列宿天三萬二千二百七十六萬九千八百四十五餘里至第九重謂宗動天六萬四千七百三十三萬八千六百九十餘里此九層相包如葱頭皮焉皆硬堅而日月星辰定在其體内如木節在板而只因本天而動第天體明而無色則能通透光如琉璃水晶之類無所碍也若二十八宿星其上等每各大於地球一百零六倍又六分之一其二等之各星大於地球八十九倍又八分之一其三等之各星大於地球七十一倍又三分之一其四等之各星大於地球五十三倍又十二分之十一其五等之各星大於地球三十五倍又八分之一其六等之各星大於地球十七倍又十分之一夫此六等皆在第八重天也土星大於地球九十倍又八分之一木星大於地球九十四倍又一半分火星大於地球半倍日輪大於地球一百六十五倍又八分之三地球大於金星三十六倍又二十七分之一大於水星二萬一千九百五十一倍大於月輪三十八倍又三分之一則日大於月【下闕】 　　渾象圖說 　　渾象圖以見日月運行寒暑大意精銅為之外一環名子午環取凖南北三向兩頭各用一樞在南者借作南極在北者借作北極匀分三百六十度隨地而移如北極出地一度則南極入地一度也中横環名曰赤道日行至此則晝夜平矣稍南北二十三度半各一環為日行離赤道南北最逺之極此三環當用一闗捩貫於南北二極之中俾其運轉者最中一小球乃地海全形也自赤道下北方諸國觀之日行北道則晝長夜短至夏至而極極則返而南日行南道則夜長晝短至冬至而極極則返而北其赤道以南諸國則反是焉 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷上> 　　四元行論 　　或問於余曰中國類重五行而貴國重四行何也余荅之曰竊謂中國論五行古與今不同矣所謂行者乃萬象之所出則行為元行乃至純也宜無相雜無相有矣故謂水火土為行則可如以金木為元行則不知何義矣試觀萬物之成多不以金木焉如人蟲鳥獸諸類是也則金木不得為萬物之達行也又誰不知金木者實有水火土之雜乎雜則不得為元行矣設雜者可為行則草石等皆可置之於行之列不獨五行也何獨取金木耶吾觀古唐虞開物大禹陳謨特以與穀列之為六府只云其切於民生者未嘗謂水火金木土為元行質萬物之本也後儒言水而木木而火火而土土而金夫乃曰木由水生火由木生土由火生金由土生水由金生耳此說誠難順之夫木兼有火土何獨由水生而火土未生時木安得自成乎如生木時土未生先原樹於何地植乎夫物相生宜今無異於昔也然今水無土無太陽之火莫能生木木乃先有種入土後以水淋以太陽和下生根上萌芽而長成樹則古並如是何無據考而殊之乎又木如生火則木性至熱水以吾常視凝凍則氷本至冷以至冷生至熱是理不通矣水既生木而木生火水乃祖火乃孫何祖如此不像何其祖之如此不仁恒欲滅孫也耶初未有土木金則獨水用何器藏之乎金由土生則於木何異金生土内木生土上本皆自土發矣且易註天一生水地二生火天三生木地四生金天五生土則五者之生若有先後一定之數矣今曰金生水則金四當先於水一矣曰木生火則木三當先於火二矣曰土生金則土五當先於金四矣火二雖居土五之前然隔三四何以生土木三雖居水一之後然隔火二何以承生於水一乎是其序均非義矣或問貴邦必有元行之真論敢問其指余曰元行之論事甚煩而理甚廣不可以片論悉之且約為子言之吾西庠儒謂自不相生不相有而結萬像質乃為行也天下凡有形者俱從四行成其質曰火氣水土是也其數不可闕增也夫行之本情並為四也曰熱乾冷濕是也四元行每二元情配合為性而成焉若冷與熱乾與濕直相背而不可同居以為二行矣惟熱乾相合為火火性甚熱次乾也濕熱相合為氣氣性甚濕次熱也冷濕相合為水水性甚冷次濕也乾冷相合為土土性甚乾次冷也此四行之性也於下圖可便覽 　　當初造物者欲創作萬物於寰宇先混沌造四行然後因其情勢布之於本處矣火情至輕則躋於九重天之下而止土情至重則下凝而安天地之當中水情比土而輕則浮土之上而息氣情不輕不重則乗水土而火焉所謂土為四行之濁渣火為四行之淨精也火在其本處近天則隨而環動每日偕作一週此係元火故極淨甚炎而無光焉無光者何無薪炭等體以傅其光故爾若遇一外物衝照則著而發矣比而窯既久燒而方除薪炭雖内弗現火光而熱氣甚盛可速㸃爇物矣天下萬象之初皆以四行結行之每偶相背則常胥敵而終一勝勝則四行皆解散而歸本焉是以物之形自函壊已之縁豈我以門虚術强能免之乎哉若天星形異性於下者而亦有所属四行焉其七政之太陽熒惑属火太隂太白属水辰星鎮星属土維歳星属氣也二十八宿各有其性而難辨矣若十二房者白羊獅子人馬禀火性金牛磨羯室女禀土性雙兄天秤寳瓶禀氣性巨蟹天蝎雙魚禀水性【雙兄室女厯家錯為隂陽雙女今正之】若四季者春乃濕暑則属氣焉秋乃旱寒則属土焉夏乃暑旱則属火焉冬乃寒濕則属水焉其歳二十四節亦以四季分類矣若四方之氣却不可以天下四時為一槩定焉此乃隨地勢及嵗季移也變異也若中國之中大抵北風有土情南風有火情西風有水情東風有氣情若人内四液者血属氣黄痰属火白痰属水黒痰属土也四液者下民皆所備有之以養生而人人得一二盛以名其性也斯可因外行動明騐之黙暗寥寂少言者必盛於黑液矣性速反復易怒者必盛於黄液矣愉容寛恕和氣者必盛於紅液矣愁色多憂過慮者必盛於白液矣此生而所禀性吾不能㧞脱惟能遏掩之耳人發病疾蓋四液不調耳已故醫家以四者分課則先訪審所傷者後以相背藥治之也釋氏小西域人也若已聞太西儒所論四行而欲之於中國謂地水火風乃四大也然吾太西庠儒惟名之四大體焉葢天下海内海底通為土一體也天下江河連四海並為水一體自水地至火處其中所謂空者共為氣一體夫氣以上其餘空届月天皆為火一體也夫以形言之宇内大者無大乎四行體也但日輪宿星及各天重愈大又天也星也四行也以事人類為職則人尤大矣其謂風者固不可以當氣也動而始有風耳靜則無焉如是詎世界無風便少一大乎人及鳥獸非吹呵啑際便缺一大乎釋氏何不知風者雖盛於氣而雜有水火為不純之類則不宜例乎四純體矣其謂地又非所論也地乃對天抱山水萬森之總名孰為純體而列之於四元行哉不若以中國之理譯之為火氣水土乃四元行四純體也按其各情定其所居指其所属截然不混矣或曰自地至天其中常人謂空然吾知其為氣者所實焉試觀鳥之動翅而飛如舟之搖撑而行則氣當水矣且水聊有色而氣竟無之氣體態尤幽是故不克以目見焉觀之於人同與飛走之物並處宇内其呼吸非息使然乃出入其氣耳又以聲亦的然可徴之夫聲者惟二有形物相撞為所發耳倘有以長薄棍擊空必聞響豈非棍形撞氣形之效乎勉齋黄氏曰天下無些空缺處愚人見天在上地在下則說中間有缺處也不知天地間逼實無空吾身之外皆是氣如既脫衣即覺寒氣襲體又如寓一間屋兩頭垂簾右手掲簾左亦掣動此皆覘氣實處矣則中國儒者亦識有氣在左右獨不為之行且今所謂氣者於孟子對志之氣不同故先生傳元行之數及情性果為可從吾意貴邦所談四元行是乃五行六府之體焉我古唐虞謂五行六府是乃四體之用焉世儒欲混之而不分體用真不可矣但先生定氣之性為熱吾未明其理也吾見湯水雖無寒風吹自能去熱致冷則本性謂冷宜矣視彼土和水成泥雖無烈日薰炙自克去濕致乾則其本性為乾效矣火性之本為熱孰疑之焉然氣者竊意其性非熱而反為涼故雖夏日炎亢便或搖扇必出涼風脱衣遂覺寒氣侵身斯氣本性似非熱矣又氣之廣大無物不有無所不在故火有火氣水有水氣土有土氣是以氣似不可以别設行焉余曰吾前定氣性甚濕次熱則其性獨非熱者執益熱之物不覺已熱而反覺涼如焉如吾以已熱手揣摩他人愈熱之手必覺已手為涼非我手誠涼也乃他手之熱有甚故也故或搖扇而挹清風或脱衣而侵寒冷此因吾身甚熱遂覺夏氣似涼焉非氣之不自熱矣又曰氣之本性自熱因近著水土之冷而變已本情偶成涼耳比温泉下生硫黄則所發水滚熱者水之本性乎天亦於是處備涼氣以資民之呼吸而調冷心内火矣故每息更氣以出熱而致涼焉故魚類恒潛水中而水本性甚冷自外能透涼内心多無呼吸資也夫氣處所又有上中下三域上之因邇火則常太熱下之因邇水土而水土恒為太陽所射以光輝有所發煖則氣並煖中之上下遐離熱者則常太寒冷以生霜雪之類也其三般氣又廣窄弗等若南北二極之下因違逺太陽者隂氣盛則上下熱煖處窄而中寒冷處廣若赤道之下因近太陽者隂氣微則反然二熱煖處廣而寒冷處窄其三處及餘行之處所便可於後圖覽之 　　視此則知氣行有本處而有界何曰無所不在乎然人常以物切情為氣焉故以熱乾為火氣以濕冷為水氣以乾冷為土氣吾今謂氣者惟言一行本濕熱不輕重居水土之上天火之下也不言各物情氣物之情氣於物不殊也或問曰先生謂火聚在天九重下此乃新說吾中國前未聞焉願聞貴邦據何理而言之蓋彼處懸逺乎壤則人足不得而踵人目不得而覩也况火具於彼若閒然無所益於世界者余曰夫火在上其體視氣更幽渺而無些光故人難得覩之以目也惟有不可違之理為徴焉其一曰氣水土三行各獲其本處以歸聚曰空曰海曰地是也何獨火者散居而無所會處哉既有本處而非水土間必在氣上矣輕者浮重之上常理焉其二曰凡物在本處外自就其處故水在空中自落下而流至於海始止也石在水上自沉溺而至底方休也氣在水下自漚而上浮也吾觀火恒性輕而自發土水氣上則騐其本處非下而在氣上矣又若設有在空中寓而見水土恒性欲下則可證水土本處在氣下也其三曰夜間數見空中火似星隕横直飛流其誠非星乃烟氣從地沖騰而至火處著㸃耳蓋天星自古迄今原有定數而成數宿象不能減虧焉如夜夜果落幾星何以計其數乎何像之成乎天星不幾于盡亡乎况天上事不克壊豈落之有乎逹此理者先須識其由也日輪廣大乎山海地總球一百六十餘倍【日輪大乎地後有一篇明論證之請視之以免誕笑我也】而晝夜圍照之必常發烟氣躋上如火煑鍋焉其氣或乃厚而冷濕少熱則重而無力以出山頂外且内變水以合沙土乾石所致水而生江河源泉也或薄而清則上不高夏時化為露冬時化為霜或乃濕熱則登髙至半空值寒氣即凝而為雲雲隨時為雪者也若茲氣餘滓無汁便為霧矣常有乾熱氣自旱地發如肥烟則或横飛而為風或直升也升際如或值雲雲本冷濕則圍迫之而欲滅之彼被逼則奮力生光火發聲響而爆烈出上下此乃霹靂雷電之縁耳有曰自地而升吾不知所據也如彼氣無逢阻者則踰氣域臻火疆便㸃著若微者速走而消落似星若厚者久懸於是而為孛星焉人在下而逺望之如其在天而為真星不亦謬乎夫火齊居彼者大有利乎宇内一以盈滿天下四大體而相調和焉使缺火之大體其水土之冷可悉泯氣之微熱而止罷生生矣蓋氣本弱維借火之力方能敵彼二行以存本體而保萬森者也一以銷化從下沛然恒上穢烟也否則朽壊氣以生煴病於世也一以㸃彗星屬而設百象于智者占卜將來㓙嵗災禍而免之也一以煖天所降生氣而使之和民體者也既有此等大益於世之物誠不可謂徒在彼也或問曰如云大火近天天豈不燒壊乎余荅曰天也自不能壊也於天之下諸物大異矣然天下有金剛石不受火之累豈惟石耶西土産有火木以為屯寨有火草以織火布竟不懼火而天者猶懼之乎噫理本無窮言各有當自伏羲畫易以後文王圖位已錯綜互異矣兹行也遡其原則四之以立體别其流則五之以達用何害其心之一理之同耶中庸謂及其至也雖聖人有所不知焉上國名儒何嘗自是其見也如信不及姑存而不論可矣 　　乾坤體義卷上 　　欽定四庫全書 　　乾坤體義卷中 　　明　利瑪竇　撰 　　日球大於地球地球大於月球 　　夫測量法借方矩植表視物以句股推其逺近高低固實無疑也惟高逺甚目力殺混矩表度纎淆則法不效故三四百里之外縱假高臺崇山庸法皆無利矣古者不知是法之病即用器以量天曰違地八萬里測日球廣闊曰一千里豈不悮乎或問曰天文氏有量天尺有平儀有渾天儀以測七政星辰豈皆虚具乎曰量天尺以察日至之景平儀渾天儀以審日月諸星高之分及其方位固無謬也借使之以量天逺近髙低星之大小尺分里數此乃大悮耳夫天以辰星測之有九重以恒旋推之有十一重以速遲進退見伏言之共有三十八端【在天地儀書】夫欲量天先量地地為量天之堦也欲量地球先測其徑以徑推其周圍便知其大矣【下卷四題圏書首卷三十二題】欲量日月辰星球之大【日月辰星視之如輪而實為球是故以後通謂曰球】先推天各重逺近厚薄【在多羅謀氏大造書】而度各球徑也 　　假如甲乙丙丁為地球戊為其心甲戊為地球半徑己為月戊庚真地平甲辛地面地平也從甲地面欲測己戊線乃月離地心之里數幾何矣先以法測此時刻月出真地平線幾度則知己戊庚角幾大夫甲戊庚為直角故除己戊庚則甲戊己角之大審矣【推甲戊己角大幾何多羅謀氏别有方】次自甲以平儀等噐視月則得己甲戊角大幾何此己甲戊三角形之己戊甲己甲戊兩角既明則其第三角甲己戊亦明矣【一卷三十一題】辛地半徑己測為一萬四千三百一十八里零十八丈【地儀書載二三法以測地球徑】則若别作三角形於己甲戊相似而體勢等【六卷十八題】既兩三角形相當角比例等【六卷四題何為比例及比例之類在幾何原本五卷界説第十】用勾股三數法可測自戊地心至己月體有四十八萬二千五百二十二餘里夫日月星體違地心幾何既審則以法推其徑之長也兩球之比例有其徑三加之比例【十二卷十八題】則既知地球大何如因而日月諸星比地之幾何大亦審矣多羅謀氏又有恪法因日月之蝕測二球之大也人所最疑上卷之論惟其曰日球大於地球一百六十倍地球大於月球三十九倍盖曰吾視日月大不踰大甕之底而俱等何以知其異而相大幾倍乎今余不設量幾倍之法惟明徴日球大於地球地球大於月球借視照法六題易曉者以破其疑故先解六題而後可指三球之大小相比何如云 　　第一題 　　物形愈離吾目愈覺小 　　解曰吾視物如作一三角形焉形以物徑線為底邉以底邉兩端至目兩線而結一角為二腰邉則夫内角益大吾覺物益大益小吾覺物益小也等則吾覺之等矣 　　論曰首圖目在甲視乙丙一球則如作甲乙丙三角形其乙丙即球之徑線為底邉乙甲丙甲二條視線為兩旁腰邉乙甲丙角為目内角也又視逺球丁戊甲三角形雖乙丙丁戊二球大等而吾覺近者大於逺者無他惟乙甲丙角大於丁甲戊角故耳又視第二圖目在甲而乙丙近球小丁戊逺球大吾覺兩球者等無他惟乙甲丙角於丁甲戊角等故耳又視第三圖目在甲而乙丙近球小丁戊逺球大更逺則吾覺乙丙小球大於丁戊大球無他迺為乙甲丙角大於丁甲戊角故耳 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷中> 　　第二題 　　光者照目者視惟以直線巳 　　解曰光之所能及無碍者即照之目之力所能迄無隔之者則視之便自目自光可以射直線至于物體便無有隔碍之而可以照視之 　　論曰如以上圖或光或目在甲而照視乙丙體之前者乙丙自甲至乙丙之間無所不可作直線則無不可照視之而乙丙之外無乙丙體乙丁丙戊之内竟不可照視無他惟自甲至丁乙丙戊間不可作直線耳茍以曲線可以照視物非但物之前者其後者並能現明焉而無所碍也 　　後論曰如以上圖自甲可通以曲線至己而設並可照視之則乙丙之後乙丁丙戊之内猶可照視而乙丙之體隔不能為之碍也然物之背不移光不選目不可著照視則以曲線竟不能照視也 　　第三題 　　圓尖體之底必為環使真切之數節其俱乃環而環彌離底者彌小而皆小乎底環者 　　解曰試觀上圖有甲乙丙圓尖體若犀若牛直角然而切之丁戊己庚辛壬三處題云其底甲乙為環丁戊己庚辛壬並為環又云丁戊環大於己庚己庚大於辛壬而各小於甲乙環也 　　論曰設甲乙底非環其體也非圓也又圓體之節於其底平離則甲乙既環丁戊己庚辛壬並為環也又甲丙二線愈就丙愈相近則其環之徑愈短而環愈小也其底之猶甚大可知也 　　第四題 　　圓光體者照一般大圓體必明其半而所為影廣於體者等而無盡 　　解曰試觀後圖題云甲乙光體者照丙丁前半體竟受光而後影一般廣而無盡也 　　論者照者以直線照【在第二題】甲乙體于丙丁體者等則甲乙徑于丙丁徑亦等而可自甲乙丙丁間射光之直線則其前者畢明其後者畢隂也又甲丙乙丁二線平行一般近則其直出丙丁之外不克相近而相遇【幾何原本解説三十四】丙丁之後既竟為則丙丁之影無盡而於丙丁之原體廣並等焉 　　第五題 　　光體大者照一小圓體必其大半明而其影有盡益近原體益大 　　解曰試觀後圖大光體甲乙照小圓體丙丁題云戊己以前大半有明而其影戊庚己盡於庚而益近原體丙丁益大矣 　　論曰光體所照體者等惟能照其半【在第四題】則今既光體大於所照者必照大半也又照惟以直線為【在第二題】則自甲乙體之界可射二直線於戊己受光之界今令二線出戊己之外必相遇於庚何者大光體之徑甲乙大於小體之徑丙丁而平行則甲丙乙己二線不為平行線使二線上加戊己縱線向大體甲戊己乙己戊兩角大於兩直角其外角庚戊己庚己戊小於兩直角則甲戊乙己兩線愈長愈相近必有相遇之處【幾何原本公論十一】相遇於庚則影有盡夫戊庚己之内惟有影其外竟光則丙丁體之影漸尖而卒有盡也 　　第六題 　　光體小者照圓體者大惟照明其小半而其影益離原體益大而無盡 　　解曰試觀後圖甲乙光體小者照丙丁圓體大者題云惟其小半戊己受明而後大半其影愈離原體愈大而無盡焉 　　論曰光體所照體者等惟能照其半【在第四題】今光體小則不及照其半也又甲乙體既小於丙丁體則甲乙徑小於丙丁徑而自甲乙界射線於丙丁界直出此二線益離甲乙益大則不克相值而其内影益逺益大而並無盡也【用第五題論而反之】夫月球離地四十八萬二千五百二十二餘里日球離地一千五百九十一萬二千三百八十二里則雖吾視覺二形一般大不可謂之等焉【在第一題】 　　徴日球大於地球地球大於月球皆由日月之蝕故先須明二蝕之所以然日蝕非他惟朔時月或至黄道日所恒在也則既在日之下便掩其光而吾不能見日謂日蝕也且日球者了無失光故其蝕非天下各國共有之而或一處日蝕而别處光焉或一處全蝕而他處惟蝕其半焉所見正斜異故也月蝕天下皆同蓋月球並諸辰星之體本無光皆借太陽之光也地球懸九重之當中如鷄子黄在青中然惟望時月或至黄道于太陽正相對則地球障隔其光而不得照之故月失光矣且月蝕乃地影矇之也月已出地影即復光或以為抗日非其理矣其日月蝕圖設于後以便覽 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷中> 　　或問曰有夘酉時月蝕者而日月俱現地平上以為地形中隔似不如是曰春分至秋分日出地恒在夘正前故月朢對酉正後秋分至春分日出恒在夘正後故月朢對酉正前夫月蝕特於朢朢時日月何得而同現地平上乎蓋其半沉半吐之際人見雙形實非並現倘月蝕時日月全見地平上必月或在西始入地或在東將出地而海水影映并水土之氣發浮地上現出月影此時月體實在地下為地所隔此理可試於空盂若盂底内置一錢逺視之不見試令斟水滿之錢不上移而宛可見焉盂邉既隔吾目則吾所見非錢體乃其影耳茲豈非月在地下而景現地上之喻乎或又謂月影映水可見日影映水亦可見地上何獨言月不言日曰日體極大違地極逺此理喻日于義不合圖設於上以便覽觀 　　論日球大於地球 　　夫日球於地球或大或等或小焉如云大則無用辨等並小不可不辨論曰日球或小或等於地球地球之影宜無盡【在第四第六題】則必能及火木土星並二十八宿而蝕之矣然未見火木土星並二十八宿之蝕或曚之則地球影不臻其體而有盡焉既有盡則日球不可謂或小或等於地球者而必大也况地影克至三星二十八宿之體必每夜宜見蝕曚星之大半而竟不見之也此理設圖於後以細玩焉 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷中> 　　又地球之影益逺地益小則日球大於地球者也【在第四題】若非益逺地益小或益大或等焉則影至星而非見星之蝕必見其甚曚焉又如月在龍頭其離地逺如在龍尾其離地近也然月在龍頭其蝕時短在龍尾其蝕時長則地影益逺益小著矣 　　論地球大於月球 　　然地球大於月球何騐之耶論曰地影依前論為一尖圓體而地之半球為底之環也月球蝕時全在其尖體之内而久行其中【乃其全黒之時】則月球之徑甚小於地球徑也【在第三題】此以日月蝕論之若量法又可以測二形之大而較之焉今畧舉是姑明其意云爾 　　附徐太史地圜三論 　　西泰子之言天地圓體也猶二五之為十也【地形之圜乃歐羅巴諸儒千年定論非竇創為是說】或疑焉作正戲别三論解之正論曰古法北極出地三十六度此自中州言耳唐人云南北相去每三百五十一里八十步而差一度宋人云自交南至於岳臺六千里而差十五度此定説也夫地果平者即南北相去百億萬里其北極出地之度宜恒為三十六不能差毫末也猶山髙千尺以周髀量之自此山之下稍移之平地數十里外宜恒為千尺不能差毫末也以郭若思之精辨南北測騐二萬里北極之差至五十度而不悟地為平體移量北極之不能差毫末何也又因而抑札馬魯丁使其術不顯何也戲論曰嵩髙之下北極出地三十六度自此以北每三百五十一里八十步而差一度則嵩髙之北一萬八千九百六十六里正當北極之下矣近世渾天之說明即天為圓體無疑也夫天為圓體地能為平體北極又能為逓差則以周髀計之北極之下自天至地纔一萬三千八百二十九里而已次以弧矢截圓法計之則北極之下更北行四千四百七十六里有竒而地與天俱盡也合計之即自嵩髙以北二萬三千四百四十里有竒而地與天俱盡也倍之則東西廣南北袤各四萬六千八百八十五里有竒而地與天俱盡也此三者以為可不可也别論曰揚子雲主蓋天桓君山詘之是也然蓋天能知地平則北極不能為差故云北極之下高於中國六萬里但知其說者又不能為圓天為圓天則髙於中國六萬里之處既與天相及矣故曰天之北極髙於四周亦六萬里斜倚之令天與地不相及也若言圓天而不言圓地政不足以服周髀 　　乾坤體義卷中 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義> 　　欽定四庫全書 　　乾坤體義卷下 　　明　利瑪竇　撰 　　容較圖義 　　萬形有全體目視惟一面即面可以推全體也面從界顯界從線結總曰邊線邉線之最少者為三邉形多者四邉五邉乃至千萬億邉不可數盡也三邉形等度者其容積固大於三邉形不等度者四邉以上亦然而四邊形容積恒大於三邉形多邉形容積恒大於少邉形恒以周線相等者騐之邉之多者莫如渾圜之體渾圜者多邉等邉試以周天度剖之則三百六十邉等也又剖度為分則二萬一千六百邉等也乃至秒忽毫釐不可勝算萬形愈多邉則愈大故造物者天也造天者圜也圜故無不容無不容故為天試論其槩 　　凡兩形外周等則多邉形容積恒大於少邉形容積假如有甲乙丙三角形其邉最少就底線乙丙兩平分於丁作甲丁線其甲乙甲丙兩腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等則甲丁線為乙丙之垂線【幾何原本一卷八】次作甲戊丙丁直角形而甲戊與丁丙平行戊丙與甲丁平行視前形增一角者【一卷四又三十六】既甲丁丙甲丁乙兩形等而甲丙戊與甲丁乙亦等【一卷三十四】則甲丁丙戊方形與甲乙丙三角形自相等矣以周論之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邉皆與乙丁相等甲丙邉為其線稍長試引丙戊至己引丁甲至庚皆與甲丙甲乙線等而作庚丁己丙形與甲乙丙三角形同周則贏一甲庚己戊形故知四邉形與三邉形等周者四邉形容積必大於三邉形 　　凡同周四直角形其等邉者所容大於不等邉者假有直角形等邉者每邉六共二十四其中積三十六另有直角形不等邉者兩邉數十兩邉數二其周亦二十四與前形等周而其邉不等故中積只二十又設直角形其兩邉各九其兩邉各三亦與前形同周而中積二十七又設一形兩邉各八兩邉各四亦與前同周而中積三十二或設以兩邉為七以兩邉為五亦與前同周而中積三十五是知邉度漸相等則容積固漸多也 　　試作直角長方形令中積三十六同前形之積然周得三十與前周二十四者迥異今以此周作四邉等形則中積必大於前形 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷下> 　　凡同周四角形其等邉等角者所容大於不等邉等角者 　　設甲乙丙丁不等角形從丙丁各作垂線又設引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形【一卷三十五】與不等角形同底原相等【一卷十九又三十四】甲乙亦同戊己而乙丁及甲丙線則贏於己丁戊丙線是甲乙丙丁之周大於戊丙己丁之周試引丁己至辛與乙丁等引丙戊至庚與甲丙等而作庚丙辛丁形則多一庚戊辛己形因顯四等角形大於不等角形 　　以上四則見方形大於長形而多邉形更大於少邉形則圜形更大於多邉形此其大畧若詳論之則另立五界説及諸形十八論於左 　　第一界等周形 　　謂兩形之周大小等 　　第二界有法形 　　謂不拘三邉四邉及多邉但邉邉相等角角相等即為有法其攲邪不就規矩者為無法形 　　第三界求各形心 　　但從心作圜或形内切圜或形外切圜皆相等者即係圜與形同心 　　第四界求形面 　　謂周線内所容人目所見乃形之一面 　　第五界求形體 　　如立方立圜三乗四乗諸形乃形之全體 　　第一題 　　凡諸三角形從底線中分作垂線與頂齊髙以中分線及髙線作矩内直角方形必與三角形所容等 　　解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂線至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角題言直角與三角形等 　　先論曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁線次從甲作戊己線與乙丙平行又作己丙戊乙二線成直角形此直角倍大於甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙角形【一卷四一】故甲乙丙三角形與甲丁丙己形等【一卷二十六】 　　次論曰作甲丁垂線而第二圖丁非甲乙之平分第三圖甲在方形之外皆從甲作戊己線引長之與乙丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以丙乙平分于庚作庚辛垂線視甲丁為平行亦相等【一卷三十四】其戊己丙乙倍大于辛庚丙己即倍大于三角形何者以辛庚丙己長方形分三角形底線半故【一卷三十六】 　　第二題 　　凡有法六角等形自中心到其一邉之半徑線作直角形線其半徑線及以形之半周線舒作直線為矩内直角長方形亦與有法形所容等 　　解曰有甲乙丙丁戊己法形其心庚自庚至甲乙作直角線為庚辛另作壬癸線與庚辛等作癸子與甲乙丙丁線等即半周線也題言壬癸子丑直角形與甲乙丙丁戊己形之所容等 　　論曰自庚到各角皆作直線皆分作三角形皆相等【一卷八】其甲乙庚三角形與甲辛辛庚二線所作矩内直角形等【以甲辛分甲乙之半故見本篇一題】若以甲乙丙丁半形之周線為癸子線以與壬癸線共作矩内直角形即與有法全形等蓋此半邉三箇三角形照甲乙庚形作分中垂線其矩線内直角形俱倍本三角形故 　　第三題 　　凡有法直線形與直角三邉形並設直角形傍二線一長一短其短線與有法形半徑線等其長線與有法形周線等則有法形與三邉形正等 　　解曰甲乙丙有法形其心丁從丁望甲乙作垂線又有丁戊己直角形其邉丁戊與法形丁戊等其戊己線又與甲乙丙之周線等題言丁戊己三角之體與甲乙丙全形等 　　論曰試作丁戊己庚直角形兩平分于壬辛作直線與丁戊平行則丁戊辛壬直角形與甲乙丙形相等【本篇二題】何者戊辛線得甲乙丙之半周而又在丁戊矩内即與有法形全體等故也其丁戊己三角形與丁戊壬辛直角形等則丁戊己三角形與甲乙丙全形亦等 　　第四題 　　凡圜取半徑線及半周線作矩内直角形其體等解曰有甲乙丙圜其半徑為丁乙又有丁乙戊己直角形兩丁乙等半圜線與戊乙等題言甲乙丙所容與丁乙戊己直角形所容等 　　論曰試以乙戊引長到庚令庚戊與乙戊等則乙庚與圜周全等次從丁望庚作直線既丁乙庚三角形之地與全圜地相等【在圜書一題】而丁乙戊己又與丁乙庚三角形等【本篇四又一卷四十註】則丁乙戊己自與全圜體等 　　第五題 　　凡直角三邉形任將一銳角于對邉作一直線分之其對邉線之全與近直角之分之比例大於全銳角與所分内鋭角之比例 　　解曰有甲乙丙直角三邉形丙為直角從甲鋭角望所對丙乙邉任作甲丁線題言丙乙線與丙丁線之比例大於乙甲丙角與丁甲丙角之比例 　　論曰甲丁線大於甲丙而小於甲乙【一卷十九】若以甲為心以丁為界作半規必分甲己線于乙之内而透甲戊線于丙之外其甲乙丁三角形與甲己丁三角形之比例大於甲丁丙三角形與甲丁戊之比例何者一為甲乙丁大形與甲己丁小形比一為甲丁丙小形與甲丁戊大形比也則更之乙甲丁形與丁甲丙形之比例大於己甲丁形與丁甲戊形之比例【五卷二十七】合之則乙甲丙形與丁甲丙形即是乙丁線與丁丙線之比例【形之比例與底線之比例相等在六卷一】固大於甲己戊形與甲丁戊形之比例其甲己戊圜分與甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角與丁甲戊角之比例【六卷三十三系】則乙丙線與丁丙線之比例大於乙甲丙角與丁甲丙角之比例也 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷下> 　　第六題 　　凡直線有法形數端但周相等者多邉形必大於少邉形 　　解曰設直線有法形二為甲乙丙為丁戊己其圜周等而甲乙丙形之邉多于丁戊己【不拘四邉六邉雖十邉與十一二邉皆同此論】題言甲乙丙之體大於丁戊己之體 　　論曰試於兩形外各作一圜而從心望一邉作庚壬作辛癸兩垂線平分乙丙於壬分戊己于癸【三卷三】其甲乙丙形多邉者與丁戊己形少邉者外周既等而以乙丙求周六而遍以戊己求周四而徧則乙丙邉固小於戊己邉而乙壬半線亦小于戊癸半線矣兹截癸子與壬乙等而作辛子線又作辛戊辛己及庚丙庚乙諸線次第論之其己丁戊圜内各切線等即匀分各邉俱等而全形邉所倍於戊己一邉數與全圜切分所倍於戊己切分地亦等則甲乙丙内形全邉所倍於乙丙一邉與其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分與戊丁己全圜之切分若戊辛己角之與全形四直角【六卷三十三題之系】則以平理推之移戊己邉於甲乙丙全邉亦若戊辛己角之於四直角也而甲乙丙内形周與乙丙一邉猶甲乙丙諸切圜與乙丙界之一切圜亦猶四直角之與庚乙丙角也【六卷三十三之二系】則又以平理推戊己與乙丙即戊癸與乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己角與乙庚丙角亦若戊辛癸之與乙庚壬也【五卷六五】夫戊癸與癸子之比例原大於戊辛癸角與子辛癸角之比例【本篇五】則戊辛癸與乙庚壬之比例大于癸辛戊與癸辛子之比例【五卷十三】而癸辛子角大于壬庚乙角【五卷十】其辛癸子與庚壬乙皆係直角而辛子癸角明小于庚乙壬角【一卷三十二】令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角則其線必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬與乙兩角等于丑癸子三角形之癸子兩角而乙壬邉亦等于子癸邉則丑癸線亦等于庚壬線而庚壬實贏于辛癸【一卷二十六】今以庚壬 　　線及甲乙丙半周線作矩内直角形必大於辛癸線及丁戊己半周線所作矩内直角形也【本篇二】然則多邉直線形之所容豈不大于等周少邉直線形之所容乎 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷下> 　　第七題 　　有三角形其邉不等於一邉之上另作兩邉等三角形與先形等周 　　解曰有甲乙丙三角形其甲乙大于丙乙兩邉不等欲于甲丙上另作三角形與甲乙丙周等兩邉又等其法作丁戊線與甲乙乙丙合線等兩平分于己甲乙乙丙兩邉併既大於甲丙邉【一卷十】則丁己己戊兩邉併亦大於甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣【一卷三十二】以作甲庚丙得所求蓋庚甲庚丙自相等而甲丙同邉則二形之周等而甲庚丙與甲乙丙為兩邉等之三角形【此庚㸃必在甲乙線外若在甲乙邉上遇辛則辛丙線小于辛乙乙丙合線即不得同周】 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷下> 　　第八題 　　有三角形二等周等底其一兩邉等其一兩邉不等其等邉所容必多於不等邉所容 　　解曰有甲乙丙形其甲乙邉大於乙丙令於甲丙上更作甲丁丙三角形與甲乙丙等周【本篇七】而丁甲丁丙兩腰等亦與甲乙乙丙合線等題言甲丁丙角形大於甲乙丙 　　論曰試引甲丁至戊令丁戊與丁甲等亦與丁丙等又作丁乙乙戊線夫甲乙乙戊合線既大於甲戊即大於甲丁丁丙合線亦大於甲乙乙丙合線此兩率者令減一甲乙則乙戊大於乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙兩邉與丁丙乙三角形之丁丙丁乙兩邉等其乙戊底大於乙丙底則戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角踰戊丁丙角之半【一卷三十二】令别作戊丁己角與丁甲丙角等則丁己線在丁乙之上而與甲丙平行【一卷二十八】又令引長丁己與甲乙相遇而作己丙線聨之其甲丁丙甲己丙既在兩平行之内又同底是三角形相等也【六卷一】因顯甲己丙大于甲乙丙而甲丁丙兩邊等三角形必大於等周之甲乙丙矣【問戊丁乙角何以踰戊丁丙角之半曰丁甲丙與丁丙甲兩角等而戊丁丙為其外角凡外角必兼兩内角故也】 　　第九題 　　相似直角三邉形併對直角之兩線為一直線以作直角方形又以兩相當之直線四并二直線各作直角方形其容等 　　解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似其乙戊兩角為直角而甲與丁丙與己角各相等甲丙與丁己相當甲乙與丁戊相當題言併甲丙丁己為一直線於上作直角方形與併甲乙丁戊作直線及併乙丙戊己作直線各於其上作直形方形兩併等 　　論曰引長丁戊至庚令戊庚與甲乙同度次從庚作線與戊己平行又引丁己長之令相遇于辛從己作己壬線與戊庚平行【一卷二十九】則己壬辛之角形與丁戊己相似而丁戊己與甲乙丙相似矣【一卷三十二】何者己壬辛角與庚角等庚角與丁戊己角等己角又與乙角等而辛角與丁己戊角及丙角俱等壬己辛角與甲角亦等【一卷三十四】又己壬邉與戊庚相等則亦與甲乙相等而壬辛與乙丙己辛與甲丙俱相等【一卷二十六】故丁辛線兼丁己甲丙之度丁庚線兼丁戊甲乙之度而庚辛亦兼戊己乙丙之度庚壬即戊己也【一卷三十四】然則丁辛上直角方形與丁庚及庚辛上兩直角方形併自相等矣 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷下> 　　第十題 　　有三角形二其底不等而腰等求於兩底上另作相似三角形二而等周其兩腰各自相等 　　解曰甲乙丙丁不等兩底上有甲戊乙及丙己丁三角形二其戊甲戊乙腰與己丙己丁腰俱相等若甲乙大於丙丁者則戊角大於己角【一卷二十五】而兩三角形不相似求于兩底上各作三角形相似而兩腰各相等其周亦等 　　法曰作庚辛線與甲戊戊乙丙己己丁四線等而分之於壬令庚壬與壬辛之比例若甲乙與丙丁【六卷十】甲乙既大于丙丁則庚壬亦大於壬辛而平分庚壬於癸平分壬辛于子庚壬與壬辛既若甲乙與丙丁則合之而庚辛之視壬辛若甲乙丙丁併之視丙丁矣【五卷】夫庚辛併既大于甲乙丙丁併【兩邉必大于一邉在一卷二十】則壬辛大於丙丁而庚壬大于甲乙也【五卷十四】甲乙庚癸癸壬三線每二線必大于一線而丙丁壬子子辛亦然令於甲乙上用庚癸癸壬線作甲丑乙三角形為兩腰等而其周在甲戊乙形之外【以戊甲戊乙得庚辛之半而庚壬之度過之故】於丙丁上用壬子子辛線作丙寅丁三角形亦兩腰等而其周在丙己丁之内【己丙己丁亦得庚壬之半而壬辛之度不及故俱一卷二十二】 　　論曰并甲戊戊乙丙己己丁四線之度既與併甲丑丑乙丙己己丁四線之度相等則甲丑乙丙寅丁兩形自與甲戊乙丙己丁兩形同周而其兩腰亦自相同至於兩形相似何也甲乙與丙丁若庚壬與辛壬而減半之庚壬與壬子【五卷十五】又若丑甲與寅丙丑乙與寅丁也則更之而甲乙與甲丑若丙丁與丙寅而甲丑與丑乙若丙寅與寅丁是兩形為同邉之比例自相似【六卷五】 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷下> 　　第十一題 　　有大小兩底令作相似平腰三角形相併其所容必大于不相似之兩三角形相併其底同其周同又四腰俱同而不相似形併必小於相似形併 　　解曰甲丙丙戊兩底上設有甲乙丙及丙丁戊兩三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四線俱等令于兩底上依前題别作甲己丙及丙庚戊兩形相似而與前兩三角形相併者等周題言甲己丙丙庚戊併大於甲乙丙丙丁戊併 　　論曰將甲丙丙戊作一直線而甲丙底大於丙戊底乃從巳過乙作己壬線兩分甲丙于壬又從丁過庚作丁辛線兩分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙兩邉與乙己丙三角形之己丙己乙兩邉等而甲乙乙丙兩底又等則甲己乙角與丙己乙角亦等【一卷八】又甲己壬三角形之甲己己壬兩邉與丙己壬三角形之丙己己壬兩邉等則甲己壬角與丙己壬角等而甲壬壬丙之兩底亦等【一卷四】壬之左右皆直角因顯丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸與丁辛同度而從癸過丙作癸丑直線則丁丙辛三角形之丁辛辛丙兩邉與辛癸丙三角形之辛癸辛丙兩邉等而辛之上下角亦等為直角丁丙丙癸兩底等而丁丙辛角與癸丙辛角俱等【一卷四】丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似與己丙壬角即相等【一卷五】而丁丙辛即癸丙辛總大於己丙壬其癸丙辛角等於對角之丑丙壬【一卷十五】是丑丙壬亦大於己丙壬而引癸丑線當在于丙己之外也若夫癸丙丙乙二線涵癸丙乙角向壬試作癸乙線以分壬丙于子而併乙丙丙癸二線必大於癸乙線【一卷二十】則己丙丙庚併亦大于乙癸線何也此四形者兩兩相併為等周則甲乙乙丙丙丁丁戊四線併與甲己己丙丙庚庚戊四線併原相等而減半之乙丙丙丁即乙丙丙癸與己丙丙庚亦相等故也併己丙丙庚二線為一直線就線上作直角方形必大於乙癸線上之直角方形夫己丙丙庚併之直角方形與己壬庚辛併之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形併相等【九題】而癸乙上之直角方形與乙壬併辛丁【即辛癸】上之直角方形及壬子子辛上直角方形併又自相等【九題　從子上分兩對角其角等而壬與辛俱為直角相似之形令移置辛癸與乙壬之下移置壬辛為癸垂線則乙壬辛癸為股壬辛為勾乙癸為矣】此己壬庚辛線併之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形併明大於乙壬丁辛併之直角方形及壬子子辛上之直角方形併也此兩率者每減一壬辛上直角方形則己壬庚辛共線上之直角方形大於乙壬丁辛共線上直角方形矣而己壬庚辛兩線併大于乙壬丁辛兩線併矣此兩率者令一減乙壬一減庚辛則己乙豈不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛【以甲丙原大于丙戊故】則己乙與壬丙矩内直角形大於丁庚與辛丙矩内直角形而乙己丙三角形為己乙壬丙矩内直角形之半何者令從壬丙作垂線與乙己平行而以乙己為底就作直角形此謂己乙壬丙矩内直角形其中積倍于己乙丙三角形反之則己乙丙角形為己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也則己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形為丙乙己三角之倍者亦大於丙庚戊丁形為丁庚丙三角之倍者矣此兩率者又每加甲乙丙與丙庚戊之三角形則甲己丙及丙庚戊之兩三角形併豈不大於甲乙丙及丙丁戊之兩三角形併哉 　　第十二題 　　同周形其邉數相等而等角等邉者大於不等角等邉者 　　先解曰有甲乙丙丁戊己多邉形與他形同周同角者較必邉邉相等乃為最大之形 　　論曰若謂不然先設甲乙乙丙不等邉如第一圖又作甲丙線于上作等邉三角為甲庚丙形與甲乙丙等周【本篇七】則甲庚丙丁戊己形亦與甲乙丙丁戊己形等周而甲庚丙三角形必大于甲乙丙三角形【本篇八】令每加丙丁戊己角形則甲庚丙丁戊己形亦大於甲乙丙丁戊己形故知不等邉者不為最大其他如丙丁邉之類或不等者亦如此推 　　次解曰又設甲乙丙丁戊己等邉形與他形同周同邉者較必角角相等乃為最大之形 　　論曰依上論各邉俱等則甲乙丙丙丁戊為等邉三角形【邉角俱等】而甲乙乙丙與丙丁丁戊相等若謂不然而乙角可大於丁角則甲丙線必大於丙戊線【一卷二十四】試於甲丙丙戊兩底上别作三角形為甲庚丙為丙辛戊如第十題相似形令與甲乙丙丙丁戊併者等周則甲庚丙併丙辛戊者大于甲乙丙併丙丁戊【本篇十一】而每加丙戊己角形則甲庚丙辛戊己必大于甲乙丙丁戊己也何得以等周等邉而不等角者為最大乎 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷下> 　　第十三題 　　凡同周形惟圜形者大於衆直線形有法者 　　解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多邉有法形其周等題言甲乙丙大於丁戊己 　　論曰庚為甲乙丙之心辛為丁戊己之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多邉形與丁戊己相似【四卷十六註】而從壬癸切圜于甲者作半徑線于庚則庚甲為壬癸垂線而分壬癸之半【三卷十八】又從辛作子丑垂線則辛丁亦分子丑之半【三卷三此設于兩多邉形外作切形圜而以壬癸子丑為切圜線向心作垂線則垂線必分切線之中故説在四卷十二】兩形相似其壬全角與子全角等則半之而甲壬庚角與丁子辛角亦等壬甲庚直角與子丁辛直角亦等【一卷三十二】然乙壬癸丙之周大於圜周而圜周與丁戊己形相同則是乙壬癸丙周原大於丁戊己周矣夫兩形相似而壬癸邉大于子丑邉則半之而壬甲亦大於子丁又壬甲與甲庚若子丁與丁辛之比例【六卷四】而壬甲大于子丁則甲庚亦大於丁辛【五卷十四】是故取甲庚線與半圜周線以作矩内直角形其與圜地等也大於取丁辛線與丁戊己半周線以作矩内直角形其與形地等也【本篇四】系曰推此見圜形大於各等周直線形【第五題証有法形同周者多邉為大又十二題証等周及邉數之等者有法為大又本題証等周之有法形惟圜為大則圜為凡形等周者之最大】 　　第十四題 　　銳觚全形所容與鋭頂至邉垂線及三分底之一矩内直角立形等 　　解曰有觚形不拘幾面如甲乙丙丁戊底其頂巳又有寅庚直角立方形者其底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一其髙庚子與觚等髙題言此寅庚形與觚形所容等 　　論曰從立形底諸角與相對一角如子角者皆作線以成庚辛壬癸子觚形此形與寅庚形同底同髙又同己甲鋭觚之髙既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三【十二卷六注言兩觚形同髙者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍】寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三【以同底同髙故在十二卷七系】則寅庚全方與己甲觚等 　　第十五題 　　平面不拘幾邉其全體可容渾圜切形者設直角立形其底得本形三之一其髙得圜半徑即相等【可容渾圜切形者必圜形與諸面相切若長廣不切諸面者不在此論】 　　解曰有甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外線甲乙切圜于戊【十一卷三題】試從戊壬割圜之半作戊己庚辛圜【圜形書一卷一題】從壬心望各切圜之㸃作壬戊為甲乙垂線【三卷十八】壬己為乙丙垂線壬庚為丙丁垂線壬辛為甲丁垂線别一直角立方形午子其底子丑寅癸得甲乙丙丁體三之一而其髙辰子與圜半徑等題言此直角立方形與甲乙丙丁全體等論曰從壬心與甲乙丙丁各角作直線即分其體為數觚形其面即為觚底而皆以壬心為觚銳頂此各觚皆以其三分底之一及至銳髙之數為直角立方形皆與觚所容等【本篇十四】又併為一形即與甲乙丙丁體等亦與午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其髙分圜半徑也 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷下> 　　第十六題 　　圜半徑及圜面三之一作直角立方形以較圜之所容等 　　解曰有甲乙丙渾圜其心為丁又有直角立形之戊在甲丁徑及甲乙丁渾圜三之一矩内題言戊形所容與甲乙丙渾圜等 　　論曰若言不等謂戊大于渾圜形其較有巳者合以丁為心外作庚辛壬渾圜大于甲乙丙而勿令大於戊第令或等或小以騐之而于庚辛壬内試作有法形勿切甲乙丙圜【十二卷十七】自丁心至形邉各作垂線則垂線必長于甲丁又自丁心至形各角作直線以分此形為幾觚其庚辛壬法形諸直線為觚底而垂線至丁心為觚鋭頂試取各觚底三之一及丁垂線之髙以作直角立形與觚等【本篇十四】則併為大直角立形亦與庚辛壬内之法形等【本篇十五】如云以甲乙為髙而以各觚底三之一為直角立形併為大形則必小於前形因顯庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁徑及甲乙丙圜三之一内小於庚辛壬體而謂庚辛壬不大于戊形則向庚辛壬之内形尚大於戊形也 　　又論曰戊形小於甲乙丙渾圜體者其較為己試從丁心再作癸子丑圜小于甲乙丙而勿令小于戊或大或等者以驗之於甲乙丙圜内作有法形不令切癸子丑【十二卷十七】而従丁至甲乙丙各面為垂線此垂線大於丁癸之半徑又從丁向法形諸角作直線以分此形為數觚以形之各面為觚底庚辛為觚鋭頂而取觚底三之一及底至丁之垂線以作直角立形與觚等若使以甲丁為髙而以各觚三之一為底以作直角立形則其形必髙于前形既甲乙丙圜之面大于其内形之面則圜面三之一大于内形面三之一而直角立方形在甲丁髙及甲乙丁面三之一固即戊體矣愈大於甲乙丁之内形矣而云癸子丑圜或等或大於戊豈癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大於全歟則戊體不小於甲乙丙矣從後論不可為小從前論不可為大故曰等也 　　第十七題 　　圜形與平面他形之容圜者其周同其容積圜為大解曰有甲圜其心甲其半徑甲乙又丙形與甲等周其周内可作諸切邉圜形而從心至邉為丙丁題言甲圜大于丙形 　　論曰甲圜外試作與丙相似形【十二卷】而從甲心至各邉切處作半徑垂線皆等【本篇十五有解】其一為甲乙甲圜外形大於甲圜其周面亦大於丙面而甲乙垂線亦大於丁丙垂線以甲半徑為髙乃以三分圜體之一作直角立方形即與甲圜形等【本篇十六】以丙丁線為髙而以三分丙形之一作直角立方形亦與丙形等而甲之立方固大於丙之立方【本篇十五】則甲圜與丙形雖同周而甲圜所容為大矣 <子部,天文算法類,推步之屬,乾坤體義,卷下> 　　第十八題 　　凡渾圜形與圜外圜角形等周者渾圜形必大於圜角形 　　解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四數相偶若八面十二面十六面二十面及二十四二十八之類等邉等角近于圜形者又作戊壬過心線為樞以轉甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平面旋為立圜之體則其形為圜外圜角之形而角與邉周遭皆等【圜書一卷二十二及二十七】又有渾圜形寅與圜角形等周題言寅圜大於圜角形 　　論曰圜角外形既大於内之甲乙丙圜形則寅圜亦大於甲乙丙圜寅圜之半徑亦大於甲乙丙圜之半徑也夫渾圜中剖是為過心最大之圜此過心大圜之面恒得渾體四分之一【圜書一卷三十一題】令倍寅徑以作夘辰徑其圜面四倍大于寅之圜面【此専以圜面相較也夘辰徑既倍寅徑則夘辰圜固四倍于寅圜以圜與圜為徑與徑再加之比例故也在六卷附一増題】則夘辰圜與寅渾圜等【此夘辰圜為欲見角故畫作扁圜實正圜也】次作未申圜與夘辰等作未酉申圜角形而取寅半徑為酉戌之髙又於夘辰上亦作夘巳辰圜角形而取甲乙丙圜半徑為巳午之髙兩圜體等而未酉申圜角形髙於夘巳辰圜角形則亦大於夘巳辰圜角形【圜角形同底之比例若其髙之比例在十二卷十四題】夫割寅渾圜之中半以為底【即過心大圜也】而以其半徑之髙為圜角形恒得寅渾圜四分之一【此旋轉所成尖頂半圜形非只論其一面也在圜書一卷三十二十】則是一寅圜恒兼四圜角之形而未申圜原四倍大於寅圜則未酉申圜角形固與寅之渾圜形等矣【圜角形同髙之比例若其底之比例故也在十二卷十一題】其夘巳辰圜角形底原等戊己庚形之面【戊己庚之面與寅圜之面等故】而巳午之髙亦等於甲圜半徑即戊己庚辛角形自與夘巳辰圜角形等【圜書一卷二十九題論凡圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者以圜體過心大圜為底而以圜半徑為髙旋作圜角形即與圜外諸圜各等】夘巳辰圜角形既小於未酉申圜角形而戊己庚辛壬癸子丑形寧大于同周之寅乎 　　乾坤體義卷下